Geometria generalizzata e Modelli Sigma Non Lineari

In questa tesi sono studiati gli aspetti geometrici di una particolare classe di teorie di campo che prendono il nome di modelli sigma non lineari (NLSMs). In tali modelli, introdotti nel 1960 da Gell-Mann e Lévy per lo studio dell'interazione tra pioni e nucleoni, i campi sono mappe tra varietà ed il funzionale d'azione è costruito solo con la metrica delle varietà bersaglio.
Il legame tra NLSMs e geometria è stato scoperto alla fine degli anni '70 da Zumino, che per primo comprese con chiarezza che per ottenere dei NLSMs con gruppo di supersimmetria a due generatori dispari era necessario richiedere che lo spazio bersaglio fosse una varietà di Kähler. Estendendo la supersimmetria ad un numero maggiore di generatori si è trovato, alla metà degli anni '80, che questo richiede strutture geometriche addizionali. Più di recente, guidati dall'idea che l'estensione supersimmetrica dei NLSMs è sempre possibile a patto di imporre certe strutture geometriche nello spazio bersaglio del modello, sono stati introdotti dei modelli sigma dotati di più complicate strutture geometriche, che determinano scelte di gauge diverse.

Lo studio delle strutture geometriche di interesse per i modelli sigma non lineari è il cuore della tesi, dove sono state studiate in un certo dettaglio la geometria delle varietà complesse, di Poisson, di Nijenhuis, di Kähler e di Poisson-Nijenhuis, degli algebroidi di Lie, dei bialgebroidi di Mackenzie e Xu, l'algebroide di Courant e le varietà complesse generalizzate. Seguendo lo sviluppo della geometria differenziale dell'ultimo mezzo secolo, lo studio della geometria di queste varietà è stato affrontato da due distinti punti di vista. In un primo tempo si è seguito il punto di vista delle varietà multistrutturate, cioè delle varietà munite di uno o più campi tensoriali legati fra loro da opportune condizioni di compatibilità reciproca. L'esempio tipico è fornito dalla varietà di Kähler dove la struttura riemanniana e complessa sono accoppiate in modo da ottenere una struttura simplettica.
In un secondo tempo, al fine di comprendere meglio la natura delle condizioni di compatibilità, abbiamo studiato queste varietà dal punto di vista della teoria degli algebroidi di Lie e della nozione di bialgebroide di Lie secondo Mackenzie e Xu. Abbiamo indagato in un certo dettaglio la struttura di Poisson-Nijenhuis come classe rappresentativa dei bialgebroidi. L'adozione del punto di vista della teoria degli algebroidi di Lie è essenziale per comprendere la struttura geometria delle recenti versioni dei NLSMs, legata alla geometria delle varietà di iperkähler che estendono e generalizzano il modello scoperto negli anni '70 da Zumino.
Il concetto di algebroide di Courant nasce dal progetto di fondere in un'unica struttura algebro-geometrica le nozioni di struttura di Poisson e simplettica; esso porta alla definizione della struttura di Dirac, che gioca un ruolo importante nello studio dei NLSMs attraverso il concetto di sottospazio isotropo massimale. La novità è che l'algebroide di Courant non è un algebroide di Lie perché l'operazione di composizione verifica l'identità di Jacobi solo a meno di un differenziale esatto.
A partire da questa operazione di composizione, detta parentesi di Courant, si ottiene la condizione di compatibilità delle varietà complesse generalizzate, oggetto introdotto da Nigel Hitchin come estensione allo spazio doppio delle varietà complesse usuali. Queste strutture generalizzano le nozioni di varietà complessa e di varietà simplettica. Nella tesi mostriamo che una varietà complessa generalizzata può essere riguardata come una varietà tristrutturata, munita di tre campi tensoriali le cui condizioni di compatibilità generalizzano la nozione di varietà PN e ΩN, facendo venire meno la richiesta di torsione nulla per il tensore di ricorrenza N. Due strutture complesse generalizzate con certe condizioni di compatibilità, infine, costituiscono una struttura di Kähler generalizzata. Questa struttura è il punto finale della tesi. Si è riconosciuto, infatti, che la struttura di Kähler generalizzata, intravista oltre vent'anni fa nel lavoro di Gates, Hull e Rocek, è necessaria per l'estensione supersimmetrica dei modelli sigma non lineari con N=2, 4