Modelli markoviani nascosti e grammatiche stocastiche context free

CAPITOLO 1 Modelli state space In questo capitolo si introducono i modelli state space, se ne definisce la struttura, si presentano i principali problemi a essi collegati e alcune ricorsioni atte a risolverli. 1.1 Definizione del modello Un modello state space e` formato da due processi stocastici, uno dei quali descrive una sequenza di eventi osservabili, mentre l’altro costituisce il meccanismo proba- bilistico latente (o processo degli stati). Il processo osservabile si indica con (Yt)t≥1 e ciascuna variabile che lo costituisce e` associata alla corrispondente variabile del processo nascosto, indicato con (Xt)t≥1. Si assume che per il processo latente valga la proprieta` di markovianita`: lo stato corrente del processo dipende solo dagli stati precedenti. Tale condizione puo` essere cos`ı espressa: il passato e il futuro sono in- dipendenti dato il presente. Il caso piu` semplice di dipendenza markoviana e` quello del primo ordine, in cui lo stato al momento attuale dipende solamente dallo stato all’istante immediatamente precedente, ovvero P (Xt|Xt−1, . . . , X1) = P (Xt|Xt−1). Si assume che la dipendenza fra gli stati nascosti sia markoviana del primo ordi- ne. Si suppone inoltre che valga una proprieta` di indipendenza condizionale per le osservazioni, ovvero per t = 1, . . . , T le variabili Yt sono indipendenti tra loro condi- zionatamente alle variabili X1, . . . , XT e ciascuna dipende solamente dalla variabile Xt a cui e` associata. La struttura di un modello state space puo` essere riassunta dal grafo orientato aciclico in Figura 1.1. Ogni nodo corrisponde a una variabile casuale del processo na- scosto o a una osservazione, gli archi rappresentano le influenze dirette del modello. L’assenza di archi fra due nodi indica che le rispettive variabili casuali sono indipen- denti condizionatamente alle altre variabili. Inoltre, per l’ipotesi di markovianita`, eliminando una qualsiasi variabile Xt il grafo risulta sconnesso. Se lo spazio degli stati delle variabili Xt e` discreto, il processo nascosto e` una catena di Markov e il modello state space prende il nome di modello markoviano 1