Il teorema di Clarke della funzione inversa

Capitolo 1 Introduzione Allo studio di una funzione spesso si affianca quello della sua inversa, se esiste. Il Teorema della funzione inversa dà condizioni sufficienti affinchè una funzione possegga un'inversa locale, cioè affinchè essa sia invertibile in un appropriato intorno di un punto del suo dominio. Teorema 1.1 (Enunciato classico) Sia Ω ⊆ Rn aperto e x0 ∈ Ω. Con- sideriamo una funzione f : Ω → Rn di classe C1 in un intorno di x0, tale che il determinante della matrice jacobiana di f in x0 sia non nullo. Al- lora esistono U e V intorni di x0 e f(x0) rispettivamente e una funzione g : V → Rn di classe C1 tale che (1) g(f(u)) = u ∀u ∈ U (2) f(g(v)) = v ∀v ∈ V Il matematico Frank H. Clarke, nel tentativo di estendere questo risultato classico, pubblicò nel 1976 un articolo in cui propose una versione del Teore- ma della funzione inversa per applicazioni che siano solamente Lipschitziane. Per provare il suo risultato, Clarke si servì della seguente nozione di Jacobiano generalizzato: ∂f(x0) = Co { lim i→∞ Jf(xi) | Jf(xi) esiste, xi → x0 } . La condizione di invertibilità locale (in x0) data da Clarke consiste nel richiedere che ogni elemento di ∂f(x0) abbia rango massimo. Com'è facile verificare, il teorema classico della funzione inversa risulta essere un caso speciale di quello enunciato da Clarke. 5