Superfici regolari in R3

In questa tesi tratteremo alcuni argomenti di geometria differenziale. Tale disciplina si occupa dello studio di oggetti geometrici come curve e superfici utilizzando strumenti dell’analisi matematica. In particolare tratteremo le superfici regolari.
Il nome “geometria differenziale” si deve a Luigi Bianchi. Il primo testo specifico su tale argomento fu scritto da Karl Friedrich Gauss (Brunswick 1777 - Gottinga 1855), matematico tedesco, nel 1827 e si intitola Disquisitiones generales circa superficies curvas; con tale testo, in cui egli parte dallo studio delle superfici per capire se è possibile dedurre la forma esatta della Terra attraverso misurazioni fatte direttamente su di essa, cioè solo con rivelazioni geodetiche, si pongono le fondamenta di tutta la teoria della geometria differenziale. Il lavoro di Gauss fu reso possibile anche grazie al contributo dato alla matematica da Eulero e Monge; infatti, Eulero, nome italianizzato di Leonhard Euler (Basilea 1707 - San Pietroburgo 1783), astronomo e filosofo svizzero, cominciò lo studio delle superfici e delle curve e nella sua Introduzione all'analisi infinitesimale (1748), diede la prima trattazione completa dell'algebra, della teoria delle equazioni, della trigonometria e della geometria analitica e precisò la definizione di funzione; mentre Gaspard Monge (Beaune 1746 - Parigi 1818), matematico francese, considerato il fondatore della geometria descrittiva elaborò una teoria generale sulla curvatura delle superfici geometriche che si rivelò fondamentale per il lavoro successivo di Gauss, e di cui parleremo nel capitolo tre.
In questo lavoro di tesi tratteremo in parte lo studio Gaussiano.
Nel primo capitolo richiamiamo i concetti di algebra lineare, topologia, geometria analitica e analisi matematica che saranno utilizzati nel secondo e terzo capitolo per affrontare la teoria delle superfici regolari. Nel secondo capitolo diamo la definizione di superfici semplici, regolari, orientabili, introduciamo il concetto di differenziabilità tra superfici e la nozione di prima forma fondamentale. Tutti questi concetti vengono utilizzati nel terzo e ultimo capitolo dove si sviluppa parte della teoria Gaussiana introducendo i concetti fondamentali di “Mappa di Gauss” e “Curvatura di una superficie”; tale capitolo termina con tre paragrafi dedicati a dei particolari tipi di superfici, quelle di rivoluzione, quelle rigate e quelle minime a cui viene applicata tutta la teoria precedentemente sviluppata.
Sono stati, inoltre, inseriti vari esempi al fine di spiegare meglio i concetti teorici introdotti.