II
“La logica classica è come una persona che viene ad un party in abito
nero, camicia bianca inamidata cravatta e scarpe nere e così via mentre
la logica fuzzy è un po’ come una persona vestita informalmente, in
jeans, maglietta e scarpette. Nel passato quest’abito informale non
sarebbe stato accettato. Oggi le cose vanno pressappoco all’opposto”.
Come le cose sono andate all’opposto anche la teoria delle scelte pubbliche può
essere rivista alla luce di un approccio informale, come quello fuzzy, in una visione
di quello che è ormai il noto approccio complesso all’economia. L’approccio fuzzy è
di tutt’altra natura: è un approccio che rappresenta l’evoluzione di una logica che
ammette valori multipli, sfumature di verità. La teoria delle scelte pubbliche
rappresenta indubbiamente una delle più belle pagine della letteratura economica
in quanto tenta di analizzare modelli che sono alla base di una pacifica e
democratica convivenza degli individui. Il mio obiettivo è evidenziare, dopo aver
parlato brevemente dei principali autori e teoremi della public choice, che con
l’ausilio della logica fuzzy, si arriva a risultati sorprendenti, semplicemente
“sfumando” le preferenze, che vengono espresse anche attraverso l’istituto del voto,
cuore di ogni stato democratico. Propedeutici a tale scopo sono i primi tre capitoli.
Nel primo capitolo, infatti, sono evidenziate le differenze tra la logica dicotomica e
la logica fuzzy, rimarcando il fatto che la differenza tra i due approcci è anche
dovuta a fattori socio-culturali: infatti, in Oriente ritengono che la logica fuzzy sia
la traduzione matematica della loro filosofia e della loro visione del mondo.
Il buddismo ne può rappresentare l’emblema.
Inoltre vengono mostrati i vantaggi dell’approccio fuzzy sulla teoria degli insiemi
classici e come si opera con le variabili fuzzy. Considerato che uno dei primi
argomenti che ho appreso nei miei studi economici è stato l’equilibrio economico,
mi è sembrato giusto proporne la versione fuzzificata. Il mondo occidentale si è
accorto della logica fuzzy solo in virtù dei successi di quest’ultima nell’applicazioni
pratiche dell’elettronica di consumo: verranno mostrate, con l’approssimazione che
può dare uno studente di economia e non di ingegneria, come funzionano
quest’ultime.
Il secondo capitolo è ancora un altro capitolo di pura teoria fuzzy in cui sono
mostrate le procedura di scelta e i metodi decisionali fuzzy. Le funzioni di scelta
sono numerose in letteratura, ed infatti ne verranno mostrate alcune e il rapporto di
una di essa con le reti neurali. La seconda parte di tale capitolo mostrerà i tipi di
processi decisionali fuzzy e le differenze tra questi e quelli “tradizionali”.
III
Nel terzo capitolo si accennerà alla teoria della scelta dell’economia classica e si
definirà il concetto, anch’esso abbastanza nuovo, di public choice. Verranno
esaminati i problemi inerenti alla public choice ed un primo approccio complesso a
tali problemi: l’equilibrio fuzzy in teoria dei giochi. Tale approccio sarà utile in
quanto i dilemmi del voto possono essere affrontati, alla pari dei dilemmi sociali,
con la teoria dei giochi. Verranno criticati i meccanismi elettorali e proposte
soluzioni fuzzy.
Platone affermò che “Dio geometrizza eternamente” ma anche alcuni autori di
public choice hanno proposto un tipo di approccio “geometrico” ai meccanismi
elettorali. Tale visione è contenuta nei capitoli terzo e quarto dove, per davvero,
verrà proposto l’approccio fuzzy alla public choice. Infatti verranno mostrate le
versioni fuzzificate dei teoremi di Black, Arrow, Sen, Gibbard con risultati
completamente rivoluzionari rispetto ai “dogmi” dell’economia neoclassica, che
erano alla base del mio sapere. Il capitolo mostra anche un modello di group
decision making in un contesto fuzzy. Esiste anche la possibilità di realizzare
maggioranze fuzzy e maggioranze qualificate fuzzy: i modelli saranno analizzati e
commentati adeguatamente.
Capitolo I, La teoria degli insiemi fuzzy e le sue applicazioni
1
“Laborioso e logorante delirio quello
di comporre vaste opere;
sviluppare in 500 parole un’idea
la cui perfetta esposizione orale
non occupa più di qualche minuto”
JORGE LUIS BORGES
Capitolo I, La teoria degli insiemi fuzzy e le sue applicazioni
2
CAPITOLO I
La Teoria degli Insiemi fuzzy e le sue applicazioni
“ Calcolo soft calcolo del mondo reale sono nomi comuni per certe forme
di elaborazione naturale di informazione che hanno la loro origine in
biologia. La logica fuzzy, le reti neurali, gli algoritmi genetici sono
formalismi teorici alternativi mediante i quali si possono definire
schemi computazionali e algoritmi per questi scopi”
Teuvo Kohonen
1. La teoria degli insiemi fuzzy.
1.1 Premessa
Il termine “logica” deriva dalla parola greca “logos”, ragione. L’idea del logos in Grecia risale ad
Eraclito (540-480 a.C.) e racchiude in sé alcuni diversi significati fondamentali
1
,facendosi portavoce di
una verità: il logos è il principio universale attraverso il quale tutte le cose sono collegate e tutti gli eventi
naturali accadono
2
. Alla base del pensiero del filosofo del “pànta rei” c’era il collegamento tra gli
opposti: l’universo è composto da coppie di opposti (caldo e freddo; salute e malattia) che si alternano e
combattono l’un l’altro
3
. Ma tale visione degli opposti gli ha permesso di sopraffare la natura caotica del
mondo, affermando che una cosa può essere contemporaneamente vera E falsa, e sostenendo che l’unità
dei contrari è un aspetto indissolubile della realtà e “dell’eterno divenire delle cose”: le cose fredde si
scaldano, il caldo si fredda, l’umido si secca, ciò che è arido si inumidisce”
4
. La realtà è dunque
un‘armonia prodotta dalla equilibrata tensione di forze opposte
5
.
La logica fuzzy è una logica a valori multipli che permette l’uso di valori da definire tra opposte
valutazioni (True or False) e riflette sia la visione del mondo Eraclito, sia l’armonia tra gli opposti tipica
delle filosofie orientali ,che possono essere ricondotte a Budda. In matematica, in ingegneria la logica
fuzzy è stata introdotta nel 1965 da Lotfi A. Zadeh, un professore dell’Università di Berkely in
California,con la “Teoria degli insiemi fuzzy”
6
e, pur rimanendo per molti anni un argomento
sostanzialmente accademico, ha operato una rivoluzione “copernicana” poiché essa si basa su un
procedimento più intuitivo che rigidamente matematico. Tale procedimento, però, non risulta essere
privo di basi cognitive o approssimativo, in quanto il supporto matematico ed il rigore della logica sono
mantenuti attraverso l’uso delle funzioni d’appartenenza (membership), dalle regole inferenziali basate
sugli operatori logici and, or, not e dalle regole di “ fuzzificazione” e di “defuzzificazione”. Ma essa non
poteva essere accettata pacificamente dai logici e dai matematici: infatti alla stregua di quanto affermò
John Stuart Mill, nel secolo scorso, tutte le grandi idee, come anche la logica fuzzy, attraversano tre
distinte fasi: prima fase: la nuova idea è errata; seconda fase: la nuova idea è contraria alla religione; terza
fase: la nuova idea è vecchia, banale, tutti avrebbero potuta averla se avessero avuto il tempo, il danaro e
1
Sergio Moravia “Filosofia” pg 60
2
V. Dimitrov “Social Fuzziology” http://www.uws.edu.au/vip/dimitrov/fuzziology.htm 20/03/02
3
Sergio Moravia “Filosofia” pg 62
4
Eraclito “Sulla Natura”
5
Sergio Moravia “Filosofia” pg 64
6
V. Dimitrov “Social Fuzziology” http://www.uws.edu.au/vip/dimitrov/fuzziology.htm 20/03/02
Capitolo I, La teoria degli insiemi fuzzy e le sue applicazioni
3
l’interesse per farlo. Sebbene sembrasse una teoria destinata a morire, oggigiorno la logica fuzzy è
arrivata alla terza fase solo in Oriente dove la mentalità è particolarmente recettiva verso questi concetti
apparentemente strani e poco aristotelici. Tale recettività ha portato una vera esplosione d’applicazioni
pratiche, particolarmente nell’elettronica di consumo, per opera dei giapponesi
7
. Nel mondo Occidentale
siamo ancora a cavallo tra le prime due fasi: infatti la logica fuzzy era ritenuta perfettamente inutile e
superflua e per alcuni studiosi essa era priva di validità scientifica. Solo il successo commerciale dei
prodotti asiatici ne ha fatto un problema, sicuramente non di tipo religioso, non essendo la logica fuzzy
contraria ai dettami della Chiesa. “C’è da dire però che la Scienza moderna, nei confronti delle nuove
idee, non si comporta meglio della Chiesa Cattolica Romana: l’unica differenza di comportamento
riguarda la professione di onniscienza da parte della Chiesa; mentre la Scienza Moderna non ha mai
professato la sua onniscienza, ma ha sempre dichiarato una fede ceca nella logica bivalente
(aristotelica), l’unica ritenuta esatta”
8
. Però la battaglia era ormai in atto: se da un lato i teorici fuzzy
affermano che se si abbandona la ricerca della precisione matematica si agevola la soluzione di un
problema, i teorici “bivalenti” vedono in questa “indulgenza scientifica”
9
l’errore fondamentale della
logica fuzzy. Zadeh ha difeso a spada tratta questa sua creatura subendo una vera e propria
emarginazione culturale: poche riviste o convegni accettavano saggi con argomenti fuzzy; nessun ente
statale era propenso a concedere finanziamenti per le ricerche fuzzy. Ma, agli inizi degli anni ’90 si
produce un fatto nuovo ed egualmente importante: oltre al successo dei suoi prodotti fuzzy, il Giappone
deve prendere atto del fallimento dell’A.I. e dei computer di V generazione, interamente basati sulla
logica bivalente
10
. L’intelligenza artificiale (A. I.) fu fondata nel 1956, nel corso di una celebre
conferenza al Dartmouth College (U.S.A), alla quale, tra gli altri partecipò H. Simon, a cui fu
successivamente attribuito il premio Nobel per l’economia sui suoi studi riguardanti i processi decisionali
del management, oggetto di studio anche dell’A.I., poiché tali processi si svolgono in un quadro di
razionalità limitata, avendo a disposizione tempi ristretti e conoscenze parziali
11
.
Dopo aver assistito agli insuccessi dei progetti di A.I. si è potuto verificare che con la logica fuzzy si
potevano costruire macchine sempre più intelligenti semplicemente “calcolando con le parole”, frase con
cui lo stesso Zadeh ha qualificato la logica fuzzy
12
. Il ricorso ad inferenze di tipo qualitativo è utile nella
progettazione di sistemi artificiali quando:
1. Il modello matematico è ignoto;
2. Il modello matematico è inesistente;
3. Il modello matematico è troppo complesso;
4. Il modello matematico è troppo lento da seguire in tempo reale.
Nel 1973 Zadeh osservò che gli elementi chiave del pensiero umano non sono numeri ma etichette
d’insiemi fuzzy: il nostro cervello è pieno d’insiemi fuzzy, anzi il pensiero non è altro che un gioco con
gli stessi. Infatti una delle più sorprendenti capacità del cervello umano, tuttora non riproducibile
dall’A.I., è quella di assumere informazioni approssimandole
13
. Il vantaggio che il cervello umano ne trae
è notevole: per questo la logica fuzzy è un ottimo strumento per la gestione della polivalenza e della
vaghezza del linguaggio naturale, pur ammettendo una struttura formale che ne permette una successiva
rappresentazione numerica. Il “calcolo con le parole”, quindi, è attuato da ognuno di noi
quotidianamente: nelle singole azioni che ogni individuo compie, opera come un sistema di controllo
(fuzzy) risolvendo delle inferenze qualitative senza ricorrere a modelli matematici. La logica fuzzy si
propone appunto di risolvere problemi con regole empiriche e qualitative. Gli studiosi possono
manipolare le situazioni complesse o imprecise usando le variabili linguistiche con cui le parole e le frasi
sostituiscono i numeri, sacrificando, di fatto, la precisione al fine del risultato. Le regole fuzzy nascono
dall’esperienza d’operatori che per primi hanno affrontato questi problemi creando delle strategie
7
Silvio Cammarata “Sistemi a logica fuzzy” pg 18
8
Bart Kosko “Fuzzy thinking” pg 12
9
Bart Kosko “Fuzzy thinking” pg 10
10
Silvio Cammarata “Sistemi a logica fuzzy” pg VII
11
Silvio Cammarata “Reti Neuronali” pg 1
12
Silvio Cammarata “Sistemi a logica fuzzy” pg 31
13
Bart Kosko “Fuzzy thinking” pg 73
Capitolo I, La teoria degli insiemi fuzzy e le sue applicazioni
4
efficaci. La messa a punto di queste regole, la scelta delle variabili più adatte a rappresentare il sistema, il
cosiddetto “tuning”, è la croce della logica fuzzy, poiché non esiste nessun supporto matematico sicuro
per il tuning. Queste regole possono essere applicate contemporaneamente, diminuendo il tempo che
occorrerebbe, se si elaborassero i problemi in modo rigidamente sequenziale
14
. Zadeh ritiene la
complessità e la precisione inversamente proporzionali: se cresce la complessità del problema diminuisce
la possibilità di analizzarlo in termini precisi
15
. In questi termini il pensiero fuzzy può essere legittimo se
rende possibile la soluzione di problemi troppo complessi per essere analizzati meticolosamente
16
. Infatti
i giapponesi, in virtù di tali considerazioni, riescono a costruire treni confortevoli che reagiscono in modo
ottimale alle sollecitazioni esterne e le correggono nel miglior modo possibile
17
: un’applicazione molto
nota è stata realizzata dall’HITACHI, per il controllo della frenatura dei treni della metropolitana di
Sendai. Con solo 54 regole fuzzy il sistema riesce a far accelerare e decelerare i treni più dolcemente,
senza mai sbagliare la posizione d’arresto. Il sistema non ha mai dato alcun problema d’affidabilità e
consente, inoltre, una riduzione del 15% del consumo d’energia
18
. Il sistema è entrato in funzione nel
luglio del 1987, ma era stato sottoposto a altre 320000 simulazioni e prove reali non riscontrando nessuna
anomalia nel funzionamento
19
.
14
Primo Piermattei “Le linee generali della logica fuzzy” http://www.docenti.org 17/03/2001
15
Arturo Sangalli “L’importanza di essere fuzzy” pg 32
16
Arturo Sangalli “L’importanza di essere fuzzy” pg 32
17
Primo Piermattei “Le linee generali della logica fuzzy” http://www.docenti.org 17/03/2001
18
Arturo Sangalli “L’importanza di essere fuzzy” pg 40
19
Silvio Cammarata “Sistemi a logica fuzzy” pg 119
Capitolo I, La teoria degli insiemi fuzzy e le sue applicazioni
5
1.2 La logica bivalente
La fede che gli occidentali ripongono nella tradizionale logica aristotelica, può essere ricondotta almeno
agli antichi greci. Le sue nobili origini risalgono a giganti del pensiero come Parmenide, definito il
filosofo dell’immobilità dell’essere al contrario di Eraclito
20
,che introdusse la dicotomia essere o non
essere (vero o falso)
21
; Democrito, appartenente alla scuola degli atomisti
22
, fu il primo a dicotomizzare
l’universo in atomi neri e bianchi; Aristotele, discepolo di Platone, è ritenuto il vero fondatore della
logica bivalente. Nel corso dei secoli la logica bivalente è stata predominante ed anzi è stata oggetto di
sviluppo: dal Medio Evo (Boenzio, Abelardo) all’età moderna (Pascal, Leibniz),ma, ai nostri giorni
(Turing) ha avuto il suo sviluppo più considerevole e, a cavallo degli ultimi due secoli, notevoli sono stati
i contributi dell’italiano Peano
23
. Le sue radici sono così profonde, da aver resistito a violente crisi
(Russel, Godel, Lukasiewicz, Black) che solo la rivoluzione “fuzzy” poteva minare
24
. Il senso
rivoluzionario della logica a valori multipli può essere intuito solo se si osserva la logica Aristotelica ed i
suoi principi ,quali:
I. Il principio del terzo escluso :il quale afferma che un generico elemento non può appartenere
ad un insieme ed al suo complemento;
II. Il principio di NON contraddizione :il quale afferma che l’unione tra un insieme ed il suo
complemento è l’insieme U.
Il discorso sugli insiemi “tradizionali” e sulle operazioni con i medesimi diventa importante, poiché nel
momento in cui si opera con gli insiemi fuzzy si pongono in essere operazioni del tutto analoghe a
quelle che si ottengono con gli insiemi tradizionali, fornendo gli stessi risultati qualora i valori delle
membership (grado d’appartenenza) fossero limitati ai valori di zero ed uno. Il principio d’estensione
pertanto mostra come la logica fuzzy include la logica classica e ne costituisce una generalizzazione. La
logica tradizionale poggia su fondamenta che possono essere linguisticamente rappresentate
dall’aggettivo “binario” . Pertanto un insieme classico è composto da oggetti distinti ed è usato per
dicotomizzare l’universo di un discorso in termini d’appartenenza o di non appartenenza, “tertium non
datur”. Se U è il nostro universo del discorso, la funzione caratteristica o d’appartenenza µA , di un
insieme A in U, può dare solo due valori [0;1]:
µA=1 Ù x € A
µA=0 Ù x € A
oppure µA≡ [x; µA(X)] in termine di funzioni membership
Un insieme, con tutte le sue proprietà, è individuato dalla sua funzione membership. Mediante tali
funzioni (ogni insieme ha la sua) è inoltre facile definire, in termini di operazioni algebriche, le varie
operazioni tra insiemi
25
.
20
Sergio Moravia “Filosofia” pg 73
21
Sergio Moravia “Filosofia” pg 74
22
Sergio Moravia “Filosofia” pg 112
23
Silvio Cammarata “Sistemi a logica fuzzy” pg 1
24
Silvio Cammarata “Sistemi a logica fuzzy” pg 17
25
Primo Piermattei “Le linee generali della logica fuzzy” http://www.docenti.org 17/03/2001
Capitolo I, La teoria degli insiemi fuzzy e le sue applicazioni
6
Se A è un insieme classico, la funzione di membership è uguale alla funzione caratteristica e deve avere
solo 2 valori (zero ed uno): 1 se appartiene all’insieme, 0 nel caso diverso.
Fonte : http://brezza.iuav.it/~faggiani/grafici/insiemi..html
Il generico elemento X
1
ha un grado di appartenenza piena all’insieme, ed è il valore che noi usiamo per
dicotomizzare l’universo che va tra i valori X
MIN
e X
MAX
. Il discorso potrebbe essere incentrato, ad
esempio, su una divisione dell’universo in ricchi e poveri, dove il valore X
1
potrebbe essere la
famigerata soglia di povertà ed i valori che vanno da:
X
min
a X
1
formano l’insieme A dei poveri;
X
1
a X
max
formano l’insieme B dei ricchi.
Analogamente si potrebbe mettere in A i laureati ed in B i diplomati.
Gli insiemi, siano essi fuzzy o aristotelici, possono essere manipolati. Le operazioni fattibili sono:
UNIONE: A OR B, oppure in termini di funzione caratteristica: gC(x)= Max
[gA(x), gB(x)] ;
Fonte : http://brezza.iuav.it/~faggiani/grafici/insiemi..html
INTERSEZIONE: A AND B, oppure in termini di funzione caratteristica:
gC(x)= min [gA(x), gB(x)];
COMPLEMENTARE: AC=NOT AC OPPURE:
gA(x)= 1-gA(x).
Fonte : http://brezza.iuav.it/~faggiani/grafici/insiemi..html
Capitolo I, La teoria degli insiemi fuzzy e le sue applicazioni
7
Il principio di non contraddizione è lampante: x
1
non può appartenere ad A ed al suo complementare.
Inoltre se poniamo in essere A OR A
c
il risultato sarà U, al quale appartiene qualsiasi elemento x
(principio del terzo escluso).
1.3 La logica fuzzy e la sua genesi.
La rivoluzione fuzzy, esplosa agli inizi degli anni ‘90, è emersa come l’emblema tecnologico ma
soprattutto culturale dell’estremo Oriente. I successi dei giapponesi, che applicano la logica fuzzy per
aumentare il Q-I delle macchine; dei coreani, che sviluppano centri di ricerca sul fuzzy, sono
semplicemente la punta dell’iceberg.
Infatti il fenomeno fuzzy coinvolse altri Paesi come Taiwan, Hong Kong, Singapore, Malesia, Cina,
India
26
. Alcuni di questi teorici affermano che per capire il fenomeno fuzzy bisogna capire il buddismo e
la sua storia, della quale, noi occidentali, abbiamo una conoscenza meno che approssimativa. Budda visse
in India circa due secoli prima di Aristotele, ma non fu un matematico giacché egli non scrisse nulla sugli
insiemi fuzzy e le sue teorie. Il suo pensiero, che è riscontrabile nel taoismo e nello Zen, è basato sulla
comprensione reale del mondo che non ammette dicotomizzazioni, ma un bilanciamento tra gli estremi,
come nel simbolo Tao dove lo yin eguaglia lo yang
27
. E’ questo misticismo orientale che accetta la teoria
dell’A E NON A, che ammette la natura fuzzy delle cose, che riconosce gradi di verità. Ecco perché,
quando ZADEH nel 1965 pubblicò “FUZZY SETS” , con cui gettava le basi della teoria degli insiemi
fuzzy, trovò terreno fertile in Oriente, giacché la logica fuzzy recepisce ed applica molti di questi
misticismi orientali. Prima, però, di arrivare a Zadeh, i cui meriti sono grandissimi, altri studiosi hanno
avuto il merito di aprire la strada alla polivalenza del pensiero fuzzy. Uno dei primi a spingersi in tale
direzione fu Lukasiewiez
28
, il quale suppose che tra lo zero e l’uno (vero e falso) esiste un continuum.
Furono essenzialmente due gli eventi ai quali,agli inizi del ventesimo secolo, si è dovuto la nascita della
logica fuzzy
29
:
1) Agli inizi degli anni ‘20 , Russel scoprì i lati “GRIGI” della logica bivalente, ammettendo delle
soluzioni fuzzy ai suoi paradossi, senza però, mai dedicarsi allo sviluppo della teoria degli
insiemi fuzzy.
2) Verso la fine degli anni ’20,Heisenberg mostrò, con il principio di indeterminazione della
meccanica quantistica, che nella stessa meccanica è possibile determinare vagamente la
posizione di un elettrone lungo una linea, pur conoscendone accuratamente la posizione.
Questi eventi furono due cataclismi: Russel aveva dimostrato che la logica della nostra mente è incerta,e
anche Heisenberg aveva dimostrato l’incertezza degli atomi del nostro cervello.
Nel 1937 Black pubblicò un’opera, completamente ignorata per il semplice motivo che parlava di insiemi
vaghi
30
. Nel 1962, tre anni prima della pubblicazione di “Fuzzy Set”, Zadeh aveva annunciato il bisogno
di una matematica radicalmente diversa: “la matematica delle quantità nebulose”
31
. Quando nel 1965
Zadeh pubblicò “FUZZY SET”, propose proprio una logica polivalente che battezzò fuzzy. Questa scelta del
nome, un po’ azzardata, il cui significato è in antitesi con il termine “logos”, era sufficiente per attrarre lo
scetticismo del mondo della scienza. Infatti fuzzy può essere tradotto come confuso, vago, grigio; per cui
era lecito chiedersi come può una (cosa) logica essere vaga? Zadeh, il cui prestigio in quegli anni era in
ogni caso notevole per alcuni suoi studi “convenzionali”, rispose a queste critiche dicendo che la logica
fuzzy può essere capita solo attraverso il ragionamento sulla “teoria degli insiemi fuzzy”.
26
Silvio Cammarata “Sistemi a logica fuzzy” pg 18
27
Bart Kosko “Fuzzy thinking” pg 32
28
Bart Kosko “Fuzzy thinking” pg 38
29
Bart Kosko “Fuzzy thinking” pg 118
30
Bart Kosko “Fuzzy thinking” pg 38
31
Arturo Sangalli “L’importanza di essere fuzzy” pg 62
Capitolo I, La teoria degli insiemi fuzzy e le sue applicazioni
8
1.4 La teoria degli insiemi fuzzy
La logica fuzzy è un tipo di logica multivalente, ed è un metodo matematico basato sulla “TEORIA DEGLI
INSIEMI FUZZY”, che si realizza attraverso un algoritmo su un calcolatore digitale (binario). Zadeh, nel
1994, chiarisce che il termine logica fuzzy è usato in due significati diversi:
1) in senso stretto: la logica fuzzy è un’estensione della logica a valori multipli;
2) in senso lato: la logica fuzzy è sinonimo di “teoria degli insiemi fuzzy”, cioè di una teoria “con
classi dai contorni incerti”
32
.
L’idea di Zadeh fu propria quella di volere quantificare quest’incertezza, che non è legata alla probabilità,
ma al fatto che mancano criteri ben definiti d’appartenenza di un elemento alla classe stessa. L’idea che
scaturisce (l’insieme fuzzy) usa la rigorosa precisione della matematica per manipolare la vaghezza e
l’imprecisione del pensiero umano
33
. Alcuni autori, come BART KOSKO ad esempio, hanno affermato che
“la logica fuzzy è il ragionamento con gli insiemi fuzzy”, i quali sono degli insiemi in cui non c’è un
confine ben definito tra gli oggetti che vi appartengono e quelli che non vi appartengono. Ad esempio tra
il bianco ed il nero esistono varie sfumature di grigio: anzi J. S. Mill definisce il bianco ed il nero come i
casi limite del grigio. Il grafico fornisce l’idea della differenza tra le 2 logiche:
Fonte: Leon Felkins “Dilemma of Ambiguity and Vagueness”
http://www.magnolia.net/leon/paradox/ambiguit.html
32
Arturo Sangalli “L’importanza di essere fuzzy” pg 35
33
Arturo Sangalli “L’importanza di essere fuzzy” pg 35
Capitolo I, La teoria degli insiemi fuzzy e le sue applicazioni
9
Volendo fare un esempio ulteriore: supponiamo di voler ripartire la ricchezza r di una persona
nell’intervallo 0-20.000,00 €uro. Tale fine con la logica classica si raggiunge stabilendo dei “valori
critici” che stabiliscono il passaggio da una classe più ricca ad una più povera. Se tale valore critico lo
stimiamo in 10.000 €, una persona che ha un reddito pari a 10.000,01 €uro diventa miracolosamente
“ricca” e potrebbe, suo malgrado, ricadere nel presupposto di fatto di un’ennesima imposta. La logica
fuzzy assegna dei gradi di verità: una persona con un reddito di 9.000 €uro ha un grado d’appartenenza (
o di membership) uguale ad 1 al ceto meno abbiente, quindi più aumenterà il suo reddito, più diminuirà
il grado d’appartenenza alla classe considerata.
REDDITO REDIITO
ALTO
REDDITO
BASSO
REDDITO
MEDIO
5.000€uro 1 0 0
6.000€uro 0.75 0 0
7.500 €uro 0.50 0 0
9.000 €uro 0.25 0.05 0
10.000€uro 0 0.5 0
17.500€uro 0 0.25 0.50
19.000€uro 0 0.05 0.75
Fonte :elaborazione propria
La tabella è molto corrispondente alla realtà in quanto non esiste una “linea di povertà” ben definita, ma il
passaggio da una classe ad un'altra avviene in un modo graduale e morbido, testimoniando che la “ logica
fuzzy traccia una curva tra l’apposti A E NON A”. La scelta del grado di appartenenza non è comunque
arbitrario, ma occorre precisare che nella scelta intervengono considerazioni sia di carattere retorico che
di carattere empirico
34
. La nozione fondamentale di insieme fuzzy è il concetto di grado di appartenenza,
che è rappresentato dal valore della funzione di membership
35
: se
X≡{x
r
} è un insieme fuzzy ,allora si presenta come una coppia di ordinate:
A≡{X
r
, µA(x
r
)} dove:
X
r
è il generico elemento x dell’insieme (reddito).
µA(x
r
) è la funzione di membership che associa ad ogni punto di x un numero reale R dell’intervallo
[0; 1] e rappresenta il grado di appartenenza di x in A.
Le funzioni membership che si usano sono molto semplici: sostanzialmente triangoli e trapezi. Sono però
utili anche i cosiddetti "singleton", che assumono valore 1 in corrispondenza di specifici valori della
variabile x
36
.
34
Arturo Sangalli “L’importanza di essere fuzzy” pg 26
35
Primo Piermattei “Le linee generali della logica fuzzy” http://www.docenti.org 17/03/2001
36
Primo Piermattei “Le linee generali della logica fuzzy” http://www.docenti.org 17/03/2001
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