Metodi variazionali

INTRODUZIONE Breve nota storica sugli spazi funzionali. È ben noto che Cauchy (1789-1857) aveva limitato la definizione dell’integrale alle funzioni continue o al massimo a quelle con un numero finito di punti di discontinuità. Successivamente, in particolare grazie a Riemann (1826-1866), la teoria dell’integrazione fu estesa a funzioni più generali, anche con infiniti punti di discontinuità. Il quadro cambiò radicalmente con la teoria di Lebesgue (1875-1941), nella quale le funzioni continue svolgevano un ruolo marginale. Nel frattempo, si ricorda, vennero introdotti e studiati spazi funzionali nei quali la continuità giocava un ruolo minore se non nullo: le funzioni a variazione limitata, le funzioni assolutamente continue. In questo contesto, occupavano un posto di rilievo gli spazi pL la cui importanza andava sempre crescendo via via che se ne scopriva l’estrema versatilità nelle applicazioni sino quasi a rimpiazzare il posto tradizionalmente occupato dalle funzioni continue. Una trasformazione analoga l’avevano subita gli spazi m# che venivano sostituiti in molte applicazioni dagli spazi pmH , e pmW , cioè gli spazi con derivata in pL . Già considerati nei loro lavori da Beppo Levi (1875-1961) e Tonelli, questi spazi vennero poi studiati a fondo da Morrey e da Sobolev. Questi spazi sono proprio alla base delle teorie moderne del calcolo delle variazioni e delle equazioni alle derivate parziali. Si passa, ora, ad illustrare il contenuto della presente tesi. Nel capitolo 1, dedicato alla minimizzazione dei funzionali convessi, si fa una introduzione al capitolo, mediante un primo esempio di tipo variazionale cui verrà associata la disuguaglianza variazionale relativa. In questo esempio si studia la posizione e configurazione assunta da un filo elastico a contatto con un corpo non ponderabile. Questo esempio ci fa capire quanto sia