GLI STATI DI EINSTEIN – PODOLSKY – ROSEN (EPR) 3
Quindi nel caso 1
1p
xu è autofunzione dell’operatore momento lineare
1
1
xi2
h
p
ω
ω
Σ
corrispondente all’autovalore pp
1
della particella
1
P e
2p
x ∴ è autofunzione
dell’operatore momento lineare
2
2
xi2
h
p
ω
ω
Σ
per la particella
2
P corrispondente
all’autovalore pp
2
. Questo deriva dall’ipotesi di conservazione del momento lineare
totale. Così, se una misura del momento della particella
1
P dà come risultato p e
21
x,x <
“viene ridotta” a
1p2p
xu x ∴ , si può asserire che la particella
2
P ha momento p .
Nel caso 2
1x
x Ξ è autofunzione dell’operatore di posizione
1
x corrispondente
all’autovalore xx
1
per la particella
1
P e
2x
x Ι è l’autofunzione (moltiplicata
per h ) dell’operatore di posizione
2
x per la particella
2
P corrispondente all’autovalore
02
xxx . Se una misura di posizione per la particella
1
P dà come risultato x e
21
x,x < si
riduce a
1x2x
x x Ξ Ι , si può affermare che, senza disturbare in alcun modo la particella
2
P ,
la sua posizione è
0
xx . In accordo con il criterio di realtà, nel caso 1 la grandezza P e nel
caso 2 la grandezza Q devono essere considerati elementi di realtà fisica. Ma, come è noto
dall’assiomatica della meccanica quantistica, Q e P non commutano tra di loro, e quindi è
vietata la possibilità di assegnare valori determinati a posizione ed impulso.
In definitiva Einstein – Podolsky – Rosen affermano che la meccanica quantistica non è una
teoria completa, cioè che non tutti gli elementi di realtà sono rappresentati da un elemento
corrispondente nella teoria ( lo stato < non dà una descrizione completa di un sistema).
Per Einstein e collaboratori le due particelle possedevano già prima della misurazione i
valori dell’impulso e della posizione successivamente determinati, ma la meccanica
quantistica non è in grado di prevederli. L’entanglement, ovvero l’inseparabilità quantistica è
il concetto fondamentale di tutti i sistemi EPR ed è una intrinseca proprietà di questi ultimi che
permette di immagazzinare, elaborare e comunicare informazione in modo decisamente non
classico. Questa proprietà è stata osservata in sistemi microscopici con pochi oggetti quali
elettroni o fotoni, andando a misurare per i primi lo stato di spin e per i secondi lo stato di
polarizzazione.
Ricordiamo le parole di Schrödinger in merito a questa proprietà di alcuni sistemi
microscopici: Io considero [l’entanglement] non uno ma il tratto più caratteristico della
meccanica quantistica, quello che impone il suo completo distacco dalle linee di pensiero
2
GLI STATI DI EINSTEIN – PODOLSKY – ROSEN (EPR) 3
classiche. L’entanglement è ormai utilizzato massicciamente in quel filone della fisica che
riguarda la quantum information, e della quale il teletrasporto quantistico è l’elemento più
caratterizzante e sbalorditivo. In questo lavoro di tesi vogliamo mostrare le proprietà e gli
effetti a volte inaspettati in cui ci si imbatte quando si opera con sistemi EPR o entangled: non
ci soffermeremo sugli aspetti concettuali che l’articolo del 1935 ha aperto e che sono in gran
parte ancora senza risposta, ma ci limiteremo a mostrare tutta una serie di effetti che emergono
quando si trattano questi sistemi grazie a delle simulazioni numeriche.
C’è una radicale differenza tra stati EPR entangled (stati inseparabili) o fattorizzabili (stati
separabili). Nei primi si manifestano tutte le proprietà caratteristiche dell’entanglement tra le
diverse componenti del sistema, cioè si ha la cosiddetta “nonseparabilità quantistica”, ovvero
anche quando i costituenti del sistema sono lontanissimi e non interagiscono in alcun modo,
essi non possono essere concepiti come parti separate del sistema cui appartengono. Nei
secondi invece le diverse parti conservano in qualche misura la loro “individualità” nel senso
che si comportano in modo indipendente l’una dall’altra senza influenzarsi reciprocamente.
Tralasciando le seppur fondamentali questioni filosofiche o interpretazioni della meccanica
quantistica che sono seguite alla pubblicazione dell’articolo di Physical Review
(corrispondenza Bohr – Einstein, teoria di Bohm con variabili nascoste, teorema e
disuguaglianze di Bell, principi di località, separabilità e realtà), passiamo alla descrizione del
lavoro che abbiamo svolto.
Siamo partiti da un sistema quantistico monodimensionale molto semplice costituito da due
particelle distinguibili (rappresentate da due pacchetti gaussiani localizzati nello spazio) che
vengono emesse da una sorgente e che si muovono in direzione opposta. Una delle due
particelle si muove liberamente in una direzione mentre l’altra interagisce con una barriera di
potenziale posta ad una certa distanza dalla sorgente. Usualmente si fanno esperimenti e si
trattano i sistemi EPR con variabili che hanno un set discreto di autovalori (spin o stati di
polarizzazione), anche molto complicati dal punto di vista della realizzazione sperimentale.
Nel nostro lavoro abbiamo trattato un sistema EPR nelle variabili continue di posizione e
momento che hanno uno spettro continuo di autovalori.
Nel primo capitolo abbiamo calcolato le quantità caratteristiche del sistema EPR in oggetto
all’istante iniziale senza la barriera di potenziale, e cioè spettro e funzioni d’onda globale,
probabilità delle singole particelle ecc… Si è inoltre applicato il criterio di separabilità di
L. Duan [2] per distinguere tra sistemi che sono soggetti alle correlazioni EPR (stati
inseparabili) e quelli in cui sono nulle (stati separabili).
GLI STATI DI EINSTEIN – PODOLSKY – ROSEN (EPR) 3
Nel secondo capitolo abbiamo trattato il sistema delle due particelle assieme alla barriera di
potenziale rifacendoci al classico problema di una singola particella con barriera. Abbiamo
così ottenuto delle equazioni da utilizzare nella simulazione numerica che genera la funzione
d’onda complessa del sistema ad un determinato istante: possiamo così rappresentare
l’evoluzione temporale ed avere la fondamentale <complessa che verrà utilizzata in tutte le
simulazioni seguenti.
Nel terzo capitolo il sistema è stato studiato dal punto di vista dello spazio delle coordinate
e cioè calcolando le densità di probabilità a tempi diversi, ma soprattutto mostrando la
differenza tra stati separabili e inseparabili: analogo è stato fatto nel capitolo quattro solamente
che abbiamo operato nello spazio degli impulsi calcolando gli spettri.
Il capitolo cinque è dedicato alla misura ed è quello dove maggiormente si manifestano le
correlazioni EPR: abbiamo infatti che, operando una misura di posizione sulla particella che
incide contro la barriera (si vedrà in seguito che la barriera non è un requisito fondamentale),
l’altra risente di questa operazione anche se le funzioni d’onda delle due particelle non hanno
sovrapposizioni. Questo non avviene negli stati separabili, dove le due particelle si
comportano in maniera del tutto indipendente. Abbiamo poi mostrato che quest’atto di misura
fa in modo che, dopo un certo tempo, la distribuzione di probabilità della particella che viaggia
libera si sdoppi in due profili gaussiani.
Nel caso di sistema senza barriera la misura su una particella in particolari posizioni mi può
rallentare, accelerare, arrestare o addirittura fare invertire il moto dell’altra.
Di seguito abbiamo analizzato il criterio di separabilità del primo capitolo alla luce delle
simulazioni numeriche anche senza barriera di potenziale, trovando delle discrepanze con
quello che ci si aspetterebbe dalla teoria e cioè che il criterio per alcuni stati non è una
condizione sufficiente bensì necessaria (cosa oltretutto già fatta notare da P. Slater
nell’articolo [3]). Abbiamo infine scritto una disuguaglianza di Bell per il sistema EPR,
adattando quella trovata da J.F. Clauser e in [4]; la verifica al calcolatore ha messo in evidenza
che essa è sempre verificata. Non siamo in grado di affermare se questo sia dovuto ad una non
corretta trasposizione al nostro sistema nelle variabili continue della disuguaglianza di Bell
trovata da Clauser, o se effettivamente non si ha mai una violazione da parte delle due
particelle nello stato inseparabile.
Nelle appendici abbiamo riportato i dettagli dei calcoli, i listati dei programmi in Fortran
delle simulazioni numeriche e dei cenni alla particella libera ed alla barriera di potenziale.
4
CAPITOLO 1. UNO STATO ENTANGLED IN POSIZIONE E MOMENTO 1
Capitolo 1
Uno stato entangled in posizione e momento
1.1 Espressione matematica di uno stato EPR nelle variabili continue di
posizione e momento
Siamo partiti da uno stato a quadrato sommabile con spettro proiettato nei sottospazi delle
due particelle che è di tipo gaussiano. Facciamo le seguenti notazioni nel paragrafo
↔
↔
↔
↔
↔
↔
←
♠
! ς !ς ς ς
2 ,1 particella della iniziale impulsop
2 ,1 paricella della iniziale coordinata x
0 ,0 gaussiane delle parametri ,
2 ,1 particella della impulsop
2 ,1 particella della coordinatax
02 ,01
0
2121
2 1,
2 ,1
Nei calcoli, dove abbiamo inserito il simbolo , intendiamo di aver utilizzato la formula
nota per l’integrale gaussiano
Cb 0,a e
a
dx e
a4
b
-
bxax -
2
2
!
Σ
≥
φ
φ
Lo spettro del sistema EPR all’istante iniziale ha l’espressione
021
2
2
2
21
2
1
2
011
xppi
2
pp
2
pp
21
21
e
11
0t,p,p
ς
ς
ς ς Σ
)
la funzione d’onda corrispondente nello spazio delle coordinate sarà la antitrasformata di
Fourier > ≅0t,p,pf
ˆ
21
1
)
5
CAPITOLO 1. UNO STATO ENTANGLED IN POSIZIONE E MOMENTO 1
2101
2
21
2
12
02
2
2
2
1
2
2
1
1
21
2
1
2
012
02
2
2
211
2
1
011
2
1
2
1
2
1
2
012
02
2
2
2
2
2
2
2
1
02011
2
2
2
1
2
1
2
011
022
2
2
21
2
2
2
2
011
2
2
2
1
2
1
2
011
2211021
2
2
2
21
2
1
2
011
xxip xx
2
xx
2
21
2
p
xxi
2
p
xx
2
1
1
2
xxip
pp
2
p
1
2
p
xx
2
1
2
2
p
xxi xxip
2
p
2
pp
12
21
xxip
pp
2
p
2
xxip
2
p
2
pp
1
21
xipxipxppi
2
pp
2
pp
21
2121
e
1
e 2
2
e dpe
2
e dp 2
2
1
e dpe dp
2
1
e
11
dp dp
2
1
0t,x,x
ς
ς
ς
≈
≈
…
≡
↔
↔
←
♠
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
≈
≈
…
≡
↔
↔
←
♠
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς ς
Σ
ς Σ
ς Σ
ς
ς Σ
ς
ς Σ
ς ς Σ Σ
ς ς Σ Σ
ς ς Σ
Σ
<
≥
≥
≥ ≥
≥ ≥
La densità di probabilità di trovare all’istante iniziale la particella 1 in posizione x
1
indipendentemente dalla posizione della particella 2 sarà
2
01
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
10
2
22
0
2
2
2
1
2
1
21
2
10
2
2
2
2
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1
2
1
2
21
2
1
2
02
2
2
xx
2
2
2
1
21
4
x2x2
xx
2
2
2
1
21
xx2x2x
2
xx
21
xx xx
21
2
2
2121
e
1
e
e dxe
e dx0 t,x,xdx0 t,x P
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς ς ς ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
Σ
ς ς
Σ
Σ
ς ς
Σ
ς ς
Σ
ς ς
<
≥
≥≥
e, analogamente, la probabilità di trovare la particella 2 in posizione x
2
indipendentemente da
quella della particella 1 sarà
2
02
2
2
2
1
2
2
4
12
2
2
1
2
02
2
2
12
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
02
2
2
2
21
2
1
2
02
2
2
xx
2
4
x4
xxx
1
21
xx2x
1
xxx
21
xx xx
21
1
2
2112
e
1
e
e dxe
e dx0 t,x,xdx0t,x P
ς
ς
ς
ς ς
ς ς ς ς
ς ς
ς
Σ
ς
Σ
Σ
ς ς
Σ
ς ς
Σ
ς ς
<
≥
≥≥
6
CAPITOLO 1. UNO STATO ENTANGLED IN POSIZIONE E MOMENTO 1
Calcolando la radice quadrata delle ultime due quantità e aggiungendo un termine di fase
ho le funzioni d’onda di particella singola
101
2
01
2
2
2
1
2
2
2
1
xipxx
2
4
2
2
2
1
21
4
1
e
1
0t,x
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
Σ
<
202
2
02
2
2
xipxx
2
2
4
2
e
1
0t,x
ς
ς
Σ
<
Nel nostro sistema quantistico non dobbiamo trattare il problema della indistinguibilità in
quanto le due particelle in esame non sono mai identiche avendo sempre larghezze delle
gaussiane differenti
0 ,0
1
21
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
!ς !ς ∋
ς
ζ
ς ς
ς ς
∋
Trasformiamo secondo Fourier le funzioni d’onda di particella singola all’istante iniziale
per ottenere le distribuzioni spettrali nello spazio dei momenti
1010
2
011
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1010
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1
11010
2
2
2
1
2
2
2
12
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1
1011
2
01
2
2
2
1
2
2
2
1
ppixpp
2
21
4
2
2
2
1
4
2
ppix
2
x
21
2
2
2
1
4
2
2
2
1
21
xppix x
2
1
2
x
4
2
2
2
1
21
ppixxx
2
4
2
2
2
1
21
4
11
e
1
e
2
2
e dxe
2
e
1
dx
2
1
0t,p
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
≈
≈
…
≡
↔
↔
←
♠
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
≈
≈
…
≡
↔
↔
←
♠
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
ς ς
Σ
ς ς
ς ς Σ
ς ς Σ Σ
ς ς
ς ς Σ Σ
ς ς
ς ς
ς ς
Σ Σ
)
≥
≥
> ≅
> ≅
2020
2
022
2
2
2
2
2
2020
2
22
0
2
2
22020
2
2
2
2
2
22
0
2
2
2022
2
02
2
2
ppix pp
2
1
2
4
2
ppix
x
2
2
4
2
xppix x
2
2
x
2
4
2
ppixxx
2
2
4
22
e
11
e
2
2
e dxe
2
e
1
dx
2
1
0t,p
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς
ς Σ
ς
Σ
Σ Σ
ς
Σ Σ
ς
ς
Σ Σ
)
≥
≥
7
CAPITOLO 1. UNO STATO ENTANGLED IN POSIZIONE E MOMENTO 1
Riepiloghiamo le quantità caratterizzanti il sistema EPR in esame
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
←
♠
ς Σ
)
ς ς
ς ς
Σ
)
ς
Σ
<
ς ς
ς ς
Σ
<
ς
Σ
ς ς
ς ς
Σ
ς ς
Σ
<
ς ς Σ
)
ς
ς ς
ς ς
ς
ς ς
ς ς
ς
ς ς
ς ς
ς
ς
ς
ς
(1.8) e
11
p
(1.7) e
1
p
(1.6) e
1
x
(1.5) e
1
x
(1.4) e
1
x P
(1.3) e
1
x P
(1.2) e
1
x,x
(1.1) e
11
p,p
2020
2
022
2
2
1010
2
011
2
2
2
1
2
2
2
1
202
2
02
2
2
101
2
01
2
2
2
1
2
2
2
1
2
02
2
2
2
01
2
2
2
1
2
2
2
1
2101
2
02
2
22
21
2
1
021
2
21
2
2
2
011
2
1
ppix pp
2
1
2
4
0
2
ppixpp
2
21
4
2
2
2
1
4
0
1
xipxx
2
2
4
0
2
xipxx
2
4
2
2
2
1
21
4
0
1
xx
2
0
2
xx
2
2
2
1
21
0
1
xxip xx
2
xx
2
21
0
21
xppi pp
2
1
pp
2
1
21
0
21
8
Ricevi informazioni sui nostri servizi, sulle offerte e non perdere news e consigli su università e lavoro.
