Criteri di acquisizione iniziale per segnali a spettro espanso

 2
anche che ,in seguito all� apporto di  tali modifiche, il criterio di decisione adottato nello 
schema SAP[1] debba  essere modificato.Si passer� poi (Capitolo III)  alla 
determinazione delle prestazioni del nuovo sistema  ( con modulazione QPSK) sia nel 
caso di utilizzo di Canale Pilota  sia nel caso in cui venga adoperato un Canale con 
modulazione dati. Si  forniranno infine delle indicazioni sulle prestazioni che tale 
sistema offre quando la modulazione dati  adoperata sia la  D-BPSK (come nello 
schema SAP di partenza ) in modo da fornire un confronto tra le due possibilit�.          
 
 3
 
 
 
Capitolo I 
 
 
 
 
1.1  Schema del Modulatore CDMA DS/SS – DBPSK 
 
Lo  schema del Modulatore CDMA DS/SS D-BPSK prevede che il flusso dei dati  
{ d(k)
( l )
 },  con indice k variante  alla velocit�  di trasmissione di bit  Rb =  Tb
-1
, venga 
suddiviso nei due flussi { dc(k)
( l )
 }  = { d( 2⋅k )
( l )
 }   e  { ds(k)
( l )
 } ={ d( 2⋅k+1 )
( l )
 }. 
Ciascuno di  questi due flussi � caratterizzato da una velocit� di trasmissione pari a   
Rs = Ts
-1
 = � Rb.  Entrambi i flussi vengono sottoposti a Spreading mediante la 
moltiplicazione per  la Sequenza Periodica di Chip (Sequenza di Spreading). Per 
adeguare la  velocit�  di simbolo a quella di chip  prima di  effettuare lo spreading 
occorre sottoporre ad un�operazione di sovracampionamento le sequenze dc(k)
 
e ds(k). 
Le sequenze utilizzate sul ramo in fase e su quello in quadratura per effettuare lo 
spreading  sono, nel caso della D-BPSK, differenti. Per quanto riguarda la natura delle 
sequenze di Spreading  � opportuno distinguere il caso di sistema CDMA Sincrono       
 ( S-CDMA)  da quello di  Sistema CDMA Asincrono( A-CDMA) . Il  primo si riferisce 
alla situazione  in cui i segnali sono generati o  coordinati presso un�unica postazione e 
pertanto condividono lo stesso riferimento temporale: � ad esempio cos� nel caso di 
forward-link tra Stazione Base e terminali di  una rete telecomunicazione.Un segnale A-
CDMA  � quello che viene generato, invece, quando  non ci pu� essere sincronizzazione 
tra i vari segnali : � evidentemente questo il caso in cui ci si trova quando si consideri  il 
 4
cosiddetto return-link, ovvero il collegamento  nella rete da terminali a Stazione base. 
Nel caso di A-CDMA si � soliti assegnare ad ogni utente una diversa sequenza di 
pseudo-rumore (sequenza PN). Quando invece tutti gli utenti sono sincroni si pu� 
procedere assegnando a   ciascun utente  una delle  sequenze ortogonali di Hadamard-
Walsh (H-W)[2] . Illustriamo molto brevemente le principali propriet� delle funzioni H-
W: esse  sono caratterizzate  dall�avere funzioni di crosscorrelazione  nulle e da  una 
funzione di autocorrelazione che pu� essere approssimativamente considerata una delta 
di Kroneker. L�utilizzo di dette sequenze  consente, proprio in virt� di tali propriet�, di 
minimizzare la interferenza multicanale (MAI) complessiva  proveniente dal resto del 
sistema su ciascun utente . Le prestazioni migliorano  se si  prevede la copertura  della   
sequenza H-W con una sequenza di Gold o con una sequenza  P-N (sequenza di Pseudo-
Noise) ( viene di fatto eseguita un� operazione di XOR chip a chip tra le due sequenze ) 
allo scopo  di rendere casuale le crosscorrelazioni tra le sequenze e di smussare la 
densit� spettrale di potenza senza alterare  il  Process Gain[3] . In fig. 1.4  � riportato 
(per il caso L=64) l�andamento delle funzioni di Autocorrelazione relative alle sequenze 
di chip ottenute moltiplicando una sequenza H-W per una sequenza P-N  o per una 
sequenza di Gold di lunghezza   L�=63    �prolungata�  aggiungendo in coda alla 
sequenza stessa un chip di valore 1. Si osserva  anche ad una semplice analisi  visiva 
che  nel caso H-W*P-N    i  picchi secondari sono in numero inferiore e di entit� ridotta 
rispetto al secondo.  
 
                                                  
 
 
                                         figura 1.1: Modulatore QPSK-CDMA generalizzato 
 5
 
Ritornando alla descrizione del modulatore, dopo la moltiplicazione per la sequenza di 
spreading i segnali sui due rami  vengono sottoposti ad ulteriori elaborazioni : in 
particolare essi vengono  inviati ad un filtro ( ad esempio ad un filtro di Nyquist con 
roll-off  α  ). Seguono gli stadii di conversione a frequenza intermedia, la trasformazione 
digitale-analogico (D/A), il Filtraggio della frequenza immagine e la conversione a 
radiofrequenza. Lo schema del Modulatore ( Parte a monte degli stadi di conversione a 
radio frequenza)  � illustrato in fig. 1.1 .  
 
1.2  Schema del Demodulatore CDMA DS/SS - DBPSK    
Lo schema base del Demodulatore CDMA DS/SS � DBPSK prevede un primo stadio 
che deve  eventualmente provvedere al recupero dell� offset di frequenza e, 
successivamente alla Elaborazione del   segnale mediante un filtro gT(t)  chip-adattato       
( chip matched filtering C.M.F. )  e al  campionamento a chip rate Rc = Tc
-1
. 
Eseguite tali operazioni il segnale viene suddiviso in due flussi ( ottenuti estraendo la  
parte in fase e quella in quadratura del segnale in ingresso). Ciascuno dei due flussi 
viene inviato su due linee di elaborazione. Il segnale su ciascuna linea viene inviato ad 
un blocco di elaborazione in cui viene eseguita  una operazione di Correlazione 
Coerente ( despreading ). L� operazione di Despreading � descrivibile come una 
Correlazione tra il segnale ricevuto e la sequenza di chip generata localmente.  
 6
 
 
                       fig. 1.2  Demodulatore CDMA-QPSK generalizzato 
 
Tale operazione produce, per effetto delle propriet� di crosscorrelazione ed 
autocorrelazione gi� descritte delle sequenze di chip, la soppressione almeno parziale 
delle componenti del segnale composito dovute alla trasmissione dei segnali di utenti 
differenti da quello che si desidera ricevere. Le correlazioni  non sono estese, in questo 
schema, a pi� intervalli di simbolo, ma effettuate su un   unico periodo di simbolo Ts. I 
segnali prodotti sono indicati rispettivamente con Scc(k), Scs(k), Sss(k), Ssc(k) ( in cui  
k varia alla velocit� di chip Rc = Tc
-1
, il primo indice stabilisce quale delle due 
componenti del segnale ( reale o quella immaginaria ) vada in ingresso al correlatore, 
mentre il secondo indica con quale sequenza ( {Cc} o {Cs} ) di chip venga effettuata la  
Correlazione) .Segue, per ciascuno dei quattro segnali determinati all�uscita dei quattro 
correlatori, una operazione di quadratura . I  segnali cos� determinati vengono sommati 
ed inviati ad un blocco denominato S/P. Tale blocco, che funge anche da decimatore, 
produce su L linee (L � la lunghezza della sequenza di Spreading e quindi il numero 
delle fasi di chip possibili) di uscita un uguale numero di flussi. Si osservi che il blocco 
S/P  produce ogni volta L nuove uscite, ma la distanza temporale tra queste uscite e le 
precedenti � L⋅Tc. Indicati  po(h), p1(h),�,pL-1(h) i segnali prodotti dal blocco S/P, 
vengono infine prodotte le statistiche    zi     ( con i = 0,1,  .. L-1 )     utili   alle decisioni 
 7
di  SR (signal  recognition ) e CA (code aquisition ). Tali statistiche sono ottenute  su 
ciascuna delle L linee effettuando una media su una finestra di  W valori successivi del 
generico pi(h) (Media a Finestra Mobile).  Il circuito prevede che la decisione sulla 
presenza del segnale venga effettuata confrontando la variabile zi massima tra quelle 
uscente dagli integratori a finestra mobile con una soglia opportuna calcolata 
effettuando una media delle restanti zi. Appurata la eventuale presenza del segnale utile, 
la decisione sulla fase di chip avviene nuovamente ricorrendo a zmax ed in particolare 
scegliendo come fase trasmessa la fase i-ma  associata alla variabile zi tale che zi =zmax. 
Queste modalit� di decisione e la loro efficacia sono in realt� condizionate fortemente 
dalle statistiche delle v.a. zi : i criteri esposti per il circuito SR/CA presentato sono stati 
infatti determinati[1] supponendo di poter modellare la variabili aleatorie zi come 
indipendenti. Lo schema del circuito SR/CA per il caso appena considerato � riportato 
in fig.1.2 .  Nei paragrafi successivi ci si occuper� della determinazione degli schemi del 
modulatore e del Demodulatore/Circuito di rivelazione iniziale  riferiti al caso specifico 
di utilizzo di modulazione dati QPSK. 
 
 
1.3  Schema  del Modulatore    DS/SS-CDMA  QPSK 
Lo schema di un modulatore QPSK DS/SS-CDMA generalizzato,  prevede    che i dati  
{ d(k)
( l )
 } ( con  d(k)
( l ) 
 = dc(k)
(  l )
 +
  
 j  ds(k)
( l ) 
) entranti nel modulatore con bit rate     
Rb = Tb
-1 
 ( Tb � il periodo di bit ), vengano suddivisi in due flussi paralleli contenenti 
rispettivamente le sequenze  { dc(k)
( l )
 }  e   { ds(k)
( l )
 }. Tali sequenze,dopo essere state  
sottoposte ad un  sovracampionamento M (   per semplicit�   nel seguito   si    supporr� 
M = L)
1
  , vengono inviate ad un moltiplicatore che esegue il prodotto per la sequenza 
di chip  { C(i)
(l)
} nel caso del ramo  in fase e per  la stessa sequenza sul ramo in 
quadratura          ( viene in tal modo effettuato   lo  spreading ).     Il chip-rate con cui 
varia l'indice i �  Rc = Tc
-1
 .Dopo lo spreading  il segnale prodotto viene inviato ad un 
filtro di Nyquist a radice  di coseno rialzato (  con roll-off  α   )   gT(t).   Essendo  L = M    
 ( ovvero  un   periodo della  sequenza  di chip coincide con la durata di un intervallo di 
simbolo )  si trova che l' espressione  dell�equivalente  in  banda base  del  segnale  
trasmesso  dall'utente l-imo S(t)
( l )
  � la  seguente:  
                                                 
1
  Nei sistemi CDMA  M = Rc/Rs  � il fattore di Spreading. In generale esso viene scelto in modo che sia   
L = n⋅M     con  n  intero e  con  L che rappresenta il numero di chip contenuti nel periodo della sequenza 
di   spreading.  Nel presente lavoro di tesi si � assunto che n=1.                                                    
 8
S(t)
( l )
 =Ps
1/2 (l) 
⋅Σ i = -∞ �+∞  (C
(l) 
|k-δ |L⋅dc[k-δ ]L + j C
(l)
 |k-δ |L ⋅ds[k-δ ]L)⋅gT(t - i Tc)    (1.3.1) 
In tale espressione    
[k-δ ]L = int (i / L).                                                                                                    (1.3.2) 
|k-δ |L = i mod L = i - L [i]L                                                                                                                                 (1.3.3) 
Naturalmente seguiranno degli stadi di  filtraggio del segnale e di conversione a radio  
                                     
       fig. 1.3  Modulatore QPSK (Sezione a monte degli stadi di conversione a RF) 
frequenza del tutto analoghi a quelli gi� esaminati per il modulatore D-BPSK. L�unica 
differenza  tra i modulatori risiede dunque nel fatto che nel caso della QPSK viene 
utilizzata un�unica sequenza di chip per effettuare lo spreading sui due rami. 
 
1.4  Segnale  in uscita dal front-end del ricevitore  
Assumendo che la frequenza della portante venga perfettamente recuperata, l'inviluppo 
complesso del segnale all'uscita del filtro adattato gR(t) nel front-end del ricevitore ( che 
rimane invariato per D-BPSK e QPSK) � data da : 
 
R(t)= Σ  j = 1�.N  S(t)
( j )
 + n(t)                                                                                    (1.4.1) 
In cui  n(t)  � rumore gaussiano bianco con componenti  nc(t) e ns(t) le cui densit� 
spettrali di potenza bilatere sono  SNc(f) = SNS(f) = No⋅|Gr(f)|
2
 = No⋅GN(f)/Tc. Per 
quanto riguarda invece la generica componente S(t)
( l) 
 utile relativa all�utente l-imo: 
 
 9
S(t)
(l)  
= Ps
1/2 (l)  
exp( jθ
(l) 
)
  
Σ i = -∞ �+∞  C
(l) 
|k-δ |L (dc[k-δ ]L+jds[k-δ ]L) gN( t-iTc-τ
(l)  
)       (1.4.2) 
 
In cui    τ
(l)  
    sono   ritardi   incogniti ( si supporr� tuttavia noto al ricevitore l�istante di 
campionamento ottimo per semplificare la determinazione degli algoritmi di rivelazione 
della presenza del segnale e della fase di chip)  e   θ
(l)     
shift di fase  sulle portanti. 
Supporremo inoltre Ps=1 (normalizziamo rispetto alla potenza trasmessa). 
La sincronizzazione di portante, di clock e di chip nei demodulatori coerenti per sistemi 
S-CDMA pu� essere facilitata dalla presenza e dall'utilizzo di un canale pilota espanso 
(spread pilot signal) che porti informazioni aggiuntive sui riferimenti di fase, clock e 
chip  che in tali sistemi sono comuni per  tutti gli utenti.  Tale canale pilota   viene 
multiplato con  i   canali informativi.  
A seconda delle applicazione il canale pilota pu� prevedere  anche la presenza di una 
modulazione dati , ovvero pu� essere non modulato ( dc(k) = ds(k) = 1).  
Tipicamente la potenza del canale pilota viene posta uguale a quella del singolo canale e 
non � sottoposta ad alcun controllo ( essendo comune a tutti gli utenti ). 
La presenza di tale canale suggerisce la sintesi di un ricevitore che sfrutti le 
informazioni su di esso presenti  al meglio per risolvere il problema della decisione 
sulla presenza del segnale, e quello della determinazione del corretto riferimento di fase 
sul codice di chip. 
 
 
1.5  Deduzione della Struttura del Ricevitore   
Si affronta, allora, seguendo la stessa linea di calcolo gi� utilizzata in [1], il problema 
della  determinazione della struttura della  parte a valle del front-end del ricevitore per 
un segnale  con modulazione dati  QPSK  .  Supponendo di voler estrarre dal segnale 
composito la componente  relativa all�utente  l-imo  e supponendo per il momento di 
poter trascurare gli effetti della presenza degli altri canali, consideriamo il segnale  R(k) 
(estrapolato da  quello complessivo) composto dal segnale utile e dal rumore  : 
 
R(k)  = 
 
 exp( jθ  ) ( C|k-δ |L dc[k-δ ]L + j C|k-δ |L ds[k-δ ] L) + n(k) .                           (1.5.1) 
 
 10
In cui  n(k)  = n(tk) � un segnale  tempo discreto AWGN le cui componenti hanno 
varianza No/Tc  e  δ  = [ τ  ]L   �  lo shift dovuto al ritardo di propagazione τ . 
Se si considera il caso di canale pilota senza modulazione dati  dc[k-δ ]L= ds[k-δ ]L=1. In 
tali condizioni il segnale Rk si presenta nella forma  
  
R(k) = 
 
 exp( jθ  ) C|k-δ |L ( 1 + j ) + n(k).                                                                   (1.5.2) 
 
La prima operazione che il ricevitore dovr�  effettuare sar� quella di verificare la 
effettiva  presenza del segnale. Il problema  che si affronta � dunque quello classico di 
confronto tra  due ipotesi  possibili ( rispettivamente quella  di Presenza (Ho)  o  di   
Assenza (H1) del segnale). Una volta che  sia stata  eventualmente appurata la presenza 
del segnale,  il ricevitore dovr�  risolvere il problema  della stima dello shift di fase δ . 
Tale  shift  pu� essere  modellato come una variabile aleatoria  discreta uniformemente 
distribuita  che pu� assumere valori 0,1,2,..,L-1. Il segnale R(k) che si presenta all'uscita 
del filtro adattato all'impulso di chip C.M.F. (Chip Matched Filter) nella forma generale 
(1.2.1) si riscriver� pi� sinteticamente:  
 
R(k) = S(k,δ ,dc, ds) exp( jθ  ) + n(k)                                                                         (1.5.3) 
 
in cui    δ    rappresenta la fase iniziale da stimare e  θ    � la fase della portante, anche 
essa modellabile come una variabile aleatoria uniformemente distribuita su [0,2 π ). Per 
quanto riguarda   n(k) = nc(k) + j ns(k), esso �  un  rumore complesso gaussiano  bianco  
le  cui  componenti,  in  fase   ed  in  quadratura,  sono  a  media  nulla   ed   a   varianza   
σ � = No/(Ps Tc) = ( Ec/No)
-1
. Il criterio  a  massima verosimiglianza  per la stima di  δ  � 
[1]: 
 
δ  stimato :  Λ  (δ stimato) = max { Λ  (δ )}  per  δ  ∈  [0, 1,�..,L-1]                         (1.5.4) 
con  
 Λ  (δ ) = E dc,ds,θ  { pR ( R | δ ,dc,ds,θ }                                                                   (1.5.5) 
 
in cui quindi si suppone che l'aspettazione venga effettuata sulle variabili  dc, ds  e θ . 
 11
Con  pR si indica la densit� di probabilit� del vettore dei campioni di segnali ricevuti    
R =[ R(δ ),R(δ +1),� � ,R(δ +Wi⋅L-1)]  nell� intervallo di osservazione  Wi⋅L⋅Tc  ( si 
assume,senza perdita di generalit�  che l�intervallo di osservazione copra un numero 
intero Wi di intervalli di simbolo). Dalla (1.5.3), per effetto del condizionamento si 
ottiene: 
  
pR ( R | δ ,dc,ds,θ } }∝  exp { - (Ec/2No) ∑ k= δ ..Wi⋅ L+δ -1  |R(k)- S(k,δ ,dc, ds) |� } 
                 ∝  exp { (Ec/2No) ∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1  Re [ R(k)⋅S*(k,δ ,dc, ds)⋅exp( -jθ  )   ]} 
                 
 ∝  exp {  (Ec/No) ⋅ |∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1  Re [R(k)⋅S*(k,δ ,dc, ds)⋅exp( -jθ  )] |� }⋅ 
                    ⋅ cos( arg [∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1  R(k)⋅S*(k,δ ,dc, ds)] - θ  ).                             (1.5.6) 
 
Edc,ds,θ { pR (R |δ ,dc,ds,θ )∝  Io{(Ec/No)⋅|∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1  R(k)⋅ S(k,δ ,dc, ds)|}.      (1.5.7) 
 
Essendo   Io(x)   la funzione di Bessel modificata del primo tipo e ordine zero. 
Poich�   (Ec/No) <<1    ⇒   |x|<<1    ⇒   Io(x )≈  1+x�/4 .  Pertanto trascurando i termini  
costanti:  
 
E dc,ds,θ  { pR (R | δ ,dc,ds,θ } ∝  |∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1   R(k)⋅S*(k,δ ,dc, ds)|� .                 (1.5.8) 
 
|∑ k= δ ..WL+δ -1   R(k)⋅S*(k,δ ,dc, ds)|� = 
         =  [ ∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1   R(k)⋅S*(k,δ ,dc, ds)  ∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1   R*(k)⋅S(k,δ ,dc, ds)] = 
         =    [ ∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1 R(k)⋅( C|k-δ |L dc[k-δ ]L -j C|k-δ |L ds[k-δ ] L )    
                     ∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1 R*(k)⋅(C|k-δ |L ⋅ dc[k-δ ]L +j C|k-δ |L⋅ds[k-δ ]L )]                      (1.5.9) 
 
In particolare  utilizzando l'espressione valida per il segnale nel caso di QPSK e canale 
Pilota senza modulazione dati: 
 12
 
|∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1 R(k)⋅S*(k,δ ,dc, ds)|� =   
      ∝ ∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1 R(k)⋅C|k-δ |L ⋅(1-j)⋅∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1 R*(k)⋅C|k-δ |L (1+j)               (1.5.10) 
                  
           ∝ {(∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1   Rc(k)⋅C|k-δ |L)�+(∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1   Rs(k)⋅C|k-δ |L)�}         
                                                                                                                                 (1.5.11) 
 
Pertanto il criterio determinato per la stima della fase �: 
 
δ  stimato  = δ s  =   δ ∈  [0, 1,�..,L-1]     
 
   tale che                                                                  
Λ  (δ s)=max{(∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1 Rc(k)⋅C|k-δ |L)�+(∑ k= δ ..Wi⋅L+δ -1  Rs(k)⋅C|k-δ |L)�}        (1.5.12) 
 
Tale criterio chiarisce (almeno relativamente al caso di utilizzo del canale pilota) la 
questione relativa alla convenienza di un�eventuale estensione della operazione di 
correlazione effettua  sul segnale prodotto dal front-end  da uno solo a pi� intervalli di 
simboli. A tale proposito il criterio indica che, se si osservano Wi intervalli di simbolo, 
la stima a massima verosimiglianza si ha proprio estendendo la correlazione su un 
intervallo di identica durata. La struttura del ricevitore che implementa tale criterio 
prevede l'estrazione della parte reale  Rc(k) e della parte immaginaria Rs(k) del segnale 
in ingresso .Tali segnali vengono elaborati mediante due correlatori che in pratica 
moltiplicano i campioni rispettivamente di Rc(k) e di Rs(k) per le sequenze di chip        
( generate localmente) ed  eseguono la somma di tali prodotti su un intervallo di durata 
Wi⋅L⋅Tc.Successivamente le uscite dei correlatori devono essere inviate  a due blocchi 
che eseguono la  quadratura  di tali uscite. Un sommatore  genera infine il segnale e(k).  
 
 
 13
                                                            
                                    fig 1.2 Generazione del Segnale e(k) 
 
Su e(k) si pu� applicare, in teoria direttamente, ( supponendo il segnale presente ) il 
criterio per la stima della fase: a tale fine e(k) viene inviato ad un blocco S/P che 
produce  ogni  L⋅Tc ( cio� ad  ogni intervallo di simbolo)  L segnali  ei  che 
rappresentano in qualche modo i valori  assunti dalla funzione di verosimiglianza in 
corrispondenza degli L diversi possibili shift di fase (� evidente che il blocco S/P svolge 
anche la funzione di decimatore ). Al fine di ridurre gli effetti della presenza del rumore 
sulle uscite del blocco S/P si possono introdurre degli integratori  ciascuno dei quali  
deve effettuer� una media di  W valori assunti dagli ei su un intervallo temporale lungo 
W⋅Ts  producendo le uscite zi .In tal caso, ovviamente, le uscite zi saranno in qualche 
modo il risultato dell�osservazione del segnale da parte del ricevitore  su un intervallo di 
durata Wi⋅W⋅Ts. Ovviamente l�optimum, ai fini della stima della fase sarebbe, stando 
alla stima MV applicata,  eseguire una correlazione estesa a tutto l�intervallo Wi⋅W⋅Ts. 
Nella ipotesi di poter considerare indipendenti i segnali ei la stima dello shift di fase si 
riconduce  alla selezione del massimo tra gli  zi. Tuttavia si verificher� che tale ipotesi � 
solo un'approssimazione della situazione reale essendo i segnali ei e quindi anche i 
segnali zi interdipendenti. Proprio da tale osservazione, che verr� supportata dai calcoli, 
parte l'analisi del sistema: tale analisi condurr� anche alla determinazione di strategie di 
rivelazione della presenza del segnale e di stima della fase del codice che mettano in 
conto le caratteristiche statistiche che legano le variabili zi.