Studio di un dispositivo in guida d'onda a canale su substrato di niobato di litio periodicamente polarizzato per la generazione di fotoni quantisticamente correlati mediante fluorescenza parametrica

 iv
quale un fotone incidente a frequenza ω
0
 può dare origine a due fotoni, a frequenze 
minori di ω
0
, che soddisfino la conservazione dell’energia. I fotoni creati possono essere 
entangled rispetto a diverse caratteristiche (ad esempio rispetto alla loro polarizzazione, 
oppure al tempo di emissione). 
La maggioranza degli esperimenti condotti utilizzano campi ottici in propagazione 
libera in un opportuno cristallo non lineare: data l’inefficienza del processo di 
fluorescenza parametrica, sono necessari cristalli con un elevato coefficiente di non 
linearità del secondo ordine e sorgenti laser sufficientemente intense (capaci di fornire 
potenze dell’ordine delle decine di mW): infatti, minore è il numero di coppie prodotte  
e maggiori diventano i tempi di misura e il rapporto rumore-segnale, e quindi le fonti di 
errore. 
L’efficienza del processo di conversione può essere incrementata impiegando una 
configurazione in guida d’onda, realizzata su cristallo non lineare, anziché la 
configurazione in propagazione libera: tale soluzione permette di  ottenere maggiori 
densità di potenza (dal momento che il campo ottico viene confinato in sezioni di pochi 
µm
2
) e di eliminare gli effetti di diffrazione che limitano la lunghezza di interazione tra i 
fotoni coinvolti nel processo. 
L’efficienza di un processo ottico non lineare, come la fluorescenza parametrica, è 
inoltre influenzata dallo sfasamento tra i campi che interagiscono: nel caso di guide 
d’onda, una tecnica assai impiegata per compensare tale sfasamento è rappresentata dal 
cosiddetto QPM (Quasi Phase Matching), realizzabile per materiali in cui sia possibile 
ottenere un andamento periodico della non linearità lungo la direzione di propagazione 
del campo ottico. 
Lo scopo di questo lavoro di tesi è stato progettare, realizzare e caratterizzare una 
sorgente di fotoni entangled in guida d’onda a canale. Il dispositivo è stato progettato 
 v
per ottenere fotoni ad una  lunghezza d’onda intorno a 1550 nm, dal momento  che  
questo valore rappresenta uno standard per le telecomunicazioni, settore in cui i sistemi 
entangled possono trovare il loro utilizzo pratico più immediato.  
La sorgente è stata realizzata su un substrato di niobato di litio, materiale che presenta 
un’elevata non linearità e, in conseguenza delle sue caratteristiche ferroelettriche, è ben 
adatto per ottenere  strutture QPM: infatti in cristalli di questo tipo la periodicità della 
non linearità richiesta dal QPM è realizzabile invertendo il segno dei domini 
ferroelettrici.  
Il lavoro è  strutturato come descritto di seguito. 
Nel Capitolo 1 sono introdotte le nozioni che stanno alla base del concetto di 
entanglement e viene presentata la teoria della fluorescenza parametrica. 
Nel Cap. 2  è analizzata l’inversione dei domini del niobato di litio, necessaria per il 
QPM, ed in particolare viene discussa la tecnica del poling elettrico, che è la più 
utilizzata a tale scopo  e che anche noi abbiamo adottato. 
Il Cap. 3 fornisce gli elementi di base della propagazione in guida d’onda e illustra il 
processo di fluorescenza parametrica in tale configurazione. 
Quindi nel Cap. 4 è descritto in dettaglio tutto il processo di fabbricazione del 
dispositivo, che ha richiesto la messa a punto di varie tecnologie. 
Nel Cap. 5 sono presentate le misure di caratterizzazione eseguite sul dispositivo, che 
hanno permesso di valutarne l’efficienza. 
Infine il Cap. 6 propone degli schemi sperimentali che fanno uso dei fotoni entangled 
generati dalla sorgente realizzata: al momento non è stato possibile effettuare queste 
misure, che sono di carattere quantistico e necessitano di specifiche sorgenti e rivelatori 
non disponibili nel nostro laboratorio. Ad ogni modo si sono presi contatti con gruppi di 
ricerca che hanno la possibilità di effettuare questi esperimenti.  
 1
1  
 
 
FLUORESCENZA PARAMETRICA COME SORGENTE 
DI SISTEMI QUANTISTICAMENTE CORRELATI 
 
 
 
 
In questo capitolo sarà inizialmente presentato il concetto quantistico di entanglement.   
Una trattazione completa dell’argomento esula dagli scopi di questa tesi; verranno solo 
accennate le nozioni di base necessarie a comprendere le conseguenze che 
l’entanglement porta con sé e ad introdurre le applicazioni pratiche in cui può essere 
utilizzato il dispositivo  oggetto di questo lavoro. 
Sarà quindi trattata la teoria della fluorescenza parametrica in cristalli ottici non lineari, 
dal momento che questa rappresenta il processo fisico impiegato dalla nostra sorgente 
per la produzione di coppie di fotoni entangled. 
Particolare attenzione sarà dedicata alla problematica dell’adattamento di fase tra i 
campi coinvolti nel processo, che riveste importanza fondamentale ai fini dell’efficienza 
raggiungibile; verrà considerata in dettaglio la tecnica del “quasi adattamento di fase” 
(QPM), da noi utilizzata, appunto, per avere adattamento di fase in una struttura a guida 
d’onda. 
Infine saranno descritte alcune configurazioni sperimentali che consentono di ottenere 
specifici stati entangled per fotoni generati tramite fluorescenza parametrica. 
 
 
 
 
 2
 
 
 
 
1.1 “Entanglement” 
 
Si consideri un sistema quantistico che può trovarsi in due stati distinguibili 0  e 1 , 
che costituiscono la base del suo spazio di Hilbert rappresentativo; fisicamente esso può 
essere costituito, ad esempio, da un fotone per cui si prendono come base due possibili 
valori della polarizzazione lineare (orizzontale e verticale) o circolare (destra e sinistra), 
oppure da un elettrone del quale si considerano i due possibili valori di spin. 
Dalla meccanica quantistica discende che i possibili stati fisici del sistema sono descritti 
dalla sovrapposizione dei due stati base e sono rappresentabili mediante la funzione 
d’onda 
 01
i
e
 Τ
 Μ ∆  Ε   (1.1) 
dove 
22
1∆ Ε   , essendo 
2
∆ la probabilità di trovare il sistema nello stato 0  e 
2
 Ε la 
probabilità di trovarlo nello stato 1 . 
Quando si passa a considerare contemporaneamente due sistemi A e B di questo tipo, il 
sistema globale può trovarsi non solo in uno dei quattro stati base 00
A B
, 01
A B
, 
10
A B
 e 11
A B
, ma, per il principio di sovrapposizione, anche in una 
sovrapposizione lineare di questi. 
In particolare, si dice che A e B sono sistemi entangled quando la funzione d’onda 
globale è del tipo 
01 10
i
A BAB
e
 Τ
 ∆ Ε <     
oppure 
00 11
i
A BAB
e
 Τ
 ∆ Ε )     
 3
Per uguali ampiezze di probabilità ∆ e Ε , e assumendo Τ = 0, si hanno i cosiddetti “stati 
di Bell”: 
    
1
01 10
2
A BAB
 ρ
 <  ρ 
    
1
00 11
2
A BAB
 ρ
 )  ρ 
Uno stato di questo tipo è detto entangled poiché non può essere fattorizzato nel 
prodotto degli stati di singolo sistema 
j
i  (i = 0,1; j = A, B) e pertanto non è possibile 
assegnare uno stato ben definito ad A e B separatamente, ma è determinato solo quello 
del sistema complessivo A+B. 
 In linea teorica è possibile estendere il concetto di entanglement anche ad un sistema 
costituito da più di 2 sottosistemi; ad esempio si parla dei cosiddetti stati Greenberger-
Horne-Zeilinger (GHZ) [1] per tre sistemi aventi funzione d’onda globale del tipo 
 
1
000 111
2
A BC ABC
   e analoghe. 
 
 
1.2 Sorgenti di coppie di fotoni “entangled” 
 
 
Le sorgenti finora più utilizzate per produrre coppie di fotoni entangled sfruttano due 
diversi fenomeni fisici: processi di transizione atomici in cascata, oppure fluorescenza 
parametrica in cristalli non lineari del secondo ordine. 
Il primo tipo di sorgenti presenta un grosso inconveniente dovuto al fatto che il 
decadimento atomico con emissione di due fotoni è un processo a tre corpi e da ciò 
consegue l’impossibilità di determinare con precisione la direzione dei fotoni emessi: 
infatti, una volta che sia stato individuato un fotone, la direzione dell’altro fotone 
emesso dipende anche dalla direzione di rinculo dell’atomo, in quanto è l’impulso totale 
 4
del sistema che deve conservarsi. Pertanto l’efficienza raggiungibile nella rilevazione di 
due fotoni correlati è estremamente bassa e comporta numerosi problemi nella 
realizzazione delle misure [2]. 
Attualmente le sorgenti di solito impiegate sfruttano la fluorescenza parametrica, che 
consente di ottenere fotoni emessi lungo direzioni fortemente correlate a causa delle 
condizioni di adattamento di fase utilizzate. Nella maggior parte degli esperimenti di 
questo tipo finora eseguiti si sfrutta la propagazione libera in cristalli non lineari del 
secondo ordine, ma ultimamente alcuni gruppi [3-5] hanno realizzato sorgenti in guida 
d’onda che, come vedremo, consentono di ottenere efficienze maggiori. Il dispositivo 
da noi realizzato è, appunto, di quest’ultimo tipo. 
Di seguito si riporta brevemente la teoria della fluorescenza parametrica al fine di 
mettere in risalto le caratteristiche dei fotoni generati tramite essa. 
 
 
1.3 Teoria della fluorescenza parametrica 
1.3.1 Generalità 
 
La fluorescenza parametrica (detta anche Parametric Down Conversion o Parametric 
Scattering) è il fenomeno fisico per cui un fotone di frequenza ω
0
, incidente su un 
mezzo dielettrico non lineare, può dare origine a due fotoni aventi frequenze ω
1
 e ω
2,
 in 
modo da rispettare la legge di conservazione dell’energia: 
210
 Ζ Ζ Ζ hhh     ,   ovvero  
210
 Ζ Ζ Ζ            (1.2) 
Questo processo è dovuto alla componente della polarizzazione del mezzo quadratica 
rispetto al campo elettromagnetico che lo attraversa. 
 
 
 5
 
 
  
 
Figura 1-1: processo di fluorescenza parametrica in un cristallo non lineare del secondo ordine: con 
ω e k sono indicati rispettivamente la frequenza e il momento di ciascun fotone.   
 
Entrando nel dettaglio, un campo elettrico incidente su un mezzo dielettrico determina 
una polarizzazione che può essere espressa come sviluppo in serie di potenze del campo 
stesso, secondo la relazione: 
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
        
ƒƒƒ
...
)3()2()1(
0
jkl
lkjijkl
jk
kjijk
j
jiji
EEEEEEP  Φ Φ ΦΗ  
dove P
i 
ed E
i
 indicano rispettivamente l’i-esima componente del vettore polarizzazione 
e del campo elettrico, ε
0
 è la costante dielettrica ed il tensore χ
(n)
, di rango n + 1, 
rappresenta la suscettività (lineare nel caso n = 1, non lineare per n > 1): in particolare, 
per n pari, si ha 0
)(
 ζ
n
 Φ  solamente in cristalli non centro-simmetrici (è questo il caso 
del niobato di litio
a
 da noi impiegato).  
La suscettività quadratica (n = 2) descrive effetti del secondo ordine tra i quali, ad 
esempio, la generazione di seconda armonica ed appunto la fluorescenza parametrica; in 
generale la suscettività χ
(2)
 è dipendente dalla frequenza dei campi, tuttavia in prima 
approssimazione la si può considerare costante nell’intervallo di frequenze in cui il 
materiale è trasparente. 
                                                          
a
 Nel seguito del testo il niobato di litio verrà indicato con la sua formula LiNbO
3
 
 Ζ
0, 
0
k
 
 
χ
(2)
 
 Ζ
1, 
1
k
 
 Ζ
2, 
2
k
 
 6
Introducendo convenzionalmente il tensore 
2
)2(
ijk
ijk
d
 Φ
   ed esprimendo il campo 
elettrico nelle forma 
i
1
(, ,,) (, ,) ..
2
t
ii
Exyzt Exyze cc
 Ζ
 ♠  ≡   
 ←  …
 (dove si è indicato con la 
notazione c.c. il termine complesso coniugato), le componenti della polarizzazione non 
lineare al secondo ordine si possono scrivere nella forma [6]: 
    
(2)
0
,,, 2ε
i ijk j k
jk
Pxyzt dEE  
 ƒ
                   (1.3) 
Poiché nella (1.3) uno scambio di E
j
 con E
k
 non comporta alcun cambiamento da un 
punto di vista fisico, si possono sostituire le coppie di indici cartesiani jk con un unico 
simbolo secondo il seguente schema [6]: 
xx = 1  yy = 2  zz = 3  yz = zy = 4 xz = zx = 5 xy = yz = 6. 
Il tensore d
ijk
 si riduce pertanto ad una matrice d
ij
 3x6, che può essere ulteriormente 
semplificata nel caso che il mezzo possieda particolari simmetrie. Nel lavoro di questa 
tesi vengono impiegati per la realizzazione del dispositivo substrati di LiNbO
3
 tagliato 
lungo l’asse cristallografico Z; in tal caso si ha [7]: 
31 22
22 22 33
31 31 33
0000
000
00 0
ij
dd
ddd d
ddd
   ♠  ≡
 ↔  ≈
    
 ↔  ≈
 ↔  ≈
← …
 
 
In un processo del secondo ordine la suscettività non lineare determina l’energia di 
interazione tra i campi coinvolti, la quale è descritta dall’hamiltoniana [8]: 
 
3(2) 3
11
022
(,) (,) (,) (,) (,)
I jkk
VV
Httd EtEtEtd Η Φ  
≥ ≥
Pr Er r r r r r (1.4) 
dove è sottintesa la somma sugli indici ripetuti per quel che riguarda le componenti di E 
e l’integrale va considerato sul volume del cristallo entro il quale i campi interagiscono . 
 7
Supponiamo di avere onde piane che si propagano collinearmente lungo la direzione x; 
l’integrale di volume nella (1.4) si riduce allora ad un integrale su tale direzione e si può 
scrivere: 
 
2
(2)
1
02
2
(,) (,) (,)
L
I ijk i j k
L
HS ExtExtExtdx Η Φ
  
  
  
 ≥
 (1.5) 
dove S è l’area della sezione del fascio di pompa e L la lunghezza del cristallo 
 
Nel caso specifico della fluorescenza parametrica, il decadimento del fotone di pompa a 
frequenza ω
0
 nei due fotoni ω
1
 e ω
2 
è un evento che avviene con piccola probabilità 
(<10
-6
) e può essere compreso solo ricorrendo alla teoria quantistica: in generale si 
dovranno quantizzare i campi generati nel processo.  
Pertanto ciascuno di essi sarà espresso tramite l’operatore hermitiano 
ˆ
(,)
m
Ext(l’indice 
m identifica l’m-esimo campo) che si può scomporre in una parte a frequenza positiva 
()
ˆ
(,)
m
Ext
  
 ed una a frequenza negativa 
()
ˆ
(,)
m
Ext
  
secondo la relazione seguente:  
 
() ()
ˆˆ ˆ
(,) (,) (,)
mm m
Ext E xt E xt
    
  (1.6) 
dove [9]: 
 
 > ≅()()
2
0
1
ˆ
ˆ
(,) ( )
2()
mm m
ik x t
m
m
m
Exti a e d
cn S
 Ζ Ζ
 Σ Ζ
 Ζ  Ζ
 Σ Η Ζ
    
  
≥
h
 (1.7) 
e 
()
ˆ
(,)
m
Ext
  
 è l’operatore hermitiano coniugato di 
()
ˆ
(,)
m
Ext
  
. 
Nella (1.7) ħ è la costante di Planck, n(ω
m
) è l’indice di rifrazione ed 
ˆ
()
mm
a  Ζè 
l’operatore di annichilazione per i fotoni a frequenza ω
m
 . 
Quest’ultimo, insieme al suo hermitiano coniugato ˆ
m
a
  
(operatore di creazione), consente 
di definire l’operatore autoaggiunto 
ˆˆˆ
mmm
naa
  
  , il cui valore di aspettazione ˆ
m
n  su di 
uno stato quantistico rappresentativo del sistema fornisce il numero medio di fotoni a 
frequenza ω
m  
[8]
.  
 8
Si noti che nella definizione della (1.7) si suppone che il campo elettrico non sia 
monocromatico, ma debba essere considerato su un certo spettro di frequenze (da qui 
l’integrazione su dω
m
). 
Dal momento che la fluorescenza parametrica è un processo altamente inefficiente, il 
campo di pompa a frequenza ω
0
 deve essere sufficientemente intenso ed in tal caso può 
essere trattato classicamente: supponiamo che possa essere descritto da uno stato 
classico di onda piana monocromatica: 
 
 >  ≅
00 0
()
00
(,) ..
ik x t
Ext Ae cc
 Ζ Ζ  
   (1.8)
 
dove A
0
 è l’ampiezza che assumiamo costante nel tempo: per essere più precisi, tale 
ipotesi, nei casi pratici, è vera qualora si usi una pompa in continua di cui si consideri 
trascurabile lo svuotamento, condizione questa accettabile in tutte le situazioni in cui il 
campo della sorgente laser è attenuato solo debolmente dal passaggio attraverso il 
mezzo non lineare. 
L’operatore hamiltoniano totale che descrive il processo di fluorescenza parametrica 
consiste della somma di un  termine 
0
ˆ
H , che comprende le energie dei singoli modi 
generati, e di un termine 
ˆ
I
H , che tiene conto della loro interazione reciproca: 
 
0
ˆˆ ˆ
I
HH H    (1.9) 
dove, considerando gli operatori precedentemente introdotti, si può scrivere: 
     
1
0 2
1,2
ˆ
ˆ
()
mmm m
m
Hnd Ζ Ζ Ζ
  
 
 ƒ
 ≥
h (1.10) 
e, ricordando la (1.4),  
 9
    
11 2 2 0 0 1 2 0
2
(2)()()()
00 1 2
2
2
() ( ) () ( )
(2)
12
12 01122
2
12
2
1
ˆˆˆ
(,) (,) (,)
2
ˆˆ
(,)(,) ..
4()
L
I
L
L
ik k k x t
L
HS ExtExtExtdx
dx d d A a t a t e H c
cn
 Ζ Ζ Ζ Ζ Ζ Ζ
 Η Φ
 Ζ Ζ
 Φ  Ζ Ζ
Σ
  
     
  
  
♠ ≡      
  
← …
  
    
 ≥
 ≥ ≥ ≥
h
(1.11)  
In quest’ultima espressione abbiamo supposto che il termine di non linearità χ
(2)
 sia 
costante nell‘intervallo di frequenze di interesse e non dipenda dalla coordinata x del 
cristallo. 
Se facciamo l’ulteriore ipotesi che anche i campi generati siano monocromatici, nelle 
relazioni precedenti si possono eliminare gli integrali in ω
1
 e ω
2
.  
Se poi  includiamo nella definizione degli operatori di creazione ed annichilazione le 
dipendenze temporali 
1
it
e
 Ζ
 e 
2
it
e
 Ζ
 ed esprimiamo l’ampiezza del campo di pompa 
tramite una costante complessa 
0
A
%
 che tiene conto dei termini di fase, l’hamiltoniana 
può essere scritta nella seguente forma semplificata: 
(2)
11 22 0
1,2
1
ˆˆ ˆ
ˆˆˆ
(,) (,)(,) ..
2
o
it
OI mmm
m
HH H n t Ga ta tAe Hc
 Ζ
 Ζ Ζ  Φ  Ζ Ζ
  
  
♣ •
 ♠  ≡          
♦ ÷
 ←  …
♥ ≠
ƒ
%
hh (1.12) 
dove G comprende tutti gli altri termini costanti precedentemente introdotti. 
In meccanica quantistica, per determinare l’andamento temporale di un generico 
operatore )(
ˆ
tO si può ricorrere all’equazione di moto di Heisenberg: 
 
ˆ
11
ˆˆˆ
(), () () () () ()
dO
Ot Ht OtHt HtOt
dt i i
 ♠  ≡ ♠  ≡
  
 ← … ← …
hh
 (1.13)
 
 
Segue quindi che l’andamento dell’operatore 
12
ˆˆ
() ()nt nt  è dato da: 
        
12
12 12
ˆˆ
() ()
ˆˆ
ˆˆ ˆˆ
() () () () () ()
dn t dn t
n t n t Ht Ht n t n t
dt dt
 ♠  ≡
     
 ←  …