Università degli Studi di Napoli “ Federico II” - Facoltà d’Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni
Capitolo 1
In quasi tutti i settori della scienza e della tecnologia occorre elaborare il segnale per
facilitare l’estrazione dell’informazione, pertanto lo sviluppo di tecniche e sistemi di
elaborazione del segnale è di grande importanza.
Spesso queste tecniche hanno come scopo la trasformazione del segnale in un altro segnale
che, per qualche motivo, risulta più vantaggioso del segnale originale.
In seguito verranno analizzati gli aspetti più generali dell’analisi numerica con particolare
attenzione alla trasformazione del segnale dal dominio del tempo a quello delle frequenze.
1.2 I segnali
I segnali sono variazioni di grandezze fisiche che trasportano informazioni.
Un segnale può essere definito come una funzione o una grandezza variabili nei confronti
di una o più grandezze appartenenti ad un particolare dominio e contenente informazioni
che riguardano in generale lo stato o il comportamento di un sistema fisico. Ad esempio il
segnale può essere costituito dall’insieme delle variazioni di una grandezza nel tempo o
nello spazio.
Matematicamente i segnali sono rappresentati come funzioni di una o più variabili. Per
esempio un segnale vocale può essere rappresentato come un livello di pressione sonora
funzione del tempo ed una fotografia può essere rappresentata come una livello di
luminosità funzione di due variabili spaziali.
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Capitolo 1
La variabile indipendente della rappresentazione matematica di un segnale può essere
discreta o continua.
Esistono quindi due tipi di segnali: i segnali a tempo continuo e quelli a tempo discreto.
I primi sono segnali il cui andamento è descritto da una funzione continua definita su un
insieme continuo. I secondi sono dei segnali in cui la variabile indipendente assume solo
valori discreti sono in altre parole dei segnali che possono essere intesi come delle
sequenze di numeri.
Oltre al fatto che le variabili indipendenti possono essere discrete o continue può inoltre
accadere che anche il valore del segnale sia discreto o continuo. I segnali numerici (quelli
che poi vengono elaborati da un processore) sono segnali discreti sia nel tempo (variabile
indipendente) sia in ampiezza.
Le telecomunicazioni studiano la trasmissione di informazioni a distanza per mezzo di
segnali che possono essere di vario tipo: acustico, elettrico, luminoso, elettromagnetico,
ecc.
Esaminiamo, quale esempio, un sistema tipo di trasmissione telefonica.
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L'uomo a sinistra, parlando, emette onde sonore che attraversano l'aria e colpiscono il
microfono generando una corrente elettrica di forma del tutto analoga alle variazioni di
pressione sonora prodotte nell'aria dalla sua voce.
Le centrali telefoniche possono essere collegate fra loro sia in fibra ottica che in ponte
radio, come indicato in figura, pertanto il segnale deve adattarsi al mezzo trasmissivo e
diviene dapprima segnale luminoso nella fibra ottica e, dopo, onda elettromagnetica fra
l'una e l'altra antenna del ponte radio.
Inversamente, in ricezione, deve nuovamente riconvertirsi dapprima in segnale luminoso,
poi in elettrico ed infine in sonoro per essere recepito dalla destinataria tramite il ricevitore
telefonico.
Durante tutte queste conversioni da una natura all'altra, il segnale deve però mantenere
sempre assolutamente costante l'unica cosa che veramente lo caratterizza: l'informazione
che trasporta, perché è questa che il primo utente vuole comunicare al secondo utente
senza, come è naturale, nessuna variazione.
Durante questa trasmissione, inoltre, il segnale, deve essere difeso da disturbi esterni, quali
interferenze, rumore, diafonie, distorsioni, ecc. che ne altererebbero la forma e quindi
l'informazione.
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È necessario, quindi, uno studio accurato del segnale per individuarne tutte le
caratteristiche informative in esso contenute, perché rimangano inalterate lungo la
trasmissione fino a destinazione.
Il segnale può essere studiato dunque da due punti di vista diversi:
Nel dominio del tempo, attraverso la sua
forma d'onda. Lo strumento idoneo per
questo studio è l'oscilloscopio.
Nel dominio della frequenza, attraverso
il suo spettro. Lo strumento idoneo in
questo caso è l'analizzatore di spettro.
OSCILLOSCOPIO ANALIZZATORE DI SPETTRO
Agilent 54833D 1 GHz Mixed-Signal Infiniium Anritsu Model: MS2687B
1.3 Dominio del Tempo e Frequenza
Il modo tradizionale di osservare un segnale è visualizzarlo nel dominio del tempo.
Il dominio del tempo possiamo vederlo come una sorta di “registrazione” di ciò che
accade ad un parametro di un sistema nello scorrere del tempo.
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Tipicamente è molto pratico convertire il parametro di interesse in un segnale elettrico
tramite opportuni trasduttori. Tale segnale elettrico può essere allora registrato o
visualizzato tramite magari un oscilloscopio.
Rappresentare i segnali nel dominio del tempo significa individuare e descrivere il loro
andamento istante per istante. La variazione della forma d’onda in funzione del tempo può
essere intesa come l’insieme dei punti dei valori assunti dall’ampiezza di una grandezza
elettrica in ogni istante. Tali punti si chiamano “valori istantanei”
6Spectrum Analysis Basics
CMB 12/96
Overview
Frequency versus Time Domain
t
i
m
e
Ampl i tude
(power)
f
r
e
q
u
e
n
c
y
Time domain
M easurements
Frequency Domain
M easurement s
Il dominio della frequenza può sembrare a
prima vista innaturale ma comunque è una
parte importante della nostra vita
quotidiana. Basti pensare all’accoppiata
orecchio – cervello che costituisce un
eccellente analizzatore di frequenza. Infatti
tale sistema suddivide la banda audio in
molte bande limitate e determina la potenza presente in ciascuna banda. Può inoltre
discriminare piccoli suoni immersi in un sottofondo rumoroso grazie alla sua capacità di
analisi in tale dominio.
Pertanto il dominio della frequenza è abbastanza comune, ma non siamo abituati a
visualizzarlo in maniera grafica.
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E’ importante sottolineare il fatto che non si perdono
informazioni sul segnale passando da un dominio all’altro,
ma lo si rappresenta solo in maniera differente.
La possibilità di avere una prospettiva diversa però risulta
essere molto utile.
Supponiamo ad esempio di voler misurare il livello di
distorsione in un oscillatore audio. In tal caso stiamo
provando a individuare una piccola onda sinusoidale in
presenza di un segnale molto più ampio.
I rispettivi domini (figure a lato) mostrano il segnale composto da un tono sinusoide ed
altre componenti sinusoidali sovrapposte (distorsioni). Quando queste componenti sono
separate nel dominio della frequenza sono facilmente individuabili perché non sono più
mascherate dalle altre più grandi.
1.4 Trasformata di Fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier, matematico francese, nato nel 1768 ad Auxerre, e morto a
Parigi nel 1830, dimostrò che una funzione periodica può essere espressa tramite una serie
di funzioni trigonometriche secondo il teorema che prende il suo nome:
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“Qualunque segnale periodico è
scomponibile nella somma di un eventuale
termine costante (valor medio) e di segnali
sinusoidali, dei quali uno ha la stessa
frequenza del segnale considerato (prima armonica o fondamentale) e gli altri hanno
frequenza multiple (armoniche superiori)”
Per comprendere meglio il teorema
di Fourier prendiamo in esame la
Figura a) accanto in cui i segnali
non sono rappresentati non su un
piano cartesiano ma in modo 3D,
introducendo l’asse delle frequenze.
In tal modo i segnali vengono
rappresentati nel loro sviluppo
temporale, ma posizionati sull’asse della frequenza, in corrispondenza del valore di questo
parametro. La proiezione di questi due segnali sul piano ampiezza frequenza darà
“spettro” del segnale in questione.
La Figura b) invece riporta la composizione dei due segnali nel piano ampiezza tempo in
modo da formare un segnale unico risultante, determinato dalla somma istante per istante
dei due segnali di ampiezza A
1
e A
2
e frequenza l’uno il doppio dell’altro.
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La somma dei due segnali ricompone, approssimativamente, il segnale non armonico.
L’approssimazione dipenderà in genere dal numero di armoniche considerate.
Per una onda quadra buone approssimazioni si ottengono considerando fino alla settima
armonica, mentre per approssimazioni ottimali si devono valutare almeno undici
armoniche.
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Quindi, secondo il teorema di Fourier, una funzione periodica y(t) è sviluppabile in una
serie costituita da un termine costante A
0
e da una somma di infinite sinusoidi:
le cui frequenze f
n
sono multiple intere della frequenza f
0
della funzione data:
e di ampiezze A
n
e B
n
calcolabili secondo le formule:
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Le funzioni aperiodiche possono essere concepite come funzioni periodiche allorché il
periodo tende a crescere fino all'infinito.
Allora la distanza fra due righe dello spettro a righe tende a zero e lo spettro diventa a
bande continue.
La serie di Fourier si trasforma in un integrale che assume il nome di Trasformata di
Fourier, che rappresenta la distribuzione continua delle frequenze presenti in un segnale
aperiodico.
Quindi, se il segnale in esame non è periodico (e quindi si può assumere il suo periodo T
come infinito) si può ricorrere all’integrale di Fourier che porta ad una funzione continua
nel dominio della frequenza sia per quanto riguarda l’ampiezza sia per quanto riguarda la
fase.
Questo accade perché le varie armoniche dello sviluppo in serie si avvicinano sempre più
tra loro, fino al punto che le righe spettrali divengono indistinguibili.
1.5 Metodi di analisi in frequenza
I metodi per l’analisi in frequenza dei segnali possono essere a grandi linee classificati
secondo due metodi fondamentali: analogici o digitali.
I metodi analogici più utilizzati sono: il metodo del “filtro passabanda”, il metodo del
“filtro con sweep in frequenza” ed il metodo del “filtro selettivo fisso e spostamento in
frequenza del segnale da analizzare” o detta anche “a tecnica supereterodina”
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I metodi di tipo digitale si basano tutti sull’utilizzo di analizzatori che sfruttano l’algoritmo
FFT.
1.5.1 Metodo del Filtro Passa Banda
Questo metodo di analisi in frequenza è stato utilizzato per molti anni.
Rappresenta una tecnica di analisi molto facile da implementare, ma è incapace di fornire
un analisi ad elevata risoluzione ed inoltre è richiesto un filtro passa banda per ognuna
della frequenze che deve essere analizzata.
La soluzione per esaminare contemporaneamente le risposte a più frequenze prende il
nome di analizzatore di spettro real time.
Quando si è interessati all’analisi di una componente spettrale ad una certa frequenza è
Ogni filtro è centrato alla frequenza di interesse per recuperare il solo contenuto
informativo nella singola banda desiderata.
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Tuttavia, se il numero di componenti di interesse aumenta a dismisura (come nel caso di
segnali transitori) non è opportuno ritenere di poter eseguire numerose operazioni di
filtraggio in tempi diversi, per poi collezionare queste informazioni come unico risultato di
misura; tale risultato potrebbe, infatti, essere uno specchio poco fedele del segnale in
analisi
Sappiamo, infatti, che i segnali transitori, in quanto dotati di banda illimitata, sono
caratterizzati da un numero teoricamente infinito di componenti spettrali.
Quindi solo nell’ipotesi, abbastanza verosimile, che queste componenti siano trascurabili
da un certo valore di frequenza in poi, si può ritenere che lo spettro del segnale sia
contenuto in un campo finito di frequenze.
Relativamente a questa soluzione, si osserva che i filtri passabanda lavorano in parallelo.
La banda passante di ciascun filtro, ovvero la risoluzione in frequenza del filtro, è tale da
evitare eventuali sovrapposizioni con le bande adiacenti.
A valle dei filtri sono presenti rilevatori che restituiscono un segnale continuo di valore
pari al valore efficace del segnale al loro ingresso. In ingresso al multiplexer, quindi, vi
saranno vari livelli di tensione, ciascuno dei quali rappresenta l’ampiezza dello spettro del
segnale di ingresso in una ben precisa banda di frequenze. Il generatore di scansione
stabilisce per ogni istante di tempo quale uscita dei rivelatori deve essere visualizzata.
Visualizzare lo spettro di un segnale significa operare su di un diagramma frequenze (asse
orizzontale) - ampiezze (asse verticale). Operando una scansione orizzontale dello schermo
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(come nel caso degli oscilloscopi) occorre, quindi, creare una corrispondenza tra tempo di
scansione e campo di frequenze e, più specificatamente, tra istanti di tempo di scansione e
valori di frequenze di analisi. Per l’analizzatore in questione, ciò si traduce nell’abilitare,
tramite lo stesso generatore di scansione, l’uscita di ciascun rivelatore in istanti di tempo
differenti; è possibile così creare una corrispondenza tra questi istanti e le frequenze
centrali dei filtri il cui rivelatore è stato abilitato nel medesimo istante.
Questo strumento è particolarmente indicato per l’analisi dei segnali le cui caratteristiche
spettrali evolvono nel tempo, in quanto, come già detto, consente il prelievo
contemporaneo di tutte le informazioni dello spettro.
Tuttavia, la richiesta di una sempre maggiore risoluzione spinge verso l’utilizzo di un
numero crescente di filtri, di qualità sempre superiore (banda stretta), con conseguente
aggravio dei costi dell’analizzatore. Inoltre, i filtri peggiorano in risoluzione all’aumentare
della frequenza, cosicché non è perseguibile la strategia di realizzare un analizzatore di
spettro real time in un range di frequenze molto ampio, non solo per i costi ma anche per la
qualità del risultato.
Ciò spiega il perché questa soluzione non è molto diffusa e le sue realizzazioni trovano
giustificazione in applicazioni specifiche.
.
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1.5.2 Metodo del Filtro con Sweep in Frequenza
Per analizzare lo spettro di un segnale periodico una prima soluzione proposta è quella
basata sul filtro a sintonia variabile.
La tecnica impiegata da questo metodo è quella di utilizzare un unico filtro in grado di
poter variare le frequenze centrali del filtro passa banda stesso in modo tale da permettere
un’analisi in intervallo di frequenze più esteso. Permette larghezze di banda più ristrette
(alta risoluzione), ma richiede un tempo assai lungo per l’analisi.
Questo unico filtro esamina un’ampia gamma di frequenze e si avvale di un controllo in
tensione, talvolta esterno allo strumento, per regolare la propria frequenza centrale.
Lo schema a blocchi di un tale analizzatore è mostrato in figura.
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Essa mostra, tra l’altro, la presenza del blocco “rivelatore di inviluppo”, preposto al
recupero dell’inviluppo del segnale in uscita al filtro.
La rampa ottenuta dal generatore di scansione stabilisce il tempo di filtraggio, e regola il
valore della frequenza che di volta in volta è analizzata. Nel tempo T, necessario per
scandire tutto il display, viene analizzata una gamma di frequenze che vanno da fo min a fo
max, dove fo è la frequenza a cui è centrato il filtro.
Le prestazioni di questo analizzatore sono fortemente limitate dall’impossibilità di
mantenere costante la risoluzione del filtro sull’intero campo di frequenze di analisi. In
particolare, maggiore è la frequenza centrale del filtro, meno spinta sarà la sua risoluzione.
1.5.3 Metodo del Filtro selettivo fisso e spostamento in frequenza del
segnale da analizzare (analizzatore di spettro a supereterodina)
Per superare i limiti evidenziati dalle soluzioni precedenti, si ricorre alla tecnica di
supereterodina.
Questa soluzione prevede un filtro passabanda a frequenza intermedia fIF fissa, ed una
modulazione del segnale da analizzare, in modo che il suo spettro si sposti lungo l’intero
asse delle frequenze. In pratica, l’effetto della modulazione è di traslare ciascuna
componente dello spettro alla frequenza fIF, e ciò è ottenuto mediante un segnale
modulante di tipo sinusoidale con frequenza variabile linearmente nel tempo.
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