Il concetto di infinito nella teoria assiomatica degli insiemi

Nel pensiero matematico l’infinito svolge un ruolo fondamentale. Una risposta chiara e definitiva alla domanda “che cosa è l’infinito matematico?” è stata dato solo a partire dalla seconda metà dell’Ottocento grazie alla teoria degli insiemi e all’opera dei suoi fondatori: Richard Dedekind e soprattutto Georg Cantor.
Il primo capitolo della tesi intende mostrare, attraverso un rapido percorso storico, come la teoria degli insiemi servendosi del rigore matematico sia arrivata a stravolgere il concetto di infinito fino a rovesciarne la nostra nozione intuitiva millenaria: si parte dalla definizione di infinito come mera negazione del finito, filosoficamente traducibile in una concezione potenziale dell’infinito che ne nega realtà e lo vede con diffidenza come causa di errori. Tale concezione è dovuta ai paradossi in cui si imbatterono matematici e filosofi sia dell’antica Grecia sia dell’epoca moderna. Nell’’800 invece Dedekind e Cantor compresero che i paradossi moderni, lungi dall’essere delle assurdità, evidenziavano la differenza tra finito e infinito, e li trasformarono in una nuova e rivoluzionaria definizione di infinito che permise di concepirlo in atto e di conferirgli una valenza positiva.
Nel secondo capitolo della tesi ci muoveremo all’interno della teoria assiomatica degli insiemi per illustrare una delle scoperte più sconvolgenti della storia della matematica, dovuta a Cantor: l’esistenza di infinti di grandezza diversa, che possono disporsi secondo una gerarchia crescente senza mai raggiungere un infinito assoluto più grande di tutti gli altri. Il risultato appare ancora più sorprendente se si considera che in molti casi due insiemi di cui uno sembra essere molto più “grosso” dell’altro sono in realtà dello stesso tipo di infinità.
L’ultimo capitolo, più tecnico, mostrerà da un lato come nella teoria assiomatica degli insiemi per poter avere degli insiemi infiniti si deve postularne l’esistenza (più precisamente si tratta di mostrare che l’assioma dell’infinito è indipendente dagli altri assiomi) dall’altro come solo l’infinito permetta di dimostrare alcune proprietà che riguardano esclusivamente il finito.