La prezzatura delle opzioni asiatiche nei mercati di Lèvy

V 
 
Introduzione 
 
L’obiettivo di questa tesi è quello di studiare i processi di Lévy e mostrare come questi 
ultimi si siano rivelati particolarmente adatti e utili per la prezzatura delle opzioni; in 
particolare, in questo elaborato, prenderemo in esame un determinato tipo di opzione 
esotica: l’opzione asiatica. 
Tra tutti i diversi strumenti finanziari derivati, le opzioni sono sicuramente quello più 
utilizzato dagli investitori e quello maggiormente studiato e analizzato dagli esperti. 
Un’opzione è un contratto che conferisce un diritto, non un obbligo, di acquistare o 
vendere una certa attività finanziaria, il titolo sottostante, a un certo prezzo ed entro una 
data prefissata. Il diritto è rilasciato dal venditore all’acquirente dietro il pagamento 
contestuale di una somma di denaro, detta premio dell’opzione. 
Molti studiosi hanno affrontato il problema della determinazione del giusto prezzo che 
un’opzione deve avere. Tali studi hanno avuto un brusco incremento agli inizi degli 
anni ’60, quando gli strumenti finanziari hanno cominciato a diffondersi sempre di più 
nei mercati finanziari mondiali. 
Per avere una prima soluzione davvero soddisfacente a tale problema occorre però 
aspettare fino al 1973 quando Black e Scholes, in contemporanea con Merton, 
sviluppano un modello di valutazione che da loro prende il nome: il modello Black-
Scholes. 
Col passare del tempo, però, l’ipotesi fondamentale alla base di tale modello, ossia che 
il sottostante segua una diffusione log-normale con una volatilità costante si è rivelata 
sempre più difficile da sostenere. Infatti, si è iniziato ad osservare divari molto 
significativi tra prezzi di opzioni su vari indici azionari e prezzi dati dal modello di 
Black & Scholes: questo perché il modello richiedeva un unico valore della volatilità o 
meglio sosteneva che tale valore fosse indipendente dal prezzo di esercizio e dalla 
scadenza dell’opzione. Ciò, però, si è dimostrato essere non veritiero: infa tti, la 
volatilità presenta un caratteristico andamento a smile (sorriso), dimostrazione, questa, 
che la stessa sia funzione del prezzo di esercizio e della scadenza. 
Inoltre, nelle analisi applicative si è riscontrato che le serie storiche dei prezzi dei titoli 
presentano salti e picchi e che la distribuzione empirica dei rendimenti mostra code 
grasse (cioè è leptocurtica) e asimmetrie, comportamento, questo, che devia dalla 
normalità.
VI 
 
È sorta, dunque, la necessità, di oltrepassare il famoso modello di Black & Scholes 
ricercandone altri in grado di rappresentare meglio la realtà. 
Tra le alternative proposte nella letteratura per far fronte ai difetti del modello di Black 
& Scholes, un ruolo importante viene assunto dai processi di Lévy, ossia modelli con 
salti. Questi ultimi attribuiscono gli errori del modello di Black & Scholes ai timori di 
un futuro crollo delle quotazioni che non vengono presi in conto nella prezzatura delle 
opzioni; i modelli di Lévy considerano, dunque, un crollo delle quotazioni un evento 
plausibile. 
A differenza del modello classico, secondo il quale il sottostante segue una diffusione 
lognormale a volatilità costante, i modelli di Lévy presentano dei salti aleatori. Questa 
caratteristica rende i processi di Lévy uno strumento utile al fine di ottenere modelli di 
evoluzione di mercato più realistici. 
Il focus del nostro elaborato è proprio quello di confrontare i due modelli e dimostrare 
come il modello di Black & Scholes sia molto più lontano dalla realtà e come, invece, i 
modelli di Lévy siano in grado di descrivere la realtà osservata dei mercati finanziari in 
modo decisamente più accurato. 
  
Nel primo capitolo, riassumiamo gli strumenti matematici utili in finanza quantitativa e 
presentiamo le caratteristiche dei processi stocastici e il loro uso per la prezzatura delle 
opzioni. 
Nel secondo capitolo, descriviamo dettagliatamente il modello di Black & Scholes e i 
suoi limiti dimostrando, anche graficamente, quanto l’ipotesi di rendimenti log -normali, 
sottintesa da questo modello, sia errata per rappresentare i rendimenti di mercato. 
Nel terzo capitolo, introduciamo i processi di Lévy ed esponiamo le loro principali 
proprietà matematiche, iniziando con il processo di Poisson, punto di partenza nella 
costruzione di processi con salti. 
Nel quarto capitolo, mostriamo le basilari caratteristiche delle due principali categorie in 
cui si dividono i modelli finanziari con salti: modelli di tipo diffusivo a salti e modelli a 
puro salto. Successivamente, per ciascuna categoria, presentiamo alcuni esempi. 
Nel quinto capitolo, dopo aver dato una descrizione quanto più possibile dettagliata 
delle caratteristiche delle opzioni asiatiche, affronteremo il problema della loro 
valutazione.
VII 
 
Le opzioni asiatiche rappresentano un particolare tipo di opzioni esotiche sentiero 
dipendente in quanto il loro profitto dipende da un valore medio calcolato sulla base di 
prezzi che si riferiscono a un predeterminato periodo specificato in precedenza. Il fatto 
che venga utilizzato il prezzo medio fa in modo che l’investitore sia meno esposto ai 
cambiamenti e alle oscillazioni del mercato sul lungo periodo. In questo modo le 
opzioni asiatiche si collocano come strumento principe nella gestione personalizzata del 
rischio finanziario. 
Dalla loro comparsa nei mercati finanziari internazionali, numerosi studiosi hanno 
cercato di fornire un modello matematico per la determinazione del prezzo di tali 
opzioni. A partire dalla fine degli anni ’80, una folta letteratura si è sviluppata sulla 
valutazione di questi strumenti derivati. 
La prima problematica che vogliamo sottolineare, è che per questo tipo di opzioni, non è 
possibile applicare direttamente la formula di Black e Scholes per la loro valutazione: in 
tale equazione il prezzo dell’opzione non dipende in nessun modo dalla variabile 
essenziale che caratterizza le opzioni asiatiche, cioè, la media dei prezzi del sottostante. 
Introducendo nell’equazione un elemento che sia strettamente legato a questa media, 
abbiamo ricavato l’equazione differenziale per le o pzioni asiatiche. 
La seconda problematica  è che, malgrado si sia trovata l’equazione differenziale 
seguita dal prezzo di tali strumenti, trovare una soluzione analitica esplicita analoga alla 
formula di Black-Scholes è, specialmente nel caso della media aritmetica, 
un’operazione praticamente impossibile. 
La letteratura si è quindi concentrata da una parte  sullo sviluppo di modelli matematici 
alternativi, alcuni dei quali verranno approfonditi nel corso del quinto capitolo, 
dall’altra sull’implementazione di metodi numerici per la determinazione del prezzo di 
tali strumenti; in quest’ultima categoria rientrano i metodi Monte Carlo, i metodi che 
fanno uso di alberi e i metodi alle differenze finite. 
Nel sesto capitolo, trattiamo l’utilizzo del metodo Monte C arlo evidenziando i suoi 
pregi più rilevanti e sottolineando il suo maggiore svantaggio, ossia il grande peso 
computazionale che può raggiungere. Fortunatamente esistono diversi metodi per 
ridurre questo onere computazionale e rendere, così, il metodo più efficiente. 
Nel corso di tale capitolo, presentiamo anche il metodo dell’espansione asintotica, il 
quale, nella valutazione delle opzioni, è preso in considerazione quando i prezzi degli 
asset sottostanti seguono un generico processo di   ô .
VIII 
 
Successivamente, effettueremo un confronto tra i due metodi mettendo in risalto come 
l’approccio dell’espansione asintotica risulti avere un notevole vantaggio in termini di 
tempo di calcolo del prezzo dell’opzione rispetto al metodo Monte Carlo. 
Infine, nel settimo e ultimo capitolo, per concludere questo lavoro di tesi, dimostreremo 
quanto detto precedentemente, ossia che i processi di Lévy forniscono una migliore 
rappresentazione della realtà dei mercati finanziari. 
Più precisamente, prenderemo ad analisi la serie storica del titolo Nissan e 
dimostreremo graficamente, nella prima parte del nostro esperimento, come la 
distribuzione storica del nostro titolo sia meglio approssimata da un appropriato 
processo di Lévy, il processo Normale Inverso Gaussiano, rispetto al moto Browniano 
geometrico. Metteremo, dunque, in evidenza i limiti del modello di Black & Scholes. 
Successivamente, nella seconda parte dell’esperimento, calcoleremo il prezzo 
dell’opzione asiatica avvalendoci del processo esponenziale NIG; a tal fine, 
utilizzeremo il metodo Monte Carlo.  
In sostanza, ci siamo maggiormente fidati, per la prezzatura dell’opzione, di un modello 
che è risultato approssimare meglio la distribuzione del titolo Nissan rispetto a quello 
basato sul moto Browniano Geometrico.
1 
 
1. Introduzione al modello classico 
 
In questo capitolo ci occuperemo di introdurre tutti gli strumenti base necessari per 
permetterci di comprendere in maniera più approfondita gli sviluppi del modello di 
Black & Scholes presentato nel capitolo successivo. 
 
 
1.1 Elementi di probabilità 
Definizione 1.1: uno spazio di probabilità è una terna          dove   è un insieme 
qualunque, ma, generalmente, rappresenta l’insieme dei risultati possibili di un 
esperimento casuale ed è definito come spazio campionario,   è detta   algebra, 
ovvero un insieme di insiemi (eventi) per i quali si può calcolare una probabilità, e, 
infine,      è una misura di probabilità su  , ossia una funzione           che 
rispetta i seguenti tre assiomi: 
              
       ; 
        
 
    
 
 una famiglia di insiemi di   tale per cui  
 
  
 
  , allora 
  
  
 
 
   
      
 
 
 
   
. 
Tornando alla   algebra   essa è, per la precisione, una famiglia di insiemi tale che 
      
 se     allora anche il suo complementare  
 
  ; 
 unioni numerabili di elementi di   appartengono ancora ad  . Ad esempio, sia 
 
 
            allora   
 
 
 
   
Si deve dunque pensare alla   algebra come l’insieme di tutte le possibili 
“composizioni” di eventi elementari di   per i quali è possibile calcolare una 
probabilità.1