Cubiche singolari e non singolari

In questa tesi si è interessati alla classificazione delle cubiche del piano proiettivo complesso, cioè di curve algebriche proiettive rappresentate da polinomi omogenei di grado 3 a coefficienti nel campo complesso. Si mostra inoltre che le cubiche piane singolari irriducibili, cioè quelle per cui esiste esattamente un punto da cui esce più di una tangente alla cubica, si possono ottenere come proiezioni piane della cubica gobba dello spazio proiettivo complesso.
Si mostrerà che per le cubiche non singolari o liscie del piano proiettivo complesso, cioè quelle tali che in ogni punto la tangente è unica, esiste sempre una proiettività che le riconduce ad una cubica rappresentata da un polinomio contenente un parametro che varia nel campo complesso con la sola limitazione di non poter assumere i valori 0 oppure 1.
Si mostrerà poi che su questo tipo di cubiche si può definire una struttura di gruppo abeliano tramite un’operazione di somma definita in modo puramente geometrico.
Invece, le cubiche singolari irriducibili si possono ricondurre a due classi di equivalenza proiettive che raggruppano rispettivamente le cubiche con un nodo e le cubiche con una cuspide.
Si mostrerà inoltre che le cubiche singolari sono curve razionali. La cubica gobba dello spazio proiettivo complesso è una cubica non contenuta in un piano che può essere espressa in forma parametrica. Focalizzando l’attenzione sulle sue proiezioni piane, si distingueranno quelle di centro un punto della cubica e quelle di centro un punto fuori di essa. L’idea fondamentale è che non si ottiene mai una cubica singolare liscia perchè non esiste una parametrizzazione razionale di quest’ultima, mentre la conica non degenere, la cubica singolare e la cubica gobba sono curve razionali.