Curva di Seiberg-Witten per teorie di Yang-Mills duali a sistemi di brane frazionarie

Introduzione
contiene c’e` il decadimento del protone, fenomeno che si ritiene molto impro-
babile dal momento che nel 1999 l’esperiemento SuperKamiokande pone un
limite inferiore (6, 7 · 1032 anni) al tempo di decadimento di tale particella.
Il principale argomento per cui si e` arrivati alla formulazione della teoria
di stringa e` il problema delle piccole distanze per la gravita` quantistica. L’ac-
coppiamento gravitazionale e`, infatti, irrilevante alle energie ora raggiungibili
dagli acceleratori, ma diventa sempre piu` importante ad alte energie e per
E > MP = 1, 2 · 1019GeV la teoria delle perturbazioni fallisce, dal momento
che questo contributo non e` rinormalizzabile.
Per superare quest’impasse, l’idea che ha avuto particolare successo e` quella
della teoria delle stringhe: il gravitone e tutte le altre particelle elementa-
ri sono oggetti monodimensionali, le stringhe, anziche´ punti in una teoria
quantistica dei campi. L’introdurre oggetti monodimensionali pone, quindi,
un naturale cut-off delle divergenze ultraviolette in modo analogo a come
la teoria elettrodebole risolveva le divergenze della teoria di Fermi; inoltre
e` anche piu` naturale immaginare degli oggetti siffatti che interagiscono tra
loro piuttosto che oggetti puntiformi.
Formulata a partire da questa rappresentazione, la teoria delle stringhe si e`
rivelata una consistente teoria di gravita` quantistica e di grande unificazione.
Espongo ora nel dettaglio il lavoro svolto in questa tesi, sottolineando i
risultati ottenuti.
Nel primo capitolo di questa tesi espongo i concetti fondamentali delle
teorie supersimmetriche e di quelle di stringa.
Le teorie supersimmetriche sono le uniche possibili che coinvolgano in modo
non banale le gia` conosciute simmetrie dei sistemi fisici (Poincare´ e interne)
e mappano campi bosonici in fermionici e viceversa; nonostante sia partico-
larmente affascinante, l’esistenza di tale supersimmetria non e` stata ancora
provata dagli esperimenti, cosa che fa supporre che sia spontaneamente rotta
alle energie per ora disponibili.
Tale teoria, in ogni caso, e` necessaria per una formulazione di stringa perche´
questa contenga non solo bosoni, ma anche fermioni di spaziotempo.
E` interessante poi osservare come nello spettro di stringa sia presente un
bosone di spin due, ovvero il gravitone.
Introdotte le superstringhe mostro che in realta` e` possibile costruirne di vari
tipi: IIA e IIB (sulle quali mi concentro), nonche´ I, Heterotica E8×E8 e He-
terotica SO(32) (che, invece, non rientreranno affatto nei miei discorsi). Tali
formulazioni, tuttavia, non sono completamente indipendenti, esse possono
essere, infatti, relazionate tra loro.
La prima particolarita` della teoria delle stringhe che si osserva e` che essa vi-
2
Introduzione
ve, perche´ sia consistente, solo in dieci dimensioni. Per ridurre le dimensioni
in cui una teoria di stringa vive utilizzo la compattificazione. Considero, in
effetti, una o piu` dimensioni non come estese infinitamente su una retta, ma
come periodiche su un cerchio di raggio finito, sufficientemente piccolo perche´
non possa essere distinto da un punto. Questo modo di procedere porta alla
nascita della simmetria di spaziotempo nota coma T-dualita´: essa permette
di passare dalla stringa di Tipo IIA a quella di Tipo IIB e viceversa.
Di particolare interesse e` l’azione che questa ha su una stringa aperta: vincola
gli estremi della stringa a stare in un iperpiano D-dimensionale chiamato D-
brana. Poiche´ in formulazione di stringa e` presente la gravita` e` ovvio pensare
che questi iperpiani siano dinamici. Inoltre, su ogni D-brana si propagano
dei gruppi di gauge: questo permette quindi di realizzare delle corrispon-
denze, dualita`, tra teorie di stringa e di gauge. Studiando la dinamica di
N D3-brane parallele, in formulazione IIB, nel limite di basse energie, in-
fatti, Maldacena ha congetturato che tale sistema e` duale ad una teoria di
Yang-Mills quadridimensionale, conforme (ovvero invariante di scala) e con
quattro supersimmetrie [1].
Dal momento che si vorrebbero trovare equivalenze tra teorie di stringa e
di gauge non conformi (ad esempio confinanti per rappresentare un nuovo
modello di QCD) e con meno supersimmetrie, si sta cercando ultimamente
di estende tale congettura.
Un modo per dimezzare le supersimmetrie e` utilizzare degli orbifold, ovvero
spazi sui quali viene implementata una simmetria Z2. Perche´ tale simme-
tria sia rispettata si aggiungono i cosiddetti settori twistati, cioe` stringhe
imprigionate nei punti fissi sotto tale trasformazione. Nel caso, invece, in cui
siano presenti delle brane allora bisogna considerare che esse sono in realta`
composte da due brane frazionarie poste in posizioni simmetriche rispetto ai
suddetti punti fissi.
In ultimo mostro come il limite di accoppiamento forte della stringa IIA porti
all’introduzione di una teoria undicidimensionale, l’M-teoria.
All’interno dell’M-teoria descrivo, nel secondo capitolo, il modello di
Seiberg-Witten. L’idea e` di costruire un sistema di D-brane in formula-
zione IIA che portino dei gruppi di gauge del tipo SU(kα). Per questo si
costruisce un polinomio in due variabili i cui zeri siano relazionati alle posi-
zioni delle brane: la soluzione del modello e` quindi una curva F = 0 in uno
spazio complesso.
Nel capitolo successivo utilizzo uno spazio orbifold proprio per realizzare
una dualita` tra una teoria di stringa e una di gauge con due supersimme-
trie. Per questo studio in dettaglio sistemi con brane frazionarie: trovo che
il gruppo di gauge duale ad un sistema di brane n quattrobrane frazionarie e
n antifrazionarie sospese tra due cinquebrane e` G = SU(n)×SU(n)×U(1),
3
Introduzione
esso e` conforme e ha le cosanti d’accoppiamento dei gruppi SU(n) identiche.
Poiche` compattifico su un cerchio due direzioni spaziali ho a che fare con una
superficie toroidale. La curva di Seiberg-Witten in uno spazio siffatto prende
la forma di un polinomio in v i cui zeri sono le posizioni delle quattrobrane
frazionarie, mentre i coefficienti sono funzioni meromorfe in t i cui poli sono
le posizioni delle cinquebrane.
Il problema diventa quindi determinare tale curva mediante la costruzione di
funzioni meromorfe su un toro. Poiche´ un toro e` anche un parallelogramma
nel piano complesso coi i lati opposti identificati studio le funzioni ellittiche,
ovvero funzioni meromorfe doppiamente periodiche su C2. Tutti i risultati
matematici di questa categoria di funzioni sono presentate nell’appendice di
questa tesi. In questo modo il lavoro viene notevolmente semplificato e posso
scrivere esattamente la curva cercata.
Il risultato successivo, totalmente originale, e` la generalizzazione di tale cur-
va al caso in cui le costanti d’accoppiamento dei due gruppi SU(n) siano
diverse.
Per rompere l’invarianza conforme dispongo successivamente le quattrobra-
ne in modo che, considerando un limite nello spazio dei moduli, la teoria sia
SU(N)×SU(N +M). Una tale rottura introduce una singolarita` infrarossa
nel modello, che tuttavia non e` effettivamente presente, ma viene risolta dal
meccanismo dell’enhanc¸on: una manifestazione del limite a grandi N della
curva di Seiberg-Witten. Cio` che si osserva e` che, quando un sistema N = 2
e` realizzato con brane, anche se tutte queste sono classicamente nell’origine,
nella teoria quantistica sono disposte su un cerchio. Inserendo una brana
sonda si vede che essa non puo` oltrepassare la barriera dell’enhanc¸on.
Nel mio modello tale fenomeno si presenta con una variante, poiche´ ho due
tipi di brane frazionarie. Le prime realizzano il fattore di gauge con la singo-
larita` infrarossa e obbediscono al fenomeno dell’enhanc¸on, mentre le secon-
de no. Inoltre muovendo una brana sonda antifrazionaria oltre la barriera
dell’enhanc¸on si vede che viene seguita da una brana frazionaria.
Il modello di Seiberg-Witten permette di risolvere, come si vede, sistemi
che realizzano dualita` tra teorie di stringa e teorie di gauge e per questo e`
particolarmente interessante. E` anche possibile attraverso di esso calcolare
altre quantita` come illustro nel capitolo conclusivo della mia tesi.
In una teoria N = 2 l’azione e` determinata a partire da un’unica funzione
chiamata prepotenziale. Essa puo` essere sviluppata perturbativamente, ma
riceve correzioni anche a livello istantonico (con il termine istantone intendo
una soluzione classica del moto ad azione finita). Proprio studiando la curva
di Seiberg-Witten si possono eseguire calcoli di queste correzioni: di recente
e` stato presentato quello della prima correzione istantonica in una teoria di
gauge SU(n)× SU(n)× U(1).
4
Introduzione
Nel quarto capitolo, quindi, riprendo il procedimento utilizzato per affrontare
tale calcolo per estenderlo al caso della stessa teoria di gauge con le costanti
d’accoppiamento diverse per i due fattori SU(n).
In questo modo si viene a completare un quadro di risultati originali.
5
Capitolo 1
Teorie supersimmetriche e di
stringa
In questo capitolo descrivo brevemente le teorie nelle quali si inquadra il mio
lavoro. Inizialmente parlo delle supersimmetrie [2, 3] che si rendono neces-
sarie quando voglio descrivere una teoria di stringa che includa sia bosoni
che fermioni di spaziotempo. Mi concentro successivamente su questa teoria
nella quale nascono naturalmente oggetti, quali le D-brane, di cui mi occupo
in larga parte in questa tesi.
1.1 Teorie supersimmetriche
Nel 1967, Coleman e Mandula [4] dimostrarono che, considerando solo ope-
ratori appartenenti ad algebre di Lie, le uniche simmetrie della matrice S
sono:
• gruppo di Poincare´,
• simmetrie globali interne, associate alla conservazione di numeri quan-
tici come la carica elettrica o l’isospin. I loro generatori sono scalari di
Lorentz e generano la seguente algebra di Lie
[Bl, Bk] = if jlkBj ,
• simmetrie discrete: C, P e T.
Per estendere il modello standard e includere delle simmetrie che colleghi-
no in modo non banale il gruppo di Poicare´ e le simmetrie globali interne
era quindi necessario indebolire le ipotesi del Teorema Coleman-Mandula.
L’estensione dell’elgebra degli operatori in modo che contenesse anche quelli
7
Teorie supersimmetriche e di stringa
anticommutanti tra loro permise la nascita di teorie supersimmetriche.
Nel 1975, Haag, Lopuszan´ski e Sohnius [5] provarono che la supersimmetria
e` l’unica estensione possibile delle simmetrie della matrice S, ammessa dalle
assunzioni piu` deboli presentate.
La supersimmetria (spesso abbreviata con SuSy) mappa campi di spin intero
(bosoni) in campi di spin semi-intero (fermioni) e viceversa
QAα |bosone〉 ∼ |fermione〉 e QAα |fermione〉 ∼ |bosone〉.
E` una simmetria generata dalle supercariche QAα , che sono operatori fermio-
nici di spazio-tempo con spin 1/2. QAα commutano con le usuali simmetrie
locali e globali della teoria (cioe` simmetrie di colore e sapore)
[QAα , cariche interne ] = 0.
Come risultato, una teoria supersimmetrica e` costituita da coppie, composte
di bosoni e fermioni dotati degli stessi numeri quantici. Le cariche di super-
simmetria, essendo spinori di spazio-tempo, non commutano con il gruppo
di Poincare´.
Considero uno spazio-tempo a 4 dimensioni1, i generatori della supersimme-
tria sono QAα con A = 1, . . . ,N .
L’algebra anticommutativa dei generatori con i loro aggiunti e`
{QAα , Q¯β˙B} = 2σmαβ˙Pmδ
A
B.
Per mostrare questa, si puo` osservare che il lato a sinistra dell’equazione deve
trasformare come (1/2, 1/2) sotto il gruppo di Lorentz. Posso quindi scrivere
la sua forma piu` generale σmαβ˙PmCAB dove CAB sono coefficienti complessi,
scalari di Lorentz. Prendendo l’aggiunto del lato sinistro e usando
(σmαβ˙)
† = σmβα˙
(QAα )† = Q¯Aα˙
trovo che CAB e` una matrice hermitiana. In piu`, poiche´ {Q, Q¯} e` positivo
definito, CAB e` positivo definito. E` possibile scegliere una base tale che CAB
sia proporzionale a δAB.
I generatori QAα commutano con i generatori delle traslazioni
[QAα , Pm] = [Q¯Aα˙ , Pm] = 0.
Questo risultato e` meno ovvio di quello del precedente: per dimostrarlo si
costruisce come prima la forma piu` generale e per mezzo delle identita` di
1
la generalizzazione n-dimensionale e` banale (n ≤ 11).
8
1.1 Teorie supersimmetriche
Jacobi si nota che i coefficienti sono nulli.
Un’altra relazione interessante e` l’anticommutatore di QAα
{QAα , QBβ } = αβXAB
Gli scalari antisimmetrici di Lorentz XAB sono detti cariche centrali. Ulte-
riori manipolazioni con le identita` di Jacobi mostrano che XAB commutano
con QAα e con Q¯α˙A, infatti generano una sottoalgebra invariante ed abeliana
dell’algebra di Lie generata da Bl. Si puo` scrivere
XAB = alABBl
L’algebra supersimmetrica quadridimensionale N = 1
Un’algebra N = 1 non ha carica centrale per l’antisimmetria di XAB. L’i-
dentita` di Jacobi per [[Q,B], B] implica che la costante di struttura Ckml e`
nulla, cos´ı la simmetria interna e` abeliana:
[Qα, Bl] =SlQα
[Q¯α˙, Bl] = − Sl Q¯α˙
ovvero, riscalando Bl,
[Qα, Bl] =Qα
[Q¯α˙, Bl] = − Q¯α˙.
Chiaramente solo una combinazione indipedente di Bl ha un commutatore
non zero con Qα e Q¯α˙: denoto con R il generatore di questa simmetria U(1)
[Qα, R] =Qα
[Q¯α˙, R] = − Q¯α˙
Quindi una teoria supersimmetrica N = 1 in generale possiede una simmetria
interna U(1) conosciuta come R-simmetria.
1.1.1 Teorie N = 2
Le teorie N = 2 hanno una simmetria globale SU(2)R. Le teorie conformi
N = 2 hanno anche una simmetria globale U(1)R sotto la quale le superca-
riche di chiralita` positiva hanno carica −1.
Il contenuto di campi e` il seguente:
9
Teorie supersimmetriche e di stringa
• Il multipletto chirale N = 2 Ψ (talvolta chiamato multipletto vettore)
contiene un campo di gauge Aµ, due fermioni di Weyl λ e ψ e uno
scalare φ, tutti nella rappresentazione aggiunta
Aµ
λ ψ
φ
Questa rappresentazione mostra come opera SU(2)R: Aµ e φ sono sin-
goletti mentre λ e ψ doppietti.
In termini di SuSy N = 1, questi campi possono essere riorganizzati
in un multipletto vettore Vα (contenente Aµ e λ) e in un multipletto
chirale Φ (contenente φ e ψ). In questo formalismo solo un generatore
di SU(2)R e` manifesto: U(1)J .
U(1)J e U(1)R sono entrambe simmetrie R in N = 1 e agiscono
U(1)J : Φ→ Φ (e−iαθ)
U(1)R : Φ→ e2iα Φ (e−iαθ).
• L’ipermultipletto (conosciuto anche come multipletto scalare) e` com-
posto da due fermioni di Weyl ψq e ψ†q˜ e dai bosoni complessi q e
q˜†
ψq
q q˜†
ψ†q˜
Nel formalismo N = 1, questi campi si dispongono in due multipletti
chirali Q e Q˜.
U(1)J e U(1)R agiscono come:
U(1)J : Q→ eiαQ (e−iαθ)
Q˜→ eiα Q˜ (e−iαθ)
U(1)R : Q→ Q (e−iαθ)
Q˜→ Q˜ (e−iαθ)
I numeri quantici di Q˜ sono duali di quelli di Q, ovvero Q˜ e` nella
rappresentazione coniugata di Q.
10
1.1 Teorie supersimmetriche
N = 2 azione supersimmetrica
Intendo determinare ora la piu` generale azione efficace a bassa energia per
i multipletti chirali, contenenti i campi (A
j
µ
, λ
j
, ψ
j
, φ
j
), come funzione dei
parametri a
j
, ovvero i valori di aspettazione nel vuoto degli scalari φ
j
. Come
gia` precedentemente detto i supercampi N = 2 si possono esprimere nel
formalismo N = 1 in termini di r supercampi vettori V
j
∼ (A
jµ
, λ
j
) e n
supercampi chirali Φ
j
∼ (ψ
j
, φ
j
), che sono neutri sotto l’azione del gruppo
di gauge
2
. Il supercampo di field strength e` semplicemente
W
j
α
= −
1
4
¯
D
¯
DD
α
V
j
L’azione efficace e`
L =
∫
d
4
θK(Φ
j
, (Φ
j
)
†
) + <
∫
d
2
θ
[
U(Φ
j
) + τ
ij
(Φ
k
)W
i
W
j
]
,
il potenziale di Ka¨hler non contiene V
j
, poiche´ Φ
j
sono neutri. Il superpoten-
ziale U(Φ
j
) e la costante di accoppiamento τ
ij
(Φ
k
) sono funzioni complesse
analitiche dei supercampi Φ
j
.
Questa e` l’azione piu` generale N = 1, bisogna ora riportarla al caso
N = 2. La lagrangiana e`
L =− g
i¯
(
D
µ
φ
i
D
µ
¯
φ
¯
+ i
¯
ψ
¯
σ¯
µ
D
µ
ψ
i
)
−
1
2
g
i¯
∂U
∂φ
i
∂
¯
U
∂
¯
φ
¯
+ <
[
ψ
i
ψ
j
∂
2
U
∂φ
i
∂φ
j
]
+
− <
[
τ
ij
(
i
2
F
i
µν
F
jµν
−
1
2
F
i
µν
˜
F
jµν
+
¯
λ
i
σ¯
µ
D
µ
λ
j
)]
.
La metrica di Ka¨hler in funzione del potenziale K e`
g
i¯
(φ,
¯
φ) =
∂
2
K(φ,
¯
φ)
∂φ
i
∂
¯
φ
j
.
La derivata covariante D
µ
e` data rispetto alla connessione Γ
i
jk
della metrica
g
i¯
D
µ
φ
i
= ∂
µ
φ
i
+ Γ
i
jk
φ
j
∂
µ
φ
k
non ci sono campi di gauge in quanto i multipletti con φ
i
e ψ
i
sono neutri
sotto il gruppo di gauge. Per arrivare ad una formulazione N = 2 si osserva
che i campi A
j
µ
e φ
j
trasformano come singoletto sotto l’azione della sim-
metria SU(2)
R
, mentre i fermioni λ
i
e ψ
i
si combinano come doppietto di
SU(2)
R
.
2
r e` la dimensione della rappresentazione aggiunta di G; n della fondamentale.
11