Il problema dello scostamento minimo e della retrazione ottimale

2 Introduzione Le origini del Teorema del punto fisso di Brouwer risalgono al 1912. Tuttavia gli storici della matematica e specialisti interessati hanno constatato che le idee principali, alla base di tale teorema, si conoscevano anche prima che Brouwer annunciasse il suo risultato: si ritiene infatti che tale risultato fosse già noto a Poincaré. Esistono diversi teoremi equivalenti al Teorema di Brouwer e, nel primo capitolo, ne incontreremo due: il Teorema di non retrazione ed il Teorema di non contraibilità delle sfere. Il primo afferma che se X è uno spazio di Banach finito dimensionale, allora la sfera S non è una retrazione della palla B , mentre il secondo asserisce che S non è contraibile. Se X è invece uno spazio di Banach infinito dimensionale i teoremi appena citati subiscono delle variazioni; in particolare dimostreremo che esiste una retrazione lipshitziana della palla unitaria nella sfera unitaria. Anche in uno spazio di Hilbert infinito dimensionale esiste una retrazione lipschitziana della palla unitaria nella sfera unitaria e noi ne presenteremo la costruzione. Nel primo capitolo tratteremo inoltre il concetto di scostamento minimo di un operatore, introdotto per la prima volta nel 1973 da Goebel , il quale ha osservato che quando si utilizzano i punti fissi di una mappa K K T  : , con K sottospazio di uno spazio di Banach X infinito dimensionale, si usa spesso la quantità:   K x Tx x T d    : inf ) ( che viene chiamata appunto scostamento minimo di T. Dimostreremo, attraverso il Teorema di Lin e Sternfeld, che se K è non compatto, limitato, chiuso e convesso, allora esiste una mappa Lipschitziana K K T  : per la quale 0 ) (  T d . Al concetto di scostamento minimo di un operatore è legato quello di caratteristica dello scostamento minimo di uno sottospazio, definita come:  , : : ) ( sup ) ( K K T T d k K     ) ( k T L  dove,   ana lipschitzi mappa K K T k K    k , : ) ( L . Quando B K  , la palla unitaria di X , ) (k B  verrà rinomato con ) (k X  . Se k k X 1 1 ) (    , lo spazio X è detto estremale. Vedremo che sono estremali gli spazi ] 1 , 0 [ 0 C , ) (R BC , ) ( 0 R BC , 0 c , ] 1 , 0 [ 1 L e ] 1 , 0 [ 1 C , non lo sono invece lo spazio 1  e gli spazi di Hilbert.