Estensioni di Galois Infinite e Gruppi Profiniti

Teoria di Galois per estensioni di campi di grado infinito. Gruppi profiniti come gruppi di Galois.

Questo lavoro nasce con l'intento di essere la prosecuzione del percorso intrapreso durante il corso di teoria di Galois che si tiene presso l'università di Padova. Mi sembra quindi opportuno mostrare ai lettori il panorama che stavamo osservando al termine del corso dopo averne brevemente ricordato la strada.
Il primo passo era stato lo studio degli zeri di un polinomio f a coefficenti in un dato campo F .
Ci interessava capire se f avesse o meno zeri multipli e vedere dove si trovassero. Contemporaneamente ci occupavamo di capire come fossero fatti gli automorfsmi di un'estensione E di F che ristretti ad F fossero l'identità.
La strada era poi proseguita verso la comprensione della struttura dei gruppi di Galois poichè grazie alla corrispondenza sopra citata, tale comprensione ci avrebbe permesso di descrivere l'estensione. Il secondo importante risultato era stato quindi capire che ogni gruppo di Galois è isomorfo a un sottogruppo di Sn o proprio a Sn (gruppo delle permutazioni di n elementi) quando E è il campo di spezzamento di nu polinomio di grado n a radici semplici.
Ecco, per quanto si possa descrivere un panorama, questo è quello che avevamo di fronte prima di iniziare lo studio raccolto in queste pagine. A partire da esso proviamo ora a spiegare verso quale direzione ci siamo mossi. La direzione è quella indicata dalla seguente domanda: cosa succede quando ci troviamo di fronte ad una estensione che sia algebrica, normale e separabile, quindi di Galois, ma non sia necessariamente finita? In particolare esiste ancora una corrispondenza come nel caso finito? Chi sono i gruppi di Galois di tali estensioni?