L'autoriferimento in teoria degli insiemi

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combinazione di questa e del moto della luna attorno alla terra genera i cicli delle fasi 
lunari. Nella storia dell�umanit� questi cicli hanno rappresentato, per la loro regolarit�, 
una importante fonte di riflessione scientifica, spingendo alla razionalizzazione dei 
fenomeni naturali. Uno schema per il succedersi delle stagioni dell�anno [BM 96] pu�, 
essere il seguente:  
 
anno = (primavera, (estate, (autunno, (inverno, (anno))))). 
 
Analoghi schemi possono essere inventati per schematizzare tutte le regolarit� del 
corpo umano, come ad esempio il battito cardiaco. Analogamente un dialogo tra due 
individui [BM 96] pu� essere rappresentato come:  
 
dialogo = (primo individuo, (secondo individuo, (dialogo))). 
 
Tale schema si presta a diverse attivit� di relazione ed a giochi a mosse, come una 
partita a scacchi od a ping pong.  
 
III. Un infarto pu� essere causato da una forte emozione: il cardiopatico che cominci a star 
male prova terrore perch� ha paura che gli stia venendo un infarto; tale emozione pu� 
essere cos� forte da provocare un aggravamento dell�infarto stesso, da cui deriva 
ulteriore terrore; da questo segue ancora aggravamento, in un ciclo che pu� portare 
alla morte. Schematicamente: 
 
infarto Ø terrore Ø aggravamento = (infartoØ terrore Ø aggravamento). 
 
Questo esempio differisce lievemente dal precedente perch� qui tra tutti i termini c�� 
un nesso causale e non semplicemente sequenzialit�. 
 
IV. La chiamata ricorsiva � uno schema in cui all�interno di una procedura si richiama la 
procedura stessa: 
 
Programma:=(Istruzione1, (Istruzione2, (Programma))) 
 
in genere questi cicli terminano, dato che si tratta di liste di istruzioni cui segue un 
qualche atto da parte della macchina e che modificano la situazione ad ogni passaggio. 
Tuttavia ci� non � affatto garantito e sta all�abilit� del programmatore evitare cicli 
infiniti. Si noti che, pi� in generale, la nozione di stato di un sistema [BM 96], in 
informatica, pu� dare luogo a cicli in quelle macchine progettate per tornare 
regolarmente negli stessi stati. 
 
V. Il linguaggio [BM 96], oltre a ci� che chi comunica intende significare, trasmette 
sempre anche un�informazione riguardo a se stesso: che si sta usando proprio quel 
linguaggio. Non � difficile immaginare come da ci� possano derivare dei casi di 
autoriferimento che non sempre si semplificano ricorrendo alla gerarchia dei 
metalinguaggi.  
 
VI. L�anafora
1
 pu� offrire diverse occasioni di cicli di significato, in cui un pronome si 
riferisce al soggetto od all�oggetto di una subordinata in cui compare un altro pronome 
riferito al primo. Nella frase: �colui che viveva vicino a colei che per anni lo aveva 
                                                 
1
 Adattamento da [BM 1996]. 
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disturbato, la denunci��, il senso di �colui che�, si chiarisce solo se si sa chi � �colei 
che�, ma essa � definita in una subordinata determinata dal pronome �lo�, che si 
riferisce di nuovo a �colui che�: analogamente per �colei che�, e per �la�. 
 
VII. Ogni convenzione condivisa [BM 96] da una comunit� (legge, uso, credenza) vige 
effettivamente grazie al seguente ciclo: ognuno degli individui ritiene che essa viga, e 
dunque che tutti debbano accettarla, cio� si aspetta che tutti gli altri individui 
l�accettino e si aspettino da lui che l�accetti, e che dunque si aspetti da loro che 
l�accettino e si aspettino da lui che l�accetti e che si aspetti da loro ... cos� all�infinito. 
Si tratta di un aspetto importante perch�, ad esempio, quando il conducente di un 
veicolo viola una regola del codice stradale, il rischio di fare un incidente, peggiore di 
quello di una multa, � dato proprio dal fatto che gli altri conducenti si aspettano un 
diverso comportamento. La teoria delle situazioni, che schematizza questioni di questo 
genere, � piena di esempii simili.  
 
VIII. Particolare interesse riveste il caso in cui una certa situazione sia determinata dal fatto 
che gli individui interessati siano a conoscenza di esservi collocati [BE 87], o che 
alcuni di loro sappiano che altri ne sono consapevoli. Ad esempio � chiaro che una 
partita a poker a carte scoperte non � uguale ad una partita regolare, n� al caso in cui 
uno o pi� giocatori disonesti riescano a vedere, all�insaputa degli altri, le carte di 
qualche altro giocatore. Se si vuole modellizzare cercando di dare risalto a questi 
aspetti, occorre concepire una struttura, la situazione, che si compone, oltre che da 
della lista delle condizioni oggettive rilevanti, anche delle cose cui tutti gli individui 
sono a conoscenza, tra cui pu� comparire la situazione stessa. 
 
IX. Secondo una massima del sofista Protagora di Abdera [AF 86] �l�uomo � misura di 
tutte le cose, di quelle che sono in quanto sono e di quelle che non sono in quanto non 
sono�. Se tra �tutte le cose� ci sono anche l�uomo stesso e la sua attivit� di misurare 
(ed � legittimo crederlo perch� essi �sono�) si ha un ciclo. Analoghi cicli di 
autoreferenzialit� sono generati dal motto socratico �so di non sapere� se tra le cose 
che �non so� c�� anche questo non sapere. Esempii simili possono incontrarsi 
esaminando interpretazioni estremiste dello scetticismo e dell�idealismo. 
 
X. Nella tradizione aristotelica [AF 86] una delle definizioni del Primo Motore, principio 
che genererebbe in ogni istante l�universo, � quella di �ente che pensa se stesso 
pensante�. Il pensiero � visto come �elemento primo� dell�universo proprio in quanto 
attivit� in grado di autoprodursi, ossia grazie alla sua capacit� di riferirsi a se stesso. 
Concezione non molto dissimile si ritrova anche nell�espressione di Cartesio �Cogito, 
ergo sum� [BM 96]. Questi, cercando, quasi come i matematici dell�inizio del 
ventesimo secolo, qualche elemento fondamentale indubitabile su cui costruire il suo 
sistema filosofico, si era proposto di mettere in dubbio tutto ci� che poteva esser 
dubitato sino a che non avesse trovato qualcosa per cui ci� fosse impossibile: fin� con 
lo stabilire che l�unica cosa che aveva tale caratteristica era proprio il fatto che stava 
pensando, da cui poteva concludere che esisteva. Dubitare della sua attivit� di pensiero 
avrebbe infatti richiesto una sua attivit� di pensiero, dunque il suo pensare era 
un�attivit� indubitabile. Il pensiero pone se stesso ed anche il pensante, cos� come il 
pensiero del Primo Motore aristotelico genera se stesso e l�universo. Tutto ci� si basa 
sull�autoreferenzialit� del pensiero, cio� su di un ciclo. 
 
XI. C�� ciclicit� anche nell�antinomia del mentitore [BE 87] che pu� esser formulata come 
una proposizione che si riferisce a se stessa, asserendo la propria falsit�. Essa � il 
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primo esempio di circolarit� conclamata nella cultura occidentale. Poich� sembra 
strano che la ricerca sia arrivata a considerare cose di questo genere solo all�epoca 
della Sofistica, si pu� pensare che tutti gli altri esempii in cui la circolarit� non dava 
troppo fastidio siano stati trascurati, e che si sia cominciato ad occuparsene solo 
quando alcuni sofisti avevano preso ad usare questo caso �patologico� inserendolo 
nell�arsenale di paradossi con cui sconvolgevano le teorie logiche e le filosofie altrui. 
Solo in seguito ci si � poi preoccupati di altre circolarit� che non costituiscono 
direttamente antinomia, come ad esempio quella di una frase che asserisca la propria 
verit�: in realt� essa � altrettanto sconvolgente di quella del mentitore, perch�, essendo 
la negazione della precedente, si ha che ammettendo la legittimit� di questa come 
proposizione sensata � necessario ammettere anche l�altra. Strutture cicliche 
paradossali sono ad esempio il foglio di Jourdain ed i libri antinomici di Tarski, citati 
in [B 97], in cui compaiono coppie di proposizioni come la seguente: 
 
1. questa affermazione � vera se e solo se lo � la seguente. 
 
e di seguito: 
 
2. questa affermazione � vera se e solo se lo � la precedente. 
 
o ancor pi� paradossalmente: 
 
1.  questa affermazione � vera se e solo se lo � la seguente. 
2�.  questa affermazione � falsa se e solo se lo � la precedente. 
 
Se si pensasse che tali paradossi si possano risolvere semplicemente con la 
gerarchizzazione tra linguaggi e metalinguaggi o con altri accorgimenti sintattici, ci si 
pu� convincere che ci� non � vero grazie alle due proposizioni
2
: 
 
1''. La maggior parte delle dichiarazioni di Cesare Previti � falsa. 
2''. Tutte le accuse dei giudici di Milano sono vere. 
 
Qui non c�� niente paradossale se non quando siano i giudici di Milano ad asserire 1 e 
sia Cesare Previti ad asserire 2 ed un numero pari di proposizioni di cui una met� siano 
chiaramente vere e l�altra chiaramente false. In tal caso 2 � vera se e solo se � falsa. Il 
paradosso di autoriferimento non � qui di natura sintattica, bens� semantica. 
 
XII. Un proverbio calabrese dice: �non vali neppure a dir che non vali�. Dello stesso 
genere � la ciclicit� che incontriamo tutte le volte che una qualche autorit� deve 
giudicare se stessa. Gli organi di autogoverno delle categorie professionali, i codici di 
autoregolamentazione e persino le assemblee costituenti (che si legittimano da se 
stesse, non esistendo ancora poteri, che appunto si devono costituire, n� codici di 
riferimento, che si devono scrivere) possono presentare caratteristiche di riferimento 
circolare. In realt� di solito ragioni storiche o di contesto fanno s� che una qualche 
struttura esterna di riferimento almeno culturale preesista sempre, il che ridimensiona 
l�autolegittimazione. La storia insegna inoltre che diverse istituzioni (poteri, scuole 
filosofiche, chiese, partiti, o gruppi d�opinione), trovandosi a doversi difendere da 
eterodossie, eresie, o riforme, hanno fatto ricorso alla promulgazione di attestazioni 
della loro unicit� come istituzioni legittime, dando luogo a fenomeni di 
                                                 
2
 Italianizzazione di un esempio di Saul Kripke riportato in [BM 96]. 
 8
autoriferimento. In genere la sacralit� di un testo sacro � espressa nel testo sacro stesso 
e la fede si regge su atti di fede. Tipiche realt� autoreferenziali del mondo di oggi sono 
le universit� ed il Ministero delle Universit� e della Ricerca, che in genere producono 
loro stesse gli strumenti con cui giudicarsi.  
 
XIII. �La distanza di sicurezza � la distanza minima da tenere dal veicolo che ci precede, 
per evitare collisioni e tamponamenti e per garantire in ogni caso l�arresto tempestivo 
del veicolo. (...) La distanza di sicurezza deve essere almeno uguale al tempo di 
reazione del conducente� [A]. Questa in realt� non � proprio una definizione circolare, 
ma lo diventa nella pratica perch� l�unico criterio per vedere se una distanza data la 
soddisfa � a posteriori, ossia quando il veicolo si � gi� fermato in sicurezza o meno. 
Solo dopo che si � tamponato il veicolo che precede si sa se la distanza che si teneva 
non era tale da permettere di non tamponare. Questo permette ai vigili di elevare 
contravvenzioni, quelle s�, circolari, nel testo delle quali il reato contestato � quello di 
non aver tenuto la distanza di sicurezza, tanto � vero che si � tamponato. Detto in altri 
termini: si � tamponato perch� non ci si � impedito di tamponare, cio� si � commessa 
un�infrazione perch� si � commessa quella stessa infrazione.  
 
 
2 Gli insiemi. 
 
Per tentare di �far scienza� in ambito matematico dei fenomeni di autoriferimento si � 
naturalmente portati, nel nostro secolo, a rappresentare gli oggetti in essi coinvolti in termini 
di insiemi, con definizioni e strutture basate su questi che ne rendano possibile una 
schematizzazione. Se infatti � vero che si pu� parlare di molti fatti matematici anche senza 
citare la nozione di insieme, � anche vero che, per il nostro attuale modo di pensare, prima o 
poi essa salta fuori, o, per meglio dire, si viene a scoprire che � sempre stata sullo sfondo. 
Essa ha avuto nel secolo passato il ruolo di pietra angolare di tutta la matematica e tanta � 
l�efficacia del ragionare per insiemi che ci si aspetta di poterlo fare pi� o meno con tutto
3
. 
 
Purtroppo, in base alle consuete impostazioni insiemistiche ci� non � possibile, perch� 
in esse l�autoriferimento � esplicitamente vietato. Chiunque oggi prenda a sfogliare un libro di 
matematica destinato ai primi anni delle facolt� scientifiche se ne accorger� alle prime 
pagine
4
, ove in genere si raccomanda di non nominare nemmeno l��insieme di tutti gli 
insiemi�. 
 
Dopo una nascita soffertissima e contrastata, l�insiemistica � oggi uno dei pilastri 
fondamentali dell�istruzione scientifica di base in quasi tutto il mondo, proprio grazie alla sua 
grande efficacia nella modellizzazione dei fenomeni. Ci� la rende un formidabile strumento 
                                                 
3
 �I sistemi formali pi� estesi finora costruiti sono, da un lato, il sistema dei Principia Mathematica (PM), e, 
dall�altro, il sistema d�assiomi per la teoria degli insiemi dovuto a Zermelo e Fraenkel (e ulteriormente 
sviluppato da J. L. von Neumann). Entrambi questi sistemi sono cos� comprensivi che tutti i metodi 
contemporanei di dimostrazione usati in matematica sono stati formalizzati in essi, cio� sono stati ridotti a pochi 
assiomi e poche regole d�inferenza. Viene quindi alla mente la congettura che questi assiomi e regole d�inferenza 
siano sufficienti per decidere tutti i problemi matematici che possono essere espressi formalmente, nella loro 
completezza, nei predetti sistemi.� [Boc 72]. �L�importanza della teoria degli insiemi in tutta la matematica 
d�oggi � dovuta al fatto che, come � stato dimostrato dall�esperienza, in pratica ogni concetto matematico si pu� 
opportunamente definire in termini di concetti di teoria degli insiemi, e ogni proposizione matematica si pu� 
opportunamente tradurre in una proposizione di teoria degli insiemi.� [Ab 72]. 
4
 <<Dunque se la propriet� x – x dovesse definire un insieme, questo sarebbe �l�insieme di tutti gli insiemi�: il 
paradosso di Russell, ci porta allora a riconoscere l�impossibilit� di un tale insieme; in altre parole, nella teoria 
degli insiemi non ci pu� essere �universo�>> [P 70]. Cos� quasi tutti i testi di Analisi 1. 
 9
didattico per insegnare a schematizzare le esperienze e farne astrazione, e dunque ad elaborare 
le strutture mentali necessarie alla riflessione di tipo scientifico e logico-matematico. Per 
questo, sebbene non manchino ragionevoli contestazioni contro il suo abuso, essa ha un suo 
ruolo importante nei curricula formativi nel fornire agli studenti solide basi teoriche non 
aliene all�intuizione. 
 
Oltre all�efficacia pedagogica, parte del suo interesse risiede inoltre nel fatto che essa 
provvede anche gli studiosi gi� formati di una grande capacit� di organizzazione concettuale 
dei fenomeni, mentre le sue diverse applicazioni (in teoria dell�informazione, in probabilit�, 
od in certi studii in campo economico) hanno prodotto notevoli progressi teorici e grandi 
innovazioni tecnologiche. Possiamo spingerci fino a dire che in certo modo gli insiemi e la 
scienza che ci permette di maneggiarli, caratterizzano, tra altre cose, il nostro tempo, poich� 
con essi, sebbene talora mascherati o nascosti in dispositivi e strumenti, abbiamo a che fare 
quotidianamente, pur senza accorgercene, in mille occasioni.  
 
Per fare un esempio di strumento di cui ci serviamo quasi tutti i giorni e che deve 
molto alla teoria degli insiemi, possiamo considerare le basi di dati (data bases). Proprio 
alcune versioni di questa struttura cos� importante possono esser soggette all�azione 
debilitante del paradosso di autoriferimento. La variante �gerarchica completa� (descritta nel 
capitolo II di questa tesi), ammette infatti il caso di un insieme che appartiene a se stesso e 
ci�, in base alle pi� correnti sistemazioni teoriche della teoria degli insiemi su cui poggia, 
pone problemi di consistenza.  
 
� bene dire che questa debilitazione non � tale da rendere inefficienti agli effetti 
concreti le basi di dati gerarchiche complete, tanto � vero che gli informatici continuano a 
usarle e perfezionarle con successo. Ma il loro operare, sino a che qualche matematico non 
giustifichi razionalmente i loro procedimenti garantendone la sicurezza, � per cos� dire 
�abusivo� ed �a loro rischio�, un po� come lo era quello di quei geodeti e geografi, che ben 
prima della rivoluzionaria introduzione delle geometrie non euclidee usavano nel loro lavoro 
triangoli la somma dei cui angoli era maggiore di un angolo piatto od altre costruzioni 
geometriche impossibili, e dunque vietate, nella geometria euclidea. � noto come costoro 
fossero abituati a limitarsi ad un ambito strettamente tecnico e che non potessero teorizzare 
esplicitamente l�esistenza di quegli enti geometrici senza dover temere �le strida dei beoti�. 
 
Oggi fortunatamente le cose vanno in modo un po� diverso, ed anzi una delle funzioni 
della ricerca matematica � anche quella di riconciliare strumenti efficaci con la teoria da cui 
derivano, ma in base alla quale non potrebbero funzionare. L�oggetto di questa tesi � proprio 
un caso di questa riconciliazione: si tratta di rivedere la teoria in modo da poterglieli annettere 
in tutta coerenza.  
 
Pi� in generale quel che si cerca di ottenere � la possibilit� di dare una trattazione 
rigorosa, con le argomentazioni che siamo soliti usare per gli insiemi, anche ai fenomeni 
circolari, togliendo ad essi il marchio del paradosso. 
 
 
3 Il punto cruciale. 
 
Come meglio illustrato nel capitolo VI di questa tesi, l�autoriferimento venne bandito 
ai primi del secolo passato dalla costruzione logica e matematica di Russell, secondo cui la 
maggior parte dei paradossi logici sarebbe originata proprio dalla possibilit� che un insieme 
appartenga a s� stesso o che una proposizione si riferisca a se stessa. In seguito, von 
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Neumann, che operava nel contesto della teoria di Zermelo-Fraenkel, ZF (tratteggiata 
brevemente nel capitolo I), viet� pi� precisamente l�esistenza di catene infinite di 
appartenenza, formulando l�assioma di Fondazione o Regolarit� (capitolo II). Nella teoria cos� 
integrata (ZF+FA) non esistono dunque soluzioni all�equazione insiemistica:  
 
X = {X}. 
 
L�esistenza di un insieme soluzione, in mancanza di altre regole, avrebbe infatti ridotto 
il campo di applicabilit� dell�assioma di estensionalit� (capitolo I), fondamento di tutta la 
costruzione. Vietandola, l�universo degli insiemi aveva trovato una gerarchizzazione e la 
possibilit� di costruire, con i mezzi di questa teoria, tutta la matematica che allora sembrava 
necessaria.  
 
Questo � il nodo della questione: Aczel, propose negli anni ottanta del secolo scorso 
un assioma del tutto opposto, che assicura l�esistenza e l�unicit� della soluzione di equazioni 
come quella citata: l�assioma di �Antifondazione� [Ac 88] (capitoli III e V).  
 
La legittimit� di tale assunzione � mostrata grazie ad un sistema di rappresentazione 
degli insiemi basato su grafi, la cui univocit� si basa su due lemmi dovuti a Mostowski 
(capitolo III). Con tali strumenti si dimostra che la teoria che scaturisce dal sistema di 
Zermelo-Fraenkel e dall�assioma di Antifondazione (ZF+AFA) � tanto consistente quanto ZF 
(capitolo IV). Ci� � il massimo che possiamo ottenere, poich� il teorema di G�del, ci vieta di 
dimostrare la consistenza tout court di una teoria, ma d�altra parte in ci� questa nuova 
eguaglia la vecchia ZF+FA, anche essa tanto consistente quanto ZF. 
 
 
adattamento di una figura in [BE 87] 
 
Esistono in ZF+AFA insiemi che appartengono a loro stessi, o che sono estremi di 
catene infinite di appartenenza, detti iperinsiemi, e con essi si possono trattare i fenomeni di 
autoriferimento. Per gli altri insiemi, raccolti in una classe apposita, continua a valere tutto ci� 
che valeva in ZF+FA. ZF+AFA amplia ZF+FA, non introduce nuove inconsistenze, ed � una 
teoria pi� versatile. 
 
Riassumendo secondo lo schema dell�euristica matematica proposto da Imre Lakatos 
[L 76], si pu� dire che alcuni paradossi legati all�autoriferimento misero in crisi la congettura 
cantoriana che ogni collettivit� fosse un insieme; da qui scatur� una serie di divieti atti ad 
escludere questo ed altri �mostri�, che Russell e von Neumann inserirono tra le basi della 
teoria, mettendo al sicuro la concezione cumulativa (capitolo III). Siamo ora nella fase 
successiva in cui P. Aczel, J. Barwise e tanti altri, avendo rivalutato alcuni �mostri� e 
riconosciuta loro qualche utilit�, sviluppano metodi per eliminarne gli effetti devastanti, e li 
reintroducono nella teoria con un ruolo importante. La presente tesi descrive questa fase. 
 
 
 11
4 Ringraziamenti. 
 
Ringrazio il mio relatore, professor Piero Plazzi, per l�aiuto sempre attento e 
precisissimo che ha saputo darmi, per la competenza con cui mi ha indirizzato nelle occasioni 
di dubbio e per la pazienza davvero biblica che ha dimostrato nei miei confronti durante la 
gestazione lunghissima di questa tesi. Gli sono particolarmente grato di avermi fatto 
affacciare sull�abisso dell�autoriferimento, della teoria degli insiemi e della logica 
matematica. 
 
Similmente ringrazio il professor Bruno D�Amore, oltre che per tutto ci� che mi ha 
insegnato in questi anni, anche per come me lo ha insegnato. Lo ringrazio per gli ottimi 
consigli, per le persone che mi ha fatto conoscere e per le belle cose che mi ha dato occasione 
di fare. Ad entrambi sar� sempre debitore di un grosso contributo alla mia formazione 
matematica e generale, di persona senziente. 
 
Alla fine di questa fase del mio percorso formativo, cos� lungo e tormentato, debbo 
esprimere le mia pi� sincera gratitudine ai miei genitori, l�insegnante Silvana Cellerino ed il 
restauratore Giovanni Franco Nicosia, per il sostegno materiale ed intellettuale che mi hanno 
sempre assicurato in questi anni, nonch� per avermi sopportato e spronato. Mi rendo conto di 
come ci� non debba esser stato facile e di quanto la loro fiducia mi sia stata necessaria. 
 
Sempre nella mia famiglia vorrei ringraziare in modo particolare mio nonno, il 
maestro Pietro Cellerino, insegnante elementare del secolo passato con diverse manie �logico-
matematiche�, amante dell�ordine e degli algoritmi e positivista ortodosso, che, penso, oggi 
sarebbe contento se potesse sapere della strada che ho imboccato. 
 
Ringrazio inoltre Fra Venanzio Maria Quadri dei Servi di Maria per il suo discreto e 
costante aiuto e per averlo sempre avuto testimone presente in tutti i fatti della mia vita 
universitaria, il caro amico Alessandro Ghigi, zoppo col quale ho imparato a zoppicare, anche 
se poi abbiamo zoppicato in strade diverse, ed il professor Sandro Ciraci, che, trattando 
sempre da adulti tutti i suoi studenti, ne ha letteralmente convertito alla matematica diversi, 
tra cui me, che recalcitravo in un ombroso liceo classico e non volevo nutrirmi che di 
letteratura. 
 
Ringrazio infine mia moglie Jeanine per la grande forza che ha saputo e sa infondermi 
nella vita di ogni giorno, per la pazienza con cui mi ha sopportato, egocentrico e distante, nei 
periodi pi� intensi della preparazione di questa tesi, ed anche per la grande gioia che sta per 
darmi. A lei ed alla sua pancia questo modesto lavoro � dedicato, cos� come ogni mio sforzo.