Analisi di un modello per la valutazione dei Mortgage-Backed Securities

La quota mensile dovuta per ogni mese e ssata, e viene suddivisa in unacomponente di interesse (CI) e in una componente di restituzione di capitale(principal repayment, o PR). Tali componenti si possono calcolare valutandoil capitale rimanente dopo t mesi (MB(t)):MB(t)=MB(0)[(1 + 12)n  (1 + 12)t(1 + 12)n  1 ]CI(t)=MB(t 1) 12PR(t)=MP CI(t)Un titolo MBS e costruito su un gruppo di mutui, in genere a tasso sso(come il tipo appena illustrato).Ciascuno di questi prestiti produce, a scadenze ssate, un determinato cashflow,che consiste di tre componenti1. Interesse2. Principal repayment3. Pagamenti in eccesso rispetto al principal repayment (prepayments)La terza componente deriva da un'opzione prevista dalla maggior parte deimutui la quale prevede la possibilita di estinzione anticipata del mutuo orestituzione di una porzione del prestito (quello che precedentemente ab-biamo chiamato prepagamento). Le componenti 2. e 3. rappresentano ilrimborso di capitale.Ora, i mortgages vengono messi in un fondo (pool)egliinvestitori acquistanoquote del pool comprandone i titoli rappresentativi. Lo strumento nanziariocos costruito e un passthrough. Un investitore che possiede un titolo cherappresenta l'X per cento di un certo pool ha diritto all'X per cento delcapitale e degli interessi ricevuti dai mortgages presenti nel pool.Questo tipo di titoli espone un investitore al rischio totale di prepagamentoassociato al pool dei mutui sottostanti.Esistono strutture piu complesse di titoli che dierenziano questo rischio.Tra questi ipiu diusi sono i titoli Stripped Mortgage-Backed Securities chepossiamo considerare come dei derivati dai titoli passthroughs. I mortgagesvengono raggruppati in un pool che fornisce un determinato cash-
ow, quin-di questo viene suddiviso in due classi dalle quali si originano i titoli POs(Principal Only)eIOs (Interest Only).In questo caso i rimborsi di capitale sono separati dai pagamenti per interes-si. Tutti i rimborsi vengono incanalati verso la classe di titoli POs. Tutti i3
pagamenti per interessi vengono incanalati verso la classe di titoli IOs. Siagli IOs che i POs sono investimenti rischiosi.Al crescere dei tassi di estinzione anticipata (prepagamento), il valore deiPOs cresce e quello dei IOs diminuisce. Al diminuire dei tassi di estinzioneanticipata succede il contrario. Nei POs, l'investitore riceve un capitalepressato ma il tempo di rimborso e incerto. Tassi elevati di estinzione an-ticipata sul pool sottostante fanno si che il capitale venga ricevuto prima (equesta, naturalmente e una buona notizia per chi ha investito in POs). Tassibassi di estinzione anticipata sul pool sottostante posticipano il rimborso delcapitale, riducendo cos il rendimento dei POs.Negli IOs, il reddito complessivodell'investitore e incerto. Maggiore e il tas-so di estinzione anticipata, minore e il reddito complessivodell'investitore, eviceversa.Negli Stati Uniti, i mutui presenti in un pool vengono in genere assicuratida un organo federale come la Government National Mortgage Association(GNMA) o la Federal National Mortgage Association (FNMA), le quali in-
uenzano il comportamento dei tre maggiori gruppi che intervengono nelmercato immobiliare (chi richiede fondi per acquistare una casa, chi forniscequesti fondi investendo e chi fornisce gli immobili). Elenchiamo di seguitoalcuni dei servizi che queste agenzie orono: forniscono delle garanzie agli investitori, nel senso che assicurano chesia l' interesse e che il principal repayment siano pagati alla scadenzassata, anche se i mutuatari (mortgages holders) non sono puntualicon le scadenze mensili; inoltre assicurano contro casi di insolvenza; creano dei fondi per consentire a certi segmenti della popolazione chenon sono in grado di acquistare una casa di prendere un prestito; introducono e promuovono vari tipi di mutui che sono piu vantaggiosisia per il mutuatario che per l'investitore; garantiscono prestiti ad un tasso piu basso del tasso di mercato preva-lente, al ne di incoraggiare la costruzione di abitazioni.Come abbiamo osservato precedentemente, i titoli MBSs presentano un ri-levante inconveniente per un investitore a causa del rischio derivante dalprepagamento. Diventa dunque essenziale ridurre al minimo l'incertezza4
prodotta da questa opzione di prepagamento che i mutuatari possono eser-citare in qualunque momento no alla data di maturita del mutuo da essistipulato. Molteplici sono i fattori che in
uenzano i prepagamenti (almenoin ambito americano).I prepagamenti possono avvenire per una delle seguenti tre ragioni:1. per una varieta di ragioni il possessore di una abitazione puo vendere laproprieta restituendo il mutuo se questo non e assumibile da colui checomprera l'immobile;2. il possessore di una abitazione potrebbe ottenere un nuovo nanziamentoad un tasso piu' basso rispetto al tasso relativo al suo contratto attuale;3. per una varieta di ragioni il possessore potrebbe decidere di restituireuna porzione del prestito e le motivazioni per questo tipo di prepaga-menti sono correlate al tasso di rendimento di Treasuries  bonds ecorporate bonds.Ci sono poi altri fattori che spiegano le cause dei prepagamenti:1. il tasso prevalente dei mutui correnti ed il tasso di rendimento dei bonds;2. andamento del mercato delle abitazioni e fattori stagionali;3. collocazione geograca;4. attivita economiche;5. caratteristiche dei mutui che compongono il pool di mortgages di un titoloMBSAnalizziamo in dettaglio questi fattori.Il primo fattore in
uisce sui prepagamenti attraverso la dierenza tra il tassodel mutuo stipulato ed il tasso prevalente dei mutui che sono stati originati inseguito, non necessariamente nello stesso pool. Maggiore e questa dieren-za, maggiore e l'incentivo a chiedere un nuovo nanziamento ad un tassopiu basso. L'andamento dei tassi dei mutui in
uenza il comportamento neiprepagamenti attraverso un fenomeno noto come burn-out : immaginiamoche il pool sia composto da persone con una elevata propensione a prepa-gare e da persone con una scarsa propensione a farlo. Si dice che il titolo eburn-out, quando la maggior parte delle persone con elevata propensione alprepagamento hanno gia prepagato, cosicche nel pool rimangono solo le per-sone con una scarsa propensione a farlo, e il tasso di prepagamento ebasso.Ci sono poi alcune stagioni in cui il mercato immobiliare e piu orente :5
negli Stati Uniti generalmente l'acquisto inizia a crescere durante la prima-vera raggiungendo un picco in tarda estate; subisce invece un declino durantel'autunno e l'inverno. Si osserva che il modo in cui il mercato immobiliarecambia nel periodo di vita di un pool di mutui da cui si e originato un titoloMBS, in
uisce sul prepagamento nel pool. Il tasso di prepagamento tendead essere piu alto in alcune particolari regioni del paese rispetto alla medianazionale, mentre altre regioni mostrano un andamento lento nei prepaga-menti. Queste dierenze sono prodotte dalle caratteristiche delle economielocali.L'andamento dell'economia delle regioni in cui i mutui del pool sono statioriginati e del paese stesso, in
uenza in modo abbastanza evidente il diver-so comportamento nei prepagamenti. Vi sono quindi delle variabili macro-economiche che devono essere prese in esame per costruire un modello per ilprepagamento.Inne ci sono alcune caratteristiche dei mortgages del pool che, sulla base deidati, sembrano condizionare il prepagamento. Alcune di esse sono: il tassodi interesse pagato su ciascun mutuo, con quali tipi di agenzie o di istitutibancari i mutui sono stati stipulati, se i mutui hanno un tasso sso o un tassovariabile.Dunque questi molteplici fattori non consentono di eettuare facilmente delleprevisioni sul valore dei titoli.Gli obiettivi del nostro lavoro sono i seguenti:1. presentazione del modello di Gabaix e rappresentazione di un portafoglioottimale per titoli MBSs;2. ottenere un modello dierenziale per la valutazione di questi titoli;3. discussione del modello attraverso la teoria delle soluzioni di viscosita.Per sviluppare questi punti abbiamo bisogno di introdurre dei concetti dimatematica nanziaria entrati ormai a far parte della letteratura classica ariguardo, e derivare alcuni risultati principali, quali l' esistenza di un prezzodi mercato del rischio () in assenza di arbitraggio e le condizioni per stabilirela completezza di un mercato.
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Capitolo 1Mercati Finanziari1.1 IntroduzioneQuesto capitolo e dedicato alla modellizzazione matematica di un mercatonanziario rappresentato da un certo numero di titoli negoziabili che oronoagli investitori dei dividendi.In particolare la sezione 1.2 introduce il concetto di mercato nanziario edescrive l'arbitraggio, la sezione 1.3 introduce la completezza in un merca-to nanziario descrivendo condizioni che la garantiscono. Questa teoria sarautilizzata nei capitoli 2 e 3 per analizzare portafogli di titoli Mortgage-BackedSecurities e fornire un modello per la valutazione di MBSs . Durante l'espo-sizione faremo spesso riferimento a risultati di calcolo stocastico, che abbiamopreferito ricordare in un'appendice alla ne del capitolo 2.1.2 Descrizione di un mercato nanziarioConsideriamo un moto browniano continuo standard d-dimensionaleB =(
;F ; (Ft)t0; (Bt)t2[0;T ];P); T > 0Un mercato nanziario e rappresentato da k+1titoli il cui valore e model-lizzato da un processo di Ito V =(V0;V1;V2;:::;Vk) condV (t)=V (t)dt+ V (t)dBt t 2 [0;T]V (0) = v v 2 Rk+1dove V ; V soddisfano le ipotesi (2.44), (2.45).Questi titoli orono dei dividendi no alla data T . Anche in questo caso7
questi dividendi saranno rappresentati tramite un processo di Ito D che altempo t rappresenta l'ammontare dei dividendi pagati no al tempo t. Anchein questo caso avremo D =(D0;:::;Dk)condD(t)=D(t)dt+ D(t)dBt t 2 [0;T]D(0) = 0dove D; D soddisfano le ipotesi (2.44), (2.45).Mettendo insieme i valori dei titoli e i dividendi si ha il guadagno complessivoderivante da questi, rappresentato da un processo di Ito G = V +D, condG(t):=G(t)dt+ G(t)dBt := V (t)+D(t)dt+ V (t)+D(t)dBt1.2.1 Portafogli ed arbitraggioUna delle prerogative importanti di un mercato e l'assenza di arbitraggio,caratterisica questa che puo essere interpretata come una condizione di equi-librio del mercato.In seguito ci serviremo delle notazioni h
; 
i, 
>, j
j, k
k, tr(
) per indicarerispettivamente il prodotto scalare standard, l'operazione di trasposizionedi un vettore, la norma euclidea di un vettore e la norma (operatoriale) diuna matrice. Inoltre spesso useremo la notazione P q:o: per dire che unadeterminata aermazione e vericata a meno di un insieme di misura nul-la rispetto a P , mentre la denominaziona \per quasi ogni" t 2 [0;T] (risp.(!;t) 2 
  [0;T]), sara riservata alla misura di Lebesgue su [0;T] (risp.misura prodotto delle misure P e di Lebesgue su 
 [0;T]).Denizione 1.1 Siano V;D iprocessi deniti sopra. Diremo che un proces-so  =(0;:::;k) progressivamente misurabile rispetto alla ltrazione (Ft)ta valori in Rk+1 e in (G) se h;Gi e in 1B([0;T]) e, per ogni i h;iGi ein 2B([0;T]) (dove iG e la i-esima colonna di G, i =1;:::;d).In tal caso possiamo denireZ t0 (s)dG(s):=Z t0 h(s);G(s)ids+ Z t0 (s)>G(s)dBsper T  t  0.Denizione 1.2 Siano V;D;G come sopra, diremo che un processo  2(G) e autonanziato seh(t);V(t)i = h(0);V(0)i+ Z t0 (s)dG(s)per T  t  0. 8
Un processo , come nella denizione precedente, ha per componente i-esima i(t), che rappresenta il numero di unitainvestite al tempo t nel titoloVi. In seguito, riferendoci ad uno di questi processi  lo chiameremo \porta-foglio" ed indicheremo con \valore del portafoglio " al tempo t il processodenito da h(t);V(t)i. Segue dalla denizione 1.2 che se  e autonanziatoallora il valore del portafoglio al tempo t e pari al valore di quest'ultimo altempo zero piu un'ammontare equivalente al guadagno ottenuto nell'inter-vallo di tempo [0;t]. La nostra attenzione sararivolta a portafogli  tali cheht;Vti  k() per quasi ogni (!;t) 2 
  [0;T], P q:o:, dove k() e unacostante dipendente solo da .L'insieme dei portafogli  autonanziati vericanti tale condizione sara in-dicato con (V ). Questa condizione di limitatezza e considerata come unacondizione di ammissibilita, in quanto evita alcune particolari situazioni diarbitraggio (denito in seguito). A titolo di esempio si veda [20].Denizione 1.3 Un portafoglio  2 (V ) e un arbitraggio seh(0);V(0)i0 h(T );V(T )i; P q:o:e Ph(T );V(T )i > 0 > 0Analizziamo le proprieta dei mercati privi di arbitraggio. Spesso econve-niente dividere tutti i processi dei prezzi dei titoli rispetto ad un particolareprocesso, ad esempio rispetto ad uno di essi. Nel caso in cui non ci sianodividendi, un'operazione di questo tipo non ha eetti di tipo \economico".Nel caso in cui i titoli orano dei dividendi per garantire una proprietadiin-varianza di questo tipo, si considera il seguente processo di guadagno. Sia Gil processo denito sopra, e Y un processo di Ito reale con Y > 0. Indichiamocon Y ,eY rispettivamente il suo drift e la sua diusione, vericanti (2.44)e (2.45). Consideriamo il processoGY (t):=Y (t)V (t)+DY (t); t 2 [0;T] (1.1)con dDY (t):=Y (t)dDt + D(t) 
 Y (t)dt; t 2 [0;T] (1.2)Per il lemma di Ito (2.36), GY e ancora un processo di Ito. Proviamo che lanozione di portafoglio autonanziato si preserva e, data la positivita di Y ,anche la nozione di arbitraggio.Proposizione 1.4 Supponiamo che Y sia un processo di Ito a valori in Rcon Y > 0. Allora un processo  2 (G) e autonanziato per G = V +D see solo se  2 (GY ) ede autonanziato per GY .9
DimostrazioneOsserviamo che se  2 (G) ed e autonanziato per G, allora sta in (GY ).Infatti: utilizzando la formula di Ito, calcoliamo i coecienti GY e GY .Dalle relazioni (1.1), (1.2) , abbiamodGY (t)=Y (t)dG(t)+V (t)dY (t)+G(t) 
 Y (t)dtda cuiGY (t)=Y (t)V (t)+Y (t)G(t)+G(t) 
 Y (t); t 2 [0;T]GY (t)=V (t)
 Y (t)+Y (t)G(t); t 2 [0;t]dove abbiamo indicato con V (t) 
 Y (t) la matrice N  d di componentiVi(t)(Y (t))j, i =1;:::;N, j =1;:::;d.DunqueZ T0 jh(t);GY (t)ijdt  Z T0 jY (t)jjh(t);V(t)ijdt+ Z T0 Y (t)jh(t);G(t)ijdt+Z T0 jh(t);G(t) 
 Y (t)ijdtOsserviamo la parte destra di quest'ultima disuguaglianza: il primo integralee nito P q:o: perche  e autonanziato per G e quindi il processo h(
);V(
)ie un processo continuo, e perche Y e di Ito; per il secondo integrale si pervienealla stessa conclusione dall'ipotesi  2 (G), mentre per il terzo e sucienteapplicare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e sfruttare ancora l'apparte-nenza di  ad (G). Allo stesso modo si stimano (per ogni i =1;:::;d) gliintegrali a secondo membro nella seguente disuguaglianzaZ T0 jh(t);iGY (t)ij2dt  2Z T0 jh(t);V(t)ij2jiY (t)j2dt++ Z T0 Y 2(t)jh(t);iG(t)ij2dtConsideriamo il processoW (t)=h(0);V(0)i+ Z t0 (s)dG(s); t 2 [0;T]10
Sia W Y (t)=W (t)Y (t).Poiche W e Y sono processi di Ito, dalla formula Ito segue chedW Y (t) = Y (t)dW (t)+W (t)dY (t)+hW (t);Y (t)idt == Y (t)(t)dG(t)+h(t)V (t)idY (t)+[>(t)G(t)]Y (t)dtQuindi(t)Y (t)dG(t)+V (t)dY (t)+G(t) 
 Y (t)dt == (t)Y (t)dV (t)+Y (t)dD(t)+V (t)dY (t)+G(t) 
 Y (t)dt == (t)Y (t)dV (t)+Y (t)dD(t)+V (t)dY (t)++V (t) 
 Y (t)dt + D(t) 
 Y (t)dt == (t)hY (t)dV (t)+V (t)dY (t)+V (t) 
 Y (t)dti++hY (t)dD(t)+D(t) 
 Y (t)dti == (t)d(VY)(t)+dDY (t) = (t)dGY (t)Dunque per quasi ogni th(t);V(t)Y (t)i = h(0);V(0)Y (0)i+ Z t0 (s)dGY (s)Il viceversa si prova nello stesso modo.Come immediata conseguenza abbiamo il seguenteCorollario 1.5 Sia Y > 0 un processo di Ito, superiormente limitato, alloraun processo  2 (V ) e un arbitraggio per G se e solo se lo e per GY .Per quanto detto nella proposizione 1.4 e nel corollario 1.5, per analizzare leproprieta di un mercato senza arbitraggio, e suciente considerare il processoGY , per un opportuno Y . Per le nostre applicazioni uno dei titoli e un11
titolo che non ore dividendi ed e indicato con la denomizione Riskless.Assumeremo che tale titolo e rappresentato da un processo del tipoV Riskless(t):=eR t0 r0(u)du; t 2 [0;T]dove r0 (risk-free rate process) indica un processo progressivamente misura-bile rispetto ad (Ft)t e limitato. Utilizziamo come Y l'inverso di V Riskless,cosda rendere identicamente uguale ad 1 una delle componenti di GY e da an-nullare il suo dierenziale. In tal caso chiameremo GY processo di guadagnoattualizzato al tasso r0. Visto che una delle componenti di GY , supponiamola prima, e uguale ad 1, per analizzare la dinamica del nostro mercato e su-ciente considerare le altre componenti. Quindi poniamo ~GY := (GY1 ;:::;GYk ),e abbiamo d ~GY (t):=~GY (t)dt+~GY (t)dBtIndichiamo con ~V , ~G rispettivamente i processi (V1;:::;Vk), (G1;:::;Gk). Inquesto contesto, e per futuri sviluppi, parlando del mercato ci riferiremo alprocesso GY . In assenza di arbitraggio esiste una relazione di proporzionalitatra il tasso medio di variazione dei prezzi dei titoli e la quantita di \rischio"correlata alla volatilita del valore degli stessi.Teorema 1.6 Se il mercato nanziario rappresentato dal guadagno attualiz-zato GY e privo di arbitraggio allora esiste un processo progressivamente mi-surabile rispetto alla ltrazione (Ft)t  a valori in Rd , detto prezzo di mercatodel rischio (market price of risk), tale che per quasi ogni (!;t) 2 
 [0;T]~GY (t)(t)=~GY (t) (1.3)L'idea che sta dietro al Teorema 1.6 e la seguente. Supponiamo che pertutti i(!;t) in qualche sottoinsieme di 
 [0;T] con misura prodotto posi-tiva, si possa ottenere un portafoglio  = (0; ~) tale che ~>~GY (t) = 0 mah~(t); ~GY (t)i 6=0.Il valore del portafoglio di titoli corrispondente erischiosoma ha un tasso di rendimento non nullo e quindi fornisce una opportunitadi arbitraggio. Si deduce allora che se il mercato e privo di arbitraggio,ogni vettore nel nucleo Ker(~>GY (t)) di ~>GY (t) deve essere ortogonale a~GY (t). Ma dall'algebra lineare sappiamo che l'ortogonale del nucleo di~>GY (t)e l'immagine di ~GY (t). I seguenti lemmi spiegano in dettaglio questoargomento. Diamo una serie di notazioni utili nel seguito.Sia Mk;d(R) lo spazio di matrici k d acoecienti reali e se  e una matricedi Mk;d(R), indichiamo con Ker()eKer(>) rispettivamente il nucleo di e >. Siano poi Im() e Im(>) le immagini delle applicazioni lineari cor-rispondenti. Allora Ker()? = Im(>) e Ker(>)? = Im(), dove l'indice? indica il sottospazio ortogonale. Sia H un sottospazio vettoriale di Rk ,indichiamo con projH la proiezione ortogonale sul sottospazio H.12
Lemma 1.7 Le mappe (x; ) 7! projKer()(x) e (x; ) 7! projKer()?(x)denite su RD  Mk;d(R), e le mappe (y;) 7! projKer(>)(y) e (y;) 7!projKer(>)?(y) denite su Rk Mk;d(R) sono Borel-misurabili.DimostrazioneTratteremo solo la prima delle quattro mappe dell'enunciato. Lo spazioMk;d(R) e naturalmente dotato di una norma operatoriale , e quindi dotatodella -algebra dei Boreliani, generata dalla topologia associata. Anche Rded Rk sono dotati delle rispettive -algebre boreliane, e lo spazio prodotto edotato della -algebre prodotto delle -algebre. Inne, sia Q k il sottoinsiemenumerabile e denso dei vettori a coordinate razionali di Rk .Deniamo la funzione Borel-misurabile F : Rd Mk;d(R) ! R denita daF (z;):= infq2Qk kz  >qk; 8 z 2 Rd ;  2Mk;d(R)Allora f(z;) : z 2 Im(>)g  f(z;) : F (s; ) = 0g. D'altra parte,se F (z;) = 0, allora esiste una successione fqngn tale che limn!1 kz >qnk = 0. Poiche Rk = Ker(>)  Ker(>)?, possiamo decomporreogni qn come qn = q1;n + q2;n, dove q1;n 2 Ker(>); q2;n 2 Ker(>)?.Ristretta a Ker(>)?, l'applicazione lineare denita da > e invertibile.Poiche >q2;n ! z, per n ! 1, la successione fq2;ngn converge a qualcheq2 2 Ker(>)? che soddisfa >q2 = z. Allora, z 2 Im(>).Abbiamo dunque mostrato chen(z;): z 2 Im(>)o = n(z;): F (z;)=0o (1.4)quindi l'insieme a sinistra e un Boreliano. Conseguentementen(x; ;) 2 Rd Mk;d(R)  Rd :  =projKer()(x)o == n(x; ;):  2 Ker(); x  2 Ker()?o == n(x; ;): >> =0; x  2 Im(>)o (1.5)eancoraun Boreliano.Deniamo Q : Rd Mk;d(R) ! Rd denita daQ(x; ) := projKer()(x); 8 x 2 Rd ;  2Mk;d(R)L'insieme in (1.5) e il gracoGr(Q):=n(x; ;): (x; ) 2 Rd Mk;d(R);  = Q(x; )o13
di Q. Avendo un graco di Borel, Q deve essere una funzione Borel-misura-bile. Infatti, per ogni insieme di Borel B  Rd , abbiamon(x; ): Q(x; ) 2 Bo = projRdMk;d(R)Gr(Q)\Rd Mk;d(R)  Be la proiezione 1-1 di un insieme di Borel e di Borel.Corollario 1.8 Il processo projKer(~>GY (t))[~GY (t)]; 0  t  T , e progressi-vamente misurabile.Lemma 1.9 Se il mercato nanziario rappresentato da GY e privo di arbi-traggio, allora ~GY (t) 2 Im(~>GY (t)) per quasi ogni (!;t) 2 
 [0;T].DimostrazioneDeniamo per 0  t  Tp(t) := projKer(~>GY (t))[~GY (t)]~(t) := 8><>: p(t)jp(t)j p(t) 6=00 p(t)=0Cosicche ~ e un processo limitato, progressivamente misurabile, e dunque stain ( ~GY ). Deniamo poi ~0~0(t):=h~(t); ~V (t)Y (t)i+ Z t0 ~(s)dGY (s) t 2 [0;T]Dato che V0 = V Riskless= 1Y , il processo =(0; ~)e autonanziato ed eanchein (VY). Infatti con questa scelta di ~0 h(0);V(0)Y (0)i =0,e dunque,
h(t);V(t)Y (t)i = Z t0 h(s);GY (s)ids+ Z t0 >(s)GY (s)dBs == Z t0 h~(s); ~GY (s)ids+ Z t0 ~>(s)~GY (s)dBs == Z t0 h~(s); ~GY (s)ids =14
= Z t0 1fp(s) 6=0gh p(s)jp(s)j;p(s)+projKer(~>GY (s))? ~GY (s)ids == Z t0 1fp(s) 6=0gjp(s)jds  0per t 2 [0;T]. Dato che h(T );V(T )Y (T )i0, e non vi e arbitraggio, deveessere h(T );V(T )Y (T )i = 0 P q:o: . Ne segue che p(t) = 0 per quasi ogni(!;t) 2 
 [0;T], cioe ~GY (t) 2 Ker(~>GY (t))? = Im(~GY (t)) per quasi ogni(!;t).Lemma 1.10 Consideriamo la mappa 	1 : f(y;) 2 Rk Mk;d(R); y 2Im()g ! Rd in cui 	1(y;) e l'unico  2 Ker()? tale che  = y.Consideriamo anche la mappa 	2 : f(x; ) 2 Rd Mk;d(R); x 2 Im()g!Rk in cui 	2(x; ) e l'unico  2 Ker(>)? tale che > = x. Entrambi 	1e 	2 sono Borel misurabili.DimostrazioneDimostreremo solo la Borel misurabilitadi	1. Deniamo
:=n(y;;) 2 Rk Mk;d(R)  Rd : y 2 Im();  2 Im(>);  = yoAbbiamo visto nel lemma 1.7 che l'insieme f(;) :  2 Im(>)g e unBoreliano, e lo stesso argomento si puo applicare a f(y;) : y 2 Im()g.Quindi 
e un insieme di Borel. Ma 
 e il graco di 	1, percio dal lemma1.7 concludiamo che 	1 e una funzione Borel-misurabile.Dimostrazione (del Teorema 1.6)).In accordo con i lemmi 1.9, 1.10, ilprocesso progressivamente misurabilet := 	1(~GY (t); ~GY (t)); t 2 [0;t] (1.6)ebendenita e soddisfa (1.3) per quasi ogni (!;t) 2 
 [0;T].Questo prova il teorema.
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