Il rischio finanziario nelle riserve matematiche

Introduzione 
Il terzo capitolo affronta le Riserve Matematiche, punto chiave della 
nostra trattazione, in esso si presentano, oltre alle varie definizioni 
generali di riserve e alle possibili relazioni che si possono instaurare 
tra le sue voci, un’analisi degli impatti che vengono provocati dai 
rischi di natura demografica-finanziaria; in più troviamo 
un’applicazione di un particolare modello stocastico (Catena di 
Markov) per studiarne la  distribuzione  di probabilità. 
Negli ultimi due capitoli  vengono approfondite le analisi 
rispettivamente del Longevity Risk, e del Rischio di Tasso d’interesse, 
e s’individuano anche alcune modalità di immunizzazione da questi 
rischi.  
In particolare per il Longevity Risk lo studio viene condotto in 
riferimento ad un particolare tipo di polizza assicurativa che è quella 
delle Annualità Vitalizie, che ci consente di apprezzare meglio 
l’utilizzo delle proiezioni di mortalità che saranno trattate nel capitolo. 
Per quanto concerne invece il rischio di  Tasso d’interesse, 
l’approfondimento viene svolto utilizzando un altro criterio d’analisi 
delle riserve matematiche, cioè quello che consente di guardare loro 
come un portafoglio di Attività e Passività Finanziarie. Le tecniche di 
misurazione e valutazione di questo rischio nell’ambito di un 
portafoglio integrato di attività e passività delle imprese di 
Introduzione 
assicurazione è stata la base su cui si sono costruiti modelli di gestione 
volti alla determinazione del composizione ottimale 
rischio/rendimento. Attraverso tali modelli muta la visione 
manageriale delle imprese collegando strettamente la determinazione 
dei premi, le politiche di investimento, la strategia di crescita 
dell’impresa. 
 
I Principali Rischi dell’Attività Assicurativa 
CAPITOLO I 
I Principali Rischi dell’Attivita’ Assicurativa 
1. I Principali Rischi dell’Attività Assicurativa 
Il processo assicurativo, poiché basato su di una trasformazione dei 
rischi che, avviene mediante l’utilizzo della Legge dei Grandi Numeri, 
è accompagnato da una particolare “famiglia” di rischi che rendono 
unica tale attività. In particolare si ha: 
• Il Rischio demografico, esso si origina dalla durata della vita 
degli assicurati.Il rischio demografico si può suddividere in 
altre due tipologie di rischio: il rischio di deviazioni accidentali, 
il quale si manifesta allorquando il numero dei decessi avvenuti 
si discosta da quello atteso.Una particolare configurazione di 
questo rischio è il Longevity Risk, il quale consiste nelle 
deviazioni accidentali del numero di decessi ad età adulta in 
seguito al miglioramento del trend della mortalità.La seconda 
tipologia del rischio demografico è il rischio catastrofe, dovuto 
ad eventi naturali (catastrofici) che innalzano enormemente il 
numero dei decessi. 
I Principali Rischi dell’Attività Assicurativa 
• Il Rischio d’Investimento, esso è legato all’andamento del 
mercato finanziario dove l’assicuratore effettua i suoi 
investimenti.In questo tipo di rischio è compreso il rischio di 
inadempimento che sorge quando l’istituzione che ha emesso un 
particolare strumento finanziario, acquistato 
dall’assicuratore,non paga la somma promessa a 
scadenza.Giova ricordare che, una particolare configurazione 
del rischio di investimento, è il rischio del tasso d’interesse. 
 
Questi sono le due principali tipologie di rischio legate all’attività 
assicurativa A loro volta tali rischi possono essere suddivisi in pooling 
risks, o rischi diversificabili, quando è possibile fronteggiarli grazie 
all’incremento della dimensione del portafoglio, non- pooling risks¸ 
quando tali rischi aumentano all’aumentare della dimensione del 
portafoglio. Un esempio di pooling risk è dato dal random fluctuations 
risk, mentre un non pooling risk è il longevity risk. 
 
I Processi Stocastici  
CAPITOLO II  
 I Processi Stocastici 
 
1. Concetti Generali 
Con il termine di Processi Stocastici, si sogliono indicare dei modelli 
matematici, basati su strumenti di tipo probabilistico-statistico, in 
grado di schematizzare l�evoluzione di un sistema che si modifica in 
condizioni non deterministiche. 
Essi sono processi durante i quali un sistema cambia in modo casuale 
tra uno stato iniziale ed uno finale, a intervalli di tempo regolari o 
irregolari. 
Da un punto di vista matematico, un processo stocastico � una 
famiglia di variabili casuali (X
t
)
t e T
, cio� di funzioni misurabili 
definite su uno spazio Ω di probabilit�, detto spazio dei campioni o 
sample space, e a valori in uno spazio misurabile S, detto spazio degli 
stati del processo. L�insieme T, � detto insieme (o spazio) degli indici 
e lo spazio Ω pu� essere identificato, con uno spazio di funzioni, da T 
a valori in S . 
La teoria dei processi stocastici si � sviluppata studiando il caso in cui 
l�insieme T, � un sottoinsieme dei numeri reali, ed � interpretato come 
un parametro temporale. In tal caso Ω viene anche detto �spazio delle 
I Processi Stocastici  
traiettorie� del processo stocastico, e se ω appartiene a Ω, X
t 
(ω), che � 
un elemento di S, rappresenta lo stato del sistema al tempo t, lungo la 
traiettoria ω. 
Se  t ∈  T, � interpretato come un parametro spaziale  allora il processo 
(X
t
) descrive un macrosistema (es: un gas contenuto in un recipiente) 
definito associando ad ogni punto di una zona spaziale un 
microsistema (es: le possibili velocit� delle molecole del gas). 
In questo caso Ω rappresenta lo spazio delle configurazioni del 
macrosistema e , nell�esempio del gas X
t 
(ω) rappresenta la velocit�, 
nella configurazione ω, della molecola di gas che si trova nel punto t. 
I processi stocastici sono classificati secondo due criteri fondamentali 
che sono: il tempo in cui avvengono i cambiamenti; i valori che la 
variabile pu� assumere. 
In base al tempo si distinguono in processi a tempo continuo e in 
processi a tempi discreti La differenza tra i due tipi di processi 
consiste nel fatto che nei primi i cambiamenti possono avvenire in 
qualsiasi momento, mentre nei secondi i mutamenti possono avvenire 
solo in certi istanti di tempo. 
In base ai valori invece si distinguono i processi  a variabile continua; 
e a variabile discreta. La differenza � analoga a quella presente nei 
processi a tempo, in particolare nei processi a variabile continua, la 
I Processi Stocastici  
variabile sottostante pu� assumere ogni valore contenuto in un 
intervallo;mentre nei processi a variabile discreta pu� assumere solo 
determinati valori contenuti in un dato intervallo. 
Nella terminologia generale dei processi stocastici, faremo riferimento 
alla posizione del sistema come al suo �stato�.Il sistema pu� mutare 
senza restrizioni, ed in tal caso diremo che � illimitato, oppure se 
risulta limitato in un qualsiasi modo diremo che sono presenti delle 
barriere.  
I pi� importanti processi stocastici sono quelli legati al �Random 
Walk� ed i processi o Catene di Markov. 
Tali argomenti saranno oggetto di discussione nei prossimi paragrafi. 
 
I Processi Stocastici  
2. Random Walk 
 
Consideriamo una particella K, che si trovi inizialmente in un dato 
punto,X
0
, dell�asse delle ascisse: 
 
                                      y  
 
. Z
1
 
. Z
2
 
 
0
              X
0
                                                      x 
 
 
Sull�asse delle ascisse considereremo il tempo ,n, mentre su quello 
delle ordinate considereremo la posizione della particella che varia al 
variare del tempo. 
Al tempo n=1, la particella si sposta nella posizione Z
1
,con Z
1
 
variabile casuale con una data distribuzione di probabilit�; al tempo 
n=2, la particella si sposta in Z
2
, con Z
2
 anch�essa variabile casuale 
con la stessa distribuzione di Z
1 
ma indipendente da quest�ultima. In 
questo modo la particella si muove lungo una linea retta e dopo un 
primo spostamento si trova nella posizione X
0 
+ Z
1 
,dopo un secondo 
spostamento si trova in X
0 
+ Z
1 
+ Z
2
, in generale dopo n spostamenti, 
la posizione della particella sar� data dalla seguente relazione: 
 
nn
ZZZXX ++++= .....
210
   (1) 
I Processi Stocastici  
 
Con Z
i 
,successione di variabili casuali, mutuamente indipendenti ed 
identicamente distribuite (i.i.d.). L�espressione precedente pu� essere 
cos� riscritta:   
  1,2,3....)(n     ZXX
nnn
=+=
− 1
  (2) 
 
 
Sulla base di quanto finora detto si pu� asserire che la particella K � 
sottoposta ad un random walk. 
Nel caso particolare in cui le posizioni Z
i
, possono assumere solo i 
valori 1,0 e �1, con distribuzione di probabilit�: 
 
p(Z
i
=1) = p ;                    p(Z
i
=0) = 1-p-q ;                 p(Z
i
=-1) = q         
 
chiameremo questo processo Simple Random Walk. 
 
I Processi Stocastici  
3. Random Walk e Rischio d�Assicurazione 
 
Il Random Walk � un processo spesso utilizzato per descrivere in 
maniera esauriente  alcuni aspetti dell�attivit� di un�azienda 
assicurativa.Andiamo a verificare quanto detto, con l�ausilio di un 
esempio pratico. 
Consideriamo una compagnia d�assicurazione che inizia la sua attivit� 
al tempo 0 con un certo ammontare di capitale fisso X
0
. Durante i 
periodi 1,2,3,4� la compagnia riceve le somme Y
1
, Y
2
, Y
3
, Y
4
,� in 
virt� del processo di riscossione dei premi e di altri redditi, mentre nel 
contempo paga le somme W
1
, W
2
, W
3
, W
4
,�..in virt� del pagamento 
dei risarcimenti.Ora sia n, un istante qualsiasi di tempo in cui si 
effettua la valutazione del capitale aziendale.Il valore del capitale sar� 
dato dalla seguente relazione: 
 
)(.....)(
110 nnn
WYWYXX −++−+=    (3) 
 
 
Se X
n 
<0, allora la compagnia � in rovina e sar� costretta a chiudere la 
propria attivit�. 
A questo punto , se assumiamo che, {Y
r
} e {W
r
} sono due variabili 
casuali indipendenti ed identicamente distribuite, allora il capitale X
n 
si 
muove secondo la legge del Random Walk, con punto di partenza X
0
,e 
I Processi Stocastici  
con spostamenti Z
r
=Y
r
-W
r
 (r=1,2,..).Considerando inoltre che sia 
presente una barriera in 0, si avr� quindi un processo da considerare 
nell�intervallo );( +∞ο . 
Le equazioni che descrivono questo processo sono: 
 
 
()0,0
1
>+>+=
−−− n1n1nnnn
ZX   X      ZXX   (4) 
 
()casi altri negli      X
n
0=  
 
 
E� palese la perfetta corrispondenza tra la (4) e la (2).