La covarianza e la varianza

La covarianza è una misura statistica utile per misurare il segno e l’intensità del legame esistente tra i rendimenti di 2 titoli azionari. Se consideriamo solo 2 titoli, la covarianza (cov) può essere così calcolata:  σAB = 1/n × Σ[(rAt – rA) × (rBt – rB)]     con t =1… n (n° scenari possibili)

Seguendo la logica della covarianza, quando non esiste alcuna relazione tra i rendimenti dei 2 titoli, ossia quando avere informazioni sul rendimento di un titolo non ci consente di sapere nulla sull’andamento dell’altro titolo, la covarianza tende a essere tendenzialmente nulla.
La covarianza ha in comune con la varianza l’unità di misura: sono entrambi scarti al quadrato. Probabilmente è maggiormente utile ricondurre la covarianza a una unità di misura di più agevole lettura: la correlazione (ρ) tra le attività finanziarie:
ρAB = corrAB = covAB/σA×σB

La divisione per i due scarti quadratici medi opera una standardizzazione, dato che l’intensità del legame tra i rendimenti di 2 titoli nell’intervallo risulta così compreso tra -1 e +1.
Quando la correlazione è pari a +1, i rendimenti dei due titoli sono perfettamente direttamente correlati, ed entrambi sono superiori  inferiori alla media nei medesimi scenari del mondo; quando è pari a -1 i due titoli seguono andamenti opposti. Inoltre, nel caso in cui la covarianza sia zero anche la correlazione, è pari a 0, segnalando indipendenza tra i rendimenti dei titoli.
La correlazione è data dalla covarianza tra i titoli divisa per il prodotto dei singoli scarti quadratici medi: poiché questi ultimi sono sempre positivi il segno della covarianza e quello della correlazione sono uguali. Perciò due titoli caratterizzati da rendimenti positivamente dipendenti (con covarianza positiva) sono anche positivamente correlati.
NB: l’ordine tra le variabili non è rilevante né per il calcolo della covarianza né per quello della correlazione, cioè ρAB =ρBA; σAB = σBA

La varianza di un portafoglio (σ2p) può essere calcolata utilizzando la seguente equazione:
σ2p = X2A σ2A + X2B σ2B + 2XAXBcovAB

La varianza di un portafoglio è influenzata dalla varianza dei singoli titoli che lo compongono, dal loro peso relativo e dalla loro covarianza (ovvero dal segno e dall’intesità della relazione che li unisce”.
Un portafoglio composto da 2 titoli con covarianza negativa ha una varianza minore rispetto a un portafoglio in cui i titoli sono legati da una relazione positiva.
La deviazione standard del portafoglio è la radice quadrata della varianza.
Si noti che la deviazione standard del portafoglio è inferiore alla media degli scarti quadratici medi dei 2 titoli (quando ρ <1). Il beneficio della diversificazione scompare soltanto quando la correlazione tra i titoli è massima.
Il rischio di mercato (o non diversificabile) non è altro che la covarianza media dei titoli e rappresenta lo zoccolo duro di rischio che rimane anche dopo aver sfruttato al massimo l’effetto diversificazione.

Stima del contributo dei singoli titoli al rischio di portafoglio.
Il rischio di un portafoglio ben diversificato è funzione del solo rischio di mercato dei titoli in esso inclusi.
Il contributo di un’attività finanziaria al rischio di un portafoglio diversificato è misurato dalla covarianza con i rendimenti del portafoglio.
Ne consegue che se vogliamo conoscere il contributo che ciascun titolo apporta al rischio complessivo del portafoglio occorre misurare la sua sensibilità ai movimenti del mercato. Questa misura di sensibilità prende in finanza il nome di Beta (β) di un’attività finanziaria.
βi = covi,M /σ2M      (rapporto tra la cov tra il portafoglio di mercato e il singolo titolo diviso la var del portafoglio di mercato)
I titoli con un β > 1 tendono ad amplificare i movimenti di mercato;
I titoli con 0<β<1, pur muovendosi anch’essi nella stessa direzione del mercato, lo fanno in maniera meno pronunciata
Infine il portafoglio di mercato (quello contenente tutti i titoli disponibili) assume un β esattamente pari a 1.
La quota di rischio che il singolo titolo apporta al rischio di portafoglio è infine data dal peso assunto nella combinazione di titoli e dal suo beta:
Peso% del titolo × Btitolo

Frontiera efficiente e portafoglio di mercato.
Ipotizziamo 2 portafogli con un certo n° di attività rischiose, caratterizzati l’uno da un alto profilo rendimento/rischio, l’altro da un rendimento atteso e da uno scarto quadratico medio più bassi.
La curva delle opportunità ammissibili può assumere diverse forme. In particolare essa tenderà ad approssimare un segmento di linea retta quanto più elevata è la correlazione tra i portafogli. Ipotizzando il caso estremo e rarissimo di una correlazione perfettamente positiva tra il portafoglio 1 e 2, lo scarto quadratico medio delle infinite combinazioni possibili dei due portafogli non risulta influenzato dalla covarianza ma è uguale alla media ponderata degli scarti quadratici medi dei singoli rendimenti. In tutti i casi in cui la correlazione è minore di 1, invece la combinazione di 2 attività è in grado di migliorare il profilo rendimento/rischio.

Inserimento di un titolo primo di rischio rf. Il titolo privo di rischio è caratterizzato per definizione da varianza nulla e quindi la sua covarianza con l’attività rischiosa è anch’essa nulla. La varianza del portafoglio composto da 2 attività di cui una priva di rischio è dunque:
σ2p = X2B σ2B