Stima dei parametri dei segnali nel dominio della frequenza in presenza di interferenza armonica

Introduzione 
 
 
2
In particolare, la “Guide the Expression of Uncertainty in Measurement” (GUM) 
[1] standardizza l’espressione della qualità della misura, definendo l’incertezza 
come “un parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la 
dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando”. 
L’incertezza descrive completamente l’affidabilità della misura se il risultato è 
corretto da effetti sistematici (polarizzazione o “bias”) che influenzano 
significativamente la stima. 
Effetti sistematici ed incertezza del valore misurato non sempre sono semplici da 
valutare, specialmente quando esse interessano misure ottenute dall’elaborazione 
numerica dei segnali: infatti esse dipendono non solo dalla particolare 
configurazione dell’hardware, ma anche dal software specifico [2]. 
Conseguentemente, c’è un grosso interesse nella caratterizzazione dei risultati 
della FFT in termini di valutazione degli effetti sistematici e dell’incertezza, e 
materiale che si occupa delle cause di polarizzazione della misura [3] e degli 
effetti della polarizzazione [4-5] nell’analisi dei segnali tramite FFT è presente in 
letteratura. 
Le principali cause di errore sistematico della misurazione sono: 
− l’aliasing, dovuto alla banda ed allo spettro del segnale di analisi ed alla 
frequenza di campionamento; 
− la dispersione spettrale o spectral leackage, dovuto al rapporto in genere 
non intero esistente fra la frequenza di campionamento e le frequenze delle 
armoniche componenti il segnale di analisi, indicato come campionamento 
asincrono, e la cui entità dipende anche dall’operazione di finestratura; 
− l’interferenza armonica (Harmonic Interference, HI), dovuta alla 
presenza di componenti armoniche del segnale di analisi “vicine” in 
frequenza. 
Una tecnica di elaborazione capace di eliminare o ridurre gli effetti sistematici 
introdotti dall’aliasing e dallo spectral leackage nei risultati della FFT in ipotesi 
di trascurabilità dell’interferenza armonica, e nota come IDFT (Interpolated 
Discrete Fourier Transform) o IFFT (Interpolated Fast Fourier Transform) è 
altresì presente nella letteratura scientifica [6]-[10]. 
Introduzione 
 
 
3
In questo lavoro di tesi si propone e si confronta con i metodi classici presenti in 
letteratura, un metodo che indicheremo con IFFTc, acronimo di “Interpolated 
Fast Fourier Transform corrected”, che permette di valutare stime ed incertezze 
della frequenza, dell’ampiezza e della fase iniziale di un segnale 
multifrequenziale supposto incognito anche in presenza di interferenza armonica 
e finestrato con la finestra di Hanning mediante elaborazione dei campioni della 
DFT del segnale di analisi, e quindi mediante indagini nel dominio della 
frequenza. 
Tale metodo viene confrontato con i metodi tradizionali presenti in letteratura. 
Inoltre è stata condotta una caratterizzazione dell’incertezza associata sia ai 
metodi classici che a quello proposto. Infine, è suggerito l’impiego di tale 
algoritmo per la risoluzione di toni nascosti.  
Nel capitolo 1 sono presentati i concetti principali riguardanti la DFT e la 
finestratura, gli effetti del campionamento asincrono e dell’interferenza armonica 
nella stima mediante l’algoritmo di FFT di ampiezza e fase iniziale di un generico 
segnale di analisi periodico di cui è nota la frequenza. 
Nel capitolo 2 sono riportati i principali algoritmi tradizionali per la stima dei 
parametri dei segnali nel dominio della frequenza in presenza di dispersione 
spettrale e/o dell’interferenza armonica. 
Nel capitolo 3 è presentato l’algoritmo IFFTc nel caso in cui il segnale di analisi 
supposto incognito sia costituito da un numero finito di componenti armoniche, 
per la valutazione della loro frequenza, ampiezza e fase iniziale. 
Nel capitolo 4 è confrontato l’algoritmo proposto con alcuni algoritmi presenti in 
letteratura. In particolare sono confrontati gli errori forniti dai diversi algoritmi al 
variare delle caratteristiche dei segnali in ingresso. 
Nel capitolo 5 [13] sono riportati i risultati della caratterizzazione dell’algoritmo 
proposto in termini di incertezza fornita. Tale incertezza viene confrontata con 
quella ottenuta mediante gli altri metodi.  
Infine, nel capitolo 6, è proposto l’impiego dell’algoritmo di IFFTc per 
determinare i parametri di un segnale nel caso in cui l’interferenza armonica sia 
tale che i normali algoritmi non riescano più a discriminare due toni adiacenti. 
Capitolo I                                                                                     DFT e Finetratura 
 
 
4
CAPITOLO  1 
 
DFT E FINESTRATURA 
 
1.1  Introduzione  
In questo capitolo verrà presentata una tecnica di analisi dei segnali nota come 
“Discrete Fourier Transform” (DFT), la quale permette di analizzare i segnali 
direttamente nel dominio della frequenza ed è molto utilizzata nella elaborazione 
numerica dei segnali in quanto, con l’uso di una particolare classe di algoritmi 
veloci [20], noti come algoritmi FFT (Fast Fourier Transform), è possibile 
calcolare la DFT in tempo reale. 
La DFT e la FFT sono così intimamente legate che, sia la tecnica, sia la classe di 
algoritmi, spesso si identificano. 
In seguito sarà presentata una evoluzione della FFT (o meglio della DFT), nota 
come “Interpolated Fast Fourier Transform” (IFFT), per stimare l’ampiezza, la 
fase e la frequenza di un generico segnale incognito. 
Tale tecnica, da tempo nota in letteratura [1], consente di correggere gli errori 
derivanti da un campionamento non sincronizzato. 
 
 
1.2  Analisi spettrale mediante DFT. 
Per un segnale analogico x(t) sottoposto ad un processo di campionamento, è 
possibile, a partire da una sua sequenza di N campioni sui quali è applicata la 
trasformata discreta di Fourier (DFT), determinare la N-sequenza X(k) 
rappresentante i campioni della trasformata di Fourier X(f) del segnale analogico 
di partenza. 
Questa osservazione costituisce la base per l’analisi dei segnali nel dominio della 
frequenza mediante tecniche numeriche. 
Il tempo necessario per eseguire tale calcolo dipende dall’efficienza degli 
algoritmi utilizzati, e l’esistenza di algoritmi veloci, noti come “Fast Fourier 
Transform” (FFT), permette di effettuare analisi spettrali in tempo reale. 
Capitolo I                                                                                     DFT e Finetratura 
 
 
5
In virtù dell’implementazione degli algoritmi di FFT, il numero di punti N su cui 
si calcola la DFT è, in genere, una potenza di 2, tipicamente N=256, N=512, 
N=1024 oppure N=2048. 
Uno schema a blocchi semplificato per l’esecuzione dell’analisi spettrale di un 
segnale mediante DFT è rappresentato nella fig. 1.1. 
 
Fig 1.1  Schema semplificato di analizzatore di spettro numerico. 
 
Assumeremo come definizione di DFT di una finestra g(n) la relazione 
() () ()
1N-,0,1,kper  
Wngkn
N
2
jexpngkG
1N
0n
kn
N
1N
0n
Κ=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∑∑
−
=
−
−
=
π
               (1.1) 
avendo definito 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
N
2
jexpW
N
π
          (1.2) 
Assumeremo, invece, come definizione di DFT di un segnale x(n) finestrato con 
una finestra g(n), ovvero del segnale 
() ()( )ngnxnx
g
=           (1.3) 
la relazione 
() ()()
1N-,0,1,kper  
Wngnx
S
1
kn
N
2
j-exp(n)x
S
1
kX
1N
0n
kn
N
1N
0n
gg
Κ=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑∑
−
=
−
−
=
π
           (1.4) 
dove S è il guadagno della finestra 
()
∑
−
=
=
1N
0n
ngS            (1.5) 
  LPF 
 A/D BUFFER FFT 
f
s 
x(t) x(n)
g(n) 
X
g
(k) 
Capitolo I                                                                                     DFT e Finetratura 
 
 
6
Si fa osservare che nella definizione di DFT applicata ai segnali discreti, 
necessariamente finestrati, vi è una normalizzazione per il guadagno S della 
finestra utilizzata, mentre nella definizione di DFT applicata alle sole finestre 
questa normalizzazione non è presente. 
Nei paragrafi successivi si comprenderà meglio lo schema a blocchi presentato e 
le definizioni di DFT fornite.  
 
 
1.3 Cause di errori nel risultato dell’algoritmo di FFT. 
L’errore nei risultati dell’algoritmo di FFT è dovuto a tre cause principali: 
1. Aliasing 
2. Dispersione Spettrale (Spectral Leakage) 
3. Interferenza Armonica (Harmonic Interference, HI). 
 
 
1.3.1 Aliasing 
Il fenomeno dell’aliasing si verifica in tutti i sistemi basati sul campionamento di 
un segnale non limitato in banda, quali sono i segnali reali, in quanto ciò 
corrisponde, nel dominio della frequenza, alla replicazione, con passo di 
replicazione pari alla frequenza di campionamento dello spettro del segnale 
campionato. 
Questo significa che lo spettro del segnale, osservato in un qualsiasi intervallo 
ampio quanto la frequenza di campionamento, può essere “distorto” dai contributi, 
in particolar modo dalle “code” delle repliche dello spettro presenti su tutto l’asse 
delle frequenze. 
Per evitare problemi di “aliasing”, nell’elaborazione numerica dei segnali, ed in 
particolar modo nell’uso dell’algoritmo di FFT, si suppone sempre l’utilizzo, a 
monte del circuito campionatore, di filtri passa-basso (LPF) regolabili, le cui 
frequenze di taglio siano meno (per tener conto della non idealità dei filtri), della 
metà della frequenza di campionamento. Ciò al fine di rispettare la condizione di 
Nyquist, ottenere un’ottima reiezione del segnale fuori della banda di interesse ed 
evitare che vi siano sovrapposizioni fra le repliche dello spettro del segnale. 
Capitolo I                                                                                     DFT e Finetratura 
 
 
7
1.3.2 Dispersione Spettrale (Spectral Leakage) 
Si tenga anche presente che l’analisi dei segnali condotta mediante la tecnica 
dell’FFT tratta i segnali analizzati come se fossero periodici, con un periodo pari 
all’intervallo di osservazione T
w
=N∆t, dove N è il numero di punti su cui si valuta 
la DFT, mentre ∆t è il periodo di campionamento del segnale di analisi. 
Da notare che se: 
- il campionamento è di tipo “sincrono”, ovvero l’intervallo di osservazione 
T
w
 è esattamente un multiplo intero del periodo T
0
 del segnale di analisi, o, 
più precisamente per un segnale multifrequenziale, l’intervallo di 
osservazione è esattamente un multiplo intero del periodo comune di ogni 
componente armonica costituente il segnale di analisi; 
- si utilizza la finestra rettangolare nella valutazione della DFT; 
- la lunghezza della finestra è pari proprio al numero di punti su cui si valuta 
la DFT; 
allora la dispersione spettrale non si manifesta. 
 
La condizione di campionamento perfettamente sincrono è difficile da realizzare 
nella pratica per diversi motivi: 
1. perché spesso non è noto il periodo del segnale da analizzare; 
2. perché non è sempre possibile scegliere la frequenza di campionamento 
in modo che essa rispetti perfettamente la condizione di sincronismo; 
3. a causa dell'eventuale presenza, nel segnale da analizzare, di componenti 
non armoniche, cioè di frequenze non multiple di una stessa frequenza 
fondamentale. 
In tal caso l’intervallo di osservazione non è un multiplo intero di ogni periodo 
delle componenti armoniche costituenti il segnale di analisi, ed il campionamento 
si dice essere di tipo “asincrono”. 
L’operazione di finestratura ha, come già accennato in precedenza e come 
spiegheremo meglio nei paragrafi successivi, un’importante conseguenza negativa 
poiché può causare il fenomeno della dispersione spettrale che, come si vedrà, in 
alcuni casi non può essere eliminata ma solo ridotta.  
Capitolo I                                                                                     DFT e Finetratura 
 
 
8
Infatti, poiché la finestratura equivale a moltiplicare nel dominio del tempo la 
sequenza x(n), per la sequenza g(n), la FFT fornisce in realtà i campioni della 
trasformata non di x(n) ma di x(n)g(n), cioè i campioni di X(f)*G(f). L’effetto di 
ciò può essere ben compreso considerando le fig. 1.2 e 1.3. 
 
         SENZA FINESTRATURA                                     CON FINESTRATURA 
Fig. 1.2  Effetto della finestratura sul singolo tono dello spettro. 
 
Dall’analisi di tali figure si comprendono anche quali dovrebbero essere le 
caratteristiche ottimali di una finestra al fine di minimizzare l’effetto della 
dispersione spettrale. Precisamente, sarebbe desiderabile che la trasformata della 
finestra si riduca il più possibile ad un impulso, cioè il lobo principale sia il più 
stretto possibile ed i lobi secondari siano più bassi possibili. 
 
          SPETTRO VERO                                  SPETTRO FINESTRATO 
Fig. 1.3  Effetto della finestratura sullo spettro complessivo. 
 
Per tali scopi la finestra rettangolare potrebbe non risultare adatta, per cui si 
considerano in generale vari tipi di finestre. Esamineremo nei paragrafi successivi 
alcune finestre ed i casi in cui è più conveniente applicarle, per ora con 
riferimento a due delle finestre di più comune impiego cerchiamo di dare un’idea 
di cosa accade. 
Capitolo I                                                                                     DFT e Finetratura 
 
 
9
Ricordiamo che l’algoritmo di FFT opera su una porzione del segnale d’ingresso 
ed è basato sull’assunto che tale porzione sia ripetuta nel tempo, cioè non opera 
sul segnale originario, bensì su di un segnale periodico ricavato a partire dal 
segnale originario come illustrato nella fig. 1.4. 
 
Fig. 1.4  Modo di operare dell’algoritmo FFT. 
 
Ciò non causa alcun problema nel caso in figura, poiché il segnale è di tipo 
transitorio e la finestra di analisi lo riesce a contenere per intero. Diversamente 
vanno le cose se il segnale è periodico già di per se. 
Ad esempio, consideriamo il semplice caso di un’onda sinusoidale, mostrato nelle 
figure 1.5 ed 1.6.  
 
Fig. 1.5   Segnale d’ingresso periodico nella finestra di osservazione. 
Capitolo I                                                                                     DFT e Finetratura 
 
 
10
 
Fig. 1.6  Segnale in ingresso non periodico nella finestra di osservazione. 
 
Se la finestra di osservazione contiene un numero intero di periodi della sinusoide 
(il segnale viene detto “periodico nella finestra d osservazione”), le cose vanno 
ancora bene. Se invece il segnale non è periodico nella finestra di osservazione, la 
FFT calcolerà lo spettro di un segnale fittizio molto distorto rispetto alla sinusoide 
originale. 
Il calcolo appena mostrato è stato effettuato utilizzando la finestra rettangolare, 
detta anche finestra uniforme in quanto pesa uniformemente i campioni del 
segnale.  
Si nota, nel caso di segnale non periodico nella finestra di osservazione, come 
l’uso di tale finestra fornisca uno spettro che non permette di distinguere i due toni 
ad ampiezza minore, i quali vengono completamente oscurati dal fenomeno della 
dispersione spettrale. 
Per ridurre tale problema si possono utilizzare finestre di tipo diverso cioè che non 
pesano uniformemente i campioni del segnale, ma lo fanno in maniera particolare. 
Nella figura 1.7 consideriamo ancora una situazione di una sinusoide che non sia 
periodica nella finestra di osservazione. 
Capitolo I                                                                                     DFT e Finetratura 
 
 
11
 
Fig. 1.7  Effetto della finestratura nel dominio del tempo. 
 
 
Notiamo che la maggior parte dei problemi sono localizzati agli estremi della 
finestra di osservazione, laddove il segnale subisce brusche discontinuità, mentre 
nella parte centrale la sinusoide sembra essere buona.  
Se potessimo fare in modo che la FFT ignori ciò che succede agli estremi della 
finestra di osservazione e consideri solo ciò che sta al centro, il risultato 
sicuramente migliorerebbe.  
Quanto detto può ottenersi moltiplicando il segnale per una funzione finestra 
piatta al centro e che si annulli agli estremi. 
Numerosi sono i tipi di finestra utilizzati, uno dei più comuni è la finestra di 
Hanning.