Sulla valutazione dei mezzi derivati su tassi d'interesse

2 VALUTAZIONE DEI DERIVATI SU TASSI D’INTERESSE
è solitamente visto come il progenitore dei mercati futures moderni, che, general-
mente, si considerano nati con la formazione del Chicago Board of Trade (CBOT)
nel 1848.
Nella decade 1840-50, Chicago stava divenendo un centro di trasporto e distri-
buzione dei cereali nel Midwest degli USA. Gli agricoltori di cereali spedivano i
loro raccolti dalla cintura delle fattorie a Chicago e successivamente li distribuiva-
no a est con la ferrovia e attraverso i Grandi Laghi. Tuttavia, a causa della natura
stagionale della produzione di cereali, grosse quantità di cereali venivano spediti a
Chicago nella tarda estate ed in autunno. Le attrezzature di stoccaggio della città
erano inadeguate ed i prezzi diminuivano verticalmente quando l’offerta di cereali
aumentava per poi crescere stabilmente quando le scorte venivano consumate.
Nel 1848, un gruppo di uomini d’affari fece il primo passo verso la risoluzione
di questo problema fondando il CBOT. Il CBOT era inizialmente organizzato allo
scopo di standardizzare la quantità e la qualità dei cereali. Alcuni anni dopo,
nel 1865, fu stipulato il primo contratto forward su cereali. Esso implicava che
un coltivatore poteva accordarsi per consegnare i cereali ad una data futura ad
un prezzo stabilito in anticipo. Di lì a poco, il CBOT stabilì un insieme di
regole per governare queste transazioni. Negli anni ’20, fu creata una stanza di
compensazione (clearinghouse). A quel tempo, la maggior parte degli ingredienti
essenziali dei contratti futures era già stata introdotta. Nel 1874, fu fondato il
Chicago Produce Exchange. Più tardi divenne il Chicago Butter and Egg Board,
e nel 1898 fu riorganizzato come Chicago Mercantile Exchange (CME).
In Europa, la prima Borsa organizzata per lo scambio di futures su materie
prime fu il London Metal Exchange (LME) fondato nel 1877, mentre l’Agrarische
Termijnmarkt ad Amsterdam aprì le porte nel 1888.
Nei primi 120 anni, dalla formazione del CBOT, le Borse futures offrivano
scambi esclusivamente su contratti su materie prime. Nel 1971, le principali na-
zioni europee iniziarono a lasciar fluttuare le loro divise come conseguenza al
crollo dell’accordo di Bretton Woods. Ciò diede la possibilità all’International
Monetary Market (IMM) di formarsi nel 1972, come una consociata del CME che
si specializzò nello scambi di contratti futures su divise estere. Questi furono i
primi contratti futures che potevano essere chiamati futures finanziari. Il CBOT
rispose introducendo il primo contratto future su tassi d’interesse nel 1975. Col
passare degli anni, molti contratti futures su variabili finanziarie sono stati svi-
luppati. La prima Borsa per futures finanziari ad essere fondata in Europa fu il
London International Financial Futures Exchange (LIFFE), nel 1982. Questo si
rivelò un grande successo e condusse alla creazione di molte Borse che trattano
derivati in tutta Europa durante i tardi anni ’80 d i primi anni ’90. Per esempio,
nel 1986, aprì il francese Marché A Terme d’Instruments Financiers (MATIF), che
divenne Marché A Terme International de France nel 1988, seguito dal tedesco
Deutsche TerminBörse (DTB), che aprì nel 1990. In Italia il Mercato degli stru-
menti Derivati Azionari (IDEM) ed il Mercato degli strumenti Derivati sui tassi
di interesse (MIF) furono fondati nel 1994.
Capitolo 1 - INTRODUZIONE 3
Oltre alla creazione delle prime Borse dedicate ai derivati, gli anni ’70 testi-
moniarono la crescita del mercato dei contratti forward OTC (over-the-counter),
specialmente per le divise estere, chiamato mercato interbancario. Questo ‘mer-
cato’ consiste di centinaia di banche in tutto il mondo che sottoscrivono impegni
sia a pronti sia a termine, rappresentando sia esse stesse sia i loro clienti. Queste
transazioni sono private e non regolate, i loro importi sono piuttosto elevati, e
sono realizzate su misura per gli specifici bisogni delle due parti coinvolte. Sono
soggette a rischio di credito, poiché una delle due parti può fallire. Negli anni ’80,
Il ritmo di crescita del mercato OTC aumentò ulteriormente e il motivo principale
fu lo sviluppo degli swaps nel 1981.
Le opzioni esistono sin dai tempi antichi, ma l’attuale sistema dei mercati
delle opzioni risale al XIX° secolo. All’inizio del ’900, un gruppo di aziende
dette Put and Call Brokers and Dealers Association crearono un mercato per le
opzioni negli USA. Sebbene questo mercato OTC fosse vivace, esso non consentiva
ai suoi partecipanti di vendere i loro contratti d’opzione prima della scadenza.
Inoltre l’acquirente (holder) di questo contratto era esposto all’eventuale fallimento
dell’emittente (writer). A causa di queste deficienze, i costi di transazione erano
relativamente alti.
Nel 1973, nel mondo delle opzioni avvenne un cambiamento rivoluzionario.
Il CBOT organizzò un mercato dedicato esclusivamente allo scambio di opzioni
azionarie. Questo mercato fu chiamato Chicago Board Options Exchange (CBOE).
Esso aprì le sue porte allo scambio di opzioni di tipo call il 26 aprile 1973, e la
prima opzione put fu aggiunta nel giugno del 1977.
Il CBOE creò un mercato dove i contratti d’opzione erano standardizzati allo
scopo di migliorare la liquidità degli scambi (cioè la possibilità per un investitore
con una posizione aperta di chiuderla prima della scadenza dell’opzione compiendo
una transazione opposta sullo stesso contratto). Ma la caratteristica più importante
del CBOE risiede nel fatto che tale mercato creò una stanza di compensazione che
garantiva che l’acquirente non sarebbe stato danneggiato se l’emittente dell’opzione
non avesse adempiuto ai suoi obblighi.
Ciò rese le opzioni più appetibili per la massa degli investitori, e i loro volumi
di scambio crebbero enormemente fino al crollo dei mercati azionari del 1987.
Nel frattempo, le opzioni iniziarono ad essere trattate anche sui mercati OTC, tra
aziende ed istituzioni finanziarie.
Nei primi anni ’90, il mercato dei derivati attraversò un periodo di crescita
accelerata, sebbene abbia in qualche modo rallentato più di recente. Ciò è illustrato
per il mercato OTC market nella Figura 1.1.
Un fattore chiave che ha giocato un ruolo primario in questa crescita frenetica è
stata l’esplosione dell’attività nel mercato OTC, specialmente per quanto riguarda
i derivati su tassi d’interesse. Ciò è chiaramente illustrato nella Tabella 1.1.
Un altro fattore è stato la costante creazione di nuovi e utili derivati per
soddisfare i vari bisogni degli investitori.
4 VALUTAZIONE DEI DERIVATI SU TASSI D’INTERESSE
Figura 1.1: attività totale sui mercati dei derivati over-the-counter.
Il Ruolo dei Mercati dei Derivati e i Loro Attori Di solito gli attori dei mercati
dei derivati sono suddivisi in tre categorie principali: gli hedgers, gli speculatori e
gli arbitraggisti. Noi utilizzeremo questa partizione per descrivere i motivi per cui
i derivati sono utili e gli obiettivi che possono essere raggiunti con il loro uso.
Swaps su Swaps su Opzioni su
Anno tassi d’interesse divise estere tassi d’interesse
1990 2,311.5 577.5 561.3
1991 3,065.1 807.2 577.2
1992 3,850.8 860.4 634.5
1993 6,177.3 899.6 1,397.6
1994 8,815.6 914.8 1,572.8
1995 12,810.7 1,197.4 3,704.5
1996 19,170.9 1,559.6 4,722.6
1997 22,291.3 1,823.6 4,920.1
Fonte: ricerca di mercato ISDA
Tabella 1.1: Scomposizione delle posizioni aperte in mld di $.
Gestione del Rischio Siccome i prezzi dei derivati sono legati ai prezzi del-
l’attività a pronti sottostante, essi possono essere usati per ridurre od accrescere il
rischio associato al possesso dell’attività a pronti. Per esempio, comprando l’attivi-
tà a pronti e vendendo un contratto futures oppure comprando un’opzione put si
Capitolo 1 - INTRODUZIONE 5
riduce il rischio dell’investitore. Questo tipo di posizione è denominata copertura
(hedge) e la persona che la detiene è detta hedger.
Gli investitori hanno diversi atteggiamenti verso il rischio. Alcuni lo tollerano
meglio di altri. I mercati dei derivati consentono a coloro che desiderano ridurre
il loro livello di rischio di trasferirlo a coloro che desiderano aumentarlo; questi
ultimi sono chiamati speculatori. Perciò, il rovescio della medaglia delle operazioni
di copertura è la speculazione. A meno che un hedger non riesca a trovare un
altro hedger con bisogni di copertura diametralmente opposti ai suoi, il rischio
dell’hedger deve essere assunto da uno speculatore. Per questo motivo, la presenza
degli speculatori aumenta la liquidità del mercato.
Aspettative sui Prezzi Futuri Futures e forwards sono mezzi importanti per
ottenere informazioni relative alle aspettative degli investitori sui futuri prezzi a
pronti. I mercati delle opzioni non forniscono direttamente previsioni sui futuri
prezzi a pronti. Essi forniscono, tuttavia, preziose informazioni sulla volatilità e,
di conseguenza, sul rischio connesso al possesso dell’attività a pronti sottostante.
Vantaggi Operativi Innanzitutto, i mercati dei derivati consentono di ab-
bassare i costi di transazione. In secondo luogo essi presentano una maggiore
liquidità dei rispettivi mercati a pronti perché possono gestire grosse operazioni
più facilmente dei mercati a pronti. Ciò è parzialmente dovuto alla minore quantità
di capitale richiesta per partecipare ai mercati dei derivati. Infine, i mercati dei
derivati permettono all’investitore di vendere allo scoperto più facilmente.
Efficienza del Mercato ed Arbitraggio L’esistenza dei mercati dei deri-
vati aumenta l’efficienza complessiva del mercato. Infatti, solitamente esistono
delle opportunità convenienti d’arbitraggio nel brevissimo periodo all’interno dei
mercati. La presenza di queste opportunità comporta che i prezzi di alcuni valo-
ri mobiliari sono temporaneamente disallineati dal livello a cui dovrebbero essere.
Ciò comporta che gli investitori possono ottenere un rendimento in eccesso rispetto
a ciò che il mercato ritiene equo per uno specifico livello di rischio.
L’arbitraggio è un tipo di transazione che permette di ricavare un profitto da
anomalie di prezzo tra strumenti identici o molto simili. L’individuo impegnato
nell’attività di arbitraggio, detto arbitraggista, compra il valore mobiliare disal-
lineato dal prezzo equo al prezzo più basso per poi venderlo immediatamente a
quello più alto. Così facendo, si realizza un profitto privo di rischio dovuto alla
differenza tra i due prezzi. Ciò può avvenire nello stesso mercato o in due diversi
mercati dove è quotato lo stesso valore mobiliare (o due molto simili) e possono
verificarsi disallineamenti di prezzo. Queste differenze possono essere dovute sia
ad una diversa interazione tra la domanda e l’offerta nei due mercati sia al fatto
che i prezzi di questi valori mobiliari sono espressi in differenti valute.
6 VALUTAZIONE DEI DERIVATI SU TASSI D’INTERESSE
L’arbitraggio gioca un ruolo cruciale nella determinazione del prezzo di tutti
i contratti futures. Questi contratti hanno un prezzo ‘equo’ al quale dovrebbero
essere scambiati. Ma, a volte, vi sono deviazione che aprono opportunità di ar-
bitraggio perché i derivati sono collegati ai corrispondenti strumenti a pronti. Gli
arbitraggisti sfruttano queste opportunità, contribuendo così a tenere i mercati a
pronti ed a termine allineati. In effetti, la presenza di arbitraggisti sul mercato
permette di ipotizzare che tutte le opportunità di arbitraggio siano rimosse non ap-
pena si presentano, e perciò che, di fatto, non esistono opportunità di arbitraggio
disponibili.
L’importanza di sradicare velocemente queste opportunità di profitto si capirà
pienamente nel corso dei capitoli successivi, dove l’assenza di arbitraggio costitui-
sce la condizione fondamentale per determinare il prezzo degli strumenti derivati.
Senza gli arbitraggisti, questa ipotesi sarebbe scorretta e tutta la moderna teoria
per la determinazione del prezzo dei derivati, riceverebbe un duro colpo.
Lo Stato dell’Arte Attualmente, diverse Borse che trattano strumenti derivati
sono attive in tutto il mondo. I più grandi mercati dei derivati sono situati negli
Stati Uniti (per esempio il CBOT, il CBOE, il CME, il NYMEX, il COMEX, il
CSCE, ed il NYCE), nell’Europa occidentale (per esempio il LIFFE, l’IPE, l’LME,
l’EUREX, ed il MATIF), e nell’area del Pacifico (per esempio il TIFFE, il SIMEX,
l’SFE, l’HKFE, e l’OSE). Oltre a queste, nuove Borse situate nei paesi emergenti
dovrebbero salire alla ribalta mondiale non appena le condizioni di liquidità dei
corrispondenti mercati a pronti lo permetteranno.
Nel passato, l’unica modalità di negoziazione era alle grida, ma, grazie ai
progressi dell’informatica, è iniziata alla fine degli anni ’80 una tendenza verso la
negoziazione telematica che va rimpiazzando il metodo alle grida. Da allora, tutte
le nuove Borse (per esempio l’EUREX) hanno adottato piattaforme di negoziazione
elettronica, e le Borse formatesi in precedenza hanno iniziato a studiare modi per
migliorare le loro negoziazioni alle grida rendendo disponibili strumenti di supporto
elettronico alla normale attività degli operatori. Alla fine, alcune Borse, quali il
MATIF, il LIFFE, il TIFFE, l’SFE, il SIMEX, l’HKFE, e l’OSE, sono passate
dalle grida alla negoziazione telematica. Nonostante ciò, le Borse statunitensi
hanno conservato testardamente i loro sistemi di transazione alle grida fino a poco
tempo fa, quando alcune Borse (per esempio il CBOT) hanno annunciato la loro
intenzione di trasformare i loro sistemi di negoziazione. Infatti, le Borse americane
hanno capito che le Borse completamente elettroniche, come l’EUREX, stanno
minacciando la loro leadership mondiale. Perciò, è probabile che nei prossimi
anni la negoziazione alle grida scomparirà completamente per essere sostituita da
sistemi automatizzati.
Un’altra significativa tendenza recente nei mercati dei derivati riguarda le al-
leanze (per esempio quella tra il CME, il MATIF, ed il SIMEX chiamata GLO-
BEX) e le potenziali fusioni (per esempio tra il CSCE ed il NYCE per dar vita
al NYBOT) tra le diverse Borse, creando così mercati sempre più liquidi capaci
Capitolo 1 - INTRODUZIONE 7
di attrarre nuovi investitori. Questo processo consente agli investitori di operare
virtualmente ad ogni ora, indipendentemente dal loro fuso di appartenenza, e di
usare qualsiasi prodotto derivato in grado di soddisfare i loro bisogni. Infatti,
queste alleanze sono generalmente costituite tra Borse situate in corrispondenza
di diversi fusi orari. Ciò genera la possibilità di operare 24 ore su 24 sull’intera
gamma di prodotti delle Borse partecipanti all’alleanza poiché queste connessioni
sono solitamente caratterizzate dalla mutualità: ogni Borsa offre non solo i propri
prodotti ma anche quelli delle Borse alleate.
Queste alleanze tra Borse possono essere viste come un parte del più ampio
fenomeno dell’ integrazione dei mercati internazionali, chiamata anche globaliz-
zazione. Ciò crea sfide ed opportunità per i mercati finanziari di oggi: un singolo
mercato nazionale non può più essere considerato a sé stante, ma bisogna prendere
in considerazione l’interazione tra i diversi mercati nazionali.
Per concludere questo paragrafo, è necessario rilevare che oggigiorno i derivati
sono strumenti indispensabili nei mercati finanziari. Tuttavia, data la loro natura
rischiosa, le istituzioni finanziarie che vogliono competere in questo mercato ne-
cessitano di metodi validi per determinare il prezzo dei diversi strumenti derivati;
l’incapacità a fare ciò potrebbe causarne il fallimento. Nei capitoli seguenti tratte-
remo la valutazione degli strumenti derivati. Restringeremo la nostra attenzione ai
modelli per la valutazione dei derivati su tassi d’interesse, sebbene l’importanza di
disporre di metodi di valutazione accurati riguardi anche altre aree come il mercato
dei derivati azionari o delle materie prime.
1.2 Obiettivo
Poiché nascono continuamente prodotti nuovi, la valutazione dei derivati su tassi
d’interesse è attualmente un soggetto ‘caldo’. Questi prodotti sono sempre più
complessi e rappresentano una sfida per la comunità finanziaria che ha bisogno
di valutarli e proteggersi contro le eventuali variazioni avverse dei loro corsi.
L’obiettivo di questo lavoro è investigare la meccanica della valutazione dei derivati
su tassi d’interesse, analizzare i diversi approcci e modelli che possono essere usati
per determinare il prezzo dei contingent claims e possibilmente fornire alcuni
commenti critici nell’ambito di una discussione generale.
1.3 Derivati su Tassi d’Interesse
Un derivato su tassi d’interesse è un prodotto derivato che fornisce un flusso fi-
nanziario determinato dall’evoluzione di un tasso d’interesse. Opzioni su tassi
d’interesse, contratti forwards,efutures sono piuttosto popolari, ma il derivato su
tassi d’interesse più ampiamente utilizzato è lo swap. Descriveremo brevemente i
8 VALUTAZIONE DEI DERIVATI SU TASSI D’INTERESSE
forward rate agreements (FRAs), opzioni su tassi d’interesse (che sono comune-
mente raggruppate in strumenti chiamati caps, floors,ecollars), così come swaps
su tassi d’interesse e opzioni su swaps su tassi d’interesse.
La popolarità di questi strumenti è aumentata per molte ragioni. Quasi tutte le
organizzazioni economiche devono fronteggiare un rischio di tasso; per esempio, un
gestore di patrimoni che detiene delle obbligazioni, un’azienda che vuole prendere
a prestito delle risorse finanziarie, o addirittura una famiglia che ha acceso un
mutuo, ognuno di essi deve fronteggiare un rischio di tasso d’interesse.
Un FRA è simile a un qualsiasi contratto forward,mailpay-off si basa su un
tasso d’interesse, piuttosto che sul prezzo di un valore mobiliare. Più precisamente,
un FRA è un contratto tra due parti nel quale una parte acconsente ad eseguire
un futuro pagamento di interessi ad un tasso fisso, e l’altra parte si impegna ad
corrispondere un interesse ad uno specifico tasso variabile quale, per esempio,
l’EURIBOR.
Le opzioni su tassi d’interesse sono come i FRAs, ma invece di essere un
impegno a ricevere un tasso d’interesse ed a pagarne un altro, esse forniscono il
diritto a ricevere un tasso d’interesse ed a pagarne un altro. Un’opzione call dà al
suo possessore il diritto a ricevere un interesse calcolato ad un tasso variabile in
cambio di un interesse calcolato ad uno specifico tasso fisso, mentre un opzione
put dà al suo possessore il diritto a ricevere un interesse calcolato ad un tasso fisso
in cambio di un interesse calcolato ad uno specifico tasso variabile.
Un cap su tassi d’interesse è costituito da una serie di opzioni call europee (di
diverse scadenze) su tassi d’interesse che corrispondono i loro pay-offs esattamente
alle date corrispondenti ai pagamenti degli interessi su di un prestito che è stato
acceso. Ogni singola opzione è chiamata caplet.Icaps sono strutturati per limi-
tare il costo di un prestito a tasso variabile con pagamenti di interessi frazionati
nel tempo (come per un mutuo). Lo strumento simmetrico è detto floor su tassi
d’interesse, ed è strutturato per proteggere il rendimento di un prestito a tasso va-
riabile con pagamenti di interessi frazionati nel tempo. I floors sono un portafoglio
di opzioni put europee su tassi d’interesse, ognuna delle quali è chiamata floorlet.
Una combinazione di una posizione lunga su un cap e una posizione corta su un
floor è chiamata collar su tassi d’interesse. È utilizzata per diminuire il costo di
un cap perché, mentre limita gli effetti di un aumento dei tassi d’interesse, cede
una parte dei benefici derivanti da una diminuzione dei tassi stessi. L’effetto netto
consiste nel fatto che questo tipo di strategia impone sia un limite inferiore sia un
limite superiore al costo degli interessi.
Uno swap su tassi d’interesse è un accordo tra due parti nel quale ognuna
esegue, a certe date predeterminate, una serie di pagamenti di interessi all’altra
a tassi diversi, dove almeno un insieme di pagamenti è determinato da un tasso
d’interesse variabile. Il tipo più comune di swap su tassi d’interesse è il cosiddetto
plain vanilla, nel quale un insieme di pagamenti è fisso e l’altro è variabile.
Una swaption è un’opzione con la quale il possessore acquisisce il diritto ad
entrare in uno swap sia come colui che corrisponde il tasso fisso, e riceve il tasso
Capitolo 1 - INTRODUZIONE 9
variabile, sia come colui che corrisponde il tasso variabile, e riceve il tasso fisso.
La prima è chiamata payer option mentre la seconda è detta receiver option.
1.4 Struttura del Lavoro
Questa tesi inizia col Capitolo 2 descrivendo i modelli tradizionali della struttura a
termine dei tassi d’interesse, detti anche modelli d’equilibrio, sviluppati da Vasicek
[60], Cox, Ingersoll, e Ross [21], e Longstaff e Schwartz [51]. Esamineremo le
ipotesi sottostanti a questi modelli e la loro capacità di replicare il mondo reale.
Mostreremo anche come questi modelli sono in grado di determinare il prezzo
di vari tipi di derivati su tassi d’interesse. Infine, si forniranno alcuni esempi
numerici.
Il Capitolo 3 tratta i modelli più moderni che ipotizzano l’assenza d’arbitrag-
gio. Esso inizia con un confronto tra questi modelli ed i modelli d’equilibrio,
concentrandosi sui diversi approcci seguiti per giustificare l’assenza di arbitrag-
gio: i primi adottano il contesto della misura equivalente di martingala sviluppato
da Harrison and Pliska [35]; i secondi usano l’approccio di Vasicek [60]. Succes-
sivamente, sono descritti altri modelli, in particolare i modelli di Ho e Lee [36],
di Black, Derman, e Toy [4], e di Hull e White [38] che sono tra i modelli più
utilizzati dagli operatori nel mondo reale. A ognuno seguono commenti critici allo
scopo di sottolinearne pregi e difetti.
Un problema serio inerente i modelli del tasso a breve considerati nei Capitoli
2 e 3 riguarda la funzione della volatilità delle variazioni dei rendimenti delle ob-
bligazioni senza cedola; infatti, è necessario assicurarsi che questi modelli portino
ad una funzione realistica. Il Capitolo 4 considera l’approccio generale di Heath,
Jarrow, e Morton [33], che sembra essere il più aderente alla realtà. Presenteremo
una breve storia di questo approccio per poi esplorarne la struttura. Mostreremo
come l’approccio di Heath, Jarrow, e Morton (HJM) sia limitato nella pratica,
almeno nella sua versione più generale, a causa delle sue eccessive esigenze di
calcolo.
Il Capitolo 5 illustra come si possono valutare i derivati all’interno dell’ap-
proccio HJM utilizzando il metodo di simulazione Monte Carlo. Ciò fornisce
una valida procedura numerica per determinare il prezzo dei vari strumenti deri-
vati, specialmente se si impiegano tecniche come la riduzione della varianza con
martingale che causa un considerevole miglioramento dell’efficienza del metodo
Monte Carlo. La seconda parte del capitolo è occupata un’indagine empirica del
mercato dei titoli di Stato italiani, ed esplora la possibilità di estendere il numero
dei fattori della volatilità nell’approccio HJM da uno a due o, possibilmente, tre.
Questa indagine utilizza l’analisi dei fattori applicata alla matrice di covarianza
delle variazione storiche dei rendimenti di titoli senza cedola.
Il Capitolo 6 contiene il riepilogo del lavoro ed un’ampia discussione dei
risultati. Infine, fornisce alcuni suggerimenti per ulteriori ricerche ed indagini.
10 VALUTAZIONE DEI DERIVATI SU TASSI D’INTERESSE
Le Appendici A, B, e C passano in rassegna le diverse procedure numeriche
impiegate per determinare il prezzo degli strumenti derivati. L’Appendice D mostra
i risultati numerici delle simulazioni condotte col metodo Monte Carlo descritte
nel Capitolo 5; l’Appendice E contiene le istruzioni nel linguaggio C++ usate per
eseguire le simulazioni di due casi particolari dell’approccio HJM; l’Appendice F
mostra l’insieme di dati utilizzati per svolgere l’analisi dei fattori e l’Appendice G
presenta la matrice di correlazione tra le variazioni dei rendimenti dei titoli privi
di cedole.
Capitolo 2
Modelli d’Equilibrio
In questo capitolo descriveremo alcuni modelli della struttura a termine dei tassi
d’interesse (yield curve)che sono generalmente chiamati ‘modelli d’equilibrio’,
nei quali la struttura dei tassi è fornita dal modello stesso. Questo tipo di modelli
cerca di spiegare l’intero sistema economico per mezzo di ipotesi relative ad alcune
variabili economiche. Solo successivamente essi ottengono il processo per il tasso a
breve (short rate), r(t), che è il tasso d’interesse applicabile solo per un brevissimo
periodo di tempo, iniziante al tempo t. Di solito r(t) è usato in molti modelli come
variabile guida dell’evoluzione dei tassi d’interesse nel tempo.
Dal processo per il tasso a breve è possibile ottenere la struttura temporale dei
tassi d’interesse. Non descriveremo tutti i modelli d’equilibrio in questo capitolo,
ma solo i modelli di Vasicek, di Cox, Ingersoll e Ross e di Longstaff e Schwartz
(in quest ultimo caso si vedrà che non è presente una solo fattore guida come
fonte di incertezza, ma se ne considerano due). Per ognuno di questi modelli
verrà fatta una breve introduzione. Un’analisi quantitativa sarà poi intrapresa per
mostrare la varietà di forme cha può assumere la struttura dei tassi all’interno di
ciascun modello, la dipendenza della forma della struttura a termine dei tassi dal
valore assunto dai diversi parametri del modello, la capacità dei diversi modelli di
generare i prezzi di obbligazioni prive di cedole (zero-coupon o discount bonds), di
titoli con cedole (coupon-bearing bonds), d’opzioni europee su titoli privi di cedole
e d’opzioni di tipo europeo su titoli con cedole. Al termine, saranno presentati
alcuni esempi numerici per dare concreta evidenza ai risultati teorici.
2.1 Introduzione ai Modelli d’Equilibrio
Per iniziare, presenteremo alcuni aspetti introduttivi relativi alla struttura a termine
dei tassi d’interesse. Nel tempo, i tassi d’interesse non sono gli stessi per inve-
stimenti con diverse scadenze; l’insieme di questi tassi diversi forma ciò che è
chiamata struttura a termine dei tassi d’interesse o curva dei rendimenti. Questo
concetto può essere rappresentato in diversi modi: è possibile farlo, per esem-
11
12 VALUTAZIONE DEI DERIVATI SU TASSI D’INTERESSE
pio, per mezzo dei prezzi di titoli obbligazionari privi di cedole o dei rendimenti
di questi titoli (il cosiddetto tasso a pronti, in inglese spot rate, che è un tasso
composto associato al prezzo del titolo privo di cedole).
Più precisamente, sia P (t, T ) il prezzo, al tempo t, di un titolo privo di cedole
che scade al tempo T, con t≤T e P (T,T) = 1. Inoltre, sia R(t, T ) il rendimento
a scadenza, al tempo t, del titolo senza cedole. Tra il prezzo dell’obbligazione ed
il rendimento a scadenza, detto anche tasso a pronti, esiste la seguente relazione:
P (t, T)=e
−R(t,T )(T−t)
(2.1)
e
R(t, T)=−
1
(T − t)
ln [P (t, T )]. (2.2)
Vi è, tuttavia, un’altra variabile fondamentale a cui prestare attenzione: il tas-
so a breve, r(t), può essere pensato come l’intensità istantanea d’interesse di
un’obbligazione alla scadenza. In simboli si ha:
r(t) = lim
T→t
R(t, T ). (2.3)
La (2.3) permette di passare da un ambiente certo ad uno aleatorio: la cosa ‘più
naturale’ è pensare ad r(·) come ad un tasso istantaneo certo fino a t, che si evolve
in modo aleatorio da T in poi. Il tasso r(t) è dunque una variabile aleatoria.
Essendo approdati ad un ‘nuovo’ mondo dove il futuro è incerto e nel quale tutti
gli investitori sono neutrali verso il rischio, è necessario modificare le formule di
cui sopra per adattarle al nuovo ambiente operativo. Così facendo, è possibile
esprimere il valore di un titolo privo di cedole per mezzo del tasso a breve:
P (t, T)=
ˆ
E
[
e
−
∫
T
t
r(t)dt
]
. (2.4)
La conseguente espressione per il tasso a pronti è:
R(t, T)=−
1
(T − t)
ln
{
ˆ
E
[
e
−
∫
T
t
r(t)dt
]
}
. (2.5)
In entrambe queste equazioni, Ê rappresenta l’operatore valore atteso in un mondo
neutrale verso il rischio. Perciò l’evoluzione del tasso a breve ci permette di
conoscere la curva dei rendimenti attraverso l’equazione (2.5).
Ad ognuno di questi tassi, o prezzi, è possibile associare una volatilità. La
volatilità misura l’incertezza (variabilità) collegata all’evoluzione di una data va-
riabile aleatoria e viene calcolata sulle variazioni che questa variabile subisce col
passare del tempo. Ciò che così si ottiene è la varianza della quale si calcola
la radice quadrata per giungere alla volatilità che altro non è che la deviazione
standard di una variabile aleatoria. La funzione che descrive queste volatilità è
detta struttura a termine delle volatilità dei tassi d’interesse. Comunemente la
Capitolo 2 - MODELLI D’EQUILIBRIO 13
volatilità del tasso a pronti viene indicata da σ
R
(t, T ). Una procedura per la stima
della volatilità da dati storici verrà presentata in dettaglio nel Capitolo 5.
I modelli che saranno esplorati definiscono un processo neutrale al rischio
per r(t) in modo che si possa ottenere la struttura a termine dei tassi d’interesse
allo scopo di determinare il prezzo di obbligazioni o derivati su tassi d’interesse.
Inoltre, questi modelli consentono di avere soluzioni analitiche per i prezzi di certi
valori mobiliari come titoli privi di cedole, obbligazioni con cedole ed opzioni
europee scritte su questi tipi di titoli.
2.2 Modelli ad un Fattore
Questi modelli cercano di spiegare la struttura a termine dei tassi ipotizzando che
un solo fattore di incertezza influenzi la dinamica dei tassi d’interesse. Di solito
questo fattore è il tasso a breve, r(t), il cui processo di Itô assume questa forma
generica
dr = m(r(t))dt + σ(r(t))dz
dove sia il coefficiente di deriva (drift), m, sia la deviazione standard, σ, dipendono
da r(t) ma non esplicitamente dal tempo (sebbene r(t) stesso dipenda proprio dal
tempo). Il termine in dz è l’incremento in un processo di Wiener. Data questa
forma del processo per il tasso a breve ed ipotizzando che m e σ siano lineari in
r(t) la formula della volatilità del tasso a pronti ha la seguente struttura
σ
R
(t, T)=
σ(r(t))
(T − t)
B(t, T ) (2.6)
dove B(t, T ) è un parametro derivato dal modello specifico.
Nel resto di questo paragrafo presenteremo il modello di Vasicek e il modello
di Cox, Ingersoll e Ross conosciuto anche come CIR.
2.2.1 Il Modello di Vasicek
Nel modello sviluppato da Vasicek [60] il processo neutrale al rischio (rappre-
sentato da un’equazione differenziale stocastica o SDE) per r(t) è il cosiddetto
processo di Ornstein-Uhlenbeck che è Markoviano
1
:
dr = a(r¯ − r)dt + σdz (2.7)
dove r = r(t) è il livello del tasso a breve al tempo t. I parametri a, r¯ e σ
sono costanti ed una volta che i loro valori sono stati fissati, il modello riesce a
1
Un processo Markoviano è un processo stocastico in cui solo il valore corrente della variabile
aleatoria è rilevante per prevedere il futuro; la storia passata della variabile e il modo in cui si è
arrivati al presente dal passato sono irrilevanti.
14 VALUTAZIONE DEI DERIVATI SU TASSI D’INTERESSE
generare la struttura termine dei tassi d’interesse e delle volatilità. Il tasso di deriva
comprende il fenomeno del ‘ritorno verso la media’ (mean reversion): ciò significa
che il tasso a breve tende, col passare del tempo, ad un livello di lungo periodo, r¯.
Perciò, quando il livello del tasso a breve è più alto del livello di riferimento nel
lungo periodo, il fenomeno del ritorno verso la media causa una deriva negativa,
mentre quando il tasso a breve è minore del livello di lungo periodo, la mean
reversion fornisce una deriva positiva. Questo fenomeno, insieme all’influenza
del termine stocastico, rende l’evoluzione del processo non deterministica.
In questo modello, l’equazione (2.4) ci consente di ottenere la seguente espres-
sione per il prezzo al tempo t di un’obbligazione priva di cedole la quale paga 1
al tempo T:
P (t, T)=A(t, T )e
−B(t,T )r(t)
(2.8)
e utilizzando l’equazione (2.2) è possibile avere il tasso a pronti collegato a questo
prezzo:
R(t, T)=−
lnA(t, T )
(T − t)
+
B(t, T )r(t)
(T − t)
(2.9)
dove si può vedere che R(t, T ) dipende linearmente da r(t). Ciò implica che
il valore del tasso a breve r(t) determina la curva dei rendimenti al tempo t.
Questa osservazione sarà ulteriormente approfondita nel resto di questo capitolo
dove mostreremo le diverse forme della curva dei rendimenti che possono essere
prodotte dal modello di Vasicek e come queste variano a seconda dei valori assunti
dai parametri del modello. Le funzioni che compaiono nelle equazioni (2.8) e (2.9)
sono, rispettivamente:
B(t, T)=
1 − e
−a(T−t)
a
(2.10)
e
A(t, T)=exp
{
[B(t, T )− T + t](a
2
r¯ − σ
2
/2)
a
2
−
σ
2
B(t, T )
2
4a
}
. (2.11)
La volatilità del tasso a pronti è determinata dai due parametri σ e a:
σ
R
(t, T)=
σ
a(T − t)
[
1 − e
−a(T−t)
]
. (2.12)
Un ultimo aspetto da evidenziare riguarda il rendimento di lungo periodo implicato
dall’equazione (2.9). Tale rendimento è il rendimento al quale la struttura a termi-
ne dei tassi tende nel lungo periodo, cioè quando le scadenze dei titoli diventano
sempre più lontane nel tempo, prescindendo dai tassi d’interesse prevalenti (l’op-
posto vale per le scadenze più vicine, cioè i tassi prevalenti sul mercato dominano
i parametri del modello). La formula del tasso d’interesse a lungo termine (tasso
a pronti) è:
R(t,∞)=r¯ −
1
2
σ
2
a
2
(2.13)
Fino ad ora non si è parlato di derivati e, più precisamente, di opzioni su obbliga-
zioni. Il modello di Vasicek consente di ottenere formule analitiche per determinare
Capitolo 2 - MODELLI D’EQUILIBRIO 15
il prezzo di opzioni europee su titoli privi di cedole così come su titoli provvisti
di cedole (i quali possono essere interpretati come un portafoglio di titoli privi di
cedole di scadenze diverse) grazie al lavoro di Jamshidian [45].
Valutazione di Opzioni Europee su Obbligazioni Prive di Cedole
Il prezzo al tempo t di un’opzione call europea, c(t, T, s), che scade al tempo T ed
ha un prezzo di esercizio pari a K, su un titolo privo di cedole che scade al tempo
s, con s ≥ T e di valore nominale pari a L, è dato dalla formula seguente
c(t, T, s)=LP (t, s)N(h)−KP(t, T )N(h− σ
P
) (2.14)
dove
h =
1
σ
P
ln
[
LP (t, s)
P (t, T )K
]
+
σ
P
2
σ
P
=
v(t, T )(1− e
−a(s−T )
)
a
v(t, T)=
√
σ
2
(1 − e
−2a(T−t)
)
2a
.
e N(·) è il valore, implicato dal parametro (·), della distribuzione normale stan-
dardizzata.
Analogamente al caso dell’opzione di tipo call, è possibile valutare, nello stesso
modo, un’opzione di tipo put, p(t, T, s):
p(t, T, s)=KP(t, T )N(−h+ σ
P
)− LP (t, s)N(−h). (2.15)
Valutazione di Opzioni Europee su Obbligazione con Cedole
Per ottenere il prezzo di questo tipo di opzione, faremo riferimento ancora una
volta ai risultati raggiunti da Jamshidian. Secondo il suo approccio, il prezzo di
un’opzione su un’obbligazione con cedole viene scomposto in prezzi di opzioni su
titoli privi di cedole. Sia c
CB
(t, T, {s
i
}) il prezzo di un’opzione call europea con
prezzo d’esercizio K e scadenza T su un titolo che paga n cedole d’importo c
i
al
tempo s
i
dopo la scadenza dell’opzione (cioè s
i
≥ T ); la formula del prezzo di
quest’opzione è data da:
c
CB
(t, T, {s
i
})=
n
∑
i=1
c
i
c(t, T, s
i
,K
i
) (2.16)
dove K
i
= P (r
∗
,T,s
i
) è il prezzo d’esercizio dell’i-esima opzione su un titolo
privo di cedole, P (r
∗
,T,s
i
) è il prezzo dell’obbligazione priva di cedole che scade
al tempo s
i
a partire dal tempo T quando il tasso a breve è esattamente r
∗
in modo