Un modello matematico per lo studio di prodotti finanziari derivati dipendenti dalla storia del titolo sottostante

Merton, sviluppano un modello di valutazione che da loro prende il nome: il
modello Black-Scholes.
Questo modello si basa essenzialmente su due concetti fondamentali: una
certa dinamica del prezzo del titolo sottostante e il principio di non arbitrag-
gio. Il primo concetto si riferisce ad un modello probabilistico del mercato
azionario, in cui si suppone che il titolo sottostante sia negoziato continua-
mente sul mercato, con un prezzo che segue un particolare processo stocasti-
co: il processo di diffusione. Il principio di non arbitraggio, invece, afferma
che nessun investitore e` in grado di guadagnare con certezza da una strategia
di investimento, a meno di non depositare il denaro in banca.
Utilizzando questi concetti, il modello Black-Scholes conduce ad un’equa-
zione differenziale alle derivate parziali soddisfatta dal prezzo di ogni opzione:
l’equazione di Black-Scholes. Inoltre, nel caso in cui le opzioni da valutare
siano call e put ordinarie, le piu` trattate all’epoca e le piu` semplici dal pun-
to di vista finanziario, l’equazione differenziale ha una soluzione esprimibile
tramite una formula analitica esplicita: la formula di Black-Scholes.
Il modello Black-Scholes ha avuto negli anni seguenti uno straordinario
successo, dovuto anche al fatto che fornisce un metodo realmente utilizzato
dagli investitori per annullare la componente di rischio del loro portafoglio,
il cosiddetto delta hedging.
Dal 1973, pero`, lo studio dei prodotti finanziari derivati non si e` certo
fermato a un risultato cos`ı importante. Anzi, forte di una modellazione ma-
tematica cos`ı potente del problema, ha preso nuovo impulso ed energia. Da
una parte abbiamo visto la creazione di prodotti finanziari, derivati e non,
sempre piu` sofisticati e sempre piu` in grado di rispondere alle esigenze degli
investitori, specialmente per quel che riguarda la gestione del rischio finan-
ziario; e` nata cos`ı l’ingegneria finanziaria. Dall’altra parte abbiamo assistito
allo sviluppo di modelli matematici sempre piu` accurati per la determinazione
del prezzo di questi nuovi strumenti finanziari e al sempre piu` indispensabile
utilizzo di algoritmi al computer per la loro esatta valutazione; in questo mo-
do si e` sviluppato un nuovo settore di ricerca, chiamato finanza quantitativa,
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o anche finanza computazionale.
In particolare, nel campo dell’ingegneria finanziaria ha avuto molto suc-
cesso tra gli investitori una schiera di particolari strumenti derivati: le opzioni
esotiche. Tali opzioni rispondono alla crescente richiesta di personalizzazione
che viene da parte degli investitori per cio` che riguarda la gestione del rischio.
Mentre le opzioni ordinarie (o vanilla) hanno un valore a scadenza (il
payoff ) che dipende in maniera lineare dal prezzo del titolo sottostante, le
opzioni esotiche hanno caratteristiche molto piu` particolari, con payoff che,
ad esempio, possono dipendere dalla media, dal massimo o dal minimo del
prezzo del titolo sottostante. In questi ultimi casi si parla, piu` nello specifico,
di opzioni che dipendono dalla storia del titolo sottostante, o opzioni path-
dependent. E` ovvio che, con la crescente complessita` di tali strumenti, si e`
sviluppata ulteriormente la parte di finanza quantitativa che si occupa della
loro valutazione.
Tra le diverse opzioni esotiche che dipendono dalla storia del titolo sot-
tostante troviamo le opzioni asiatiche. Il payoff di questo tipo di opzioni
dipende dal prezzo medio, aritmetico o geometrico, del titolo sottostante cal-
colato durante un determinato periodo specificato in precedenza. Il fatto che
venga utilizzato il prezzo medio fa in modo che l’investitore sia meno esposto
ai cambiamenti e alle oscillazioni del mercato sul lungo periodo. In questo
modo le opzioni asiatiche si collocano come strumento principe nella gestione
personalizzata del rischio finanziario.
Dalla loro comparsa nei mercati finanziari internazionali, numerosi stu-
diosi hanno cercato di fornire un modello matematico per la determinazione
del prezzo delle opzioni asiatiche. A partire dalla fine degli anni ’80, una fol-
ta letteratura si e` sviluppata sulla valutazione di questi strumenti derivati.
Il problema e` che, malgrado si sia trovata l’equazione differenziale seguita
dal prezzo di tali strumenti, trovare una soluzione analitica esplicita analoga
alla formula di Black-Scholes e`, specialmente nel caso della media aritmetica,
un’operazione praticamente impossibile.
La letteratura si e` quindi concentrata da una parte, sullo sviluppo di
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modelli matematici alternativi, dalla’altra sull’implementazione di metodi
numerici per la determinazione del prezzo di tali strumenti; in quest’ultima
categoria rientrano i metodi Monte Carlo, i metodi che fanno uso di alberi e i
metodi alle differenze finite. Malgrado i numerosi articoli pubblicati, nessuno
e` pero` riuscito a trovare una soluzione del tutto soddisfacente.
In questa tesi svilupperemo un modello matematico per la valutazione
delle opzioni asiatiche basato sul lavoro di Barucci, Polidoro e Vespri. In
quest’ultimo lavoro viene presa in esame l’equazione differenziale per il prez-
zo delle opzioni asiatiche, sia con media aritmetica che con media geometrica.
Con un particolare cambiamento di variabile si ottiene una nuova equazione
differenziale che viene studiata al posto di quella originale. Per quest’ul-
timo problema Barucci, Polidoro e Vespri trovano alcuni risultati analitici
importanti, che prenderemo in esame, e danno l’idea per l’applicazione di un
metodo numerico.
Il nostro lavoro si colloca a questo punto dell’analisi; in questa tesi, infatti,
analizzeremo il metodo numerico proposto da Barucci, Polidoro e Vespri
(si tratta di un metodo alle differenze finite esplicito) e lo svilupperemo in
maniera completa. La formulazione originale di questo metodo lascia aperti
molti problemi, legati in particolare a due fattori:
• la mancanza di valori al bordo per l’approssimazione con le differenze
finite;
• la presenza di parti del dominio del problema in cui il metodo alle
differenze finite, per come e` strutturato, non e` in grado di ricavare la
soluzione.
Questi due problemi sono stati completamente risolti utilizzando l’estra-
polazione sia per i valori al bordo che per le parti di dominio non ricavabili.
Questo metodo si e` rivelato estremamente efficiente nella pratica, sia nel caso
della media geometrica, che in quello della media aritmetica. Infine abbiamo
sviluppato un metodo alle differenze finite implicito, che utilizza la stessa
soluzione.
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Piu` nello specifico, gli argomenti verranno sviluppati nel corso della tesi
in questo modo:
• nel capitolo due analizzeremo in modo approfondito l’innovazione fi-
nanziaria, le opzioni, il mercato azionario e il modello Black-Scholes,
dimostrando la relativa formula di valutazione; inoltre approfondiremo
le caratteristiche dei diversi tipi di opzioni esotiche presenti sui mercati
e vedremo alcune estensioni proposte al modello Black-Scholes;
• nel capitolo tre descriveremo accuratamente le caratteristiche delle op-
zioni asiatiche, il loro utilizzo da parte degli investitori e l’equazione dif-
ferenziale seguita dal loro prezzo, sia nel caso geometrico che aritmetico;
in seguito prenderemo in esame i principali problemi che si incontrano
nella determinazione del prezzo di questi strumenti e presenteremo in
dettaglio come in letteratura si sia tentato di risolverli;
• nel capitolo quattro analizzeremo con attenzione il modello matemati-
co proposto da Barucci, Polidoro e Vespri, presentandone i principali
risultati analitici; costruiremo poi un metodo alle differenze finite, sia
esplicito che implicito, per la determinazione del prezzo delle opzioni
asiatiche geometriche e aritmetiche, estendendo quello presentato da
Barucci, Polidoro e Vespri;
• nelle conclusioni analizzeremo e commenteremo i risultati ottenuti e
parleremo dei possibili sviluppi futuri.
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Capitolo 2
Opzioni e option pricing
In questo capitolo per prima cosa analizzeremo l’innovazione finanziaria svi-
luppatasi a partire dagli anni ’60, soffermandoci sulle cause che l’hanno ge-
nerata e sugli strumenti che ne sono stati e ne sono tuttora i protagonisti: i
prodotti finanziari derivati. Prenderemo poi in esame una particolare classe
di prodotti derivati, le opzioni, analizzando le loro caratteristiche, i motivi e
i modi in cui vengono utilizzate nei mercati finanziari di tutto il mondo. Suc-
cessivamente rivolgeremo la nostra attenzione al problema dell’option pricing,
presentando prima un modello di comportamento per i prezzi delle azioni e
poi il famoso modello Black-Scholes-Merton per la valutazione del prezzo del-
le opzioni. A questo punto, con l’aiuto dell’Analisi Matematica, risolveremo
l’equazione differenziale che scaturisce dal modello appena citato e presen-
teremo tre metodi numerici per risolverla non analiticamente. Infine faremo
una panoramica sui diversi tipi di opzioni presenti sui mercati e su alcune
estensioni che sono state proposte per il modello Black-Scholes-Merton.
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2.1 L’innovazione finanziaria
A partire dagli anni ’60 si e` verificata una vera e propria esplosione nel campo
dell’innovazione finanziaria. Nei mercati finanziari mondiali, caratterizzati
fino ai primi anni ’50 da prodotti in un certo senso classici come azioni e
obbligazioni, e` nata e si e` sviluppata una gran quantita` di nuovi prodotti
finanziari e di nuove strategie dinamiche di compravendita che li utilizzano.
Le cause scatenanti di questa innovazione possono essere suddivise nelle
seguenti categorie:
• l’aumentata incertezza sull’andamento dei tassi di interesse, dell’infla-
zione, dei prezzi dei titoli azionari e dei tassi di cambio;
• il progresso tecnico nel campo informatico e nelle tecnologie della tele-
comunicazione;
• la maggiore specializzazione professionale tra gli operatori del mercato;
• la competizione sempre piu` accesa tra le diverse attivita` di intermedia-
zione finanziaria;
• gli incentivi ad evadere le vigenti regolamentazioni e disposizioni fiscali;
• i mutamenti a livello mondiale nelle caratteristiche della ricchezza fi-
nanziaria.
Analizzando piu` dettagliatamente tali cause, possiamo osservare che al-
l’aumento di variabilita` si accompagna il bisogno, da parte degli investitori, di
nuovi e piu` efficienti prodotti per la ripartizione del rischio. Molti di tali pro-
dotti richiedono l’uso del computer per essere creati e per poter monitorare
il loro andamento. Anche per realizzare le strategie di compravendita dina-
miche che utilizzano tali prodotti e` necessario l’uso del computer e delle reti
di telecomunicazione. Senza i progressi nel campo informatico e telematico
alcune innovazioni non sarebbero nemmeno potute esistere.
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Inoltre, il livello di sofisticazione del mercato, particolarmente in ter-
mini di comprensione matematica, e` cresciuto notevolmente e ha portato
allo sviluppo di operatori di mercato sempre piu` specializzati. Questo, in-
sieme all’aumentata competizione tra le diverse attivita` di intermediazione
finanziaria, ha stimolato l’introduzione di prodotti e strategie commerciali
complesse.
Infine, le regolamentazioni che limitano la libera circolazione dei capitali
hanno stimolato la creazione di prodotti finanziari e di strategie di mercato
per evitare o aggirare tali restrizioni. Se a questo si aggiunge una nuova
nozione di ricchezza, intesa come entita` globale, si vede come i mercati fi-
nanziari si siano trasformati da locali a globali, incrementando il bisogno di
ulteriori strumenti per proteggersi in maniera piu` efficiente dalle variazioni
dei tassi di cambio.
All’interno di questa innovazione finanziaria, una particolare categoria di
prodotti ha avuto il ruolo di assoluto protagonista: i prodotti finanziari deri-
vati. Un prodotto finanziario derivato e` un particolare strumento finanziario
il cui valore dipende o deriva da quello di altre attivita`, finanziarie o reali.
Tra tutti i prodotti finanziari derivati, le opzioni sono sicuramente quello piu`
utilizzato dagli investitori e quello maggiormente studiato e analizzato dagli
esperti. E` proprio su questo strumento che ci concentreremo nel seguito.
Per maggiori approfondimenti sull’innovazione finanziaria e sul ruolo svol-
to dai prodotti finanziari derivati in tale innovazione si consiglia fortemente
la lettura del testo di Fabozzi e Modigliani [37], un assoluto riferimento in
questo campo.
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2.2 Che cos’e` un opzione?
Un contratto di opzione e` un particolare strumento finanziario derivato, che
conferisce al suo possessore il diritto di acquistare o vendere una data attivita`
(il sottostante) ad un certo prezzo (il prezzo d’esercizio) entro una certa data
fissata (la scadenza). Il fatto che un contratto di opzione (d’ora innanzi chia-
mato semplicemente opzione) dia un diritto al suo possessore, senza nessun
obbligo, da` un certo valore all’opzione stessa; questo valore viene chiamato
costo, premio o prezzo dell’opzione.
Analizzeremo ora piu` in dettaglio le varie caratteristiche di un’opzione
cercando di darne una descrizione il piu` possibile esaustiva; per ulteriori
dettagli si rimanda ai testi [32], [37], [50] e [97].
2.2.1 Alcuni approfondimenti
In primo luogo, l’opzione e` un contratto; di conseguenza, possiamo identifica-
re due controparti: l’acquirente e il venditore. L’acquirente e` colui che paga
il prezzo dell’opzione alla stipula del contratto e ha il diritto di esercitare
l’opzione, ovvero vendere o acquistare il sottostante; il venditore e` colui che
si assume l’obbligo potenziale di vendere il sottostante se l’acquirente decide
di comprarlo e, viceversa, di comprarlo se l’acquirente decide di venderlo.
Nel caso in cui l’acquirente abbia il diritto di comprare il sottostante, l’op-
zione viene detta call, nel caso in cui l’acquirente abbia il diritto di vendere
il sottostante, l’opzione viene detta put. Il venditore viene anche chiamato
writer, ovvero colui che scrive il contratto di opzione.
A seconda che l’opzione possa essere esercitata ad una data prefissata,
e solo a quella, oppure in un qualsiasi momento della vita dell’opzione (il
periodo che va dall’emissione, ovvero dalla stipula del contratto, fino alla
scadenza), abbiamo rispettivamente le opzioni europee e americane. Da no-
tare che gli aggettivi utilizzati per indicare queste categorie di opzioni non si
riferiscono alla localizzazione geografica delle borse in cui tali titoli vengono
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trattati; ad esempio vi sono opzioni trattate nelle borse nordamericane che
sono di tipo europeo e viceversa.
Il sottostante puo` essere una qualsiasi attivita` finanziaria o reale. In
questa sede ci concentreremo su opzioni su strumenti finanziari (come azioni,
futures, valute, indici azionari,. . . ) ed in particolare sulle opzioni su azioni
(stock options). Ciononostante si tenga presente che esistono opzioni che
hanno come sottostante metalli preziosi, merci o addirittura la possibilita`
di usufruire di un certo servizio, a patto che tale servizio abbia un valore
quantificabile per le controparti.
Dal punto di vista storico, il primo contratto di opzione di cui si e` a
conoscenza si ha con il filosofo Talete nell’antica Grecia: il sottostante era la
possibilita` di utilizzare alcuni frantoi durante la primavera successiva ad un
rigido inverno. Da allora i mercati delle opzioni di ogni tipo sono cresciuti
enormemente e oggi tali titoli vengono trattati sia in mercati regolamentati
che OTC (Over The Counter, mercato senza intermediari in cui gli operatori
concludono le negoziazioni tramite contatto diretto, rendendo in questo modo
possibile anche la contrattazione di prodotti estremamente personalizzati).
2.2.2 Un esempio concreto
Analizziamo ora un esempio per cercare di capire meglio cos’e` un contratto
d’opzione e come si puo` utilizzarlo dal punto di vista finanziario.
Immaginiamo un’opzione call europea sulla FIAT con prezzo di esercizio
pari a 100 euro e scadenza tra un anno; il prezzo dell’opzione e` di 3 euro.
Qual e` il payoff, ovvero il valore dell’opzione a scadenza, per il suo acquirente?
La risposta dipendera` dal prezzo delle azioni FIAT tra un anno; vediamo i
diversi casi:
1. il prezzo delle azioni FIAT e` pari o inferiore a 100 euro. L’opzione da` al
suo possessore il diritto di comprare un’azione della FIAT a 100 euro: e`
evidente che in questo caso l’acquirente non esercitera` questo diritto in
quanto puo` comprare la stessa azione sul mercato ad un prezzo uguale o
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inferiore. Di conseguenza, se il prezzo delle azioni FIAT a scadenza sara`
minore o uguale a 100 euro, l’acquirente perdera` per intero il premio
versato: avra` dunque una perdita di 3 euro.
2. il prezzo delle azioni FIAT e` compreso tra 100 e 103 euro. In que-
sto caso l’acquirente esercita l’opzione acquistando un’azione per 100
euro e rivendendola sul mercato ad un prezzo superiore; cos`ı facendo
la perdita dovuta al pagamento iniziale del prezzo dell’opzione viene
ridotta. Ad esempio, supponendo che il prezzo delle azioni FIAT sia di
101 euro, l’acquirente, esercitando l’opzione, ha un guadagno di 1 euro,
il che porta a 2 euro di perdita il bilancio netto dell’operazione, se si
considerano i 3 euro pagati inizialmente per il premio.
3. il prezzo delle azioni FIAT e` pari a 103 euro. Come nel caso precedente
l’acquirente esercita l’opzione e ottiene un profitto pari a 3 euro che
compensa esattamente il premio pagato inizialmente: si e` in pareggio.
4. il prezzo delle azioni FIAT e` superiore a 103 euro. L’acquirente esercita
l’opzione e realizza un effettivo profitto. Ad esempio, supponendo che
il prezzo delle azioni FIAT a scadenza sia pari a 123 euro, l’acquirente
acquista un’azione FIAT per 100 euro, la rivende a 123, ha un guadagno
di 23 euro, il che porta ad un profitto netto di 20 euro.
Le osservazioni fatte in precedenza sono riassunte in figura 2.1.
Un discorso analogo a quello fatto per le opzioni call, si puo` fare anche
per le put, solo che, se l’acquirente di una call spera che il prezzo dell’azione
aumenti e superi il prezzo d’esercizio, chi acquista una put spera che il prezzo
dell’azione diminuisca e divenga minore del prezzo d’esercizio. Nel caso delle
put, infatti, l’acquirente ha diritto a vendere un’unita` del sottostante al prez-
zo d’esercizio; se il prezzo del sottostante alla data di scadenza e` inferiore al
prezzo d’esercizio, allora l’acquirente esercitera` l’opzione comprando azioni
sul mercato e rivendendole al writer al prezzo d’esercizio.
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Figura 2.1: Profilo dei profitti/perdite per una call su un’azione FIAT
2.2.3 Posizioni su opzioni
Considerando i due tipi di opzioni (call e put) e le due controparti del con-
tratto d’opzione (l’acquirente e il venditore) possiamo definire quattro tipi di
posizioni sulle opzioni:
1. posizione lunga su una call;
2. posizione corta su una call;
3. posizione lunga su una put;
4. posizione corta su una put.
Nell’elenco, posizione lunga e posizione corta sono sinonimi di, rispettiva-
mente, compra e vende e indicano la prospettiva di acquirente e venditore.
Queste posizioni su opzioni europee vengono di solito caratterizzate con il
payoff per il soggetto protagonista (l’acquirente o il venditore); tipicamente
in questi casi non si considera il premio iniziale pagato per l’opzione. Quindi,
indicando con T la scadenza dell’opzione, con S(T ) il valore del sottostante
alla scadenza e con E il prezzo d’esercizio, avremo che:
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(a) per una call lunga il payoff sara` dato da:
max(S(T )− E, 0);
(b) per un call corta sara` dato da:
−max(S(T )− E, 0)
ossia:
min(E − S(T ), 0);
(c) per una put lunga il payoff sara` dato da:
max(E − S(T ), 0);
(d) per una put corta sara` dato da:
−max(E − S(T ), 0)
ossia:
min(S(T )− E, 0).
Questi risultati sono sintetizzati in figura 2.2.
2.2.4 Hedging
Dalla figura e dalle formule presentate sembrerebbe che non ci sia convenien-
za ad assumere posizioni corte sulle opzioni: sembrerebbe che il venditore
di un’opzione sia sempre destinato a perdere. Ad esempio, se da una parte
l’acquirente di una call puo` ottenere un profitto illimitato, con una perdita
limitata al premio pagato inizialmente, il writer della stessa call puo` ot-
tenere una perdita illimitata, con un profitto limitato al premio incassato
inizialmente.
Perche´, quindi, una persona dovrebbe vendere un’opzione? Il motivo e`
sostanzialmente uno ed e` il seguente (per semplicita` ci riferiamo ad un’opzione
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Figura 2.2: Payoff delle diverse posizioni su opzioni europee
call; il discorso puo` essere riproposto, dualmente, per una put): chi compra
una call pensa che il prezzo del sottostante sia destinato a salire; viceversa
chi vende una call ha una diversa visione di quello che succedera` nel mercato
e pensa che il prezzo dello stesso sottostante sia destinato a scendere. Sembra
assai ragionevole che sul mercato siano presenti entrambe queste posizioni;
effettivamente si puo` provare che entrambe queste posizioni devono esistere
in un mercato efficiente.
Ampliando un po’ il discorso possiamo dire che i venditori utilizzano le
opzioni per assicurarsi contro i movimenti avversi del mercato, allo stesso
modo in cui lo fanno gli acquirenti: entrambi cercano di ridurre il rischio
del rispettivo portafoglio (l’insieme degli strumenti finanziari posseduti da un
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investitore). Ma come e` possibile ridurre il rischio connesso ad un portafoglio
utilizzando le opzioni? Risponderemo a questa domanda con un esempio che
ci fara` capire anche il significato di hedging, o copertura.
Partiamo dal fatto che il valore di una put sale quando il valore del
sottostante scende; cosa succederebbe ad un portafoglio costituito da un certo
numero di opzioni e da un certo numero di unita` del sottostante? Dipende
dalla proporzione in cui si hanno i due elementi. Se un portafoglio di sole put
sale quando il valore del sottostante scende e un portafoglio contenente solo il
sottostante, nella medesima situazione, ovviamente scende, vi sara` un punto
tra questi due estremi, con un certo rapporto tra quantita` di sottostante e
di put, in cui il valore del portafoglio non cambiera` affatto in relazione a
piccoli movimenti del sottostante. Con questo rapporto il portafoglio sara`
istantaneamente privo di rischio. Il significato di hedging (o meglio di hedging
tramite opzioni) e` appunto quello di ridurre il rischio, traendo vantaggio dalle
correlazioni esistenti tra valore dell’opzione e valore del sottostante.
2.2.5 Effetto leva
C’e` un ultimo aspetto delle opzioni che non abbiamo ancora trattato ed e`
qualcosa che, fin dalla loro prima apparizione sui mercati, le ha rese assai ap-
petibili non solo agli hedgers (operatori finanziari che effettuano operazioni di
copertura), ma anche agli speculatori (operatori finanziari che, essenzialmen-
te, scommettono sulla salita o meno dei corsi azionari). Analizziamo anche
quest’aspetto con un esempio.
Supponiamo che uno speculatore pensi che le azioni delle FIAT siano
destinate a salire entro i prossimi mesi (beh, prima o poi saliranno anche
loro!); egli vorra` quindi assumere una posizione in cui guadagnera` nel caso
in cui il prezzo delle FIAT aumenti. A questo punto ha due possibilita`:
comprare direttamente azioni della FIAT o comprare call scritte su azioni
FIAT. Supponendo che il prezzo attuale delle FIAT sia di 100 euro, che il
prezzo di una call sulle azioni FIAT con scadenza a 3 mesi e prezzo d’esercizio
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