Il problema della stima nelle equazioni differenziali stocastiche: un approccio operativo

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 3
degli stati.
Se T ∈ ℵ allora il processo sara` discreto, se T ∈ < allora sara` continuo.
In questo lavoro l’attenzione sara` rivolta in particolare a questo secondo tipo
di processi.
Ogni variabile casuale Xt appartenente al processo sara` funzione mis-
urabile di uno spazio probabilizzato {Ω,=Ω, PΩ}, a valori in uno spazio{
<d, B<d, PXt
}
, dove PXt e` la probabilita` indotta dalla variabile casuale, ed
=Ω , B<d indicano le σ−algebre costruite sui rispettivi spazi (B<d indica la
ben nota classe di Borel in <d.)
E’ per questo che una scrittura piu` completa di un processo stocastico2
dovrebbe essere cos`ı formata:
{
Ω,=Ω, PΩ, {=t}t∈T , {Xt}t∈T
}
(1.1)
e dove {=t}t∈T e` una filtrazione, cioe` una successione di sotto-σ-algebre di
=t, crescente in t, adattata alla successione {Xt}t∈T 3. Da un punto di vista
intuitivo, la filtrazione tiene conto dell’accumulo di memoria del processo,
all’aumentare delle realizzazioni temporali, infittendo progressivamente la
granularita` della σ-algebra =t rispetto a cui Xt e` misurabile.
Tuttavia, data la pesantezza della notazione, generalmente si preferira`
usarne solamente una forma abbreviata.
In quanto successione di variabili casuali, e` quindi evidente come ogni
elemento di un processo stocastico dipenda dal realizzarsi di un evento ele-
mentare nello spazio fondamentale {Ω,=Ω}, e per questo una scrittura piu`
rigorosa dovrebbe essere Xt(ω) (o X(t, ω) nel caso continuo). Da questo
segue che fissato un certo t0 ∈ T la variabile aleatoria cos`ı individuata Xt0 ,
∀ω ∈ Ω, sara` una variabile casuale di cui si potra` studiare la distribuzione ed
i relativi indici di posizione. Viceversa, fissato ω0 ∈ Ω, ∀t ∈ T , avremo la suc-
cessione deterministica {Xt(ω0), t ∈ T} di valori in <d che costituira` la c.d.
traiettoria del processo o, con terminologia anglosassone, sample function.
Poiche´ saremo interessati a queste traiettorie per particolari processi con-
tinui, sara` importante verificarne le proprieta` di continuita` e derivabilita`.
Tuttavia trattandosi di realizzazioni di un processo stocastico e quindi dipen-
dendo dall’evento elementare ω ∈ Ω, tali proprieta` andranno studiate nel-
l’ambito della definizione di quasi certezza (q.c.)4, cioe` vera salvo per sot-
2Si veda Baldi (’84) pp. 23 e succ.
3Generalmente, se non specificato, si intendera` la filtrazione naturale costruita su
{Xt}t∈T , cioe` tale che Ft = σ(Xs, s ≤ t).
4Nota come “relazione vera quasi ovunque(q.o.)” in teoria della misura.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 4
toinsiemi di Ω a misura nulla di probabilita`.
Nella letteratura sui processi stocastici seguono, a questo punto, alcune
definizioni che garantiscono delle buone caratteristiche di regolarita` al pro-
cesso stesso, e quindi di “trattabilita`” analitica. Tra le altre, di particolare
importanza risulta la possibilita` di caratterizzazione attraverso una succes-
sione finita di elementi (teorema di Kolmogorov). Si richiama poi il concetto
di stazionarieta` del processo stocastico, considerata come invarianza rispetto
al tempo della distribuzione marginale delle variabili componenti (in senso
forte), o come invarianza rispetto al tempo dei momenti primo e secondo delle
varibili casuali componenti oltre che della funzione di covarianza, dipendente
solo dall’intervallo temporale (stazionarieta` in senso debole). Si rinvia a testi
piu` specifici per una trattazione rigorosa5.
1.2 Il moto Browniano
1.2.1 Processo di Wiener
Il moto Browniano prende il nome dal botanico inglese Robert Brown (1827)
che osservo` il movimento apparentemente caotico e disordinato di particelle
di polline sulla superficie di un liquido, a causa degli infiniti scontri con le
particelle del liquido stesso sottoposte ad agitazione termica.
Successivamente importanti matematici e fisici quali Bachelier, Einstein,
Kolmogorov e Wiener, hanno cercato di fornire una descrizione analitica del
fenomeno, in particolare estrapolando delle ipotesi di comportamento6 che
fossero coerenti con la classe di fenomeni studiati. Se indichiamo con Xt un
vettore aleatorio in <3 indicante la posizione nello spazio di una particella,
tali assunzioni sono:
1. la posizione assunta dalla particella al tempo t + h, cioe` Xt+h, per
effetto degli shock ricevuti nell’intervallo (t, t + h), dipende solo dalla
posizione all’istante t ed e` invece indipendente dalla posizione negli
istanti precedenti, cioe` Xs, s < t; formalmente (Xt+h−Xt) non dipende
da (Xt−Xs) con s < t < t+h, i.e. il processo {Xt}t∈T e` ad incrementi
indipendenti;
5
In particolare Lessi (’93) pp. 233 e succ., Grimmett-Stirzaker (’82) cap.8 e succ.
6Lessi (1993) pp.240 e succ.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 5
2. la legge di probabilita` di (Xt+h − Xt) non dipende da t, cioe` il pro-
cesso che descrive gli incrementi e` stazionario in senso forte. Questo
potrebbe essere interpretato in senso fisico dicendo che la temperatura
che condiziona l’agitazione termica del liquido vettore, non varia nel
tempo;
3. la particella non fa salti, cioe` le traiettorie di {Xt}t∈T sono continue
rispetto al tempo.
A partire da queste ipotesi di comportamento Wiener formalizzo` la definizione
di un processo aleatorio che le rispettasse e ne studio` le principali proprieta`.
2 def. 1.1 Si definisce7 processo di Wiener un processo
{
Ω,=Ω, PΩ, {=t}t∈T , {Xt}t∈T
}
con l’insieme del parametro reale T ∈ <, a valori reali in <d, se:
1. X0 = 0 (q.c.)
2. per ogni t ∈ T la variabile aleatoria incremento Xt+h − Xt e` indipen-
dente dalla σ−algebra =s, ∀s < t
3. l’incremento Xt+h −Xt ha una distribuzione normale ℵ(0, h)
2
Ed inoltre abbastanza facile dimostrare che, date queste premesse ed in
particolare la normalita` delle distribuzioni, applicando il c.d. Criterio di
Kolmogorov, esiste una modificazione8 del processo considerato che ammette
traiettorie continue (q.c.).
Date queste premesse si puo` definire un processo di Wiener come:
Un Processo Stocastico ad incrementi indipendenti, stazionari,
normalmente distribuiti con media zero e varianza dipendente
solo dall’intervallo h, di valore iniziale X0 = 0 (q.c.), e con
traiettorie quasi certamente continue.
7Baldi (’84) pp. 39 e succ.
8A volte anche chiamata versione, e` un processo che differisce dal primo solo per punti
a misura nulla di probabilita`; vedi per la dimostrazione sempre Baldi (’84) pp. 43 e succ.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 6
Diventa poi interessante mettere in luce le caratteristiche della distibuzione
condizionata del processo9, rispetto un certo valore iniziale Ws. In questo caso
otterremo i momenti condizionati:
• E[W (t) | W (s)] = W (s) ∀s ≤ t
• E
[
(W (t)−W (s))2 | W (s)
]
= t− s ∀s < t
e conseguentemente una densita` condizionata normale del tipo:
• f(W (t) | W (s)) = 1√
2pi(t−s)
exp
{
− (W (t)−W (s))22(t−s)
}
Infine viene evidenziata la struttura della funzione di autocovarianza del
processo. Si dimostra10 che:
Cov[W (t),W (s)] = E[W (t)W (s)] = min(t, s).
mentre l’espressione della varianza si riduce a:
V ar[W (t)] = E[W (t)2] = t
Appare quindi caratteristica la struttura della variabile casuale m-dimen-
sionale ottenuta come realizzazione per t ∈ {t1, t2, ..., tm} di un processo
di Wiener. Tale variabile risultera` una normale multivariata, con vettore
di media nullo e matrice di varianza-covarianza {ai,j}i,j=1...m e dove ai,j =
min(ti, tj), cioe` nella forma:


t1 ... ... t1
.
.
. t2 ... t2
.
.
.
.
.
.
. . .
t1 t2 tm


(1.2)
9Si veda Grimmett-Stirzaker (’95) pp. 487 e succ.
10Baldi (’84) p. 41.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 7
L’importanza del processo di Wiener e` dovuta al fatto che formalizza
un comportamento del tutto casuale di un elemento aleatorio dovuto ad
infiniti shock esogeni e, nonostante questo, conserva delle caratteristiche di
bonta`, quali la continuita` (q.c.) delle traiettorie, che ne rendono studiabile
il comportamento (anche se richiederanno strumenti nuovi come l’integrale
stocastico).
Sfortunatamente, tale regolarita` nelle traiettorie di un processo di Wiener,
non e` sufficiente a garantirne anche la differenziabilita`, in accordo con un
teorema dimostrato dallo stesso Wiener. Intuitivamente la cosa si spiega
pensando che il numero di incrementi casuali per ogni istante di tempo e` tale
da determinare una traiettoria che, sebbene continua, presenta infiniti punti
angolosi11.
In particolare si dimostra che la traiettoria di un processo di Wiener e`
una funzione continua ma a variazione non finita in ogni intervallo [a, b]12.
Per concludere ricordiamo alcune proprieta`13 che torneranno utili nel
corso del lavoro. In particolare abbiamo:
dalla legge forte dei grandi numeri
lim
t→∞
Wt
t
= 0 (q.c.) (1.3)
dalla legge del logaritmo iterato
lim sup
t→∞
Wt√
2t lg lg t
= +1 (q.c.) (1.4)
lim inf
t→∞
Wt√
2t lg lg t
= −1 (q.c.) (1.5)
11una definizione piu` accurata si trova in McKean, H. P. “Stochastic Integrals”, New
York, Academic Press, 1969
12dove per variazione di una funzione f(x) su di un intervallo [a, b] si intende
suppi
∑
| f(xi+1)− f(xi) |
e dove pi varia tra tutte le partizioni a = x1, x2, x3, ..., xn+1 = b dell’intervallo [a, b].
13vedi Arnold (’73) pp. 46 e succ.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 8
1.2.2 Il processo White Noise
Facciamo un rapido cenno al processo noto in letteratura14 come White Noise
(Gaussiano). Questo e` definito come un processo {ξt}t∈T con media nulla,
E[ξt] = 0, ∀t ∈ T , e funzione di densita` spettrale costante sull’intero asse
reale, anche se bastera` considerarla nell’intervallo [−pi, pi] e pari a f(λ) = σ22pi
dove σ2 puo` essere pensata senza perdita di generalita` come unitaria. Sulla
base di questa definizione appare chiaro il significato del processo White Noise
dove, al pari della luce bianca, tutte le frequenze partecipano con la stessa
intensita`15.
Ma questa definizione e` compatibile solo con una funzione di autoco-
varianza, E[ξtξt+h] = C(h), tale che C(h) = 0 ∀h 6= 0, e C(0) = σ2 per
t = 0.
Date queste proprieta` si comprende il nome di processo puramente ca-
suale ed ovviamente ci si aspetta una realizzazione campionaria, cioe` una
traiettoria, estremamente irregolare. Proprio per queste sue caratteristiche,
il processo White Noise definito nel continuo, cioe` con T ⊆ <, puo` approssi-
mare bene gli incrementi di un processo di Wiener o, viceversa, e` pensabile al
processo di Wiener come una somma infinita di realizzazioni di un processo
White Noise. Una scrittura cioe` del tipo
Wt =
∫
t
t0
ξtdt (1.6)
Il problema deriva dal fatto che questa scrittura non ha per noi alcun
significato, almeno secondo le regole di integrazione classiche.16 Vediamo
come sia possibile superare questo problema.
1.3 L’Integrale Stocastico
Siamo quindi giunti alla necessita` di dare un’interpretazione formale e non
solo intuitiva ad un integrale del tipo:
14specie ingegneristica
15vedi per una descrizione completa dell’analisi spettrale testi come Harvey “Time Series
Models” Philip Allan Publishers Limited, 1981, Oxford.
16salvo forse nell’ambito della teoria delle funzioni generalizzate per la quale si rinvia a
Gelfand, I.M. Vilenkin, N.J. “Generalized Functions”, vol.4, New York, Academic Press,
1961
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 9
Xt =
∫
t
t0
f(s)dWs (1.7)
dove Ws e` un processo di Wiener standard, e f(s) una qualche funzione
continua e sufficientemente regolare17.
Vedremo piu` oltre come integrali di questo tipo derivino naturalmente
dall’operare con processi stocastici continui, e siano alla base delle equazioni
differenziali stocastiche.
A causa delle proprieta` del processo di Wiener non e` possibile applicare
alla (1.7) le regole di integrazione secondo Riemann-Stieltjes. Secondo l’in-
tegrale di Stieltjes, che generalizza quello di Riemann, avremmo infatti che,
sostituendo Wt con una generica funzione F (t):
Jn =
n∑
k=1
f(ηk)[F (xk)− F (xk−1)] (1.8)
dove ηk e` un generico punto interno all’intervallo Ik di estremi [xk−1, xk].
In condizioni normali al crescere della numerosita` degli intervalli della
partizione o, alternativamente, facendo tendere la lunghezza massima degli
intervalli a 0, si ha che Jn converge anch’esso ad un valore che definiremo
l’integrale secondo Stieltjes della funzione f(·) rispetto alla F (·).
Questo e` vero in condizioni normali, cioe` di sufficiente regolarita` della
funzione F (·), in particolare si richiede che tale funzione sia monotona o
quantomeno a variazione finita nell’intervallo di integrazione.
Purtroppo, come gia` indicato nei paragrafi precedenti, un processo di
Wiener e` a variazione infinita per ogni sottointervallo [t0, t] e quindi la (1.7)
perde di significato.
In particolare, senza voler entrare troppo nei dettagli, quello che im-
pedisce ad una successione come la (1.8) di convergere e` la scelta del punto
in cui valutare la funzione da integrare f(·) all’interno di ogni sottointervallo
[xk−1, xk]. Si dimostra che scegliendo punti diversi si ottengono valori diversi
di convergenza.
17
In letteratura (vedi ad es. Arnold (’74) pp.64), si ammette che anche la funzione inte-
granda possa essere stocastica, cioe` scritta nella forma f(t, ω) e dipendente direttamente
da un elemento aleatorio. Per i nostri scopi sara` sufficiente considerarla deterministica
in senso stretto, cioe` solo funzione del tempo, oppure funzione a sua volta di un qualche
processo stocastico Xt(ω), e dipendendo quindi dall’elemento aleatorio solo per mezzo di
quest’ultimo.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 10
1.3.1 Integrale Stocastico di Itoˆ
La scelta di quale punto scegliere all’interno di ogni intervallo venne fatta da
Itoˆ, il quale decise di valutare la funzione integranda all’estremo inferiore di
ogni sottointervallo, cioe` la (1.8) diventava:
Jn =
n∑
k=1
f(xk−1)[F (xk)− F (xk−1)] (1.9)
Questa scelta che potrebbe sembrare del tutto arbitraria, e` invece mo-
tivata da considerazioni di carattere analitico, infatti e` l’unico valore che
permette di caratterizzare l’integrale di Itoˆ, rispetto al suo estremo superiore
di integrazione, come un processo martingala18 e quindi poterne sfruttare le
proprieta`.
Come contropartita tale scelta ha pero` il difetto di differire dalle regole di
integrazione classiche e di richiederne di proprie appositamente sviluppate.
Una scelta alternativa e` stata fatta da Stratonovich R. L.19, il quale
ha considerato come punto per valutare la funzione integranda esattamente
il punto centrale di ogni intervallo, arrivando a definire una diversa formu-
lazione di integrale stocastico che rispetto all’accezione di Itoˆ ha il vantaggio
di sfruttare le stesse regole di integrazione classiche.
Itoˆ in particolare dimostra che quella successione converge per ogni fun-
zione f(.) sufficientemente regolare20, sfruttando il fatto che ogni funzione
sufficientemente regolare puo` essere pensata come limite di una successione
di funzioni elementari.
Vengono derivate anche alcune proprieta` generali di tale integrale, quali
ad esempio:
la linearita`
∫
t
t0
(af1 + bf2)dWt = a
∫
t
t0
f1dWt + b
∫
t
t0
f2dWt (1.10)
valore atteso
E
(∫
t
t0
f(t)dWt
)
= 0 (q.c.) (1.11)
18vedi Baldi (’84) pp.141 e succ.
19vedi Kloeden-Platen (’95) pp. 101.
20
in particolare che appartengono alla classe M2 non anticipative.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 11
varianza
E
(∫
t
t0
f(t)dWt
)2
=
∫
t
t0
f(s)2ds (1.12)
covarianza
E
(∫
t
t0
f1(t)dWt
)(∫
t
t0
f2(t)dWt
)
=
∫
t
t0
f1(s)f2(s)ds (1.13)
Per un approfondimento di queste tematiche ed in particolare l’equivalen-
za tra le due forme di integrale stocastico si rinvia ai testi in bibliografia21.
1.4 Teorema di ITOˆ
1.4.1 Il differenziale stocastico
Data la definizione di Integrale stocastico nel paragrafo precedente, si potra`,
analogamente a quanto succede nel caso deterministico, ridefinire il concetto
di differenziale in modo da adattarlo anche al caso stocastico.
Sia Xt un processo definito dall’integrale stocastico secondo Itoˆ del tipo:
Xt =
∫
t
t0
f(s)dWs (1.14)
definiremo il suo differenziale stocastico rispetto al processo di Wiener
come:
{
dXt = f(t)dWt
Xt0 = X0
(1.15)
dove la condizione iniziale va specificata separatamente. E’ da ricordare
come questa scrittura assuma significato solo in riferimento alla definizione
data di integrale stocastico, in quanto secondo le regole classiche, il dif-
ferenziale rispetto ad un processo di Wiener non dovrebbe neanche esistere
(essendo tale processo a sua volta non differenziabile su dt).
21Arnold (’73), Chung-Williams (’90), o all’esaustivo testo di N. Ikeda, S. Watan-
abe “Stochastic Differential Equation and Diffusion Processes” Nort-Holland, Amsterdam
(1981: 2nd edition 1989).
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 12
Secondo invece questa nuova accezione e` possibile differenziare il processo
di Wiener rispetto al tempo (dt), ottenendo in accordo con la 1.6:
dWt = ξtdt (1.16)
dove ξt e` un processo White Noise standard22.
1.4.2 Teorema di Itoˆ
Questo e` un importante strumento che risulta fondamentale nella risoluzione
delle equazioni differenziali stocastiche, al parti delle regole di integrazione
per sostituzioni o per parti nel caso deterministico.
Qui si considera solamente il teorema di Itoˆ espresso in termini di corol-
lario e relativamente a processi unidimensionali, rinviando alla bibliografia
per una sua trattazione piu` completa23.
2 def. 1.2 Corollario al Teorema di Itoˆ
Sia Xt un processo stocastico definito dall’integrale:
Xt1 = Xt0 +
∫
t1
t0
f(t)dt +
∫
t1
t0
g(t)dWt
dove Wt e` un processo di Wiener standard e la scrittura evidenzia come il
primo sia un integrale classico in funzione del tempo, mentre il secondo vada
interpretato come un integrale stocastico secondo Itoˆ.
Sia data la funzione continua e derivabile U(t, Xt) su [< × <d] ⇒ <d,
dove per noi d = 1, con certe caratteristiche di regolarita`, in particolare con
derivate parziali continue:
1. ∂∂tU(t, Xt) = ut
2. ∂∂XU(t, Xt) = ux
3. ∂
2
∂X∂XU(t, Xt) = uxx
22Questa relazione, che esprime un White Noise come differenziale di un processo di
Wiener rispetto al tempo, ci tornera` utile per comprendere il significato della scrittura
indicante una equazione differenziale stocastica.
23
in particolare Arnold (’73), pp. 90 e succ. e Chung-Williams (’90), pp. 94 e succ.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 13
e si definisca un nuovo processo
Yt = U(t, Xt)
Allora, applicando il teorema di Itoˆ si dimostra che, il nuovo processo
potra` essere espresso come funzione integrale nella seguente maniera:
Yt1 = U(t0, Xt0) +
+
∫
t1
t0
{
ut(t, Xt) + ux(t, Xt)f(t) +
1
2
uxx(t, Xt)g(t)2
}
dt
+
∫
t1
t0
ux(t, Xt)g(t)dWt (1.17)
2
Questa espressione rappresenta una sorta di regola di integrazione per
sostituzione. La precedente formula puo` essere espressa anche in termini
differenziali, dandole il significato espresso piu` sopra (1.15). Tralasciando le
condizioni iniziali, la nuova scrittura diventa24:
• per il processo Xt:
dXt = f(t)dt + g(t)dWt (1.18)
• e per il nuovo processo Yt = U(t, Xt):
dYt =
(
ut(t, Xt) + ux(t, Xt)f(t) +
1
2
uxx(t, Xt)g(t)2
)
dt
+ ux(t, Xt)g(t)dWt (1.19)
Sulla base di tale risultato vi e` la possibilita` di definire un analogo dell’ inte-
grazione per parti rispetto all’integrale stocastico (per semplicita` espressa
gia` in forma di equazioni differenziali).
Siano: {
dX1(t) = f1(t)dt + g1(t)dWt
dX2(t) = f2(t)dt + g2(t)dWt
24si evidenzia in questo tutta la capacita` di rappresentazione sintetica della nuova
formulazione
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 14
allora, il processo
Yt = X1(t)X2(t)
avra` differenziale:
dYt = X1(t)dX2(t) + X2(t)dX1(t) + g1(t)g2(t)dt
= (X1(t)f2(t) + X2(t)f1(t) + g1(t)g2(t)) dt
+ (X1(t)g2(t) + X2(t)g1(t)) dWt (1.20)
Per la dimostrazione basta considerare U(t, Xt) = X1(t)X2(t) ed applicare la
formula (1.19).
Infine, una interessante applicazione della formula sopra scritta e` quella
che vede la funzione generica U(t, Xt) solo funzione diretta del processo di
Wiener e non anche del tempo, cioe` U(Wt). Ne deriva che il suo differenziale
sara`:
dU(Wt) = uw(Wt)dWt + 1
2
uww(Wt)dt (1.21)
con uw corrispondente alla derivata prima e seconda rispetto a Wt. Espressa
in termini di integrale stocastico possiamo anche riscriverla come:
U(Wt1)− U(Wt0) =
∫
t1
t0
uw(Wt)dWt + 1
2
∫
t1
t0
uww(Wt)dt (1.22)
Questa espressione viene anche definita come teorema fondamentale del
calcolo integrale stocastico (secondo Itoˆ), ed esprime il valore al tempo t
di una generica funzione del processo di Wiener. E’ interessante notare come
il suo incremento sia dato non solamente dal tempo trascorso ∆t, ma anche
dal valore assunto dal processo di Wiener alla fine del periodo considerato.
Questi ed altri strumenti derivati, al pari di quelli noti nel calcolo differen-
ziale classico, ci permettono di risolvere alcune tra le piu` comuni equazioni
differenziali stocastiche, come risultera` chiaro nel prossimo paragrafo. Res-
ta da dire che la loro applicazione non e` spesso molto intuitiva e richiede
una notevole capacita` operativa oltre che una buona conoscenza teorica, al
pari delle regole di integrazione classiche. Nonostante questo, quando si af-
frontano equazioni nuove, che si allontanano notevolmente dalla linearita`,
anche questi metodi non permettono di arrivare ad una soluzione chiusa, e
ci si deve, per cos`ı dire, accontentare di una soluzione approssimata, spesso
attraverso tecniche numeriche. Ovviamente anche i metodi di stima utiliz-
zabili dovranno adeguarsi alle varie situazioni, ma su questo torneremo piu`
oltre.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 15
Alcuni esempi
es. 1.4.1 Troviamo il valore del seguente integrale stocastico:
Zt1 =
∫
t1
t0
αdWt
non dipendendo la funzione α dal processo di Wiener e dal tempo t e` pos-
sibile portarlo fuori dell’integrale (proprieta` di linearita` 1.10) e risolvere
poi l’espressione usando il teorema fondamentale (1.22), ottenendo: Zt1 =
α (Wt1 −Wt0).
•
es. 1.4.2 Ancora, supponiamo di voler calcolare la traiettoria di un processo
del tipo25:
Xt1 = Xt0 +
∫
t1
t0
tdWt
Se consideriamo una trasformazione Yt come tWt e ne calcoliamo il dif-
ferenziale con la regola di integrazione per parti (1.20) otteniamo dYt =
Wtdt + tdWt, da cui:
∫
t1
t0
tdWt = tWt −
∫
t1
t0
Wtdt
Il processo Xt espresso come funzione stocastica dipendente dal processo di
Wiener Wt diventa quindi, una volta assegnata una traiettoria a quest’ulti-
mo, una funzione deterministica, ottenibile con l’integrale di Riemann di cui
sopra.
•
es. 1.4.3 Piu` in generale potremmo essere interessati al calcolo dell’integrale
stocastico di un funzione G(t), cioe`:
∫
t1
t0
G(t)dWt
25vedi Oksendal (’92) pp. 35 e succ.
CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ALLE SDE 16
la cui risoluzione in generale non ammettera` una forma chiusa. Tuttavia26,
se la funzione G(t) e` sufficientemente regolare, ed in particolare a variazione
finita e derivabile in [t0, T ] (quasi certamente), allora il precedente integrale
stocastico si potra` esprimere come:
G(t1)Wt1 −G(t0)Wt0 −
∫
t1
t0
dG(t)
dt
Wtdt
quindi nella forma di un integrale secondo Riemann e procedere attraverso
una qualche risoluzione numerica. (E’ interessante notare come, nel ca-
so particolare in cui G(t) = α costante, si riottiene il risultato del primo
esempio).
•
es. 1.4.4 Sia ancora il seguente integrale stocastico:
∫
t1
t0
WtdWt
Consideriamo il processo espresso in termini di differenziale stocastico dXt =
WtdWt, ed applichiamo il teorema fondamentale della (1.22) ad una generica
soluzione U(Wt). Dovra` essere uw(Wt) = Wt, e quindi Xt = W 2t2 . Riordinan-
do i termini sempre della (1.22) e lasciando a destra solo l’integrale rispetto
al processo di Wiener otteniamo:
∫
t1
t0
WtdWt = W
2
t −W 2t0
2
+ 1
2
(t− t0)
•
es. 1.4.5 Troviamo il differenziale stocastico del processo Xt = (W 2t ). Ricor-
dando che Xt = WtWt ed applicando la regola di differenziazione per parti
della (1.20), otteniamo:
dW 2t = dt + 2WtdWt
•
Si osservi che il valore dell’ultimo differenziale stocastico e` noto dall’esempio
precedente e quindi, nell’ipotesi di non conoscere il processo soluzione Xt,
non avremmo problemi a ricavarlo dalla precedente equazione.
26si veda Arnold (’73) pp. 78 e succ.