Sulla valutazione dei mezzi derivati su tassi d'interesse

L’obiettivo del lavoro è quello di investigare le problematiche poste dalla prezzatura dei derivati su tassi d’interesse.

Innanzitutto, vengono presi in considerazione i modelli tradizionali della struttura a termine dei tassi d'interesse, detti anche modelli d'equilibrio, sviluppati da Vasicek, Cox, Ingersoll, e Ross, e Longstaff e Schwartz. Si esamineranno le ipotesi sottostanti a questi modelli e la loro capacità di replicare il mondo reale. Si mostrerà anche come questi modelli sono in grado di determinare il prezzo di vari tipi di derivati su tassi d'interesse. Infine, si forniranno alcuni esempi numerici.

Successivamente, verranno affrontati i modelli più moderni che ipotizzano l'assenza d'arbitraggio. Si procederà ad un confronto tra questi modelli ed i modelli d'equilibrio, concentrandosi sui diversi approcci seguiti per giustificare l'assenza di arbitraggio: i primi adottano il contesto della misura equivalente di martingala sviluppato da Harrison and Pliska; i secondi usano l'approccio di Vasicek. Nel prosieguo, sono descritti altri modelli, in particolare i modelli di Ho e Lee, di Black, Derman, e Toy, e di Hull e White che sono tra i modelli più utilizzati dagli operatori nel mondo reale. A ognuno seguono commenti critici allo scopo di sottolinearne pregi e difetti.

Un problema serio inerente i modelli del tasso a breve succitati riguarda la funzione della volatilità delle variazioni dei rendimenti delle obbligazioni senza cedola; infatti, è necessario assicurarsi che questi modelli portino ad una funzione realistica. A questo scopo, verrà considerato l'approccio generale di Heath, Jarrow, e Morton, che sembra essere il più aderente alla realtà. Si presenterà una breve storia di questo approccio per poi esplorarne la struttura. Si mostrerà come l'approccio di Heath, Jarrow, e Morton (HJM) sia limitato nella pratica, almeno nella sua versione più generale, a causa delle sue eccessive esigenze di calcolo.

Ciò detto, si illustrerà come si possono valutare i derivati all'interno dell'approccio HJM utilizzando il metodo di simulazione Monte Carlo. Ciò fornisce una valida procedura numerica per determinare il prezzo dei vari strumenti derivati, specialmente se si impiegano tecniche come la riduzione della varianza con martingale che causa un considerevole miglioramento dell'efficienza del metodo Monte Carlo. Di seguito, si eseguirà un'indagine empirica del mercato dei titoli di Stato italiani, esplorando la possibilità di estendere il numero dei fattori della volatilità nell'approccio HJM da uno a due o, possibilmente, tre. Questa indagine utilizza l'analisi dei fattori applicata alla matrice di covarianza delle variazione storiche dei rendimenti di titoli senza cedola.