2
CAPITOLO 1
Equazioni differenziali del moto per elementi lineari con
accoppiamento flessione – torsione
1.1. Introduzione
Contrariamente al metodo degli elementi finiti dove la matrice di massa e di rigidezza
sono ottenute separatamente, per risolvere i problemi di vibrazione strutturale, il
metodo della matrice di rigidezza dinamica probabilmente offre una migliore
alternativa poich� fornisce dei risultati pi� accurati ottenuti da una matrice dipendente
da un�unica frequenza.
Questa matrice viene chiamata matrice di rigidezza dinamica, la quale ha entrambe le
propriet� di rigidezza e massa dell�elemento, combinate in essa.
L�uso della matrice di rigidezza dinamica, nelle analisi della vibrazione � stata
studiata a fondo e ci sono una notevole quantit� di pacchetti software basati su questo
metodo.
Ovviamente il metodo da risultati pi� accurati perch� usa esatti metodi teorici.
La matrice � ottenuta direttamente risolvendo le equazioni differenziali che la
governano, e tutte le ipotesi comprese all�interno delle equazioni differenziali sono
meno restrittive.
I risultati ottenuti usando la matrice di rigidezza dinamica sono spesso chiamati
�esatti�.
Comunque, la matrice di rigidezza dinamica, adottata usualmente per gli elementi
lineari uniformi in tre dimensioni � ottenuta dal considerare separatamente flessione e
3
torsione e da qui risultano le derivazioni quando i moti flessionali e torsionali sono
disaccoppiati.
(i.e. le distribuzioni di massa e rigidezza dell�elemento giacciono sulla stessa linea
nella lunghezza della trave).
Il risultato pu� anche essere interpretato come: il centro di taglio e il centro delle
masse della sezione trasversale sono coincidenti, il che � vero solo per doppio asse di
simmetria della sezione trasversale, specie per la sezione circolare, quadrata, ecc.
Naturalmente il risultato ha imposto delle severe restrizioni alla vibrazione e sono stati
effettuati nuovi calcoli inerenti a strutture fatte di travi che hanno modi torsionali e
flessionali accoppiati, come risultato dello spostamento fra centro di taglio e centro di
massa.
Questo in particolar modo per i problemi aeroelastici; per esempio i modi flessionali �
torsionali accoppiati sono spesso richiesti per l�analisi dell�ondeggiamento dell�ala di
un aereo.
Un metodo numerico approssimato di ottenere i modi accoppiati connettendo
eccentricamente due travi, una con massa finita e trascurabile rigidezza e un�altra con
rigidezza finita ma massa trascurabile, pu� dare risultati imprecisi o qualche volta pu�
aumentare l�errore.
Ci sono altri ricercatori come Engelbrecht, i quali hanno anche provato un metodo
approssimato per ottenere dei modi accoppiati di flessione e vibrazione torsionale nel
contesto dell�ala di un aereo.
Recentemente gli accoppiamenti fra vibrazioni flessionali e vibrazioni torsionali delle
travi usando un approccio esatto, sono stati provati da alcuni ricercatori.
Joshi e Suryanarayan hanno studiato l�accoppiamento fra vibrazione flessionale e
vibrazione torsionale, di una trave semplicemente appoggiata, in presenza di carico
4
assiale e momenti finali e hanno ottenuto una soluzione analitica per l�equazione delle
frequenze, quando Hallaner e Liu e Friberg hanno dato loro formulazioni che li
guidano nell�approccio del loro calcolo della matrice di rigidezza dinamica, con uno
sforzo aritmetico per le successive operazioni matriciali per arrivare al risultato.
Tutti questi precedenti tentativi, sono delle riflessioni significative, ma non hanno
prodotto espressioni algebriche per gli elementi della matrice di rigidezza dinamica
delle travi accoppiate.
Queste espressioni sono particolarmente utili quando non tutte ma solo alcune delle
rigidezze sono richieste.
Il lavoro seguente � stato fatto per ovviare a questa carenza.
La matrice di rigidezza dinamica per accoppiamento di vibrazione flessionale e
vibrazione torsionale di una trave, � sviluppata dall�equazione differenziale di base del
moto.
Il metodo di introdurre le espressioni derivate dalla rigidezza in un programma
computerizzato per l�analisi delle vibrazioni in istanti successivi con elementi aventi
centro di taglio e di massa non coincidenti � discusso con particolare riferimento a un
algoritmo stabilito.
L�applicazione della teoria � dimostrata dai risultati ottenuti per una trave a sbalzo con
un sostanziale aumento di accoppiamento fra spostamento flessionale e torsionale.
Controlli numerici sono stati approntati per confermare la prevista accuratezza e
assicurare confidenza per l�applicabilit� pratica della teoria.
Come nella teoria elementare flessione � torsione della trave, anche in questo modello
la flessione e la torsione sono correlate nel modo pi� semplice possibile, vedi
equazioni (1.3.2.50).
5
1.2. Teoria
Quando l�asse elastico e l�asse della massa di una trave non coincidono come
illustrato negli esempi delle sezioni incrociate della fig.1.2.1, la vibrazione trasversale
della trave sar� sempre accoppiata, in altre parole il moto di vibrazione sar� una
combinazione di flessione e torsione.
Fig.1.2.1 (Esempi di sezione trasversale di trave con centro di taglio e di massa non coincidenti: E
s
centro di taglio; G
s
(centro di massa).
La Fig.1.2.2 mostra invece l�asse elastico e l�asse della massa di un elemento
uniforme di trave come linee dritte, essendo x
α
la loro distanza di separazione (x
α
�
negativo se il centro della massa si trova dietro il centro di taglio).
Nel sistema di coordinate destrogiro mostrato nella figura, si suppone che l�asse
elastico coincida con l�asse y e che il moto dell�asse elastico sia limitato solo nella
direzione verticale (z).
Es
Gs
Gs
Es
Es
Gs Gs
Es
6
Y
Z
X
O
Gs
ε s
ε s
Gs
h
Ψ
Asse elastico
Asse delle masse
X α
Fig.1.2.2 (Notazioni e sistema di coordinate per l�accoppiamento della flessione e della vibrazione
torsionale di un elemento uniforme di trave: E
s
centro di taglio; G
s
centro di massa)
Sia h lo spostamento verticale (flessione) e ψ la rotazione (torsione) di una sezione
incrociata di trave ad una distanza y dall�origine (si veda la Fig.1.2.2).
Tenendo presente il seguente schema delle teorie fisiche del caso statico e poi
estendendolo al caso dinamico si ha che le equazioni del moto sono dedotte con il
principio di D�Alembert o con il metodo energetico.
7
()
() 0
t
ψ
Iy,tm
y
ψ
GJ
0y,tf
t
h
m
y
h
EI
2
2
α
2
2
2
2
4
4
=
∂
∂
−+
∂
∂
=−
∂
∂
+
∂
∂
θ
Equazioni differenziali del moto
forza flesione
()
()y,tm
y,tf
θ
()
()y,tψ
y,th
copia
torcente rotazione
Equazione di bilancio Equazione di definizione
t
xm
y
M
t
Q
f
y
M
2
x
2
∂
Λ∂
=+
∂
∂
∂
∂
=+
∂
∂
θ
αθ
θ
y
;
t
y
h
;
t
h
h
2
2
∂
ψ∂
=Θ
∂
ψ∂
=ψ
∂
∂
−=χ
∂
∂
=
&
&
Momento Quantità velocità curvatura
flettente di moto
θθ
Λ,M
Q,M
x
ψ=ΛΘ=
=χ=
αθθ
&
&
mx;GJM
hmQ;EIM
x
Θψ
χ
;
;h
&
&
Momento torcente; Equazioni costitutive velocità angolo unitario
Momento della angolare di torsione
quantità di moto;
8
1.3 Equazioni differenziali del moto per vibrazioni accoppiate
1.3.1 Principio di d�Alembert
Si consideri la sezione di una trave uniforme del tipo rappresentato in Fig. 1.3.1
Le equazioni differenziali del moto per le vibrazioni accoppiate possono essere
ricavate dal principio di d�Alembert, il quale afferma che:
ogni stato di moto può essere considerato istante per istante in equilibrio
dinamico, considerando oltre alle forze esterne anche le forze d’inerzia.
Per una trave, avente una sezione dove il centro elastico e il baricentro coincidono in
un punto, senza carichi esterni, le equazioni sono:
O
G
M
ZG
ZM
Z
Y
YG
YM
η
ζ
Fig. 1.3.1 Sezione di una trave: G centro geometrico, assi principali η e ζ ;
O centro di taglio, assi Y e Z paralleli a η e ζ ; M centro delle masse o baricentro.
(1.3.a)
(1.3.b)
(1.3.c)
(1.3.d)
0vmzwmyφjφGI
0φmzvmvEI
0φmywmwEI
0umEAu
GGo
''
t
G
''''
ζ
G
''''
η
''
=−++−
=−+
=++
=+−
&&&&&&
&&&&
&&&&
&&
9
Da notare che apice e punti rappresentano derivazione rispetto all�asse x e al tempo,
e le equazioni (1.3.1.b) e (1.3.1.d) rappresentano le equazioni del nostro caso.
Quando il centro elastico e il baricentro non coincidono in un punto le equazioni
diventano:
(1.3.1.a)
(1.3.1.b)
(1.3.1.c)
(1.3.1.d)
La non uguaglianza a zero dell�equazione (1.3.2.a) � dovuta al fatto che il centro di
massa � traslato in direzione x per effetto della rotazione attorno agli assi ζ - η .
Questa traslazione in direzione x determina delle forze d�inerzia che generano un
momento attorno agli assi ζ - η , questi momenti sono il secondo termine delle
equazioni (1.3.1.a) – (1.3.1.c).
Alternativamente le equazioni del moto possono determinarsi anche per via
energetica.
0vmzwmyφj'φ'GI
)y(y'umφmZvm'''v'EI
)Z(Z'umφmywm'''w'EI
)y(y'vm)Z(Z'wmum'EAu'
MMOt
GMMζ
GMMη
GMGM
=−++−
−−=−+
−−=++
−+−=+−
&&&&&&
&&&&&&
&&&&&&
&&&&&&
10
1.3.2 Metodo energetico
Le equazioni del moto per un solido monodimensionale, dove si considera come unica
componente di tensione la σ
x
, si possono scrivere nella forma:
0u�f
x
σ
x
x
=−+
∂
∂
&&
dove
2
2
t
u
u
∂
∂
=
&&
; dove u denota lo spostamento secondo la direzione dell�asse del
solido.
Se indichiamo con δ u una variazione dello spostamento u, passando al principio dei
lavori virtuali si ha:
∫
=−+
∂
∂
v
x
0δudV)u�f
x
σ
(
&&
x
(1.3.2.1)
∫∫∫
=−+
∂
∂
vvv
x
x
0δudVu�δuδVfδudV)
x
σ
(
&&
(1.3.2.2)
il primo termine dell�equazione (1.3.2.2) si pu� scrivere come:
()
∫∫∫
∂
∂
−=
∂
∂
vSv
xxx
x
dVδu
x
σδudSnσδudV
x
σ
(1.3.2.3)
tenendo conto che:
xxx
pn =σ
il principio degli spostamenti virtuali diventa:
∫∫∫
∂
∂
−=
∂
∂
vSv
xx
x
dV)
x
u
δ(σδudSpδudV
x
σ
(1.3.2.4)
∫∫∫
−=
∂
∂
vSv
xxx
x
dVδεσδudSpδudV
x
σ
(1.3.2.5)
Sostituendo la (1.3.2.5) nell�equazione (1.3.2.2) si ha:
11
∫∫∫∫
=−++−
vvv
x
S
xxx
0δudVu�δudVfδudSpdVδεσ && (1.3.2.6)
La (1.3.2.6) rappresenta la forma generale del principio di Hamilton per un sistema
monodimensionale.
0
t
Ψ
mx
t
h
m
y
h
EJ
2
2
α
2
2
4
4
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
(1.3.2.41)
La (1.3.2.41) rappresenta la prima delle equazioni cercate.
Per calcolare la seconda delle equazioni del moto, si parte dall�equazione dell�energia
cinetica (1.3.2.32), calcolando i primi due termini dell�equazione (1.3.2.29) rispetto
alla variabile Ψ .
Allora le equazioni differenziali del moto, per flessione e torsione, per un elemento di
sezione e caratteristiche costanti, abbiamo visto risultano essere:
0
t
Ψ
I
t
h
mx
y
Ψ
GJ
0
t
Ψ
mx
t
h
m
y
h
EI
2
2
α
2
2
α
2
2
2
2
α
2
2
4
4
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
(1.3.2.50)
dove EI e GJ sono rispettivamente la rigidit� flessionale e la rigidit� torsionale di un
elemento di trave, m � la massa per unit� di lunghezza, I
a
� il momento di inerzia
polare per unit� di lunghezza con l�asse y (ovvero un asse passante per il centro di
taglio) e t � il tempo.
12
CAPITOLO 2
Matrice di rigidezza dinamica per elementi lineari con
accoppiamento flessione – torsione
2.1. procedimento analitico
Se si presuppone una variazione sinusoidale di h e ψ con frequenza circolare ω , allora
h(y,t) = H (y) sen ω t ; ψ = Ψ (y) sen ω t (2.1.1)
dove H (y) e Ψ (y) sono rispettivamente le estensioni dello spostamento verticale e la
rotazione di torsione con variazione sinusoidale. ( Si noti che la matrice di rigidezza
dinamica mette in relazione le grandezze delle forze a variazione sinusoidale alle
corrispondenti grandezze di spostamento tanto che � possibile non prendere in
considerazione il senω t nel calcolo della rigidezza poich� viene annullato in entrambi
i lati delle equazioni di spostamento � forza).
Sostituendo le equazioni (2.1.1) in (1.3.2.50) si ottiene:
(2.1.2)
(2.1.3)
E� possibile combinare insieme le equazioni (2.1.2) e (2.1.3) in un�unica equazione
eliminando H oppure Ψ in modo da ottenere:
()() ()( )( )0W/Imx1/GJωI/EImω
dy
Wd
/EImω
dy
Wd
/GJωI
dy
Wd
α
2
α
2
α
2
2
2
2
4
4
2
α
6
6
=−−−+ (2.1.4)
0HmxωΨωI
dy
Ψd
GJ
0ΨωmxHmω
dy
Hd
EI
α
22
α
2
2
2
α
2
4
4
=−+
=+−
13
dove:
W = H oppure Ψ (2.1.5)
Facendo delle opportune sostituzioni:
Ly /=ξ e
2
αα
mxII
G
−= (2.1.6)
dove L � la lunghezza dell�elemento di trave e I
G
� il momento di inerzia per
lunghezza unitaria con asse lungo il baricentro.
Sostituendo l�equazione (2.1.6) nella (2.1.4) si ottiene:
(0abc)WbDaDD
246
=−−+ (2.1.7)
dove
]/II[c/EI];Lmω[b/GJ];LωI[a
αG
4222
α
=== (2.1.8)
e
dξ
d
D = (2.1.9)
Poniamo
pξ
eW = per arrivare alla soluzione dell�equazione di sesto grado (2.1.7).
14
La soluzione dell�equazione differenziale (2.1.7) �:
() ξξξξξξ senγCcosγCsenβCcosβCsenhαCcoshαCξW
654321
+++++= (2.1.20)
dove C
1
� C
6
sono delle costanti e
()
{}
{}
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
a/3]φ)/3(πcos[2(q/3)γ
a/3]φ)/3(πcos[2(q/3)β
a/3]3φcos[2(q/3)α
++=
+−=
−=
(2.1.21)
15
2.2 Significato fisico della soluzione dell�equazione differenziale del
moto.
W(ξ ) nell�equazione (1.4.1.20) rappresenta la soluzione sia per lo spostamento di
flessione H che per la rotazione di torsione Ψ con diversi valori delle costanti.
() ξξξξξξ senγAcosγAsenβAcosβAsenhαAcoshαAξH
654321
+++++= (2.2.1)
() ξξξξξξ senγBcosγBsenβBcosβBsenhαBcoshαBξΨ
654321
+++++= (2.2.2)
Dove A
1
� A
6
e B
1
� B
6
sono le due diverse serie di costanti.
Naturalmente in questa presentazione sono stati omessi dei passaggi analitici, i
quali sono esplicitati nella versione integrale.
Sono state dapprima confrontate le frequenze con quelle dell’autore della
pubblicazione di riferimento, trovandone due in più, in quanto il software di
calcolo adottato qui è più preciso e poi sono state calcolate le frequenze naturali
per due mensole in c.a., una di sezione a C ed una di sezione ad L.
Le suddette mensole possono rappresentare il vano ascensore ed un elemento di
controventamento di un edificio.
Ricevi informazioni sui nostri servizi, sulle offerte e non perdere news e consigli su università e lavoro.
