Avanzamenti nella Teoria dell' Ordinabilità di Spazi Tolopogici

CHAPTER 1. STORIA DELL’ORDINABILITA` 4
si chiama sezione superiore del taglio. Per ogni taglio di un insieme l.o. si puo`
avere solo uno dei casi seguenti:
i. La sezione inferiore possiede elemento massimo e la sezione superiore
possiede elemento minimo.
ii. La sezione inferiore possiede elemento massimo ma la sezione superiore
non possiede elemento minimo.
iii. La sezione inferiore non possiede elemento massimo ma la sezione superiore
possiede elemento minimo.
iv. La sezione inferiore non possiede elemento massimo e la sezione superiore
non possiede elemento minimo.
Quando vale la condizione (i.) si dice che il taglio e` un salto, mentre quando
vale la condizione (iv.) si dice che il taglio e` una lacuna. Ora l’insieme X si
dice densamente ordinato se e` privo di salti; se e` inoltre privo di lacune, esso si
dira` un insieme ordinato con continuita`. Si verifica facilmente che un insieme
X l.o. e` densamente ordinato se e solo se per ogni coppia (x, y) di elementi di
X tali che x < y, esiste un terzo elemento z ∈ Z tale che x < z < y, cioe` X
non possiede coppie di elementi consecutivi; X sara` ordinato con continuita` se
e solo se si ha inoltre che, per ogni sottoinsieme non vuoto X0 ⊂ X, l’insieme:
X˜ = {x ∈ X : a < x, ∀a ∈ X0 \ {x}}
o e` vuoto, oppure possiede un elemento minimo. Un insieme X l.o. risulta
simile a un sottoinsieme dell’insieme T di tutti i tagli di X che soddisfano risp.
alla (i.), (ii.), oppure (iv.) l.o. se vale:
(D1, E1) < (D2, E2) ⇐⇒ D1 ⊂ D2 & D1 6= D2.
Si mostra facilmente che T e` privo di lacune ed ordinato con continuita` se
X e` densamente ordinato. Un ordine lineare < in X si dice un buon ordine, e in
tal caso l’insieme X munito di < si dice ben ordinato, se la relazione d’ordine <
gode dell’ulteriore proprieta` (detta dell’elemento minimo): Ogni sottoinsieme
non vuoto di X possiede un elemento minimo. Ad esempio, ogni insieme di
numeri cardinali e` ben ordinato dalla relazione <.
Siano ora X un insieme e ≤ una relazione su X. Si dice che ≤ e` un ordine
in X se ≤ ha le seguenti proprieta`:
OR1 Se x ≤ y e y ≤ z, allora x ≤ z.
OR2 x ≤ x, per ogni x ∈ X.
OR3 Se x ≤ y e y ≤ x, allora x = y.
CHAPTER 1. STORIA DELL’ORDINABILITA` 5
Un insieme X munito di un ordine ≤ si chiama insieme ordinato. Va messo in
evidenza il fatto che due elementi x, y ∈ X possono essere non confrontabili: si
puo` cioe` presentare il caso che non si abbia ne´ x ≤ y ne´ y ≤ x; inoltre ogni
famiglia di insiemi e` ordinata dalla relazione di ⊂.
SeX e` linearmente ordinato da <, allora si definisce un ordine inX mediante
la posizione:
x ≤ y ⇐⇒ x < y ∨ x = y, ∀x, y ∈ X.
Pertanto, si puo` pensare un insieme l.o. come ad un insieme ordinato.
Sia ora (x, y) una coppia di elementi di un sottoinsieme A di un insieme X;
se per ogni tale coppia si ha che x ≤ y oppure y ≤ x, allora si ottiene un ordine
lineare in A mediante la posizione:
x < y ⇐⇒ x ≤ y & x 6= y.
Si dice allora che A e` un sottoinsieme linearmente ordinato di X (ordinato da
≤). Chiudiamo questa parte citando alcuni risultati rilevanti sull’ordinabilita`2.
1.1.1 Alcuni risultati sugli spazi ordinati
1. Consideriamo un insieme X linearmente ordinato da < che contenga almeno
due elementi. Per a, b ∈ X tali che a < b poniamo:
• (a, b) = {x ∈ X : a < x < b}
• (−∞, a) = {x ∈ X : x < a}
• (a,+∞) = {x ∈ X : a < x}.
Tali insiemi si chiameranno intervalli aperti di X. La famiglia B di tutti gli
intervalli apert di un insieme X l.o. e` una base per una topologia su X. La
famiglia B gode cioe` di queste proprieta`:
B1 Per ogni U1, U2 ∈ B e per ogni punto x ∈ U1 ∩ U2 esiste un aperto U ∈ B
tale che: x ∈ U ⊂ U1 ∩ U2.
B2 Per ogni x ∈ X esiste un aperto U ∈ B tale che x ∈ U .
Per topologia indotta su X dall’ordine lineare < si intende la topologia gener-
ata su X dalla base B. Uno spazio l.o. e` uno spazio la cui topologia puo` essere
indotta da un ordine lineare; inoltre si vede facilmente che ogni spazio l.o. e`
uno spazio T2.
2. Per ogni famiglia discreta {{xs}}s∈S di sottoinsiemi, consistenti di un unico
elemento, di uno spazio X l.o., esiste una famiglia {Us}s∈S di coppie di sottoin-
siemi aperti disgiunti di X tali che: xs ∈ Us, ∀s ∈ S.
3a. (Mansfield, 1957) Per ogni famiglia discreta {Fs}s∈S di sottoinsiemi chiusi
di uno spazio X l.o., esiste una famiglia {Us}s∈S di sottoinsiemi aperti disgiunti
2In letteratura si trovano anche gli aggettivi totalmente ordinato e parzialmente ordinato
in luogo di linearmente ordinato e di ordinato rispettivamente.
CHAPTER 1. STORIA DELL’ORDINABILITA` 6
di X tali che: Fs ⊂ Us, ∀s ∈ S.
3b. (Steen, 1970) Il precedente problema e` stato risolto da Steen osservando
che gli insiemi aperti definiti da:
Ws =
⋃
{(x, y) : x, y ∈ Fs &(x, y) ∩
⋃
s′ 6=s
Fs′ = ∅}
determinano una famiglia discreta ed inoltre si ha: Fs ∩ cl(
⋃
s′ 6=sWs′) = ∅. Si
nota inoltre il fatto che la famiglia di tutti i sottoinsiemi ad un solo elemento
dell’unione
⋃
s∈S(Fs \Ws) e` discreta, e si applica ora quanto visto in (2.).
4. (Birkhoff, 1940) Ogni spazio linearmente ordinato e` normale.
5. (Meyer, 1969) Ogni spazio sequenziale linearmente ordinato soddisfa al primo
assioma di numerabilita`.
1.2 L’ordinabilita` nel XX secolo
Definizioni Preliminari Un insieme A ⊂ X si dice denso in se´ se si ha
A ⊂ A′. Un insieme X si dice un insieme-Gδ se e` intersezione numerabile di
aperti. 
Uno spazio topologico si dice linearmente ordinabile se esiste un ordine lin-
eare sull’insieme di base tale che la topologia degli intervalli aperti coincida
con l’originale topologia dello spazio; uno spazio si dira` subordinabile se si puo`
immergere in uno spazio ordinabile. Uno dei piu` antichi esempi di tali spazi
topologici risale a Cantor il quale defin`ı la classe dei numeri cardinali, e nel
1883 postulo` l’esistenza dell’ordinale ω0. Sviluppo` inoltre la teoria dei numeri
ordinali, da cui si convinse del fatto che ogni insieme puo` essere ben ordinato.
Nel 1897 mostro` che un insieme numerabile e linearmente ordinato, densamente
ordinato e privo di punti finali e` isomorfo a Q. Questo risultato fu generaliz-
zato nel 1914 da Hausdorff mostrando che due insiemi linearmente ordinati di
cardinale regolare α sono tra loro isomorfi se in ognuno di essi ogni segmento
iniziale ha cofinalita` α, oppure se il suo complementare ha coinizialita` α.
Il primo significativo teorema di ordinabilita` fu presentato nel 1905 da O.
Veblen: mediante la definizione di arco semplice (ente ottenuto combinando i
concetti di insieme ordinato e di spazio topologico) egli mostro` che ogni con-
tinuo3 metrizzabile avente esattamente due punti di non taglio e` omeomorfo
all’intervallo unitario [0, 1].
Nel 1909 R. Baire dimostro` che i numeri irrazionali sono omeomorfi al
prodotto cartesiano NN mediante l’idea di convergenza di successioni e il fatto
(noto fin dal XIX secolo) che gli irrazionali dell’intervallo (0, 1) si possono rap-
presentare grazie a una famiglia di infinite frazioni continue le quali sono in bi-
iezione con l’insieme delle successioni infinite di Z+. Nel frattempo, M. Fre´chet
3Un continuo e` uno spazio topologico compatto e connesso.
CHAPTER 1. STORIA DELL’ORDINABILITA` 7
stava lavorando sugli spazi metrici e, nel 1910, concluse che ogni spazio metrico
numerabile e` omeomorfo a un sottoinsieme A ⊂ Q.
Uno spazio puntiforme e` uno spazio topologico privo di continui non de-
generi; pertanto, ogni spazio totalmente disconnesso e` puntiforme, e un sottoin-
sieme S ⊂ R e` puntiforme se e solo se e` 0-dimensionale. Esistono tuttavia spazi
puntiformi connessi.
Nel 1917 S. Mazurkiewicz, sfruttando un’idea di Baire su una serie di decom-
posizioni chiusaperte4 degli irrazionali, dimostro` che un sottoinsieme Gδ denso
e puntiforme di un intervallo non degenere di R e` omemomorfo all’insieme dei
numeri irrazionali contenuti nell’aperto (0, 1).
Nel 1920 W. Sierpin´ski perfeziono` il risultato ottenuto da Fre´chet provando
che ogni spazio metrico numerabile e denso in se´ e` omeomorfo a Q.
Inoltre, in collaborazione con Mazurkiewicz, nello stesso anno egli dimostro` che
(i.) ogni spazio metrico compatto e numerabile P e` omeomorfo a un insieme ben
ordinato e che (ii.) se P (α) e` l’ultimo insieme derivato non vuoto di P e P (α)
ha cardinalita` n, allora P e` omeomorfo a un insieme di tipo ordinale (ωα×n)+1.
Nel 1921 lo stesso Sierpin´ski mostro` che uno spazio metrico puntiforme sep-
arabile e` subordinabile se e solo se e` 0-dimensionale; in base a questo si puo`
riformulare la caratterizzazione degli irrazionali di Mazurkiewicz come segue:
un insieme Gδ che sia denso e co-denso in uno spazio separabile, 0-dimensionale
e completamente metrizzabile. Un’altra caratterizzazione degli irrazionali venne
data nel 1928 da Alexandroff e da Urysohn sfruttando le frazioni continue.
Essi definirono gli irrazionali come uno spazio metrico completo, separabile,
0-dimensionale e privo di aperti compatti non vuoti. A tale risultato pervenne
anche Hausdorff nel 1937 sfruttando i risultati di Baire: e` interessante notare
come essi fossero soliti ottenere stessi risultati per vie diverse. Ad esempio en-
trambi verificarono che l’ipotesi del continuo vale per la classe degli insiemi di
Borel su R, e che ogni spazio compatto metrizzabile non vuoto e` immagine con-
tinua dell’insieme di Cantor.
L. W. Cohen enuncio` nel 1929 un suo teorema sull’ordinabilita`:
Teorema di ordinabilita` (Cantor, 1929) 1.2.1 Sia X uno spazio metrico
separabile. Allora X e` subordinabile se e solo se:
1. Ogni componente di X e` ordinabile.
2. L’insieme dei punti di taglio di ogni componente di X e` aperto.
3. X e` diskontinuierlich: ogni punto di X possiede una base di intorni ogni
elemento della quale e` clopen relativamente al complementare della com-
ponente del punto stesso.
4Nel seguito adotteremo l’aggettivo inglese clopen, closed-open.
CHAPTER 1. STORIA DELL’ORDINABILITA` 8
Nel 1936 A. J. Ward dimostro` che se uno spazio metrico X e` separabile, con-
nesso, localmente connesso, e se X \ {p} conta esattamente due componenti per
ogni p ∈ X, allora X e` omeomorfo a R. Tale risultato fu perfezionato nel 1970
da P. Franklin e G. V. Krishnarao, i quali mostrarono che se X e` invece regolare
(ma non Hausdorff), allora il teorema continua a valere.
Uno spazio si dice debolmente ordinabile se sui suoi elementi esiste un ordine
lineare tale che la sua topologia originale risulti piu` fine rispetto alla topologia
degli intervalli aperti. Nel 1941 Eilenberg mostro` che uno spazio connesso X e`
debolmente ordinabile se e solo se il complementare della diagonale X × X e`
sconnesso. Tale condizione e` anche necessaria e sufficiente per l’ordinabilita` di
spazi connessi e localmente connessi. Egli mostro` inoltre che uno spazio con-
nesso, debolmente ordinabile e non degenere e` munito esattamente due ordini
compatibili, uno l’inverso dell’altro.
Affrontando questo problema da un altro punto di vista, E. Michael dimostro`
nel 1951 che uno spazio X connesso e di Hausdorff e` debolmente ordinabile se e
solo se esiste una funzione continua (detta una Selezione5) f : C(X) → X, dove
C(X) rappresenta lo spazio di tutti i sottoinsiemi compatti non vuoti di X mu-
niti della topologia di Vietoris e f(A) ∈ A, per ogni A ∈ C(X). Dunque, in base
a questo, se X e` anche localmente connesso, allora X e` debolmente ordinabile
se e solo se X e` ordinabile.
Uno spazio si dice non archimedeo (definizione coniata da D. Kurepa) se
e` T1 e se possiede una base avente la proprieta` per cui due qualsiasi elementi
sono o disgiunti oppure confrontabili mediante l’inclusione. Un tale spazio e`
sempre subordinabile; inoltre P. Papic´ nella sua dissertazione del 1953 mostro`
che uno spazio non archimedeo e` ordinabile se e solo se esso possiede una base
“ad albero” B tale che, per ogni altra base B′ ⊂ B, se ⋂B′ e` un aperto compatto
non vuoto, allora
⋂
B′ ∈ B′. Egli, in collaborazione col suo relatore Kurepa,
dimostro` anche il seguente:
Teorema di ordinabilita` (Papic´-Kurepa, 1953) 1.2.2 Sia X spazio topo-
logico. Allora:
1. Se l’unione di tutti gli aperti compatti di uno spazio non archimedeo X e`
un sottoinsieme di chiusi, allora X e` ordinabile.
2. Se X e` non archimedeo e metrizzabile, X e` ordinabile.
Nel 1956 De Groot mostro` che uno spazio metrizzabile X e` non archimedeo se
e solo se Ind(X) = 0. In base a questo possiamo concludere che uno spazio
metrizzabile totalmente disconnesso X e` ordinabile se e solo se Ind(X) = 0 (allo
stesso risultato giunse indipendentemente anche H. Herrlich nel 1965).
5Vedi Cap. 2
CHAPTER 1. STORIA DELL’ORDINABILITA` 9
Uno spazio T1 si dice linearmente uniformizzabile se e` possibile ricavare
la sua topologia da una base per una uniformita` che sia linearmente ordinata
dall’inclusione inversa. Kurepa mostro` inoltre che uno spazio linearmente uni-
formizzabile e non metrizzabile e` ordinabile se e` denso in se´.
Nel 1954 L. Gillman e M. Henriksen dimostrarono che la realcompattifi-
cazione di Hewitt di uno spazio ordinabile X, privo di una successione discreta
monotona transfinita di cardinalita` misurabile, e` subordinabile. In realta`, tale
teorema continua a valere anche se X e` solo subordinabile.
Si dice che uno spazio X e` ordinato generalizzato se sui suoi elementi esiste
un ordine lineare tale che la topologia originale su X sia piu` fine rispetto alla
topologia degli intervalli aperti, e ognuno dei suoi punti possiede una base locale
costituita da intervalli. Questa classe di spazi ordinabili fu introdotta da Cˇech,
il quale mostro` che essa coincide con la classe degli spazi subordinabili. Secondo
la denominazione introdotta in seguito da D. J. Lutzer, uno spazio topologico
munito di un ordine lineare che soddisfi a tale definizione di Cˇech viene chiam-
ato spazio GO6.
Nel 1961 H. J. Kowalsky dimostro` che uno spazio connesso X e` ordinabile se
e solo se X e` uno spazio T1 localmente connesso, e se per ogni terna di sottoin-
siemi distinti, connessi e propri di X due di essi non ricoprono X. In seguito
Zaremba-Szczepkowicz osservarono inoltre che uno spazio T1 e` debolmente or-
dinabile se e solo se in ogni terna di suoi punti ne esiste uno che separa gli altri
due (e se lo spazio e` anche localmente connesso, allora e` ordinabile).
Un ordine lineare su un insieme si dice denso se tra ogni due distinti elementi
ne esiste un terzo; ogni ordine compatibile su uno spazio connesso ordinabile e`
denso. Uno spazio uniforme X si dice totalmente limitato (oppure precompatto)
se per ogni entourage D di X esiste un sottoinsieme finito S ⊂ X tale che
D(S) = X. Nel 1961 Banaschewski mostro` che uno spazio uniforme totalmente
limitato (X,U) possiede un ordine denso compatibile se e solo se U contiene una
base V tale che:
i. Se V ∈ V e se V n+1 = (V n ◦ V ), ∀n > 0 allora ⋃{V n : n > 0} = X ×X.
ii. Se x, y ∈ X e se esistono due successioni x = x0, . . . , xn = y e y =
y0, . . . , yn = x in X tali che, per taluni insiemi V0, . . . , Vn ∈ V, si ha che
gli insiemi Vi(xi)∩Vi+1(xi+1), Vi(yi)∩Vi+1(yi+1) sono entrambi non vuoti
per i = 0, . . . , n− 1, allora Vj(xj) ∩ Vj(yj) e` non vuoto, per qualche j.
Nel 1962 I. L. Lynn perfeziono` il lavoro di Sierpin´ski mostrando che ogni spazio
metrico, separabile e 0-dimensionale e` ordinabile, mentre H. Herrlich mostro`
che uno spazio metrico totalmente disconnesso e` ordinabile se e solo se e` forte-
mente 0-dimensionale (i.e. Ind=0, ma questo risultato e` gia` implicato dai lavori
6Vedi Cap. 3
CHAPTER 1. STORIA DELL’ORDINABILITA` 10
di De Groot-Kurepa-Papic´). Herrlich tuttavia caratterizzo` gli spazi ordinabili
connessi come spazi randendlich7 T1 localmente connessi. Inoltre egli noto` che
la dimostrazione data da Cohen circa la caratterizzazione di spazi metrici sub-
ordinabili era errata. Infatti nel 1968 egli sostitu`ı la condizione che ogni com-
ponente di X avesse una base di intorni clopen col fatto che X dovesse essere
diskontinuierlich. Tali due condizioni inoltre sono equivalenti se X e` uno spazio
T2 le cui componenti possiedono tutte un numero finito di punti di frontiera.
Nel 1969 Lutzer mostro` inoltre che uno spazio ordinabile e` metrizzabile se
e solo se possiede una diagonale Gδ: dunque, uno spazio subordinabile non
metrizzabile e` non ordinabile se possiede una diagonale Gδ. Questo ultimo
risultato
Nel 1970 M. Venkataraman, M. Rajagopalan e T. Soundararajan presen-
tarono una condizione necessaria nella la compattificazione di Stone-Cˇech di
uno spazio di Tychonoff: affinche` X sia ordinabile esso deve essere normale
e numerabilmente compatto. Una condizione necessaria e sufficiente per tale
risultato venne fornita da S. Purisch nel 1971: basta cambiare la condizione di
normalita` con la condizione di subordinabilita`.
Nel 1973 venne inoltre dimostrato che (i.) un gruppo topologico totalmente
disconnesso, dotato di un elemento identita` Gδ, e` ordinabile se e solo se e` metriz-
zabile e fortemente 0-dimensionale; inoltre che (ii.) un gruppo topologico non
totalmente disconnesso e` ordinabile se e solo se contiene un sottogruppo nor-
male aperto, isomorfo a R come gruppo additivo munito della topologia usuale
(e dunque l’intero gruppo risulta metrizzabile).
J. W. Baker nel 1972 caratterizzo` gli spazi ordinali compatti. Sia X(α) il
derivato α-esimo di X, e sia λ e` il piu` piccolo ordinale α tale che lo spazio
X(α) sia finito e n = |X(α)|, allora la coppia (λ, n) si dice la caratteristica di
X. Ora uno spazio topologico di dice sparso se e` privo di sottoinsiemi densi in
se´. Baker allora defin`ı uno spazio X che gode della proprieta` (D) per cui ogni
x ∈ X possiede una base di intorni consistente di una successione descrescente
(meglio se transfinita) {Uα : α < λ} di insiemi clopen, con l’ulteriore proprieta`
che, per ogni ordinale limite β con β < λ, ⋂{Uα : α < β} \ Uβ contiene al piu`
un solo punto. Si mostro` inoltre che uno spazio di Hausdorff, compatto e sparso
di caratteristica (λ, n) e` omeomorfo a (ωλ × n) + 1.
Inoltre, nel 1972 D. Jakel, M. Rajagopalan e T. Soundararajan caratteriz-
zarono gli spazi omeomorfi allo spazio ordinale compatto ω1 + 1.
Teorema (Jakel-Rajagopalan-Soundararajan, 1972) 1.2.3 Sia X spazio
di Hausdorff compatto; allora X e` omeomorfo a ω1 + 1 se e solo se:
1. |X| = ℵ1.
7Uno spazio e` randendlich se ogni suo sottospazio connesso possiede al massimo due punti
di non taglio.
CHAPTER 1. STORIA DELL’ORDINABILITA` 11
2. X possiede un unico P-punto8 x0.
3. X \ {x0} si puo` esprimere come unione
⋃
{Aα : α ∈ A}, dove Aα e` un
aperto compatto tale che, se α, β ∈ A, allora o Aα ⊂ Aβ oppure Aβ ⊂ Aα.
4. Ogni Aα del pto (3.) e` numerabile e
⋃
{Aα : Aα ⊂ Aα′ , α, α′ ∈ A}
possiede al piu` un solo altro punto nella sua chiusura.
Nello stesso anno De Groot e P. S. Schnare mostrarono che uno spazio com-
patto T1 e` ordinabile se e solo se esso e` munito di una prebase aperta S che
sia unione di due famiglie di insiemi, ciascuno di essi contenuto dentro un altro
(dall’inglese “nest”), tali che ogni ricoprimento dello spazio formato da elementi
di S ammetta un sottoricoprimento formato da due elementi.
Nel 1973 J. Van Dalen e E. Wattel diedero una completa caratterizzazione
topologica di spazi ordinabili e subordinabili, usando l’idea di sottobase di De
Groot e Schnare. Essi stabilirono che (i.) uno spazio T1 e` subordinabile se e solo
se ammette una sottobase aperta, unione di due nests, e che (ii.) uno spazio T1
e` ordinabile se e solo se ammette una sottobase aperta S tale che:
1. S e` unione di due nests.
2. Se S0 ∈ S e S0 =
⋂
{S : S0 ⊂ S, S ∈ S \ {S0}}, allora S0 =
⋃
{S : S ⊂
S0, S ∈ S \ {S0}}.
In base a questo risultato, ogni ordine su X spazio T1 induce un’unica sottobase
massimale che soddisfi alla (1), e viceversa. A questo risultato giunse anche E.
Dea´k (1974) in modo indipendente. Dea´k conio` inotre il concetto di direzione di
un insieme X: trattasi di una famiglia di coppie ordinate (G,F ) con G ⊂ F ⊂ X
tali che l’insieme di tutti questi G’s e degli (X \ F )’s formino due reti che sod-
disfino alle (1) e (2) di cui sopra. Tuttavia e` tuttora un problema aperto il fatto
di determinare una caratterizzazione topologica degli spazi (compatti) ordinabili,
che non induca un particolare ordine su di uno spazio.
Nello stesso anno Purisch caratterizzo` la subordinabilita` di spazi metrici:
Teorema di ordinabilita` I (Purisch, 1973) 1.2.4 Sia X spazio metrico; X
e` subordinabile se e solo se:
1. Ogni componente di X e` ordinabile.
2. L’insieme dei punti di taglio di ogni componente di X e` aperto.
3. Ogni sottoinsieme chiuso di X, che sia formato da un’unione di compo-
nenti, possiede una base di intorni clopen.
In uno spazio X, denotiamo con Q l’unione di tutte le componenti non degeneri
i cui punti di non taglio possiedano intorni non compatti. Purisch diede allora
le condizioni per l’ordinabilita` di spazi metrici.
8Punto per cui un’intersezione numerabile di intorni e` un intorno.
CHAPTER 1. STORIA DELL’ORDINABILITA` 12
Teorema di ordinabilita` II (Purisch, 1973) 1.2.5 Uno spazio metrico X
e` ordinabile se e solo se:
1. X e` subordinabile.
2. X \Q non e` un sottoinsieme aperto compatto e proprio di X.
3. Se W e` un intorno di p ∈ X e K e` la componente in X contenente p tale
che (W \K) \Q abbia chiusura compatta e che:
cl((W \K) \Q)
⋂
cl((W \K) ∩Q) = {p}
allora K e` un singoletto.
In seguito a questo risultato, lo stesso Purisch presento` la congettura secondo
cui ordinabilita` fosse equivalente a normalita` monotona per spazi separabili,
compatti e totalmente disconnessi. Un controesempio a cio` fu dato solo nel
1990 dallo stesso autore.
Nel 1975 G. Gruenhage e A. H. Schoenfeld presentarono una caratteriz-
zazione dell’insieme di Cantor come spazio metrico compatto munito, a meno
di omeomorfismi, di soli due sottoinsiemi aperti non vuoti (i.e. a diversita` 2).
Questo risultato alimento` la ricerca negli spazi a diversita` 1 e negli spazi com-
patti non metrizzabili a diversita` 2.
Concludiamo questa panoramica sull’ordinabilita` citando l’estensione dei
risultati ottenuti da Soundararajan e collaboratori sui gruppi topologici da parte
di P. J. Nyikos e H. C. Reichel. Essi mostrarono che un gruppo topologico non
metrizzabile e` ordinabile se e solo se il suo elemento identita` possiede una base
locale clopen linearmente ordinata, da cui l’importante risultato che un gruppo
topologico e` ordinabile se e solo se e` linearmente uniformizzabile.
Chapter 2
Topologie su Spazi di
Sottoinsiemi
Questo capitolo e` strutturato in due parti: inizieremo dapprima a studiare i vari tipi
di topologie che si possono avere su famiglie di sottoinsiemi chiusi non vuoti, poi
sfrutteremo questi risultati per lo studio di funzioni multivalore e dell’ordinamento
lineare di spazi topologici.
Nota Nel seguito denoteremo con 2X la famiglia di tutti i sottoinsiemi chiusi
non vuoti di uno spazio topologico X. Hausdorff per primo si occupo`
della questione di definire una topologia su spazi di sottoinsiemi: nel caso
di spazi metrici limitati egli defin`ı una isometria:
i : X → 2X
x 7→ {x}.
Vogliamo estendere il risultato a spazi qualsiasi: a tal scopo assumiamo
che X sia T1. Si dice ora che una (topologia/struttura uniforme/metrica)
su 2X e` ammissibile rispetto alla (topologia/struttura uniforme/metrica)
su X se la funzione i e` rispettivamente (omeomorfismo/isomorfismo uni-
forme/isometria). Ora possiamo dare una topologia a 2X , per X generico.
2.1 Topologie su 2X
Sia (X,U) uno spazio uniforme di insieme indice A. Per ogni famiglia di insiemi
E ∈ 2X , poniamo Bα = 〈Vα(x)〉x∈E , dove:
〈Vi〉 = {E ∈ 2X : E ⊂
⋃
i
Ui, E ∩ Ui 6= ∅, ∀i}.
Ora definiamo la struttura uniforme 2U su 2X come la struttura generata da A
e dalla famiglia Bα(E) e chiamiamo |2U | la topologia uniforme.
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