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Angoli e Rotazioni
In “Poligoni a tutto tondo” abbiamo visto come la nozione di angolo possa assumere
definizioni che indicano però oggetti geometrici differenti. In generale, però, l’angolo si
può definire come ciascuna delle di un piano compresa tra due semirette, definite come
lati, aventi l’origine in comune, chiamata vertice.
160
In generale possiamo osservare come il concetto geometrico di angolo sia arricchito da
due aspetti:
1. quello metrico, per il quale a ogni angolo è possibile associare un numero reale
e non negativo che ne definisce numericamente l’ampiezza;
2. e quello legato all’additività: se si considera un punto interno a un angolo dato,
questo fa sì che, tracciando una retta che passi dal punto considerato e dal vertice
dell’angolo dato, si possono formare due angoli la cui somma è pari a quella
dell’angolo dato. Rispetto alla loro somma, due angoli possono essere:
complementari, supplementari, esplementari; rispetto alla loro posizione:
consecutivi, adiacenti.
161
Il termine ampiezza, in particolar modo, molto spesso viene presentato come un sinonimo
del concetto di angolo creando così delle misconcezioni evitabili, ossia attribuite alla
trasposizione didattica. Il vero significato di questo termine è quello di “grandezza”, la
misura dell’angolo, la quale viene espressa in gradi (°), e definita a sua volta come la 360-
esima parte dell’angolo giro.
Lo studio degli angoli viene affrontato anche in relazione ai poligoni, infatti esistono:
● angoli interni: ciascuno degli angoli di un poligono compreso tra due lati;
● angoli esterni: ciascuno degli angoli di un poligono compreso tra un lato e il
prolungamento del lato consecutivo. Essi, si configurano come angoli adiacenti al
160
Canale, D., & Canale L. Dizionario illustrato di Geometria Giunti Editore; Illustrated Edizione, 2009
Prato, pag. 11.
161
Ibidem.
90
relativo angolo interno, se il poligono è convesso.
In particolar modo, a quest’ultimo concetto si legano sia l’idea di angolo esterno come
cambio di direzione sia quella dell’angolo come rotazione. Il primo concetto vede come
l’angolo possa essere un cambiamento di direzione e va quindi a identificare la parte del
piano individuata dalle semirette che rappresentano il cambiamento da una semiretta
all’altra.
162
Il secondo, invece, si configura come il risultato di una rotazione di una
semiretta intorno alla sua origine.
Poligoni
Introduzione alle caratteristiche generali dei poligoni
«(dal greco polygonon, composto da polys = molti, e gonon, da gonìa = angolo)
è una figura geometrica piana formata da una porzione di piano delimitata da
una poligonale (linea spezzata chiusa semplice). I segmenti che compongono la
poligonale sono i lati del poligono. Il punto in comune a due lati è il vertice.»
163
A seguito della definizione sopra riportata e anche della Fig. 45, possiamo introdurre degli
elementi caratterizzanti dei poligoni:
1. lato: un lato del poligono è un lato della poligonale;
2. vertice: è un estremo di un lato;
3. diagonale: segmento che ha come estremi due vertici non consecutivi.
Sulla base di tali elementi, i poligoni si classificano per il numero di lati (che coincide)
con il numero di vertici in triangolo, quadrilatero, pentagono e così via.
162
Montagnoli, L. (2015). Appunti di Geometria Elementare. Corso di Laurea in Scienze della
Formazione Primaria. Milano: EDUCatt., pag. 52.
163
Canale, D., & Canale L. Dizionario illustrato di Geometria Giunti Editore; Illustrated Edizione, 2009
Prato, pag. 99.
91
Come abbiamo potuto osservare, tra le componenti di un poligono può esserci anche la
diagonale e fa sì che questo elemento porti a capire l’alunno se la figura che ha davanti è
concava
164
o convessa
165
. In questi casi possiamo vedere come le diagonali possono non
esistere oppure essere contenute totalmente all’interno del poligono convesso, in tal caso
oppure possono essere sia all’interno sia all’esterno di un poligono concavo. È bene
ricordare, però, come il numero delle diagonali non sia sempre il medesimo per ogni
poligono ma il loro numero dipende solo ed esclusivamente dal numero dei vertici che
possiedono.
Avendo citato i poligoni concavi e convessi e avendo specificato la loro natura posta in
relazione agli angoli, è quindi deducibile che i poligoni, come figure geometriche, vedano
la presenza sia di angoli interni sia di angoli esterni. In particolar modo se ne può parlare
per i poligoni convessi ma tale concetto può essere esteso anche a quelli concavi.
Figura 38: angoli interni ed esterni di un poligono regolare
166
164
È un poligono che possiede almeno un angolo concavo e che, di conseguenza, esiste un segmento
congiungente due vertici che non sono contenuti all’interno del poligono.
165
Esso possiede tutti gli angoli convessi e tracciando un qualsiasi segmento che abbia come estremi due
punti del poligono, esso è contenuto all’interno del poligono.
166
Immagine presa da Google immagini, https://it.openprof.com/wb/esagono_regolare
92
Osservando la Fig. 38 possiamo notare come gli angoli denominati come α e come gli
angoli denominati come α′ individuino due elementi completamente differenti. Il primo
indica l’angolo interno del poligono, chiamato anche semplicemente angolo, tale da
essere delimitato da due semirette su cui giacciono i lati consecutivi del poligono e
contiene il poligono stesso.
167
Quello invece denominato come α′ viene chiamato angolo
esterno del poligono convesso ed è adiacente a un angolo interno della figura geometrica.
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è sempre ed in qualsiasi caso pari
a 360°. Tale affermazione può essere dimostrata:
168
nei poligoni convessi, ogni angolo
esterno è adiacente al rispettivo angolo interno. La somma sia degli interni sia di quelli
esterni sarà quindi pari a:
�� �� 180°,
dove n è il numero di vertici. Da questa formula si deve togliere la somma degli interni
(�� − 2) �� 180°, ottenendo così il risultato finale:
�� �� 180° − (�� − 2) �� 180° = 2 �� 180° = 360°
Intraprendendo lo studio dei poligoni, la classificazione non può che avvenire se non in
base alla tipologia del poligono che si ha di fronte.
Un’ulteriore osservazione che possiamo fare sui poligoni è che alcuni possono essere
considerati come particolari, ossia poligoni con una notevole importanza soprattutto
all’interno dei programmi ministeriali per l’insegnamento della disciplina, in quanto sono
caratterizzati da specifiche particolarità. Tra questi possiamo far rientrare i triangoli e i
quadrilateri.
167
Baresi, F., & Montagnoli, L., Istituzioni di matematica. Teorie e attività per la scuola dell'infanzia e
per la scuola primaria., Edizioni Studium., 2019 Roma, pag. 348.
168
Ivi, pag. 351.
93
Esempi didattici.
La scuola odierna prevede spiegazioni frontali, esercizi, compiti e costanti relazioni con
gli altri. L’idea però fondamentale è che i bambini debbano cimentarsi nel lavoro, mettere
“le mani in pasta” al fine di interiorizzare al meglio i concetti proposti dall’insegnante.
169
Questo concetto emerge sin dagli inizi del secolo scorso quando pionieri della scuola
attiva come Comenius e Pestalozzi riflessero circa l’importanza del singolo dentro la
comunità scolastica. Soprattutto Comenius notò che per favorire l’apprendimento e il
successo di ognuno bisognasse proporre delle attività da più punti di vista, ossia, a
seconda dei diversi livelli di comprensione e di padronanza dell’argomento da parte degli
allievi.
170
Secondo quanto appena citato, possiamo vedere come ancora oggi si possa applicare tale
concetto alla geometria usando anche la metodologia del cooperative learning e del peer
tutoring.
Gli argomenti qui analizzati potranno essere introdotti a una nostra ipotetica classe usando
attività ludiche di diverso stampo e di diversa complessità.
Ad esempio, per quanto riguarda i percorsi, si può proporre un’attività chiamata “Alla
ricerca del tesoro” e che può essere svolta sia in palestra sia nel giardino della scuola e
consiste nell’eseguire dei percorsi e che tiene conto sia dei binomi locativi sia dei comandi
dei comandi che vengono dati dall’insegnante. Sempre in tema, si potrebbe usare una
storia molto amata dai bambini, come ad esempio “Cappuccetto rosso”, e si potrà
chiedere ai bambini quale strada deve compiere Cappuccetto per arrivare dalla nonna. La
maestra darà delle opzioni tra cui i bambini potranno scegliere e potrà chiedere anche di
disegnarne altre.
171
169
Castelnuovo, E. (2022). Didattica della matematica. (F. Arzarello, & G. M. Bussi Bartolini, A cura di)
Torino: UTET Università, pag. 172
170
Ivi, pag. 9.
171
Baresi, F., & Montagnoli, L., Istituzioni di matematica. Teorie e attività per la scuola dell'infanzia e
per la scuola primaria., Edizioni Studium., 2019 Roma, pag. 257.
94
Per quanto riguarda le mappe si potrà usare “Battaglia navale” è il classico gioco che
viene usato per introdurre il concetto di coordinata cartesiana a cui possiamo far
riferimento anche nelle mappe. Per poter giocare dobbiamo essere divisi a coppie e
dobbiamo posizionare le nostre navi in posizioni strategiche sulla nostra mappa.
Pronunciando delle coordinate, es. (A,4), noi potremo colpire/affondare oppure non
sfiorare l’imbarcazione del nostro avversario. Sempre legato al tema delle mappe, si
potrebbe fare un’attività di orientamento legato alla vita quotidiana degli alunni. Si
potrebbe infatti chiedere il percorso che fanno da casa a scuola oppure uno a scelta ma
che conoscono molto bene e di individuarlo su una mappa satellitare e quindi è un’attività
che deve essere svolta per forza in aula informatica, al fine che tutti abbiano accesso a un
computer.
L’argomento dei reticoli potrebbe essere introdotto grazie all’uso di attività interattive,
proposte ad esempio dal sito “Wordwall”, dove a turno i bambini possono essere chiamati
alla LIM per poter individuare l’abbinamento corretto del reticolo. Una seconda attività
si potrebbe eseguire mediante l’utilizzo del geopiano. Si individuano le righe con elastici
di colore rosso e le colonne con elastici di colore verde e si collocano in punti precisi delle
figure.
A turno, poi, i bambini potranno essere chiamati per poter indicare dove si trova la figura
richiesta dall’insegnante.
172
Per quanto riguarda gli angoli, si potrebbe far costruire un ventaglio con della carta per
far misurare l’ampiezza degli angoli oppure, si può far costruire un orologio con le
lancette per far comprendere la variazione dell’ampiezza degli angoli e di conseguenza
anche le tipologie di angolo che si forma.
A livello generale, per poter procedere a una migliore acquisizione della terminologia
introdotta circa l’argomento dei poligoni particolari, l’insegnante può organizzare un
percorso e possono essere date delle consegne precise come:
172
https://www.maestramarta.it/reticoli-classe-2a/
95
- percorri la poligonale chiusa;
- posizionati su di un vertice;
- percorri un solo lato;
- percorri due lati consecutivi;
- percorri prima un lato e poi un suo lato opposto;
- posizionati su un vertice: quanti vertici consecutivi ci sono rispetto a quello su cui
ti trovi? Indicali;
- posizionati su un vertice opposto rispetto a quello su cui è posizionato
l'insegnante.
173
Tra i diversi poligoni particolari possiamo trovare triangoli e quadrilateri. Per quanto
riguarda il primo poligono, l’insegnante potrebbe introdurre, mediante attività ludiche,
alcune caratteristiche del triangolo stesso come, ad esempio, il principio di costruibilità
di un poligono. Per questo argomento, infatti, si possono dare ai bambini delle cannucce
o delle strisce di cartoncino di diversa lunghezza e chiedere loro di costruire quanti più
triangoli possibili date solo quelle lunghezze.
Nel caso invece dei quadrilateri, l’insegante dovrà interfacciarsi con poligoni nati da
classificazioni differenti come ad esempio il quadrato, il rombo, il parallelogramma, il
trapezio e il deltoide. Come accaduto per il triangolo, il docente può, anche in questo caso,
dare ai bambini delle cannucce o delle strisce di cartoncino di diversa lunghezza e
chiedere loro di costruire quanti più quadrati possibili date solo quelle lunghezze.
Il rombo e il deltoide sono due poligoni che molto spesso crea dei misconcetti nei
bambini, portandoli così a confonderli non solo a livello teorico ma anche a livello
grafico. Sarà bene, quindi, proporre anche delle attività interdisciplinari o manuali che
possano migliorare l’acquisizione di conoscenza. Per quanto riguarda il rombo
l’insegnante potrà proporre agli alunni delle attività interdisciplinari con arte in quanto
molte piastrelle colorate possono essere a forma del poligono preso in esame; nel caso
invece del deltoide, è bene fare delle attività visive che facciano capire la differenza tra
173
Pea, B. (1994). Laboratorio di geometria. Esperienze per il 2° ciclo della scuola elementare e per l'inizio
della scuola media. Manerbio (Brescia): DESCA Edizioni, pag. 36.
96
questa figura e il rombo. Per questo motivo l’insegnante chiederà loro se durante l’estate
hanno mai usato degli oggetti che assomigliano a un deltoide. Può essere che tra le varie
risposte emerga "aquilone" ed è proprio qui che l’insegnante potrà chiedere ai bambini di
costruire, con del materiale di riciclo, il loro aquilone personalizzato.
Sempre rimanendo sui quadrilateri, per poter spiegare il rettangolo e il trapezio. Il
rettangolo i bambini lo conoscono percorrendo in prima persona il perimetro della
palestra; allo stesso tempo, però, si potrebbe chiedere ai bambini di realizzare sul
geopiano quanti più rettangoli possibili usando degli elastici di colore diverso al fine di
identificare rettangoli con perimetro maggiore, con stesso perimetro ecc.
174
Infine, per
quanto riguarda il trapezio, l’insegnante può chiedere ai propri alunni di disegnare in
stampato l’iniziale del loro nome e di identificare al suo interno più trapezi possibili.
A livello scolastico, il programma ministeriale della disciplina di geometria prevede
anche un accenno ai poligoni regolari
175
i quali possono essere introdotti alla classe con
attività che stimolino la fantasia e la creatività, come ad esempio alcune tabellazioni.
Questi suggerimenti non si riferiscono solamente al coding, bensì a tutti i concetti sopra
descritti che potrebbero essere ri-sperimentati attraverso attività che richiedono di mette
in atto il pensiero computazionale. In particolare, basandosi sull’apprendimento mediante
divertimento, i poligoni si possono affrontare usando anche un approccio “alternativo” e
innovativo: come vedremo successivamente, è stata svolta un’attività pratica che ha
permesso di trasmettere al meglio agli alunni le caratteristiche dei poligoni. In tutti i casi
sopra citati possiamo quindi vedere come la geometria e il costruzionismo si leghino
perfettamente, in quanto:
«con questi primi esempi in Scratch si apprendono competenze geometriche
attraverso gli artefatti cognitivi offerti dal coding e rappresentando la conoscenza
174
Pea, B. (1994). Laboratorio di geometria. Esperienze per il 2° ciclo della scuola elementare e per
l'inizio della scuola media. Manerbio (Brescia): DESCA Edizioni., pag. 157.
175
Un particolare tipologia di poligoni convessi che sono equiangoli ed equilateri e che sono iscrivibili a
una circonferenza.
https://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-piana/419-tutte-le-formule-sui-poligoni-
regolari.html
97
concretamente, dovendola insegnare al gatto.»
176
Un progetto di coding alla scuola primaria con Scratch e LibreLogo.
Contesto di attuazione
Il progetto qui presentato si è sviluppato tra febbraio e aprile 2022 e ha visto coinvolto
l'Istituto Comprensivo Varese 2 "S. Pellico", in particolar modo, il plesso della Scuola
Primaria "G. Pascoli”.
Esso ha avuto come destinatari una classe quarta composta da 22 alunni di cui 7 maschi
e 15 femmine, all’interno della quale si riscontra anche la presenza di due alunni con
disabilità con dell’educatrice o dell’insegnante ad personam, una bambina DSA e un’altra
alunna che nel momento di esecuzione dell’attività era in fase di certificazione per un
presunto DSA.
La scelta di attuare la progettazione all’interno di questo plesso ricade principalmente su
due motivi: il primo è per il fatto che l'Istituto appartiene al movimento delle avanguardie
educative INDIRE e al suo interno possiamo trovare numerose scelte didattiche e progetti
di plesso all’avanguardia, tra cui robotica educativa, coding, realtà aumentata, tinkering;
il secondo invece risiede maggiormente nella loro propensione a introdurre le tecnologie
didattiche sia come medium per l'apprendimento dei discenti sia anche come elemento
facilitante per tutti coloro che hanno un pensiero, e di conseguenza anche un
apprendimento, divergente e per cui l’insegnamento standard non risponde ai loro bisogni
educativi.
Obiettivi e fase di attuazione del progetto
Per poter portare a conclusione in maniera soddisfacente le attività qui descritte, si è prima
condotta un’attenta analisi del gruppo classe al fine di poterne individuare tutti gli aspetti
saliente e successivamente, durante la fase di stesura si sono tenuti conto sia degli obiettivi
specifici sia di quelli generali, proponendo così di fatto un’attività di potenziamento
dell’apprendimento del concetto geometrico di poligono mediante l’uso delle tecnologie
di cui disponiamo ai giorni d’oggi.
176
https://www.intre.it/2022/04/12/scratch-coding-imparare-a-programmare-divertendosi/#geometriche
98
Questo connubio tra tecnologia e geometria fa sì che i diversi obiettivi di apprendimento
si intreccino tra di loro al fine di andare a incrementare il livello di partecipazione alle
differenti attività didattiche e, di conseguenza, condurre anche all’acquisizione di nuove
e più specifiche conoscenze.
Per la realizzazione dell’intervento didattico esplicitato nelle sue forme si è fatto
riferimento alle “Indicazioni Nazionali per il curricolo della Scuola dell’Infanzia e del
Primo Ciclo d’Istruzione del 2012”, testo chiave usato per stabilire i traguardi per lo
sviluppo delle competenze e gli obiettivi di apprendimenti della disciplina di geometria;
oltre che al testo “Proposta di Indicazioni Nazionali per l'insegnamento dell’Informatica
nella Scuola” usato principalmente per formulare i traguardi e gli obiettivi specifici del
coding.
Come anticipato all’inizio, tra gennaio e aprile ’22 gli alunni hanno preso parte attiva in
questo progetto svoltosi per un ammontare di 30h, ossia 10 sessioni di lavoro previste da
3 ore ciascuna.
La realizzazione di queste attività si rifanno all’uso di diverse strategie didattiche, tra cui
il cooperative learning e la didattica laboratoriale.
Analizzando brevemente gli incarichi di lavoro che sono stati affidati agli alunni abbiamo:
1. la creazione di poligoni divisi in gruppo;
2. l’esecuzione di alcuni poligoni regolari;
3. la produzione di una rosa dei venti.
La classe coinvolta nel progetto era già stata avviata sin dalle prime classi della Scuola
Primaria all’uso di Scratch e di altri software di programmazione quindi lavorare su
questo progetto è stato molto coinvolgente da ambo le parti. Essendo però un uso diverso
rispetto a quanto erano abituati, è stato molto utile usare il loro libro di testo “Map per
tutti più. Fare per capire – Coding, tinkering, making” all’intero del quale veniva spiegato
l’approccio del coding, in particolar modo della programmazione di Scratch, alla
99
costruzione di poligoni regolari.
Essendo tre attività basate su programmi differenti, le modalità di esecuzione si andranno
ad adattare alle richieste delle attività e quindi agli obiettivi preposti per ognuna di esse.
Tutte e tre le creazioni, indipendentemente dove sono state create, avevano degli elementi
in comune, come:
1. gli alunni dovevano lavorare in gruppo per favorire l’apprendimento di ognuno e
la collaborazione;
2. come stimolo per riattivare il processo di lavoro tra una sessione e l’altra, è stato
chiesto agli alunni di:
a. disegnare il poligono regolare prescelto a partire dalla stringa di codice
scritto fino a quel momento;
b. camminare come se fossero lo Sprite dell’attività di Scratch e quindi
eseguire il comando del codice scritto fino a quel momento;
3. per quanto riguarda invece la fase di riappropriazione di quanto condotto fino a
quel momento, si terranno delle brevi parentesi di brainstorming;
4. ogni attività si conclude ponendo attenzione a due fasi:
a. ogni alunno, a turno, legge un pezzo del codice che ha scritto in gruppo e
verificano che sia corretto in tutte le sue forme, anche tenendo conto delle
caratteristiche del poligono a loro assegnato (nel caso di Scratch);
b. avviare l’attività e correggere eventuali errori. In ispecie, qualora si
riscontrino problemi durante l’attività, come ad esempio difficoltà
nell’esecuzione delle azioni del codice o altro, gli alunni insieme alle
insegnanti presenti in aula potranno porre rimedio e verificare nuovamente
l’attività.
100
Attività 1
La prima attività viene svolta su Scratch, elemento tecnologico che già gli alunni
conoscevano e aveva lo scopo di focalizzare il focus d’apprendimento sulla realizzazione
di poligoni particolari, quali il triangolo equilatero e quadrilateri come il quadrato, il
trapezio, il rombo e il parallelogramma che sono stati oggetto di studio da parte degli
alunni nei mesi dello svolgimento dell'attività.
Per favorire l’appropriazione dei concetti e per far sì che tutti avessero le medesime
possibilità di interagire con il sistema interattivo online di Scratch, i bambini sono stati
suddivisi in gruppo con assegnazione casuale di poligoni. Inoltre, sempre per favorire
l’appropriazione dei concetti si è chiesto agli alunni di rappresentare con il proprio corpo
in palestra il poligono a loro assegnato oppure di disegnarlo graficamente al fine di
individuarne tutte le caratteristiche dei poligoni richiesti.
101
Considerazioni sulla realizzazione dei poligoni particolari
Figura 39:codice del Triangolo Equilatero
Figura 40: codice del
Quadrato
In un poligono regolare come il triangolo e il quadrato, dato il numero dei lati è possibile
conoscere la misura degli angoli interni. In particolar modo, quindi, si potrà procedere
con la realizzazione grafica di un lato in orizzontale, per poi successivamente cambiare
la direzione del nostro Sprite esecutore del progetto e, mediante la formula �� =
360° / �� , individuare l’ampiezza del nostro angolo esterno.
Proseguendo quindi con questo procedimento sarà possibile rappresentare il poligono
nella sua totalità e tornare al punto di partenza.
Essendo i poligoni presi in considerazione sia equiangoli sia equilateri si può dedurre una
“regola” generale da applicare a questi casi: in quanto poligoni regolari, il codice che si
dovrà scrivere sarà lo stesso per tutte le parti componenti la figura e quindi potrà essere
102
applicato a qualsiasi figura geometrica che rientra sotto il concetto di poligono regolare.
Questo è un esempio classico del riutilizzo del codice.
Un elemento che risalta analizzando sia il triangolo sia il quadrato è l’angolo esterno, il
quale diventa un elemento essenziale per poter rappresentare il poligono. Le attività
precedentemente descritte diventano un prerequisito per poter affrontare l’argomento.
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