Analogie idrodinamiche nella fisica dei buchi neri

ii Introduzione
di Hawking, come chiariremo nel seguito, e` un prodotto della cinematica dei
campi relativistici, mentre il comportamento termodinamico dei buchi neri e`
un risultato irriducibilmente dinamico.
Nella tesi dedicheremo uno spazio molto maggiore ai tentativi di simu-
lare la radiazione di Hawking. Questa sorta di sbilanciamento si deve al
fatto che la riproduzione della termodinamica dei buchi neri, mediante un
modello liquido, richiede la possibilita` di modulare a nostro piacere l’intera-
zione interatomica delle particelle del fluido e questo non e` evidentemente
realizzabile a livello sperimentale. Cio` non toglie (pur nella parzialita` dei
risultati raggiunti) l’interesse teorico di sostituire il lavoro geometrico del-
la relativita` generale con quello, assai piu` semplice, delle tecniche standard
della meccanica statistica.
La simulazione dell’effetto Hawking merita invece un discorso a parte
perche` si ricollega allo studio dei superfluidi quantistici. Le prime idee in
merito riguardavano lo studio della propagazione dei disturbi acustici nei
fluidi classici perfetti. Tali disturbi non vedono la metrica minkowskiana
dello spazio-tempo fisico, ma si accoppiano a una metrica lorentziana efficace
tetradimensionale (detta metrica acustica o di Unruh). A tale metrica si
affidano le nostre speranze di simulare l’effetto Hawking. Ovviamente, la
modellizzazione del liquido come una distribuzione continua di materia crolla
quando la lunghezza d’onda del suono diventa paragonabile alla spaziatura
interatomica media. Questo complica la fisica del problema e fornisce un
cut-off sulle lunghezze d’onda ammissibili per il disturbo acustico. Alla fine
sara` possibile prevedere un analogo dell’effetto Hawking gravitazionale, ma
la cinematica sara` sensibilmente diversa.
Questo modo di presentare la metrica acustica da` adito ad alcune perples-
sita`. Innanzitutto i fluidi reali, anche se descritti dall’idrodinamica classica,
non sono perfetti, ne` il loro flusso e` tenuto a essere sempre irrotazionale. Le
perplessita` al riguardo si aggravano quando scopriamo che l’indebolimento
di queste ipotesi non permette di salvaguardare i risultati precedenti. Nel
seguito dimostreremo che le ipotesi che sono un’idealizzazione per i fluidi clas-
sici hanno una comprovata validita` teorica e sperimentale per i superfluidi
quantistici. I fluidi quantistici si offrono quindi, sorprendentemente, come
i candidati migliori per lo sviluppo delle nostre idee sulla metrica efficace,
nate in un contesto del tutto classico.
Diciamo sorprendentemente perche` fluidi classici e quantistici richiedono
approcci teorici del tutto distinti. I primi sono descritti dalle equazioni del-
l’idrodinamica classica in base a quantita` macroscopiche come la pressione,
la velocita` e la densita` di massa. I secondi si studiano a partire da un’hamil-
toniana a molti corpi e a opportune ipotesi sul potenziale interatomico. Il
nostro studio dei superfluidi si e` orientato verso i condensati di Bose-Einstein.
iii
Sebbene anche in questi condensati, in un opportuno regime, appaia una me-
trica formalmente analoga a quella acustica, stavolta i disturbi non hanno
nulla a che fare con il suono e non sono altro che perturbazioni di fase della
funzione d’onda del condensato.
Nella tesi si dedica ampio spazio alla ricerca delle ragioni di tale risultato
inaspettato. Per fare cio`, da un lato, si completa lo studio del fluido perfetto
classico, con un formalismo relativistico e l’utilizzo di principi variazionali,
sino ad introdurre il fonone e, dall’altro, si discutono, sempre con tecniche
tipiche della relativita`, alcuni modelli di fluidi quantistici. La ricerca di un
punto d’incontro fra classico e quantistico approda al modello dei due fluidi
di Landau, originariamente elaborato per spiegare alcune proprieta` dell’elio.
Vedremo che i fluidi classici, provvisti della metrica acustica per i disturbi
sonori, alludono a tale modello a patto di introdurre in essi il fonone in
maniera consistente. D’altra parte, scopriremo che i superfluidi quantistici,
inquadrabili nel modello di Landau, permettono di descrivere la propagazione
delle perturbazioni di fase mediante un’equazione di D’Alambert espressa, in
generale, mediante una metrica lorentziana a quattro dimensioni. In questo
modo si colma, almeno in parte, il divario fra classico e quantistico.
Infine sottolineiamo che, come sottoprodotto del lavoro svolto, si ha un’ul-
teriore conferma dell’utilita` dell’applicazione dei metodi geometrici della re-
lativita` generale allo studio dei sistemi condensati. Tali metodi facilitano la
ricerca delle quantita` conservate e permettono una lettura molto generale dei
risultati ottenuti.
Capitolo 1
Metrica efficace e buchi neri
Questo capitolo introduce la nozione fondamentale di metrica efficace in
relazione ai disturbi acustici nei fluidi e ne studia la capacita` di simulare
gli aspetti cinematici della relativita` generale e in particolare della fisica
dei buchi neri. Si introducono gli analoghi acustici di diversi oggetti fon-
damentali della relativita` generale. Particolare attenzione e` dedicata alla
radiazione di Hawking fononica, che viene studiata secondo una versione
leggermente modificata del modello dovuto a Unruh, evidenziando le ca-
ratteristiche e i difetti dei principali modelli presenti in letteratura. Poi
si esamina, pensando ad un modello di fluido piu` realistico, il ruolo della
viscosita` e le limitazioni che questa comporta. Infine si presenta un mo-
dello liquido per il buco nero di Schwarzschild con lo scopo di riprodurne,
almeno in parte, le funzioni di stato termodinamiche.
1.1 Varieta` acustiche
Nel 1981 Unruh sviluppo` un metodo per mimare alcuni aspetti della fisica dei
buchi neri servendosi della teoria dei fluidi supersonici. Il collegamento fra
questi due sistemi molto diversi fra loro risulta potente ed e` stato dimostrato
e riscoperto diverse volte in maniera indipendente negli ultimi vent’anni. A
partire all’incirca dal 1990, e` stata svolta una notevole mole di lavoro che,
sfruttando queste analogie, cerca di elaborare i modelli fisici che sono alla
base dell’effetto Hawking. Un punto ancora da chiarire, sul quale si spera di
gettare nuova luce grazie alle analogie con l’idrodinamica, e` il ruolo giocato
dalla fisica su distanze dell’ordine della lunghezza di Planck. Una parte
importante di questo capitolo sara` fornire una dimostrazione pedagogica del
seguente teorema:
Teorema 1 Sia dato un fluido barotropico, irrotazionale e non viscoso (e`
1
2 Metrica efficace e buchi neri
ammessa una dipendenza dal tempo). Allora l’equazione del moto per il po-
tenziale della velocita` che descrive un disturbo acustico e` identica all’equa-
zione di D’Alambert per un campo scalare con un accoppiamento minimale
che si propaga in una geometria lorentziana (3 + 1) dimensionale (M 4, g),
i.e.
2ψ = 1√−g ∂µ(
√−ggµν∂νψ) = 0. (1.1)
In altre parole, sotto queste condizioni del teorema, la propagazione del suono
e` retta da una metrica acustica gµν(t, ~r ) . Tale metrica descrive una geome-
tria lorentziana tetradimensionale e dipende dalla densita` del fluido, dalla
velocita` del flusso e dalla velocita` locale del suono. Concretamente abbiamo
gµν(t, ~x) ≡
ρ0
vs


−(v2s − v20)
.
.
. −vj0
. . . . . . . . . . . . . .
−vi0
.
.
. δij

 . (1.2)
(Qui δij e` la matrice identita` 3×3 e vs e` la velocita` del suono). In generale,
quando il flusso del fluido non e` omogeneo, il tensore di Riemann acustico
associato a questa metrica sara` non banale.
E` notevole il fatto che, sebbene la fluidodinamica soggiacente a que-
sto discorso sia newtoniana, non relativistica e abbia luogo in uno spazio-
tempo piatto, le fluttuazioni (onde sonore) siano governate da una metrica
lorentziana assolutamente non banale.
Il lavoro di questa sezione si svolgera` secondo lo schema
fluido perfetto
disturbo acustico−−−−−−−−−−−−−−→
equazioni idrodinamiche
metrica acustica.
Idrodinamica: equazioni fondamentali
Nel seguito consideremo un sistema idrodinamico caratterizzato dalle seguen-
ti quantita` fondamentali: una densita` di massa ρ, una velocita` ~v e una pres-
sione p. Lavoriamo con un fluido perfetto 1 la cui evoluzione e` descritta dalle
equazioni standard della fluidodinamica, vale a dire
• l’equazione di continuita`
∂tρ+ ~∇ · (ρ~v) = 0 (1.3)
1E` implicita nella definizione di fluido perfetto l’assunzione che la viscosita` sia nulla.
Sebbene questa richiesta sia realistica per i superfluidi, vedremo che la viscosita` puo` giocare
un ruolo importante. Piu` avanti torneremo su questo punto.
1.1 Varieta` acustiche 3
• e l’equazione di Eulero
ρ~a = ~f (1.4)
ove ~a e` l’accelerazione del fluido
~a = d~v
dt
= ∂t~v + (~v · ~∇)~v (1.5)
e ~f sta per la densita` di forza, la somma di tutte le forze agenti sul
fluido per unita` di volume.
Anzitutto supporremo che tutte le forze esterne siano forze a un corpo deriva-
bili da un potenziale (e quindi esprimibili come gradienti), permettendo loro
di avere un’arbitraria dipendenza dal tempo. Per semplicita`, raccoglieremo
gli effetti di queste forze in un unico termine −ρ∇χ. Oltre che dalle forze
esterne, ~f riceve un contributo dalla pressione del fluido. Per avere equazioni
trattabili da un punto di vista analitico dovremo fare alcune ipotesi in merito
al flusso e alle equazioni di stato del nostro fluido.
1. La prima ipotesi e` che il flusso sia privo di vorticita`, ossia irrotazionale :
~∇×~v = 0. Questa condizione e` generalmente soddisfatta dai superfluidi
fisici. Essa implica anche la possibilita` di caratterizzare completamente
la velocita` del fluido mediante un campo scalare ψ definito mediante
~v = ∇ψ.
2. La seconda ipotesi e` che il fluido abbia un’equazione di stato barotropi-
ca, vale a dire la densita` sia una funzione invertibile della sola pressione.
In tal caso diventa possibile definire:
• la velocita` del suono
v2s =
dp
dρ
(1.6)
• e l’entalpia specifica
h(p) =
∫ p
0
dp ′
ρ(p ′)
(1.7)
cosicche`
∇h = 1
ρ
∇p. (1.8)
Questa ipotesi e` di cruciale importanza perche` grazie ad essa l’equazio-
ne di Eulero e quella di continuita` formano un set completo di equazioni,
altrimenti ne sarebbe richiesta anche una terza per l’energia.
4 Metrica efficace e buchi neri
In seguito a queste ipotesi la (1.4) diventa
ρ[∂t~v + (~v · ~∇)~v] = −∇p− ρ∇χ. (1.9)
Attraverso manipolazioni standard, l’ultima equazione si riscrive
∂t~v = ~v × (~∇× ~v)− 1
ρ
∇p−∇
(
1
2
~v 2 + χ
)
(1.10)
che diventa, in virtu` dell’irrotazionalita`
∂t~v = −
1
ρ
∇p−∇
(
1
2
~v 2 + χ
)
. (1.11)
Prendendo la divergenza di ambo i membri della (1.11) l’equazione di Eulero
si riduce dunque a
∂tψ + h+
1
2
(∇ψ)2 + χ = 0. (1.12)
Si tratta di una versione dell’equazione di Bernoulli in presenza di una forza
esterna che governa il flusso del fluido.
Fluttuazioni
Passiamo ora alla linearizzazione di queste equazioni del moto attorno a una
soluzione data. Poniamo
ρ(t, ~r ) = ρ0(t, ~r ) + ²ρ1(t, ~r ) +O(²2) (1.13)
p(t, ~r ) = p0(t, ~r ) + ²p1(t, ~r ) +O(²2) (1.14)
ψ(t, ~r ) = ψ0(t, ~r ) + ²ψ1(t, ~r) +O(²2). (1.15)
Il potenziale χ e` considerato esterno e fissato.2 Identifichiamo (seguendo
una procedura standard per i disturbi acustici) il suono con le fluttuazioni
linearizzate delle quantita` dinamiche3. Una tacita assunzione del programma
di linearizzazione e` la richiesta che l’ampiezza dei disturbi a alta frequenza
(piccola lunghezza d’onda) sia piccola. Disturbi che non soddisfano tale
condizione vanno studiati a partire dalla soluzione delle equazioni complete
2Con cio` non si intende che tale potenziale non dipende dal tempo (al contrario, non
stiamo precludendo questa possibilita`), ma solo che non puo` venire modificato dalla back-
reaction.
3Questa definizione naturale non permette di identificare il suono con l’intero disturbo
che si propaga nel mezzo, neppure quando questo sia reso opportunamente “piccolo”. Nel
prossimo capitolo vedremo che questa precisazione non e` una sottigliezza, ma gioca un
ruolo fondamentale nella discussione sull’attribuzione di un momento ai fononi.
1.1 Varieta` acustiche 5
della fluidodinamica. La linearizzazione dell’equazione di continuita` conduce
alla coppia di equazioni
∂tρ0 + ~∇ · (ρ0~v0) = 0 (1.16)
∂tρ1 + ~∇ · (ρ1~v0 + ρ0~v1) = 0. (1.17)
L’equazione barotropica implica che
h(p) = h(p0 + ²p1 +O(²2)) = h0 + ²
p1
ρ0
+O(²2). (1.18)
Usiamo questo risultato nell’equazione di Bernoulli. Otteniamo:
− ∂tψ0 + h0 +
1
2
(∇ψ0)2 + χ = 0 (1.19)
− ∂tψ1 +
p1
ρ0
− ~v0 · ∇ψ1 = 0. (1.20)
L’ultima equazione si puo` riesprimere come
p1 = ρ0(∂tψ1 + ~v0 · ∇ψ1) (1.21)
e usando di nuovo l’equazione barotropica abbiamo:
ρ1 =
∂ρ
∂p
p1 =
∂ρ
∂p
ρ0(∂tψ1 + ~v0 · ∇ψ1). (1.22)
Infine, sostituiamo questa conseguenza dell’equazione di Bernoulli linearizza-
ta nell’equazione di continuita` linearizzata. Otteniamo, a meno di un segno
globale, l’equazione di tipo ondulatorio
− ∂t
(
∂ρ
∂p
ρ0(∂tψ1 + ~v0 · ∇ψ1)
)
+ ~∇ ·
(
ρ0∇ψ1 − ∂ρ
∂p
ρ0~v0(∂tψ1 + ~v0 · ∇ψ1)
)
= 0. (1.23)
Questa equazione descrive la propagazione del potenziale scalare linearizzato
ψ1. Una volta che ψ1 e` determinato, la (1.21) determina p1 e la (1.22) a
sua volta determina ρ1. In altre parole la (1.23) regola completamente la
propagazione dei disturbi acustici. I campi imperturbati p0, ρ0 e ~v0 = ∇ψ0,
che appaiono come coefficienti spazio e tempo dipendenti nella (1.23) sono
vincolati a risolvere le equazioni del moto per un flusso non viscoso, pilotato
da una forza esterna, irrotazionale e barotropico. A parte questi vincoli,
possono avere dipendenze spaziali e temporali arbitrarie.
6 Metrica efficace e buchi neri
Scritta in questa forma, la (1.23) ha un significato fisico tutt’altro che tra-
sparente. Per semplificare le cose sfruttiamo la (1.6) e costruiamo la matrice
simmetrica 4× 4
fµν ≡ ρ0
v2s


−1 ... −vj0
. . . . . . . . . . . . . . .
−vi0
.
.
. (v2sδ
ij − vi0vj0)

 . (1.24)
(Gli indici romani corrono da 1 a 3, mentre quelli greci da 0 a 3). Utilizzando
una notazione relativistica e definendo xµ ≡ (t, xi), l’equazione d’onda (1.23)
si riscrive facilmente
∂µ(f
µν∂νψ1) = 0. (1.25)
Questa formulazione straordinariamente compatta e` del tutto equivalente
alla (1.23) e rappresenta il punto di partenza per l’applicazione delle tecniche
geometriche tipiche della relativita` generale.
Geometria lorentziana
In qualunque geometria lorentziana, il dalambertiano covariante e` dato (in
termini della metrica) da
2ψ1 ≡
1√−g ∂µ(
√−ggµν∂νψ1). (1.26)
La metrica inversa gµν(t, ~r ) e` l’inversa puntuale della matrice gµν(t, ~r ), men-
tre g ≡ det(gµν). Risulta cos`ı possibile riscrivere la nostra equazione d’onda
in termini di un dalambertiano covariante
2ψ = 0 (1.27)
a patto di identificare √−ggµν = fµν . (1.28)
Mediante calcoli banali si scopre che la metrica acustica pertinente al sistema
in esame e`
gµν ≡
ρ0
vs


−(v2s − v20)
.
.
. −vj0
. . . . . . . . . . . . . .
−vi0
.
.
. δij

 . (1.29)
In maniera del tutto equivalente, la metrica acustica si esprime come
ds2 = gµνdxµdxν =
ρ0
vs
[
−v2sdt2 + (dxi − vi0dt)δij(dxj − vj0dt)
]
. (1.30)
Prima di proseguire e` bene fare alcune puntualizzazioni.
1.1 Varieta` acustiche 7
• Anzitutto notiamo che la (1.27) e` esattamente l’equazione di moto di
un campo scalare con un accoppiamento minimale che si propaga in
uno spazio-tempo curvo con una metrica data da gµν . Puo` essere inte-
ressante notare che l’equazione (1.27) non fissa in modo unico il moto
di ψ1. In realta` essa identifica una classe di soluzioni legate tra loro
per mezzo di trasformazioni conformi. Cos`ı, in linea di principio, po-
tremmo prendere una metrica conforme a quella data dalla (1.29). In
tal caso il prezzo da pagare sarebbe un’equazione piu` complicata per
ψ1 che avrebbe lo stesso dalambertiano, ma un accoppiamento non piu`
minimale.
• Osserviamo che la segnatura della metrica acustica e` (−,+,+,+) ed e`
quindi una metrica lorentziana.
• Bisogna sottolineare la presenza di due metriche distinte pertinenti alla
nostra discussione:
1. la metrica dello spazio-tempo fisico che e` l’usuale metrica piatta
di Minkowski
ηµν ≡ (diag[−c2light, 1, 1, 1])µν (1.31)
ove clight e` la velocita` della luce. Le particelle del fluido si ac-
coppiano solo alla metrica fisica ηµν . Infatti il moto del fluido e`
completamente non relativistico: ‖v0‖ ¿ clight. Il nostro sistema
idrodinamico dipende algebricamente dalla distribuzione di mate-
ria (la densita`, la velocita` locale del flusso e la velocita` locale del
suono nel fluido) ed e` governato dalle equazioni di moto del fluido
che impongono dei vincoli sulla metrica acustica. Niente di tutto
cio` si ritrova nella teoria einsteiniana della gravita` ove la metrica
dello spazio-tempo e` legata alla distribuzione di materia mediante
le equazioni non lineari di campo.
2. Le onde sonore, d’altro canto, non vedono affatto la metrica fisica.
I disturbi acustici si accoppiano solo con la metrica acustica gµν .
• E` inoltre opportuno sottolineare che la differenza fra il sistema idro-
dinamico in questione e quelli relativistici e` confermata anche da uno
sguardo ai gradi di liberta`. In una geometria lorentziana tetradimen-
sionale completamente generale, la metrica possiede sei gradi di liberta`
(e` descritta da una matrice simmetrica 4 × 4 che da` dieci componenti
indipendenti da cui bisogna sottrarre quattro condizioni sulle coordina-
te). In contrasto, una geometria acustica e` completamente specificata
da tre scalari ρ0(t, ~r ), ψ0(t, ~r ), vs(t, ~r ), cos`ı ha al piu` tre gradi di liberta`
8 Metrica efficace e buchi neri
per ogni punto nello spazio-tempo. Considerando anche l’equazione di
continuita`, essi si riducono a due (per ψ0(t, ~r ) e vs(t, ~r )).
Esaminiamo rapidamente un tentativo per porre rimedio a quest’ultimo in-
conveniente. Il modo piu` diretto per costruire un fluido avente sei gradi di
liberta` per punto consiste nel sostituire alla pressione scalare un tensore pij
cos`ı da scrivere l’equazione barotropica nella forma:
pij = v2sδijρ+ piij (1.32)
ove piij e` simmetrico e a traccia nulla. Sfortunatamente l’esperienza ha
provato che quest’idea, seppur interessante, conduce a grandi complicazioni
analitiche ed e` stata percio` abbandonata.
1.1.1 Buchi neri acustici
In questa sezione vogliamo esplorare la capacita` della metrica acustica (o di
Unruh) di mimare gli aspetti cinematici del buco nero di Schwarzschild. A
tal fine dovremo riformulare alcuni concetti fondamentali della relativita` nel
quadro delle varieta` acustiche e esprimere la soluzione di Schwarzschild in
coordinate poco usuali.
Orizzonti acustici e regioni ergodiche
In base a quanto visto sino ad ora, non e` sorprendente che le geometrie
acustiche possano esibire proprieta` e caratteristiche analoghe a quelle che si
incontrano spesso in relativita` generale. Possiamo iniziare dalla nozione di
regione ergodica. Consideriamo la curve integrali del vettore Kµ ≡ (∂/∂t)µ =
(1, 0, 0, 0)µ (in caso di flusso stazionario, questo e` il vettore di Killing associato
alla traslazione temporale). La norma spazio-temporale del vettore di Killing
e` data da 4
gµν(∂/∂t)
µ
(∂/∂t)ν = gtt = −[v2s − v2]. (1.33)
Tale norma cambia di segno (e in seguito a cio` il vettore di Killing diviene di
tipo spazio) quando ‖~v‖ > vs. Cos`ı, qualunque regione di flusso supersonico
e` una regione ergodica. Detto in altre parole, e` impossibile per qualun-
que osservatore in una regione di flusso supersonico essere in quiete rispetto
a un osservatore all’infinito perche` cio` richiederebbe al primo di muoversi
piu` velocemente del suono. Un altro concetto che puo` essere adattato dalla
relativita` alle geometrie acustiche e` quello di superfici di intrappolamento
4D’ora in poi, per semplificare la notazione, tralasceremo il pedice 0 sui campi
imperturbati tranne quando vi sia rischio di confusione
1.1 Varieta` acustiche 9
(trapped surfaces). Per definire una superficie di intrappolamento in acusti-
ca bisogna considerare una due-superficie chiusa. Se la velocita` del fluido e`
diretta ovunque verso l’interno della superficie e la sua componente normale
e` ovunque maggiore della velocita` locale del suono, allora, indipendentemen-
te dalla direzione in cui si propaga, l’onda sonora sara` trascinata all’interno
della superficie entro cui restera` intrappolata. Una simile superficie e` det-
ta intrappolata dall’esterno (outer-trapped). A questo punto definiamo la
regione di intrappolamento come una regione contenente al suo interno una
superficie di intrappolamento. L’orizzonte degli eventi e` definito, come in
relativita` generale, domandando che esso sia il bordo della regione da cui
le geodetiche di tipo luce (nella fattispecie i fononi) non possono uscire. A
tale definizione corrisponde precisamente l’orizzonte degli eventi futuro, ma
la sua estensione agli altri casi e` ovvia. In particolare, l’orizzonte degli eventi
e` una superficie di tipo luce i cui generatori sono le geodetiche nulle.
L’elemento di linea di Painleve´-Gullstrand
Anticipiamo il risultato che vogliamo provare: per un fluido con velocita` del
suono costante e` possibile trovare una soluzione stazionaria 5 corrispondente
a un flusso a simmetria sferica, in tre dimensioni spaziali che risulta conforme
all’elemento di linea di Painleve´-Gullstrand della soluzione di Schwarzschild.
Essa non e` altro che una scelta inusuale delle coordinate per lo spazio-tempo
di Schwarzschild
ds2 = −dt2 +
(
dr ±
√
2M
r
dt
) 2
+ r2dΩ2 (1.34)
(ove il segno distingue fra coordinate entranti e uscenti) o, equivalentemente
ds2 = −
(
1− 2M
r
)
dt2 ±
√
2M
r
drdt+ dr2 + r2dΩ2. (1.35)
Le coordinate di Panleve`-Gullstrand sono legate a quelle piu` usuali con cui
si esprime la soluzione di Schwarzschild da
tPG = tS ±
[
4Marctanh
(√
2M
r
)
− 2
√
2Mr
]
(1.36)
da cui
dtPG = dtS ±
√
2M/r
1− 2M/r dr. (1.37)
5Per flusso stazionario (steady flow) intendiamo un flusso avente la proprieta` ∂~v/∂t = 0.
10 Metrica efficace e buchi neri
A questo punto sembrerebbe semplice scrivere la metrica acustica (1.29) in
questa forma: prendiamo ρ e vs come costanti e poniamo v =
√
2M/r.
Purtroppo, questo metodo non e` compatibile con l’equazione di continuita`
~∇ · (ρ~v) = 0 che abbiamo usato per derivare la metrica acustica. Il meglio
che possiamo fare e` prendere la velocita` del suono vs come una costante
indipendente dalla posizione, che per comodita` normalizziamo a 1. Di nuovo
poniamo v =
√
2M/r e usiamo l’equazione di continuita` ~∇ · (ρ~v) = 0 per
dedurre ρ|~v|∝ 1/r2 cosicche` ρ ∝ r−3/2. Globalmente la metrica acustica
diviene quindi:
ds2 ∝ r−3/2

−dt2 +
(
dr ±
√
2M
r
dt
) 2
+ r2dΩ2

 . (1.38)
Il risultato finale e` conforme alla forma di Painleve´-Gullstrand della metrica
di Schwarzschild, ma non identico. Possiamo comunque definire un orizzonte
degli eventi, una gravita` superficiale e possiamo analizzare il processo della
radiazione di Hawking. Inoltre, se ci concentriamo attorno all’orizzonte degli
eventi, il fattore conforme puo` venire considerato costante ignorando cos`ı le
complicazioni che derivano da esso. Un punto da sottolineare e` che il flusso
deve essere compatibile anche con l’equazione di Eulero e questo richiede,
in d dimensioni spaziali, un potenziale della forma (ripristinando le unita` di
misura usuali) [4]
χ(r) = v2s
(
d− 3
2
)
ln
(
r
r0
)
− GM
r
+ costante. (1.39)
Va da se` che la realizzazione sperimentale di un moto fluido governato da un
simile potenziale e` piuttosto difficile.
Geometrie statiche
I discorsi precedenti si semplificano in maniera notevole qualora la metrica
risulti non solo stazionaria, ma statica. Anzitutto osserviamo che la (1.30)
si puo` riscrivere in maniera equivalente come
ds2 = ρ
vs
[−(v2s − v2)dt2 − 2~v · d~xdt+ (d~x)2]. (1.40)
Supponiamo ora che il vettore ~v/(v2s − v2) sia integrabile, allora possiamo
definire una nuova coordinata temporale
dτ = dt+ ~v · d~x
v2s − v2
(1.41)
1.1 Varieta` acustiche 11
che non ha significato fisico, ma e` un utile espediente matematico in vista di
quanto seguira`. Sostituendo nella (1.40) otteniamo
ds2 = ρ
vs
[
−(v2s − v2)dτ 2 +
{
δij +
vivj
v2s − v2
}
dxidxj
]
. (1.42)
In questo sistema di coordinate l’assenza di termini misti rende manifesta
la staticita` della metrica (esiste un’ipersuperficie cui il campo di Killing in-
trodotto dalla (1.33) risulta ortogonale). La condizione che la metrica sia
statica e` legata intimamente all’integrabilita` del vettore appena introdotto;
possiamo riformulare tale richiesta domandando che
~∇×
{
~v
(v2s − v2)
}
= 0, (1.43)
vale a dire
~v × ~∇(v2s − v2) = 0. (1.44)
L’ultima formula richiede che il flusso del fluido sia parallelo a un altro vet-
tore che non e` l’accelerazione, sebbene vi assomigli (ricordiamo che a cau-
sa dell’assunzione di stazionarieta` del flusso, (~v · ~∇)~v = 12∇v2 e` l’usuale
tre-accelerazione del fluido).
Assumendo inoltre che il flusso sia radiale otteniamo
ds2 = − ρ
vs
[
(v2s − v2)dτ 2 −
v2s
v2s − v2
dr2 − r2dΩ2
]
. (1.45)
Se supponiamo, inoltre, che a un certo valore di r = R (che chiameremo sin
da ora orizzonte degli eventi) la velocita` del fluido superi di poco la velocita`
del suono nel mezzo, allora possiamo scrivere:
v = −vs + ²(r −R) +O((r −R)2). (1.46)
Sotto queste ipotesi e tralasciando la parte angolare, la metrica (1.45) diviene,
nei pressi dell’orizzonte
ds2 ∼= ρ(R)
vs
[
2vs²(r −R)dτ 2 −
dr2
2²(r −R)
]
. (1.47)
Come e` noto, a meno della solita parte angolare, la soluzione di Schwarzschild
e` data da
ds2 = −
(
1− 2M
r
)
dt2 +
(
1− 2M
r
)−1
dr2. (1.48)
12 Metrica efficace e buchi neri
Vediamo come si comporta la (1.48) in prossimita` dell’orizzonte rs = 2M .
Poniamo
r − 2M = x
2
2M (1.49)
in tal modo l’orizzonte degli eventi e` dato da x = 0, da cui
1− 2M
r
= (κx)
2
1 + (κx)2
x→0−−→ (κx)2 (1.50)
ove κ ≡ 1/4M . La soluzione di Schwarzschild si scrive allora
ds2 ∼= −(κx)2dt2 + dx2 = [(r − 2M)/(2M)]dt2 − 2Mdr2/(r − 2M). (1.51)
Formalmente la metrica di Schwarzschild, vicino all’orizzonte, coincide, a
meno di un fattore conforme, con quella acustica (nel caso in cui la velo-
cita` del flusso sia prossima a quella del suono nel mezzo). Questo rinforza
la nostra idea di usare lo studio delle perturbazioni acustiche in un fluido
(con le proprieta` che abbiamo sottolineato) come un analogo dei buchi neri
gravitazionali.
Radiazione di Hawking
L’esistenza della radiazione di Hawking fononica segue direttamente dall’ar-
gomentazione originale di Hawking una volta appurato che le fluttuazioni
acustiche si accoppiano alla metrica lorentziana gia` esaminata. L’unico pro-
blema consiste nell’identificare correttamente la gravita` superficiale di un
buco nero acustico. E` importante tenere a mente che in questo caso esiste un
legame fra la gravita` superficiale e l’accelerazione newtoniana di osservatori
in caduta verso l’orizzonte. Questo si deve al fatto che nel caso della metrica
acustica esiste una parametrizzazione naturale delle geodetiche di tipo luce
in termini del tempo newtoniano della metrica fisica soggiacente. In ultima
analisi cio` e` da imputare al fatto che la metrica acustica puo` mimare i campi
relativistici solo nei loro aspetti cinematici.
Gravita` superficiale
Nel seguito limiteremo la discussione al caso di una metrica acustica staziona-
ria. Nel suo lavoro originale [5], Unruh trovo` che la gravita` superficiale era pa-
ri all’accelerazione del fluido al momento dell’attraversamento dell’orizzonte
degli eventi
gh = vs
∂v
∂n
= afluid. (1.52)