Dualità elettromagnetica e condizione di quantizzazione di Dirac della carica su quadri-varietà

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Dualita` elettromagnetica
Con dualita` elettromagnetica intendiamo in generale l’invaranza delle equazioni
di Maxwell
~∇ · ~E = ρe , ~∇× ~E + ∂t ~B = 0
~∇ · ~B = 0 , ~∇× ~B − ∂t ~E = ~je
rispetto al gruppo di trasformazioni composto da rotazioni continue nel piano
dei campi elettrici e magnetici:
{
~E ′ = cos θ ~E + sin θ ~B
~B′ = cos θ ~B − sin θ ~E.
La dualita` elettromagnetica e` interamente soddisfatta se ρe = 0 e ~je = 0;
in presenza di sorgenti siamo costretti a rendere simmetriche le equazioni
dinamiche mediante l’introduzione di opportune sorgenti magnetiche:
~∇ · ~E = ρe , ~∇× ~E + ∂t ~B = −~jm
~∇ · ~B = ρm , ~∇× ~B − ∂t ~E = ~je.
Queste equazioni di Maxwell “generalizzate” sono invarianti rispetto alle
trasformazioni di dualita` che agiscono sullo spazio delle cariche mediante
rotazioni continue: {
ρ′e = cos θρe + sin θρm
ρ′m = cos θρm − sin θρe,
e {
~j′e = cos θ~je + sin θ~jm
~j′m = cos θ~jm − sin θ~je.
Se non ammettessimo la comparsa di sorgenti magnetiche le uniche trasfor-
mazioni di dualita` possibili sarebbero quelle per cui θ = pin, con n intero, e
la simmetria si ridurrebbe al sottogruppo Z2 di SO(2). Ammessa l’esistenza
di cariche magnetiche, la descrizione elettrodinamica usuale, ovvero quella
con cariche magnetiche nulle, e` riconducibile ad un elettromagnetismo ge-
neralizzato con cariche magnetiche, ma per il quale sono costanti i rapporti
di carica g
q
tra la carica magnetica e la carica elettrica di tutte le particelle;
infatti, partendo dall’ elletromagnetismo usuale (ρm = 0), applichiamo una
rotazione di dualita`:
ρe → ρ′e = cos θρe, ρm → ρ′m = − sin θρe,
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otterremo quindi un modello elettromagnetico generalizzato ma per cui
g
q
= − tan θ.
Se invece esistesse anche una sola particella con rapporto di carica diverso
dalle altre, allora nessuna trasformazione di dualita` potrebbe ricondurci ad
un mondo puramente “elettrico” descritto dalle equazioni di Maxwell ordi-
narie.
Attraverso la dualita` elettromagnetica possiamo quindi definire una relazione
di equivalenza tra diverse formulazioni dell’elettromagnetismo; teorie elet-
tromagnetiche legate da trasformazioni di dualita`, ovvero trasformabili l’una
nell’altra mediante rotazioni di dualita`, verranno a definire le corrispondenti
classi di equivalenza. Ad esempio, per quanto su visto, la teoria elettromag-
netica ordinaria rappresenta la classe di equivalenza formata da tutte quelle
teorie che descrivono modelli per i quali i rapporti di carica di tutte le par-
ticelle siano costanti.
Osserviamo che le relazioni che legano il campo elettrico e magnetico al
potenziale vettore ~A e scalare φ,
{
~E = −∂t ~A− ~∇φ
~B = ~∇× ~A,
non sono piu` applicabili nelle regioni spazio-temporali in cui si abbia ρm o
~jm diversi da zero; in questo caso sara` quindi necessario riconsiderare la for-
mulazine dell’elettromagnetismo basato sui campi di gauge e di conseguenza
il concetto stesso di invarianza di gauge.
Da quanto detto e` evidente come la dualita` elettromagnetica risulti indis-
solubilmente legata al problema dei monopoli magnetici .
Monopoli
Con monopolo magnetico si intende un’ ipotetica particella elementare dotata
di carica magnetica; dimostrare l’esistenza o meno di queste particelle, rap-
presenterebbe un passo fondamentale per la comprensione dell’universo delle
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particelle elementari e dei meccanismi delle interazioni fondamentali. Come
osservato da Dirac nel 1931, basterebbe ammettere la presenza di un solo
monopolo magnetico per poter cos`ı spiegare, in maniera naturale attraver-
so le leggi della teoria quantistica, la quantizzazione della carica elettrica.
Tuttavia, nonostante l’evidenza sperimentale della quantizzazione della cari-
ca elettrica, gli esperimenti, che sin dal 1950 ricercano i monopoli magnetici
ad ogni nuovo acceleratore, hanno dato esito negativo. Si potrebbe pensare
che cio` sia dovuto ad una massa eccessiva, rispetto alle energie raggiungibili
dagli acceleratori attuali, che dovrebbe avere tale monopolo. Il modello di
Dirac non aveva predizioni per tale massa; tuttavia monopoli magnetici con
proprieta` calcolabili, emergono come soluzioni solitoniche classiche di certe
teorie di campo, per esempio la teoria di Georgi-Glashow; tali teorie preve-
dono masse molto superiori a quelle dei bosoni vettori dell’interazione debole.
Come vedremo, la quantizzazione della carica elettrica e` legata anche alle pro-
prieta` topologiche del gruppo di gauge U(1) descrivente l’elettromagnetismo
in una data teoria di campo; in particolare se questo gruppo e` “compat-
to”, ovvero un gruppo di Lie compatto con la topologia naturale del cerchio
S1, allora la carica e` quantizzata. Si potrebbe allora pensare di spiegare la
quantizzazione della carica elettrica a prescindere da monopoli magnetici
semplicemente considerando teorie di gauge opportune. Nella maggior parte
dei casi pero` tali teorie prevedono monopoli e sembra che al momento at-
tuale l’ipotesi dell’esistenza dei monopoli magnetici abbia una giustificazione
fondamentale nelle teorie di gauge GUT che unificano l’interazione forte con
quella elettrodebole e che richiedono l’esistenza di monopoli magnetici con
proprieta` calcolabili; si ritiene che tali teorie unificate delle interazioni siano
teorie basilari della fisica subnucleare; in base a questi modelli la massa mini-
ma del monopolo dovrebbe essere intorno ai 1016Gev che e` una massa enorme
per una particella elementare. Tali oggetti non possono essere prodotti nelle
collisioni ad alta energia nei grandi acceleratori, ne in quelli attuali, ne in
quelli pensabili in futuro; non sarebbe nemmeno possibile pensare ad una
loro produzione nelle collisioni dei raggi cosmici piu` energetici; potrebbero
pero` essere stati prodotti nelle collissioni ad altissima energia immediata-
mente successive al Big Bang. Sono dunque i raggi cosmici a fornire un la-
vboratorio ideale nel quale cercare i monopoli “fossili”, particelle primordiali
testimoni dei primi istanti di vita dell’universo. Naturalmente non possiamo
escludere l’esistenza di monopoli con massa inferiore a quelli GUT; in tal ca-
so resta giustificata la ricerca di tali particelle negli acceleratori di prossima
generazione.
La simmetria
La comprensione della dualita` elettromagnetica riveste dunque un’ impor-
tanza sempre crescente; benche` si sia ancora lontani dal comprendere le pro-
fonde ragioni di tale simmetria, vi sono gia` evidenze sufficenti per tentare di
conoscerne la struttura e le conseguenze.
La simmetria di dualita` rappresenta quella caratteristica dell’elettromag-
netismo classico che attribuisce proprieta` di convenzionalita` nella definizione
dei campi elettrici e magnetici; al livello formale essa e` rappresentata da
trasformazioni di fase U(1):
Gµν → G′µν = eiθGµν ,
dove
Gµν = Fµν + i
1
2
ε αβµν Fαβ,
con Fµν il tensore di campo elettromagnetico che verifica le equazioni di
Maxwell.
Definiti dioni come particelle dotate sia di carica elettrica q che di carica
magnetica g e la carica complessa Q = q + ig, troveremo che lo spettro di
carica dionica, se non e` banale, cioe` riconducibile tramite dualita` ad uno
spettro puramente elettrico, forma un reticolo bidimensionale complesso Λ.
Ricordiamo che dati due numeri complessi z1 e z2, indipendenti sui reali,
essi generano un reticolo bidimensionale complesso Λ(z1, z2) ≡ z2Λ(τ, 1) con
τ = z1/z2, formato da tutte le combinazioni lineari n1z1 + n2z2 con n1, n2
interi. Per via della condizione di quantizzazione D.S.Z, lo spettro dionico si
presentera` nella forma:
Λ(τ) = q0Λ(τ, 1),
vi
dove
τ = θ
2pi
+ i2pi~
q20
, θ ∈ R, q0 ∈ R+.
Mostreremo che i τ legati dalle trasformazioni fratto-lineari
τ =→ τ ′ = aτ + b
cτ + d, a, b, c, d ∈ Z, ad− bc = 1,
che formano un gruppo isomorfo al gruppo PSL(2,Z), determinano spettri
di carica equivalenti per dualita`; questo equivale a dire che al livello quantisti-
co la dualita` elettromagnetica e` rappresentata dalle trasformazioni modulari
agenti sul paramentro τ .
Cercheremo una formulazione dell’elettrodinamica basata su campi di gauge
U(1) che incorpori, eventualmente reinterpretandole, le caratteristiche prin-
cipali della dualita` elettromagnetica descritte in precedenza. A tal scopo con-
sidereremo una teoria elettromagnetica generalizzata (Maxwell piu` termine
theta) definita dal funzionale di azione
S(A) = 1
4
∫
M4
d4x
√
gFµνF µν +
θq2
32pi2~
∫
M4
d4x
√
gFµνFαβεµναβ ,
Fµν = ∂µAν − ∂νAµ.
Definito il parametro complesso τ = θ2pi + i2pi~q2 , dove q e` ora la carica elettrica
associata alle particelle fermioniche o bosoniche del background materiale,
l’azione S potra` essere scritta:
S(A) = 1
2τ2
∫
M4
F ∧ (τ1 + ∗τ2)F,
F = dA,
ove compare esplicita la dipendenza da τ . Mostreremo come la simmetria di
dualita` possa essere “estesa” ad un gruppo di simmetria piu` ampio SL(2,R),
che agisce sulla coppia (τ, G)
(τ, G)→ (τ ′, G′), τ ′ = τ =→ τ ′ = aτ + b
cτ + d, G
′ = (cτ + d)G,
con a, b, c, d ∈ R e ad − bc = 1; le trasformazioni di dualita` originali saran-
no rappresentate da quel sottogruppo di SL(2,R) che lascia τ invariato1 e
1A questo livello τ rappresenta un semplice parametro della teoria; le trasformazioni
su τ equivalgono a trasformazioni sulle costanti di accoppiamento del modello.
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trasforma G di una fase; tale gruppo di simmetria rappresenta una simme-
tria del tensore energia impulso e delle equazioni dinamiche, ma non del
funzionale di azione; non si tratta dunque di una simmetria “ordinaria” e
sara` questo il senso con cui ci riferiremo ad esso col termine gruppo di sim-
metria. Intenderemo poi con proprieta` di dualita` del sistema, le proprieta`
di simmetria delle sue caratteristiche rispetto all’azione del gruppo di du-
alita` “esteso” SL(2,R) che agisce sulle costanti di accoppiamento τ medi-
ante trasformazioni modulari. Data l’invarianza dell’energia classica E(τ), ci
aspettiamo che la funzione di partizione quantistica
Z(τ) = Tre−βE(τ),
manifesti semplici proprieta` di dualita`.
Il lavoro
Il punto di arrivo del nostro lavoro sara` dunque lo studio delle proprieta`
di dualita` elettromagnetica della funzione di partizione quantistica Z(τ) per
una teoria di gauge abeliana definita su quadri-varieta` topologicamente non
banali; tali varieta` saranno compatte, connesse, orientabili e senza bordo;
dal punto di vista fisico considereremo una teoria di Maxwell generalizza-
ta in assenza di “sorgenti” accoppiata a campi materiali massivi di carat-
tere spinoriale o scalare in regime infrarosso; nel limite di basse energie i
campi materiali si disaccoppiano; questo ci permettera` di trattare quantis-
ticamente il modello come un modello elettromagnetico libero. Tale teoria e`
resa interessante dalla topologia non banale delle quadri-varieta` considerate;
l’approssimazione di basse energie (“grandi distanze”), ci permettera` in
un certo senso di osservare gli eventuali effetti fisici, non osservabili al livello
locale (“piccole distanze”), che la topologia non banale della quadri-varieta`
induce rispetto ad un modello definito su varieta` piatte.
Da un punto di vista termodinamico la scelta di varieta` compatte appare
in maniera naturale come una semplice generalizzazione del toro T 4, che rap-
presenta la quadri-varieta` significativa rispetto al quale deve essere calcolata
la funzione di partizione quantistica; infatti, partendo da uno spazio-tempo
di Minkowski R3,1, si definisce uno spazio-tempo euclideo della forma S1×R3,
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attraverso una rotazione di Wick della metrica. Il cerchio S1 ha raggio β 2
e rappresenta il dominio naturale del tempo euclideo; questo e` evidente ad
esempio nel caso di un sistema con un solo grado di liberta`: l’elemento di
matrice 〈q′|e− it~ E |q〉 si esprime, per hamiltoniane quadratiche negli impulsi,
attraverso l’integrale di Feynman sui percorsi:
〈q′|e−
it
~ E |q〉 = N
∫
[ q, q′]
Dx(t′)e i~S[x(t′)],
dove N e` una costante di normalizzazione e l’integrale si estende du tutti i
possibili percorsi x(t′) per cui x(0) = q e x(t) = q′. A noi interessa la traccia
che, nella regione euclidea, si scrive:
∫
dq〈q|e−βE |q〉 = N
∫
dq
∫
[ q, q]
Dx(t′)e i~SE [x(t′)],
con la condizone x(0) = q = x(~β); il tempo euclideo ha quindi dominio
naturale nel cerchio S1 di raggio ~β = it.
S1 × R3 e` ottenuta al limite termodinamico da una S1 × I3 euclidea, con
I3 un cubo immerso in R3; dato che la termodinamica e` indipendente dalla
scelta delle condizioni al contorno per i campi, possiamo scegliere condizioni
periodiche, lo spazio da considerare diventa allora un S1×T 3, ovvero un toro
quadri-dimensionale:
R3,1 → S1 × R3 → S1 × I3 → T 4  M4.
Il modello che si viene cos`ı a creare rappresenta una sorta di modello “ana-
logico” che riproduce l’effetto di sorgenti puntiformi (monopoli) in una teoria
minkowskiana; con questo intendiamo che anche se consideriamo un modello
privo di sorgenti, la condizione di quantizzazione di Dirac, che e` una con-
dizione di carattere puramente topologico (Wu e Yang), vista come la quan-
tizzazione del flusso del campo magnetico attraverso le sfere che circondano le
singolarita` associate alle sorgenti puntiformi, e` riprodotta da una condizione
di quantizzazione generalizzata riguardante il flusso del tensore di curvatura
attraverso 2-cicli generici sulla quadri-varieta`.
2A meno di un fattore moltiplicativo ~.
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Per comprendere questo risultato si potrebbe immaginare, in maniera naif,
di interpretare i flussi elettromagnetici non nulli sulla quadri-varieta`, come
originati da monopoli magnetici situati da qualche parte “all’esterno” della
varieta`; in realta` non e` ancora ben chiaro come interpretare questo fenomeno;
certamente richiamare l’esistenza di “fantomatiche” sorgenti esterne non rap-
presenterebbe una spiegazione soddisfacente; si potrebbe allora tentare di am-
pliare il modello affinche` comprenda sorgenti puntiformi interne alla quadri-
varieta` stessa; lo studio di un tale modello “generalizzato” rappresenterebbe
il proseguimento naturale del nostro lavoro; oltre a questo si potrebbe poi
considerare un modello con piu` campi di gauge, cos`ı come un modello definito
su varieta` dotate di bordo o ancora considerare varieta` M4k, di dimensione
4k, con campi di forza definiti da 2k-forme.
La condizione di Dirac
Lo studio della condizione di quantizzazione di Dirac generalizzata, ci per-
mettera` di ottenere una classificazione naturale delle quadri-varieta` in tre
classi distinte; cio` sara` possibile grazie ad un’interessante risultato riguardante
la seconda classe di Stiefel-Whitney, ed in particolare alla sua azione su 2-
catene singolari con bordo pari, definite sulla quadri-varieta`; questo mostrera`
come concetti di topologia algebrica e considerazioni di carattere fisico si cor-
relano per dare vita ad una teoria “unificata”; le proprieta` topologiche delle
varieta` vengono cos`ı in maniera naturale ad avere un’interpretazione illumi-
nante come caratteristiche fisiche del modello in esame. In dettaglio vedremo
come argomenti di carattere puramente fisico che coinvolgono funzioni d’onda
spinoriali complesse, cos`ı come la ricerca di un teorema di Stokes generalizza-
to, siano indissolubilmente legati a concetti algebrici come la Z2-coomologia.
La condizione di quantizzazione di Dirac determinera` le proprieta` di inva-
rianza della funzione di partizione quantistica Z(τ); essa, fattorizzata in un
termine Θ(τ) ed in un termine ∆(τ), mostrera` proprieta` di simmetria rispet-
to al sottogruppo SL(2,Z) di SL(2,R); quindi, in questo senso, la condizione
di quantizzazione di Dirac sara` responsabile della rottura del gruppo di sim-
xmetria continuo della teoria classica SL(2,R) in un suo sottogruppo discreto.
Appare gia` evidente a questo livello come sara` la condizione di Dirac a rap-
presentare il fulcro di tutte le nostre considerazioni; come vedremo tramite
essa i flussi elettromagnetici verranno a definire opportuni reticoli integrali;
questo ci permettera` di ricondurre lo studio delle proprieta` di invarianza della
funzione di partizione allo studio delle proprieta` dei reticoli integrali e delle
funzioni Θ ad essi associate.
La struttura
Il lavoro si sviluppa attraverso sei capitoli, di cui uno, il secondo, propedeu-
tico, da trattare alla stregua di un’appendice matematica, ed uno, il sesto,
che raccoglie conclusioni e osservazioni.
Capitolo primo
Nel primo capitolo affronteremo la dualita` elettromagnetica con un approc-
cio “classico”; dopo aver determinato lo spettro quantistico di carica dio-
nica attraverso un’argomentazione semiclassica basata sulla quantizzazione
del momento angolare di una coppia di dioni carichi, proporremo l’argo-
mento originale di Dirac. Concluderemo il capitolo con lo studio del model-
lo di Georgi-Glashow e mostreremo che monopoli emergono come soluzioni
statiche classiche localizzate (t’Hooft-Polyakov).
Capitolo secondo
Il secondo capitolo va considerato come una sorta di appendice matematica;
qui definiamo i concetti base di topologia algebrica, studieremo i complessi
differenziali di de Rham, di Cˇech e relative coomologie; definiremo l’omologia
e la coomologia singolare; studieremo brevemente la teoria dei fasci ed intro-
durremo la nozione di fibrato principale. Il capitolo si chiudera` con un’analisi
dei gruppi di coomologia e omologia finitamente generati associati a varieta`
compatte.
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Capitolo terzo
Il terzo capitolo e` dedicato allo sviluppo dei concetti di orientabilita` e di
struttura di spin e spinc delle varieta`; a tale scopo introdurremo e studie-
remo le classi di Stiefel-Whitney. Il capitolo procedera` attraverso lo studio
dell’operatore di Dirac e del suo indice; concluderemo mostrando come sara`
possibile ricondurre la valutazione di importanti invarianti topologici, quali
la caratteristica di Eulero e la segnatura di Hirzebruch, alla soluzione di
un problema di indice per un particolare operatore di Dirac e mostreremo
come suddetti invarianti possano essere espressi, per mezzo del teorema di
Atiya-Singer, come integrali sulla varieta` di opportune densita` locali.
Capitolo quarto
In questo capitolo daremo una trattazione sistematica della condizione di
quantizzazione di Dirac per flussi elettromagnetici U(1) attraverso 2-cicli
singolari generici su quadri-varieta` compatte, connesse, e orientabili; mostre-
remo come le caratteristiche del background dei campi materiali porti a di-
verse condizioni di quantizzazione; considereremo potenziali di gauge abeliani
accoppiati minimalmente a funzioni d’onda scalari o spinoriali; i flussi elet-
tromagnetici saranno integrali nel primo caso, mentre mostreranno proprieta`
piu` complicate nel secondo; in questo caso si avra` la possibilita` che i flussi
siano semi-interi; ricaveremo le condizioni necessarie e sufficenti affinche` le
varieta` in esame possano supportare spinori neutri (strutture di spin). Con-
cluderemo il capitolo con la classificazione delle varieta` di interesse in tre
classi distinte.
Capitolo quinto
In questo capitolo analizzeremo il comportamento della funzione di partizione
“generalizzata” rispetto a trasformazioni modulari delle costanti di accoppia-
mento; mostreremo come le proprieta` di invarianza siano riconducibili allo
studio di particolari funzioni Θ associate a opportuni reticoli integrali; tali
reticoli risulteranno unimodulari rispetto al prodotto scalare definito dalla
matrice di intersezione Q; troveremo che le funzioni di partizione, associate
alle diverse tipologie di background materiale, possiedono proprieta` di inva-
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rianza modulare, comportandosi, a seconda dei casi, come forme modulari o
vettori di forme modulari.
Capitolo sesto
Questo capitolo sara` dedicato all’analisi delle tematiche e delle problemati-
che emerse durante lo sviluppo del testo; si esamineranno questioni ancora
insolute e possibili generalizzazioni future.