Valutazione di un'opzione call europea scritta su processi a salti

Nel 1973 Fischer Black e Myron Scholes pubblicarono un modello di valutazione analitica per un’opzione call europea scritta su di un titolo azionario la cui dinamica sia un moto browniano geometrico in un mercato completo dove manchi qualunque opportunità di arbitraggio. Ma il modello di Black & Scholes-Merton, a confronto con i dati reali raccolti negli anni, ha mostrato uno scarso potere descrittivo a causa della sua intrinseca incapacità di rappresentare le variazioni istantanee e finite che si osservano nelle serie storiche dei prezzi di un titolo rischiosoe che sembrano distribuite in modo casuale nonché indipendenti dal settore di appartenenza del titolo e dalla sua dinamica immediatamente precedente e successiva al salto. Queste osservazioni indussero, intorno alla metà degli anni 1970, Robert C. Merton ad un tentativo di estensione del modello di Black & Scholes aggiungendo, nell’equazione differenziale stocastica di diffusione del prezzo dell’azione, il prodotto , che rendesse conto dei suddetti salti, di una variabile aleatoria Y costante nel tempo con il differenziale di un processo di Poisson indipendente dal processo di Wiener, che conta i salti dell’azione tra gli istanti 0 e t; Y è indipendente dai processi di Wiener e di Poisson. La classe di processi stocastici che, mentre diffondono, presentano variazioni finite istantanee casualmente distribuite nel tempo ha orientato l’attenzione degli studiosi verso le generalizzazioni ai processi discontinui del calcolo stocastico originariamente concepito da Itō per le martingale.
Ma anche tali processi si sono rivelati poco congruenti con l’evoluzione reale dei prezzi delle opzioni. Comunque è ormai chiaro, per l’evidenza delle discontinuità a salto nelle serie storiche azionarie e per l’inadeguatezza descrittiva delle martingale continue, che un buon modello di valutazione delle opzioni deve avvalersi dei processi stocastici non continui, tra cui suscitano particolare interesse le semimartingale non continue. Esse infatti sono una classe di processi più ampia di quella delle martingale e rispetto ai quali è possibile definire l’operazione di integrazione in maniera che l’integrale stocastico sia esso pure una semimartingala. Inoltre i processi di conteggio, che hanno il compito di enumerare i salti del sottostante, sono tutti semimartingale. La struttura fine discreta delle serie storiche dei titoli rischiosi ha addirittura suggerito ad alcuni studiosi l’idea di elaborare dei modelli economici che utilizzino la più semplice classe di processi discontinui, quelli quasi certamente costanti a tratti, continui a destra e limitati a sinistra per i quali sono assai più semplici le formule del calcolo stocastico e la definizione dell’integrale stocastico (almeno in caso di sincronia tra integrando e integratore). A questo approccio si ispira l’ultimo capitolo del mio lavoro.
Nella Sezione 1, composta dai Capitoli 1,2 e 3, si presentano gli elementi dell’analisi matematica dei processi stocastici discontinui, con particolare attenzione per le semimartingale non continue, necessari per comprendere il resto del lavoro.
Il Capitolo 1 introduce i concetti di variazione totale, covariazione quadratica e di semimartingala per processi stocastici le cui traiettorie presentino discontinuità a tratti. In particolare della semimartingala è data non solo la definizione classica quale somma di una martingala locale con un processo a variazione totale localmente limitata, ma anche la condizione di caratterizzazione di Protter e Bichteler-Dellacherie (data nel riassunto del Capitolo 2). Il Capitolo 2 illustra due percorsi equivalenti (quello classico analitico e quello topologico) di definizione dell’integrale stocastico rispetto ad una semimartingala, dimostra la formula di integrazione per parti del calcolo stocastico ed enuncia, senza dimostrarlo, il lemma di Itō per le semimartingale non continue, strumento fondamentale per integrare un’equazione differenziale stocastica. Poiché, per questo lemma, il funzionale deterministico di una semimartingala è ancora una semimartingala sincrona, un’equazione differenziale nella semimartingala incognita X può essere risolta applicando proprio il lemma di Itō ad un’opportuna funzione ausiliaria della stessa X e integrando df ( X ). Una più ampia classe di processi rispetto ai quali è possibile costruire una razionale teoria dell’integrazione sono appunto le semimartingale. Nel corso degli anni sono stati concepiti diversi approcci al problema, variamente complicati: qui presentiamo quello topologico.
Si articola in considerazioni di natura topologica, assume che il processo da integrare sia prevedibile e si riferisce al concetto di semimartingala come definito, in modo non classico, dalla condizione necessaria e sufficiente di caratterizzazione che include la definizione di insieme di variabili casuali limitato in probabilità e si appoggia sui concetti di mappa continua e convergenza uniforme in probabilità sui compatti.