2
In particolare, l'analisi si concentra sull’avancorsa, poiché numerosi studi indicano tale
parametro geometrico come quello che maggiormente influenza il comportamento dinamico e
la stabilità della bicicletta.
Nel Primo Capitolo, si riassumono le ricerche condotte sulla dinamica delle biciclette dagli
inizi del '900 e le varie tipologie di analisi.
Nel Secondo Capitolo, si introducono i parametri geometrici fondamentali e le forze agenti
sul veicolo.
Nel Terzo Capitolo, si riprendono le equazioni sviluppate da Hand, delle quali vengono
riportati e analizzati i passaggi principali, considerando due soli gradi di libertà per la
bicicletta: l'angolo di rollio e l'angolo di deriva.
Poiché le equazioni introdotte devono essere applicate alla bicicletta scelta per l'analisi, nel
Quarto Capitolo si ricavano, attraverso l'utilizzo di AutoCAD
®
, i parametri geometrici e
inerziali richiesti dalle equazioni.
Nel Quinto Capitolo, si studiano le equazioni in tre modi: attraverso il teorema di Routh-
Hurwitz, ricavando le regioni di stabilità; risolvendo numericamente le equazioni con l'ausilio
di Simulink
®
ed analizzando la risposta del sistema a determinati disturbi applicati in
ingresso; ricavando infine la matrice della dinamica e quindi gli autovalori del sistema.
Una volta completata questa prima parte analitica e numerica, si è realizzato un modello
multi-body della bicicletta per simularne il comportamento, utilizzando il codice
ADAMS
™
/MotorCycle realizzato per studiare le motociclette, le cui caratteristiche principali
sono introdotte nel Sesto Capitolo.
Nel Settimo Capitolo, si mostra come si è passati dal modello di motocicletta a quello della
bicicletta.
Nell'Ottavo Capitolo, si introduce il problema dei pneumatici e si descrivono le prove
sperimentali svolte per la loro caratterizzazione.
Nel Nono Capitolo, si riportano i risultati ottenuti dalle simulazioni svolte con il modello
multi-body della bicicletta.
Nel Decimo e ultimo Capitolo, infine, vengono confrontati e commentati i risultati ottenuti
con le diverse metodologie di analisi.
3
Capitolo 1
Lo studio
della stabilità
1.1 Stabilità e dinamica dei veicoli a due ruote
Lo studio della stabilità delle biciclette rientra nell’analisi della dinamica dei veicoli a due
ruote, che includono anche le motociclette e gli scooter.
I primi lavori pubblicati erano rivolti a ricerche sulla dinamica delle biciclette.
In seguito, nel corso del 1900, i veicoli a motore divennero mezzi di trasporto sempre più
comuni e le ricerche nel campo delle due ruote furono indirizzate verso le problematiche
legate alle motociclette.
Questo cambiamento di interesse fu probabilmente dovuto alle maggiori velocità connesse
all’utilizzo delle motociclette e ai conseguenti maggiori pericoli di seri incidenti, oltre che a
motivazione di carattere economico e commerciale.
Una bicicletta o una motocicletta molto stabile è poco maneggevole e manovrabile, ma assai
precisa nel seguire la traiettoria impostata: a seconda dell’uso per cui il veicolo è pensato
(amatoriale o agonistico, su strada o fuori strada…), il progettista ricerca quindi maggiore
stabilità o maggiore maneggevolezza.
Capitolo 1 Lo studio della stabilità
4
Poiché tali caratteristiche sono legate ad alcuni parametri geometrici quali l’avancorsa, per
scegliere la geometria del veicolo più vicina ai desideri del progettista e più adatta alle
necessità dell’utilizzatore bisogna studiare la dinamica del mezzo a due ruote in diverse
configurazioni.
1.2 Metodologie di studio
La dinamica di un veicolo a due ruote può essere studiata in diversi modi, per esempio
tenendo conto o meno del controllo del pilota, il quale può esercitare una coppia sul manubrio
o modificare la propria posizione sulla sella.
La scelta di un pilota passivo, rigidamente vincolato al telaio e non in grado di applicare
momenti allo sterzo, semplifica l’analisi e consente di focalizzare l’attenzione sull’influenza
che alcuni parametrici geometrici della bicicletta hanno sull’intrinseca stabilità della stessa.
Lo studio della stabilità della bicicletta a partire dalla posizione verticale di equilibrio può
essere affrontata con differenti tecniche:
• Calcolo di autovalori e autovettori del sistema delle equazioni di moto
• Applicazione del criterio di Routh-Hurwitz al polinomio caratteristico del sistema
• Integrazione numerica delle equazioni
• Osservazione sperimentale del comportamento del mezzo
Attraverso il calcolo degli autovalori (le radici del polinomio caratteristico del sistema) e dei
corrispondenti autovettori è possibile determinare le frequenze proprie e le forme dei modi
del sistema che rappresenta una bicicletta in moto a una data velocità.
L’analisi degli autovalori permette di valutare quantitativamente la stabilità della bicicletta.
Le informazioni relative agli autovettori possono essere utilizzate per cercare di capire come
la bicicletta diventi instabile e quali gradi di libertà del sistema contribuiscano all’instabilità.
Lo studio di autovalori e autovettori può però essere condotto solo su un sistema di equazioni
di moto lineari o linearizzate.
L’applicazione del criterio di Routh-Hurwitz permette di valutare la stabilità di una posizione
di equilibrio attraverso un’analisi dei coefficienti del polinomio caratteristico del sistema.
Tale analisi consente di determinare eventuali autovalori a parte reale positiva (causa di
instabiltà) senza calcolarli.
Capitolo 1 Lo studio della stabilità
5
Come il metodo basato sullo studio di autovalori e autovettori, anche quello basato sul criterio
di Routh-Hurwitz è applicabile solo a sistemi di equazioni lineari o linearizzate.
Questo metodo non fornisce indicazioni quantitative circa la stabilità, ma solo qualitative: il
confronto tra diverse configurazioni di bicicletta non permette di affermare quale sia la più
stabile.
Un altro metodo per valutare la stabilità di un sistema è rappresentato dalla soluzione
numerica delle equazioni di moto, lineari o non-lineari.
Analogamente all’analisi di autovalori e autovettori, lo studio della soluzione, ossia della
risposta nel tempo a determinati ingressi, fornisce indicazioni qualitative e quantitative circa
la stabilità e l’influenza che su essa hanno i parametri geometrici caratteristici della bicicletta.
La stabilità della bicicletta può anche essere valutata sperimentalmente, osservandone il
comportamento in diverse condizioni di moto e differenti configurazioni geometriche.
Prove significative riguardano:
• la coppia di sterzo necessaria, a una data velocità, per mantenere la bicicletta lungo
una traiettoria curvilinea di raggio costante
• le velocità limite di stabilità
• le caratteristiche dell’instabilità che si manifesta a una data velocità in seguito a una
perturbazione
• il comportamento della bicicletta nello slalom a velocità costante
1.3 Evoluzione dello studio della dinamica
I primi tentativi di ricavare le equazioni di moto di una bicicletta risalgono agli inizi del '900.
A tal fine, vennero sviluppati modelli semplificati di bicicletta, generalmente formati da
quattro corpi rigidi connessi fra loro:
• La ruota anteriore
• La ruota posteriore
• Il gruppo forcella-manubrio
• Il gruppo ciclista-telaio
Capitolo 1 Lo studio della stabilità
6
Per la determinazione delle equazioni, i ricercatori si basavano sulle leggi di Newton applicate
ai singoli corpi rigidi o sulle equazioni di Lagrange: l’utilizzo queste ultime presenta il
vantaggio di non comportare la risoluzione contemporanea di più equazioni di equilibrio delle
forze e dei momenti agenti sul sistema.
I modelli proposti trascuravano molti parametri fondamentali che influenzano la stabilità del
sistema.
Più in dettaglio [1]:
• Whipple (1899): considera il pilota rigidamente vincolato alla bicicletta, che può
ruotare lateralmente
• Carvallo (1901): sviluppa un modello di bicicletta con ruote identiche, in cui il
ciclista e il telaio sono considerati una singola entità, la massa del gruppo anteriore è
posizionata nel centro della ruota anteriore e le sue proprietà inerziali sono quelle
della ruota
• Bower (1915): elabora un modello che consiste in un telaio posteriore con il centro di
massa sopra il punto di contatto posteriore e in cui il momento di inerzia polare è
garantito da due masse puntuali situate una davanti e una dietro il centro di massa;
rispetto ai modelli precedenti aggiunge l'inerzia delle ruote, ma considera lo sterzo
bloccato; nei calcoli, ignora i prodotti di inerzia, scelta plausibile solo per la parte
posteriore, ma non per quella anteriore, a meno di trascurare l'avancorsa; infine, non
considera lo spostamento laterale dei centri di massa anteriore e posteriore causato
dall'angolo di rollio
• Timoshenko e Young: derivano equazioni non lineari per un modello di bicicletta
caratterizzato dall'avere una sola massa puntiforme nella parte posteriore e l'angolo di
sterzo controllato dal ciclista; il loro modello non considera l'inerzia delle ruote,
l'avancorsa e la distanza del centro di massa della parte anteriore dall'asse di sterzo
• Collins (1963): sviluppa in collaborazione con la Harley Davidson un modello di
bicicletta su cui è applicata una forza di guida sulla ruota posteriore e una forza per
simulare la resistenza aerodinamica sul gruppo forcella; deriva poi espressioni non
lineari per la velocità e l'accelerazione dei centri di massa anteriore e posteriore e,
come i precedenti, linearizza attorno alla posizione di equilibrio verticale; considera le
forze di guida e aerodinamica funzioni del quadrato della velocità di avanzamento,
alterando le forze di contatto sulle ruote anteriore e posteriore, e considera nulli
Capitolo 1 Lo studio della stabilità
7
l'angolo e la velocità di scivolamento laterale, riducendo a due i gradi di libertà del
sistema
• Singh (1964): aggiunge al modello di Collins lo scivolamento laterale del pneumatico
in funzione dell'angolo di rollio, ma solo nel caso di curva stazionaria
• Roland (1971): pubblica un articolo per la Schwinn Bicycle Company contenente il
primo studio al computer delle equazioni non- lineari rappresentanti il moto di una
bicicletta; considera lo scivolamento laterale del pneumatico e il rollio del ciclista;
ricava otto equazioni di moto: tre descrivono il bilancio di forze per l'intera bicicletta,
tre il bilancio dei momenti, la settima il bilancio dei momenti per il gruppo anteriore
attorno all'asse sterzo e l'ottava rappresenta il grado di libertà di rollio della parte
superiore del corpo del ciclista
• Singh e Goer (1975): presentano un modello matematico del dodicesimo ordine;
sviluppano una formulazione Lagrangiana simile a quella di Sharp, ma considerano
una distribuzione delle masse asimmetrica lateralmente, lo scivolamento laterale, le
forze aerodinamiche, lo smorzamento viscoso sullo sterzo e soprattutto le forze e i
momenti che si sviluppano nei pneumatici
• Lowell e McKell (1982): sviluppano un sistema di equazioni linearizzate considerando
una massa puntuale nella parte posteriore, l'inerzia dell'asse sterzo, gli effetti
giroscopici delle ruote, ma trascurando la massa anteriore e l'inclinazione dell'asse
dello sterzo; la bicicletta perde la capacità di auto-riallineamento
Purtroppo nessuno di loro risolve le equazioni, risultando di fatto impossibile confrontare i
risultati ed ottenere da questi lavori informazioni qualitative o quantitative.
Un lavoro recente (1988) e meno approssimato è quello di Richard Scott Hand.
Tale ricercatore ha sviluppato un modello semplificato di bicicletta, ha ricavato le equazioni
di moto e ha studiato la stabilità del sistema adottando il criterio di Routh-Hurwitz.
Capitolo 1 Lo studio della stabilità
8
1.4 Simulazione dinamica
Una nuova metodologia di studio della dinamica è rappresentata dalla simulazione real-time
di un modello attraverso l’utilizzo di codici multi-corpo.
Tale metodologia è relativamente recente (prima degli anni ’90 si ricorreva alla simulazione
dinamica solo in casi particolarmente critici) e ha beneficiato dell’incredibile sviluppo delle
capacità e delle velocità di calcolo dei computer.
La modellazione e la successiva analisi di un prototipo virtuale permette di effettuare prove di
verifica, messa a punto e sperimentazione in tempi e a costi decisamente inferiori rispetto alle
prove reali.
Con codici di calcolo quali ADAMS
™
(in particolare, utilizzando il pacchetto applicativo
sperimentale ADAMS
™
/MotorCycle) è possibile realizzare un modello di bicicletta con cui
eseguire prove dinamiche per diverse configurazioni geometriche, al fine di studiare stabilità e
manovrabilità.
L’impiego di questi software permette di verificare in tempo reale l’effetto di modifiche
operate sul modello.
Per contro, l’attendibilità dei risultati ottenuti presuppone la conoscenza di informazioni
relative alle caratteristiche e al comportamento dei pneumatici, informazioni difficili da
reperire e, ancora di più, da ottenere.
9
Capitolo 2
I concetti
fondamentali
2.1 Geometria della bicicletta
Quando si tratta la geometria della bicicletta ci si riferisce alle seguenti grandezze [2], che
hanno notevole influenza sulla dinamica e sulla maneggevolezza nelle varie condizioni di
utilizzo:
• Avancorsa (trail)
• Avancorsa normale (mechanical trail)
• Avanzamento dello sterzo (rake)
• Passo (wheelbase)
• Angolo d’inclinazione dell’asse sterzo
• Angolo d’inclinazione degli steli forcella rispetto all’asse sterzo
• Raggi delle ruote e anteriore e posteriore
Capitolo 2 I concetti fondamentali
10
Si consideri un veicolo a due ruote in posizione verticale con angolo di sterzo nullo [Figura
2.1].
Figura 2.1: grandezze fondamentali della bicicletta
Valgono le seguenti definizioni:
• Trail: distanza tra il punto di intersezione dell'asse sterzo con il piano stradale e il
punto di contatto della ruota anteriore
• Mechanical trail: distanza, misurata perpendicolarmente all’asse sterzo, tra il punto di
intersezione dell’asse sterzo con il piano stradale e il punto di contatto della ruota
anteriore
• Rake: distanza, misurata perpendicolarmente all’asse sterzo, tra l’asse sterzo e il
centro della ruota anteriore
• Passo: distanza tra i punti di contatto delle ruote anteriore e posteriore con la strada
• Angolo di inclinazione dell’asse sterzo: angolo tra asse sterzo e verticale
L’avancorsa e l’angolo di inclinazione dell’asse sterzo sono grandezze particolarmente
importanti, in quanto definiscono la geometria dello sterzo e determinano le caratteristiche di
stabilità direzionale e manovrabilità della bicicletta.
Tali grandezze sono legate fra loro: una variazione dell’angolo di inclinazione dell’asse sterzo
comporta una variazione dell’avancorsa.
Capitolo 2 I concetti fondamentali
11
2.2 Stabilità, manovrabilità e maneggevolezza della
bicicletta
La stabilità è la tendenza di un corpo a mantenere un determinato assetto e a ritornare
all’assetto primitivo in presenza di un disturbo che tenda a spostarlo dalla posizione di
equilibrio.
Per i veicoli la stabilità è l’opposto della manovrabilità: più un veicolo tende a mantenere
l’assetto iniziale, minore è la sua rapidità a cambiare direzione di marcia.
La stabilità di una bicicletta è influenzata, oltre che dal valore dell’avancorsa, dalla posizione
del baricentro del veicolo e da quella degli organi di governo, dalla distribuzione dei pesi e
dalla velocità di marcia (si pensi, a tal proposito, alla difficoltà a tenere in equilibrio un
veicolo a due ruote fermo) .
Al concetto di stabilità sono legati quelli di manovrabilità e maneggevolezza [3].
La manovrabilità è una grandezza legata ai moti possibili che si possono ottenere dal veicolo
considerando le sole limitazioni relative alle forze di controllo e ipotizzando un pilota ideale e
perfetto; la maneggevolezza, invece, si riferisce ai moti possibili che si possono ottenere dal
veicolo qualora si considerino anche i limiti del pilota.
L'analisi del comportamento dinamico della bicicletta (ossia delle caratteristiche di
maneggevolezza e di manovrabilità della stessa) è un problema di estrema complessità poiché
il modello matematico che descrive la sua dinamica è rappresentato da equazioni differenziali
non lineari, da equazioni algebriche dei vincoli complesse e infine da un elevato numero di
gradi di libertà.
2.3 Determinazione dell'avancorsa
Una delle grandezze fondamentali nello studio della stabilità di un veicolo a due ruote è
l’avancorsa.
Per calcolare il valore dell’ avancorsa A [Figura 2.2] è necessario conoscere:
• Il raggio della ruota r
• L’avanzamento dello sterzo c
f
• L’angolo tra verticale ed asse di sterzo λ
Capitolo 2 I concetti fondamentali
12
Figura 2.2 : avancorsa della bicicletta
Attraverso una relazione trigonometrica:
λcos
c
λ r tgA
f
−=
L’avancorsa normale B, cioè l’effettivo braccio tra asse di sterzo e centro dell’area di contatto
al suolo del pneumatico, è data da:
λ cosA B =
L’avancorsa è la misura caratteristica a cui viene ascritto il merito di mantenere la bicicletta
stabile in moto rettilineo.
Due effetti distinti rendono il veicolo controllabile:
• L’attrito fra pneumatico e terreno che porta alla nascita della forza laterale
• L’effetto giroscopico
Capitolo 2 I concetti fondamentali
13
2.4 Stabilità direzionale legata al contatto pneumatico-
terreno
Si consideri una bicicletta che avanza in moto rettilineo con velocità costante e si supponga
che una perturbazione esterna (ad esempio una irregolarità del piano stradale oppure un colpo
di vento laterale) provochi una leggera rotazione dello sterzo.
Durante il moto, la tenuta di strada è garantita dalle forze laterali di attrito generate dal
contatto dei pneumatici con il terreno.
Tali forze giacciono nel piano stradale e agiscono perpendicolarmente all’intersezione del
piano delle ruote con la strada [Figura 2.3].
Figura 2.3 : forze agenti sul pneumatico
Sul pneumatico anteriore agisce una forza di attrito F avente la medesima direzione della
velocità di strisciamento, ma verso opposto.
Quando l'avancorsa è positiva (punto di contatto tra ruota e terreno dietro il punto di
intersezione tra il prolungamento dell’asse sterzo e il piano stradale), la forza di attrito F
genera un momento che tende a riportare lo sterzo nella posizione di equilibrio.
La coppia raddrizzante risulta proporzionale al valore dell'avancorsa normale: maggiore è
l'avancorsa normale maggiore è il momento di richiamo a parità di velocità di strisciamento
[Figura 2.4].
Capitolo 2 I concetti fondamentali
14
Figura 2.4 : avancorsa positiva
Se il valore dell'avancorsa è invece negativo (punto di contatto tra ruota e terreno posto più
avanti del punto di intersezione dell'asse dello sterzo con il piano stradale), la forza di attrito
F, sempre opposta alla velocità di strisciamento, genera una coppia attorno all'asse dello
sterzo che tende ad aumentare la rotazione dello sterzo verso sinistra.
La forza di attrito F , in questa configurazione, amplifica perciò l'effetto perturbativo,
compromettendo gravemente l'equilibrio del veicolo.
Se infine l'avancorsa fosse nulla, la forza laterale non eserciterebbe nessun momento attorno
all'asse dello sterzo e la stabilità direzionale risulterebbe comunque compromessa [Figura
2.5].
Figura 2.5 : avancorsa nulla
Capitolo 2 I concetti fondamentali
15
Concludendo [2]:
• Valori piccoli dell'avancorsa generano momenti raddrizzanti piccoli; lo sterzo viene
percepito molto “leggero”, ma la stabilità direzionale risulta modesta; piccole
perturbazioni del piano stradale provocano facilmente la rotazione dello sterzo.
• Valori elevati dell'avancorsa generano momenti raddrizzanti grandi; il veicolo viene
percepito direzionalmente stabile, ma necessita di coppie applicate al manubrio da
parte del pilota più elevate, a parità di cambiamento di traiettoria.
2.5 Effetti giroscopici nella bicicletta
A bicicletta ferma il ciclista deve compiere grossi sforzi per mantenere il veicolo in equilibrio
sulle due ruote, in quanto questa tende a cadere.
Quando il veicolo si muove, sin dalle basse velocità, intervengono fattori esterni che aiutano a
mantenere una traiettoria più o meno rettilinea: più o meno in quanto il moto rettilineo di un
veicolo a due ruote è formato da una serie di curve e controcurve a larghissimo raggio,
alternativamente a destra e sinistra, che danno vita alla cosiddetta "stabilità automatica".
Fra i fattori esterni che aiutano il ciclista, fondamentale è l’effetto giroscopico delle masse
rotanti e delle masse collegate al sistema sterzante quali: la ruota, la forcella, il manubrio nel
suo insieme, la porzione di peso del pilota gravante sul manubrio, ecc.
Mentre risulta relativamente semplice determinare le masse, lo è molto meno valutare l’effetto
giroscopico generato dalla ruota e dalle masse poste in rotazione.
Si ha un effetto giroscopico quando una ruota in rotazione al proprio asse, con velocità ω, è
posta in rotazione, con velocità Ω, attorno ad un secondo asse perpendicolare al primo.
Tale effetto si manifesta con una coppia agente attorno ad un asse perpendicolare ai
precedenti [Figura 2.6].
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