Introduzione
IV
L’idea è quella d’introdurre una misura che dia più peso agli eventi sfavorevoli: Q deve
essere definita in modo tale che il valore atteso rispetto Q sia finito e includa i
caricamenti.
Nel quarto ed ultimo capitolo ho confrontato i due approcci applicandoli ad un
particolare contratto assicurativo: la temporanea caso morte.
Come primo passo ho calcolato il premio del contratto attraverso il metodo tradizionale,
utilizzando il principio del valore atteso sulla base delle probabilità desunte dalle tavole
di mortalità (misura di probabilità che in termini di notazione usata nei precedenti
capitoli rappresenta la misura P “oggettiva”ricavata dallo studio demografico della
popolazione). Successivamente, ho applicato i metodi di pricing delle opzioni: partendo
dall’ipotesi di non arbitraggio ho ricavato la misura di probabilità Q∼ P che rende il
processo di perdita della compagnia assicuratrice una martingala. Tale misura di
probabilità Q può esser utilizzata per prezzare ogni tipo di contratto (ri-)assicurativo.
Capitolo 1
INSURANCE PRICING: ELEMENTI BASE
1.1 Introduzione
Obiettivo principale della matematica attuariale � la valutazione del costo delle
coperture assicurative e la fissazione del premio. In questo capitolo prender� in
considerazione l�approccio attuariale classico del calcolo del premio, per poi
confrontarlo con un altro metodo pi� moderno derivato dalla teoria dei mercati
finanziari, basato sull�ipotesi di non arbitraggio e di martingala.
1.2 Premio assicurativo
Definizione 1.1 Si definisce premio equo � l�importo pari alla speranza matematica
del totale dei risarcimenti aleatori a carico dell�assicuratore durante il periodo assicurato
cui il premio si riferisce� [Pitacco 2000].
Il premio puro invece si ottiene sommando al premio equo i caricamenti di sicurezza.
Infine aggiungendo al premio puro i caricamenti necessari a coprire le spese di gestione
si ottiene il premio di tariffa, al quale si sommano le eventuali tasse. La figura 1.1
schematizza quanto appena esposto:
+ + + (tasse)
premio puro
premio di tariffa
Figura 1.1 Il premio assicurativo.
Premio
equo
Caricamento di
sicurezza
Caricamento di
gestione
Capitolo 1
2
Di seguito prender� in considerazione il calcolo del premio puro, tralasciando i
caricamenti di gestione e le tasse.
In questo paragrafo riprendo i concetti principali per la fissazione del prezzo di un
contratto assicurativo. Consideriamo una certa famiglia di rischi X, con funzione di
distribuzione F
X
; un principio di calcolo del premio consiste in una funzione Π di F
X
, Π
(F
X
). Generalmente il calcolo del premio dipende da alcune caratteristiche di F
X
, quali la
media e la varianza. Prima di passare ad analizzare alcune regole, vorrei soffermarmi su
alcune propriet� desiderabili per un �buon� premio; supponiamo X e Y siano dei rischi
per i quali il calcolo del premio usato di seguito (Π ) sia finito.
Definiamo:
1. Assenza di caricamenti ingiustificati se ∀ costante a ≥ 0, Π (a) = a,
2. Proporzionalit� (o omogeneit� d�importo) se ∀ costante a ≥ 0, Π (aX) =
aΠ (X),
3. Additivit� se Π (X+Y) = Π (X) + Π (Y), per X e Y stocasticamente
indipendenti, ovvero la somma di rischi indipendenti non influisce sulla misura globale
del premio.
4. Subadditivit� se Π (X+Y) ≤ Π (X) + Π (Y),
5. Consistenza ( o traslativit�) se ∀ costante a ≥ 0, Π (a +X) = a + Π (X), ovvero
se ogni risarcimento (determinazione di X) � aumentato di una costante a, tale costante
va sommata al premio.
6. Positivit� del caricamento di sicurezza se Π (X) > E(X).
1.2.1 Funzione d’utilità
Un importante strumento nella determinazione del premio � dato dalla teoria dell�utilit�.
Definiamo con u la funzione d�utilit� dell�assicurato e con X la variabile casuale sullo
spazio di probabilit� (Ω , F, P), che indica l�ammontare della perdita. La funzione u, in
quanto funzione d�utilit�, deve essere crescente e differenziabile due volte, in
particolare imponiamo che
Insurance pricing: elementi base
3
- u′ > 0, detta ipotesi di non saziet�
- u′′ < 0, ovvero utilit� marginale decrescente.
Supponiamo per semplicit� che la v.a. X sia definita sullo spazio Ω = {ω
1
, ω
2
}:
l�evento ω
1
indica il verificarsi di un danno d�importo pari a y per l�assicurato, pertanto
y p
X =
0 1- p
L�individuo intende assicurarsi, stipulando un contratto che gli garantisce il
risarcimento y qualora si verifichi ω
1
; supponiamo che l�individuo disponga di un
patrimonio iniziale w che, verificandosi ω
1
scenderebbe a w-y: la sua situazione
patrimoniale, che indico con Z, � quindi aleatoria:
w - y p
Z = w �X =
w 1-p
L�utilit� attesa che l�assicurato attribuisce a tale situazione aleatoria � allora:
U(Z) = Ε [ u ( w � X )] = p u(w-y) + (1-p) u(w) (1.1)
Indichiamo con P il premio equo, P = py, e con Π >P il premio puro con caricamento di
sicurezza m, m = Π - P.
L�assicurazione per l�assicurato � un�operazione a risultato aleatorio Y = (X-Π ):
y - Π p
Y = X-Π =
-Π 1-p
Capitolo 1
4
Assicurandosi, il soggetto si pone nella situazione certa Z′ = Z + Y = w - Π , cui va
attribuita utilit�
u(Z′) = u(w - Π ).
Essendo u una funzione crescente si ha che:
u(w-Π ) < u(w-P).
Ovviamente l�operazione assicurativa risulter� vantaggiosa solo se u(Z′) > u(Z); �
ragionevole supporre che il premio massimo che l�assicurato � disposto a pagare,
Π * (premio d�indifferenza tra l�assicurarsi e il non assicurarsi), soddisfi la seguente
equazione
u (Z′) = U(Z), ovvero
(1.2)
u (w - Π *) = Ε [ u ( w � X )] (1.3)
Il problema � esposto graficamente nella figura 1.2 dove per semplicit� ho posto p = 0.5
(in grassetto sull�asse delle x appare l�intervallo dei premi vantaggiosi per il contraente,
rispettando il vincolo che Π ≥ P).
Insurance pricing: elementi base
5
u(x)
x w w-y w-Π * w-P
u(Z)
u(w-P)
u(w)
u(w-y)
Figura 1.2 Funzione d�utilit� dell�assicurato
Per la disuguaglianza di Jensen, la concavit� della funzione u implica che
E[u( w- X)] ≤ u[ E(w- X)], (1.4)
e per la relazione (1.3) si ha che
u (w - Π *) ≤ u[ E(w- X)]. (1.5)
Essendo u una funzione crescente, la relazione (1.5) implica che:
w - Π * ≤ E(w- X) (1.6)
w - Π * ≤ w - E( X), da cui otteniamo
Π * ≥ E(X) = P (1.7)
Le stesse considerazioni si devono ora rivolgere al punto di vista dell�assicuratore, che
supponiamo avere come funzione d�utilit� la funzione crescente e concava v(x);
trascuriamo, in questa semplice analisi, l�ovvia presenza di contratti precedentemente
stipulati. Indichiamo con Θ il premio richiesto dall�assicuratore e con k la sua dotazione
Capitolo 1
6
iniziale: la situazione iniziale (prima di vendere un contratto assicurativo) � certa ed �
pari a k (Z = k). Nel momento in cui stipula il contratto assicurativo al prezzo equo P =
py, si viene a trovare nella situazione aleatoria Z
P
′ definita da
k + P - y p
Z
P
′ = k + P -X =
k + P 1-p
Nella figura 1.3, dove ho ipotizzato, come prima, che p = 0.5, si pu� notare come
l�utilit� attesa nella situazione incerta Z
P
′ sia inferiore all�utilit� v(k): alla compagnia
assicuratrice non conviene vendere il contratto al prezzo equo P.
Risulta quindi necessario applicare un caricamento di sicurezza m, che porta il premio al
livello Θ = P + m.
v(x)
x
k+y/2+m k+y/2
k k-y/2
v(k)
v(Z
m
′)
Figura 1.3 Funzione d�utilit� dell�assicuratore
v(Z
P
′)
k-y/2+m
Insurance pricing: elementi base
7
Il caricamento m deve essere tale da garantire alla situazione aleatoria Z
m
′
k + P + m � y p
Z
m
′ =
k + P + m (1-p)
un�utilit� attesa v(Z
m
′) non inferiore a v(k).
Pertanto il minimo caricamento, m*, accettabile per la compagnia assicuratrice � dato
dalla seguente relazione, dove ricordiamo P essere il premio equo e m i caricamenti di
sicurezza (Θ = P + m):
v( k ) = v(Z
m
′ ), ed essendo
v(Z
m
′) = Ε [v (k + P + m* - X) ]
= p v (k + P + m* - y) + (1-p) v (k + P + m* ), otteniamo
v( k ) = p v (k + P + m* - y) + (1-p) v (k + P + m* ). (1.8)
Per la concavit� della funzione v possiamo ancora utilizzare la disuguaglianza di Jensen:
Ε [v (k + Θ - X) ] ≤ v [E (k + Θ - X) ], quindi per la (1.8)
v( k ) ≤ v [E (k + Θ - X) ]
ed essendo v crescente:
k ≤ E (k + Θ - X), ovvero
Θ ≥ E(X).
A questo punto definiamo plausibile un contratto assicurativo se
Π ≥ Θ ≥ Ε X
ovvero se il premio Θ richiesto dalla compagnia assicuratrice risulta vantaggioso in
termini d�utilit� sia alla compagnia assicuratrice che all�assicurato. Nel caso in cui il
minimo caricamento accettabile, m*, risultasse troppo elevato ( per ragioni di
Capitolo 1
8
concorrenza, per vicoli di legge�) la compagnia dovrebbe rinunciare al contratto; pi�
operativamente il contratto pu� essere accettato e in parte ceduto in riassicurazione: la
compagnia riassicuratrice a sua volta pu� riassicurarsi, cercando un�adeguata copertura
del rischio, se troppo elevato rispetto la sua funzione d�utilit�.
1.2.2 Principi di calcolo del premio
Nel primo paragrafo � stato definito il premio puro come somma del premio equo e dei
caricamenti di sicurezza. Alcune regole di calcolo del premio sono:
1. Principio del valore atteso
Π (X) = (1 + α )Ε X, con α >0
Il rischio � riassunto dalla sola speranza matematica del risarcimento globale X e i
caricamenti di sicurezza sono proporzionali a tale quantit�: in questo principio non si
tiene in considerazione della varianza di X e questo pu� essere molto pericoloso per
l�assicuratore. Per ovviare a questo inconveniente sono stati introdotti principi nei
quali i caricamenti di sicurezza ( Π (X) - Ε X ) dipendono dalla varianza:
2. Principio della varianza
Π (X) = Ε X + λ Var(X)
3. Principio dello scarto quadratico medio:
Π (X) = Ε X + λ (Var(X))
1/2
4. Principio dell’utilità attesa; Π � la soluzione dell�equazione:
Ε [ v(Π -X) ] = 0
e quindi rappresenta il premio d�indifferenza per una data funzione d�utilit� v
dell�assicuratore.
5. Principio del percentile;
assegnato un valore a ε , 0 < ε < 1, il premio � dato dalla soluzione dell�equazione:
Pr( X > Π ) = ε ,
che, se indichiamo con F la funzione di ripartizione di X, equivale a
Insurance pricing: elementi base
9
1 � F(Π ) = ε .
Secondo quest�ultimo principio il premio Π � fissato in modo tale che la probabilit� di
conseguire una perdita sul singolo contratto sia pari a ε : tanto minore sar� ε , tanto
maggiore risulter� Π .
I vari principi di calcolo del premio possono essere esaminati in termini di propriet� da
essi soddisfatte. Tali propriet�, elencate all�inizio del capitolo, rappresentano requisiti
irrinunciabili oppure soltanto desiderabili, di un sistema di tariffazione assicurativa. In
particolare notiamo che il principio del valore atteso � additivo, proporzionale e ha
caricamenti positivi. Il principio della varianza invece � additivo per rischi incorrelati,
mentre � subadditivo se i rischi sono correlati negativamente, ha caricamenti positivi ed
� consistente;il principio dello scarto quadratico medio � proporzionale e subadditivo; si
noti infine che il principio del percentile non garantisce caricamenti positivi.
Non voglio per� soffermarmi in un elenco esaustivo dei metodi di calcolo e nell�analisi
della bont� d�ogniuno, perch� obiettivo di queste pagine sar� lo studio di un approccio
alternativo: cercheremo di utilizzare la logica di pricing finanziaria e di adattarla al
contesto assicurativo. Prima di fare questo � necessario riprendere il processo di rischio
usato nella teoria attuariale, processo che viene generalmente modellato attraverso la
distribuzione composta di Poisson.
1.3 Il Processo di Rischio
La definizione di rischio � stata ampliamente discussa in ambito attuariale. Il processo
di rischio viene descritto attraverso i processi stocastici (P
t
, S
t
), dove:
- P
t
indica i premi accumulati nel periodo (0,t]
- S
t
� la sommatoria dei risarcimenti avvenuti in (0,t]
Il termine �risarcimenti� � la traduzione dell�inglese �claim�, che letteralmente significa
richiesta: d�ora in poi utilizzer� il termine inglese, normalmente usato in letteratura.
Ci� che conta per l�analisi matematica del rischio � la differenza (S
t
- P
t
), ovvero il
processo che descrive la perdita dell�impresa assicuratrice.
Capitolo 1
10
Il processo stocastico S
t
� detto processo dei claim cumulati e viene descritto
attraverso il processo N
t
, che indica il numero dei claim avvenuti fino al tempo t, e
attraverso la variabile aleatoria Y
t
che indica l�entit� del claim avvenuto al tempo t:
(1.9)
Definizione1.2 Definiamo con N(t) il numero dei claim avvenuti nell�intervallo di
tempo (0,t]; essendo un processo contatore deve soddisfare le seguenti condizioni:
™ N(0) = 0
™ N(t) ∈ Ν
™ N(t) ≤ N(t + h) ∀ t, h ≥ 0
La figura 1.1 esprime graficamente i due processi appena introdotti:
S
t
N(t)
t
1
t
2
t
3
t
4
t
Figura 1.4 I processi S
t
e N(t): una possibile traiettoria.
Come si vede nella figura 1.4 il processo cumulato S
t
presenta dei salti anche negativi,
in corrispondenza dei quali l�assicurazione riceve denaro: questo si pu� spiegare
attraverso il ricorso alla riassicurazione (vedi paragrafo 1.4).
Introduciamo ora due variabili aleatorie molto utili per la descrizione del processo N(t):
Definizione1.3 Definiamo con T
n
l�istante in cui avviene l�ennesimo claim (�arrivo�)
∑
=
=
)(
1
tN
i
it
YS
Insurance pricing: elementi base
11
Definizione1.4 Definiamo tempo intercorrente tra gli avvenimenti (inter occurrence
time) la successione {U
n
, n ∈ N}, con
U
n
= T
n
- T
n-1
per n ≥ 1 (1.10)
Dalle precedenti definizioni abbiamo che:
T
n
=
∑
=
n
i
i
U
1
n∈ N, T
0
= 0 (1.11)
N(t) = sup{ n∈ N : T
n
≤ t } (1.12)
Consideriamo ora la funzione di probabilit� della variabile N(t)
p
k
(t) = P( N(t) = k ) = P(T
k
≤ t < T
k+1
) (1.13)
Per ottenere la distribuzione della probabilit� p
k
(t) dobbiamo fare delle assunzioni sulla
distribuzione della sequenza {U
n ,
n∈ N}dei tempi intercorrenti. Nel nostro modello di
rischio ipotizziamo che le variabili U
n
siano i.i.d., non negative e distribuite
esponenzialmente; Exp(λ ), λ >0.
Definizione1.5 Definiamo il processo contatore N(t) omogeneo di Poisson con intensit�
λ se la sequenza di variabili {U
n
} si distribuisce come una Exp(λ ), λ >0.
Figura 1.5: Una traiettoria del processo di Poisson, dove sono visualizzati i primi tempi
di attesa U
n
e i primi tempi di arrivo T
n
.
t
0
2
4
6
8
+ + + + + +
T
1
T
2
T
3
N
t
(ω)
U
1
U
2
U
3
Capitolo 1
12
Il processo di Poisson � il pi� semplice ma anche il pi� utilizzato tra i processi Renewal
(processi non negativi e i.i.d.): gioca un ruolo cruciale nelle applicazioni attuariali dei
processi stocastici, cos� come la distribuzione normale nelle statistiche, e questo grazie
alle sue importanti propriet�: incrementi indipendenti e stazionari. Tale processo si
adatta a rappresentare nel tempo l�accadere di singoli eventi, quali infatti risultano
essere i sinistri registrati da una compagnia assicurativa. Vediamo di seguito alcune
importanti propriet� del processo omogeneo di Poisson N
t
:
Definizione1.6 Un processo stocastico { X
t
, t∈ N }� detto avere
(a ) incrementi indipendenti se ∀ n = 1,2,�e 0 ≤ t
0
< t
1
< �< t
n
,
le variabili casuali X(0), X(t
1
) � X(t
0
),�, X(t
n
) � X(t
n-1
) sono indipendenti,
(b) incrementi stazionari se ∀ n=1,2,�e 0 ≤ t
0
< t
1
< �< t
n
e h ≥ 0,
la distribuzione di(X(t
1
+h) � X(t
0
+h),�, X(t
n
+h) � X(t
n-1
-h)) non dipende da h.
Teorema1.1 Supponiamo {N(t). t ≥ 0} sia un processo contatore; allora le seguenti
affermazioni sono equivalenti:
a){N(t), t ≥ 0}� un processo di Poisson con parametro λ
b) ∀ t ≥ 0, n = 1,2,�la variabile casuale N(t) ha distribuzione di Poi(λ t) e, dato
{N(t)=n}, il vettore casuale (T
1
,T
2
�,T
n
) ha la stessa distribuzione statistica di ordine di
n indipendenti punti distribuiti uniformemente su [0,t]
c) {N(t)} ha incrementi indipendenti tali che EN(1) = λ
d) {N(t)} ha incrementi stazionari e indipendenti che soddisfano per h ↓ 0
P( N(h)=0 )=1 - λ h + ο (h), P( N(h)=1 )= λ h + ο (h).
e) {N(t)} ha incrementi stazionari e indipendenti e, per ogni t ≥ 0 fissato, la v.a.
N(t)∼ Poi(λ t)
Per la dimostrazione rimando a Rolski( 1999).
Ricevi informazioni sui nostri servizi, sulle offerte e non perdere news e consigli su università e lavoro.
