Circuiti CMOS per l'analisi di segnali non stazionari

  2
CAPITOLO 1 
 
ANALISI DEI SEGNALI 
 
Questo primo capitolo descrive le tecniche che, partendo dall'analisi di segnali 
stazionari con la trasformata di Fourier, consentono di studiare segnali non stazionari. In 
particolare cominciando dalla Short Time Fourier Transform, si passa alla Continuous 
Wavelet Transform, si analizzano gli aspetti peculiari dell'analisi wavelet, e si pone 
particolare accento sulle rappresentazioni d'energia nel piano bidimensionale tempo-
frequenza. Infine si descrivono brevemente gli algoritmi relativi alle implementazioni 
digitali che realizzano la trasformata wavelet discreta.  
 
[1.1] INTRODUZIONE ALLE TECNICHE DI ANALISI NEL DOMINIO 
BIDIMENSIONALE TEMPO-FREQUENZA 
 
I segnali possono essere classificati in stazionari e non stazionari. Un ottimo strumento 
per l'analisi dei primi � la trasformata di Fourier che a partire dal segnale nel dominio 
del tempo, lo traduce nel dominio delle frequenze e ne consente lo studio osservando il 
suo contenuto frequenziale. L'informazione contenuta nella trasformata, � data 
dall'insieme dei coefficienti di Fourier, che rappresentano il contributo di ogni funzione 
seno e coseno ad ogni frequenza. Seno e coseno rappresentano la base di funzioni della 
trasformata, in particolare formano una base ortogonale. Sotto ampie ipotesi, una 
funzione periodica tempo continua f(t) di periodo T � scrivibile come combinazione di 
tale base di funzioni: 
 
))
2
()
2
cos((
2
)(
1
0
T
kt
senb
T
kt
a
a
tf
k
k
k
Π
+
Π
+=
∑
∞
=
    (1.1) 
 
In cui a
0
, a
k
 e b
k
 sono i coefficienti di Fuorier definiti da: 
 
∫∫
−
==
TT
T
dttf
T
dttf
T
a
0
2
2
0
)(
2
)(
2
      (1.2) 
 
  3
dtnt
T
ff
T
dtnt
T
tf
T
a
T
T
T
k
)
2
cos()(
2
)
2
cos()(
2
2
20
∫∫
−
Π
=
Π
=    (1.3) 
 
dtnt
T
ff
T
dtnt
T
tf
T
b
T
T
T
k
)
2
sin()(
2
)
2
sin()(
2
2
20
∫∫
−
Π
=
Π
=    (1.4) 
 
Il caso di segnali a-periodici di durata illimitata, pu� essere trattato come caso limite di 
segnale periodico al tendere all'infinito del periodo T, si definisce a tal proposito 
trasformata diretta di Fourier del segnale aperiodico f(t): 
 
∫
∞
∞−
−= dttjtfF )exp()()( ωω       (1.5) 
 
Si definisce, invece, trasformata inversa: 
 
ωωωω dtAtf ))(cos()()(
0
∫
∞
Θ+=       (1.6) 
 
Si possono infine definire spettro d'ampiezza e spettro di fase le quantit�: 
 
Π
=
)(
)(
ω
ω
F
A         (1.7) 
 
))(()( ωω FArg=Θ        (1.8) 
 
Riveste particolare importanza lo spettro d'ampiezza del segnale, esso ci fornisce le 
informazioni sul suo contenuto frequenziale, vale a dire le ampiezze delle sue 
componenti alle diverse frequenze. Tuttavia la trasformata di Fourier ha un grosso 
limite: quando il segnale analizzato � non stazionario, tale tecnica non consente di 
determinare l'andamento nel tempo delle componenti frequenziali del segnale stesso. 
Per rendere pi� chiaro il concetto, introduciamo un esempio che si sfrutter� nel corso 
dell'esposizione: consideriamo un segnale s
1
(t) dato dalla somma di due seni alle 
frequenze f
1
 e f
2
; lo spettro di Fourier mostrer� due componenti frequenziali, 
corrispondenti alle frequenze dei due segnali sinusoidali sommati fra loro. 
 
  4
)2sin()2sin()(
22111
tfAtfAts Π+Π=      (1.9) 
 
 
Figura 1.1. Somma delle due sinusoidi nel dominio del tempo. 
 
 
Figura1. 2. Spettro del segnale somma. 
 
  5
Si pu� notare come lo spettro non fornisca nessun'informazione temporale, per com'� 
definito matematicamente, infatti, esso � caratterizzato da una sola variabile 
indipendente, la frequenza. Supponiamo ora che le due sinusoidi non si manifestino 
entrambe nello stesso istante, ma abbiano un certo ritardo relativo l'una rispetto all'altra; 
possiamo ipotizzare, ad esempio, che la seconda sinusoide si sommi alla prima dopo un 
tempo pari a dieci periodi della stessa. Chiamiamo s
2
(t) il nuovo segnale somma.   
 







>Π+Π
<<Π
=
1
2211
1
11
2
10
)2sin()2sin(
1
0)2sin(
)(
f
ttfAtfA
f
ttfA
ts    (1.0) 
     
 
Figura 1.3. Somma delle due sinusoidi nel tempo, la seconda si somma alla prima dopo 10 periodi di quest'ultima. 
 
Analizzando lo spettro di potenza del segnale somma (quando stazionario), non 
possiamo sapere qual � il ritardo delle due singole sinusoidi, n� assoluto, cio� rispetto 
all'istante zero sull'asse dei tempi, n� relativo l'una all'altra. Per adattare l'analisi di 
Fourier ai segnali non stazionari, si rende necessaria l'introduzione della dipendenza dal 
tempo, l'approccio � di usare un parametro di frequenza locale. Il segnale � osservato 
attraverso una sequenza di finestre temporali limitate, all'interno delle quali � 
approssimato come stazionario e in ogni finestra � calcolata la trasformata di Fourier di 
  6
quella porzione di segnale. Cos� facendo si ottiene la Short Time Fourier Transform del 
segnale. 
 
 
Figura 1.4. Finestratura del segnale nel dominio del tempo con wavelet sinusoidale. 
 
 La nuova rappresentazione nel dominio bidimensionale tempo-frequenza, sar� quindi 
composta da caratteristiche spettrali dipendenti dal tempo. Rigorosamente la Short Time 
Fourier Transform pu� essere cos� definita: consideriamo un segnale x(t) e assumiamolo 
stazionario quando lo osserviamo attraverso una finestra g(t) d'estensione limitata, 
centrata al tempo τ. La trasformata di Fourier del segnale finestrato s(t) espresso con la 
formula (1.11), produce la Short Time Fourier Transform indicata con la (1.12).  
 
)()()(
*
τ−= tgtxts        (1.1) 
 
          (1.12) 
 
La STFT mappa il segnale nel dominio bidimensionale (τ,f), molte delle propriet� 
valide per la trasformata di Fourier valgono anche per la STFT, in particolare � 
preservata la linearit�. Le caratteristiche dell'analisi effettuata sono strettamente legate 
alle caratteristiche della finestra g(t) scelta. Grazie all'introduzione del tempo come 
∫
Π−
−= dtetgtxfSTFT
ftj 2*
)()(),( ττ
  7
variabile indipendente, possiamo avere l'informazione cercata relativamente 
all'andamento temporale delle componenti spettrali. Grafichiamo di seguito l'andamento 
dell'energia della STFT del segnale somma di seni s
1
(t), energia definita come il 
quadrato del modulo della STFT stessa. 
 
 
Figura 1.5. Spettrogramma del segnale s1(t), somma delle due sinusoidi alle frequenze f1, f2. 
 
Tale rappresentazione tempo-frequenza, che prende il nome di spettrogramma, mostra 
che il segnale ha due componenti frequenziali che si sviluppano lungo l'intero asse dei 
tempi, ci� lo si pu� capire osservando le due rette rosse orizzontali, quella pi� in basso � 
relativa al segnale con frequenza f
1
, quella pi� in alto a quello con frequenza f
2
, con 
f
2
>f
1
. Andiamo a vedere come si modifica lo spettrogramma nel caso in cui il secondo 
seno si sommi al primo con un certo ritardo. Osservando lo spettro del segnale somma 
(figura 1.2), non si ha alcun'informazione in merito a tale avvenimento, invece lo 
spettrogramma reca l'informazione voluta, infatti, osservandolo in figura  1.6 si nota 
che: 
o per t = 0 � t
1
, il segnale ha una sola componente frequenziale pari a f
1.
 
o per t = t
1
, lo spettro del segnale si sta modificando. 
  8
o per t  > t
1
,  le componenti frequenziali sono due, il segnale � dato dalla somma di 
due sinusoidi, una a frequenza f
1
, l'altra a frequenza f
2
. 
 
 
Figura 1.6. Spettrogramma del segnale s2(t) somma di due sinusoidi, in cui la seconda a frequenza f2 parte con un certo ritardo 
rispetto alla prima a frequenza f1. 
 
Per chiarire ulteriormente le idee le figure 1.7, 1.8, 1.9 e 1.10, mostrano gli andamenti 
nel dominio del tempo e i relativi spettrogrammi di due chirp signal, per il primo, c
1
(t), 
la legge che lega la variazione di frequenza al tempo � lineare, per il secondo, c
2
(t), � 
quadratica. 
 
tftftfAtc
ii
β+=Π=
011
)())(2cos()(      (1.3) 
 
2
022
)())(2cos()( tftftfAtc
i
i
β+=Π=     (1.4) 
  9
 
Figura 1.7. Andamento nel tempo del segnale chirp con variazione lineare della frequenza. 
 
 
Figura 1.8. Spettrogramma di un segnale chirp con dipendenza lineare della frequenza dal tempo. 
 
  10 
 
Figura 1.9. Andamento nel tempo del segnale chirp con variazione della frequenza di tipo quadratico. 
 
Time
F
r
e
q
u
e
n
c
y
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
 
 
 
Figura 1.10. Spettrogramma di un segnale chirp con variazione quadratica della frequenza nel tempo. 
 
L'analisi nel dominio bidimensionale tempo-frequenza � particolarmente utile anche 
quando il segnale presenta brusche variazioni; prendiamo ad esempio un segnale s
3
(t), 
  11 
dato da una sinusoide cui va a sommarsi ad un istante t
1
 un impulso di Dirac (figura 
1.11), il suo spettrogramma (figura 1.12) mostrer� questa momentanea variazione dello 
spettro del segnale. 
 
)()2sin()(
1113
tttfAts −+Π= δ       (1.5) 
 
 
Figura 1.11. Andamento nel tempo di una sinusoide cui va a sommarsi un impulso di durata finita all'istante t1. 
 
 
  12 
 
Figura 1.12. Spettrogramma di un segnale sinusoidale, a frequenza f1, cui si somma all'istante t1 l'impulso di durata finita. 
 
Tale brusca variazione nel tempo influenza l'intero spettro, dunque tramite un'analisi nel 
dominio delle frequenze non si sarebbe potuto determinare l'origine di tal evento, 
mentre grazie allo spettrogramma abbiamo l'informazione sulle variazioni frequenziali 
del segnale nel corso del tempo. 
Osserviamo ora la figura 1.13. 
 
  13 
 
Figura 1.13. Piano tempo-frequenza corrispondente alla Short Time Fourier Transform. 
 
Essa si presta ad una doppia interpretazione, se si considera la copertura dell'asse dei 
tempi, le singole finestre forniscono una versione del segnale finestrato attorno al tempo 
t calcolato su tutte le frequenze della STFT. In alternativa, se si considera la copertura 
dell'asse delle frequenze, il segnale � filtrato ad ogni t con un filtro passabanda avente 
come risposta impulsiva la funzione finestra modulante tale frequenza, in questo modo 
la STFT pu� essere vista come un banco di filtri modulanti. Tale ultima osservazione 
consente di mostrare uno dei principali svantaggi della trasformata di Fourier finestrata, 
relativamente alla risoluzione di tempo e frequenza. Consideriamo la capacit� della 
STFT di discriminare fra due sinusoidi pure. Data la funzione finestra g(t) e la sua 
trasformata di Fuorier G(f), si definisce la larghezza di banda del filtro ∆f con la 
formula (1.16). 
 
∫
∫
=∆
dffG
dffGf
f
2
2
2
2
)(
)(
       
(1.16) 
 
  14 
Due sinusoidi potranno essere distinte solo se separate in frequenza per pi� di ∆f, quindi 
la risoluzione in frequenza � data dalla larghezza di banda del filtro modulante.  Ora 
invece si vuole investigare sulla capacit� della STFT di discriminare fra due impulsi nel 
tempo. Analogamente a quanto detto prima, definiamo con ∆t l'estensione nel tempo 
della funzione finestra g(t) come espresso dalla formula (1.17): 
 
∫
∫
=∆
dttg
dttgt
t
2
2
2
2
)(
)(
        (1.7) 
 
Due impulsi nel tempo potranno dunque essere distinti solo se distanti temporalmente 
per pi� di ∆t. Il principio d'indeterminazione di Heisenberg dimostra che le risoluzioni 
in tempo-frequenza non possono essere arbitrariamente piccole, perch� il loro prodotto � 
limitato inferiormente: 
 
Π
≥∆∆
4
1
ft          (1.8) 
 
Ci� significa che scelta la risoluzione temporale voluta, quella frequenziale � fissata e 
viceversa. La STFT, in particolare, usa la stessa funzione finestra per la copertura di 
tutto il piano tempo-frequenza, e quindi una volta scelta la g(t), la risoluzione tempo-
frequenza � fissata su tutto il piano. Tale concetto � espresso molto chiaramente dalla 
figura 1.14.