Avanzamenti nella Teoria dell' Ordinabilità di Spazi Tolopogici

Chapter 1 Storia dell’Ordinabilita` Illustriamo in questo capitolo i principali risultati ottenuti in questa teoria durante il secolo scorso. Saranno qui messi in luce i risultati ottenuti sull’ordinabilita` fino al 1975. Trattasi di un semplice background storico senza dimostrazioni. Diamo subito alcune definizioni fondamentali; ricordiamo prima che il derivato di un sot- toinsieme A di uno spazio topologico X e` l’insieme A′ di tutti i suoi punti di accumulazione. 1.1 Preliminari: relazioni d’ordine Siano X un insieme e < una relazione su X. Si dice che < e` un ordine lineare su X se sussistono le proprieta` seguenti: LO1 Se x < y e y < z, allora x < z. LO2 Se x < y, allora la relazione y < x non vale. LO3 Se x 6= y, allora si ha x < y oppure y < x. Un insieme X munito di un ordine lineare si dice un insieme linearmente ordi- nato1. Sia ora X insieme linearmente ordinato da < e sia Y insieme linearmente ordinato da <′. Si dice che una funzione f : X → Y conserva l’ordine se, per ogni coppia (x, y) ∈ X tale che sia x < y, risulta che f(x) <′ f(y). Se esiste una funzione f : X → Y che conserva un determinato ordine, allora gli insiemi l.o. X,Y si dicono simili. Si definisce elemento minimo di X l’elemento x0 tale che x0 < x per ogni x ∈ X \ x0. In modo analogo viene definito anche l’elemento massimo di X (ovviamente tali elementi possono anche non esistere). Una coppia (D,E) di sottoinsiemi di X tali che D ∪ E = X, D 6= ∅ 6= E, e x ∈ D, y ∈ E ⇒ x < y si dice un taglio di X. Allora l’insieme D prende il nome di sezione inferiore mentre l’insieme E 1Nel seguito, adotteremo l’abbreviazione l.o. 3