Modellizzazione del comportamento allo scorrimento viscoso di acciai ferritici. Analisi comparata di diverse metodologie

  V
una elaborazione dei tradizionali metodi d’analisi ed il modello della proiezione q, 
completamente differente rispetto alle classiche metodologie d’esame. 
Tuttavia, le moderne procedure di progettazione dei componenti in esercizio ad 
elevate temperature richiedono la conoscenza dei dati di deformazione a lungo termine e 
delle relazioni costitutive che permettano di ricavare i dati necessari all’analisi del 
fenomeno dello scorrimento viscoso. In tal modo i nuovi modelli, non limitandosi ai soli 
dati di tensione e vita a rottura, devono prevedere il comportamento del materiale in 
determinate condizioni di sollecitazione e temperatura. La verifica della capacità di 
analisi della deformazione e di estrapolazione della vita a rottura si è svolta effettuando 
un confronto con i dati ricavati sperimentalmente. 
Nello studio si è dedicata particolare attenzione allo sviluppo ed alla 
implementazione del modello della proiezione q. Tale scelta si giustifica facendo 
riferimento alle grandi potenzialità offerte da questo nuovo modello di analisi dello 
scorrimento viscoso ed alla capacità di rispondere alle nuove esigenze dalle tecniche di 
progettazione. Mediante il  metodo della proiezione q è possibile utilizzare, per la 
implementazione delle moderne procedure di progettazione agli elementi finiti, le 
equazioni che definiscono la variazione della velocità di deformazione per tutti il livelli 
di deformazione e di temperatura voluti. In tal modo si possono conoscere i valori della 
deformazione e dello stato tensionale presente in ogni punto del componente in analisi,  
utilizzando direttamente le equazioni costitutive legate al metodo. 
Per l’estrapolazione della vita a rottura, si sono implementati due programmi (in 
Fortran): Teta-Model ed Estrapola-Teta. Il primo permette di 
ricostruire la curva di scorrimento e di calcolare le velocità di deformazione utilizzando 
dei dati sperimentali ottenuti dalle prove di scorrimento. Il secondo 
consente di estrapolare la curva di scorrimento ed i dati a rottura (deformazione e 
tempo) per specifiche condizioni di temperatura e sollecitazione.  
Il calcolo della minima velocità di scorrimento è stato svolto considerando tre 
differenti metodologie: grafica (della tangente), ai minimi quadrati e con il modello 
della proiezione q. Per il calcolo di alcune grandezze microstrutturali e della energia 
d’attivazione dello scorrimento viscoso, si è sviluppato un programma di calcolo 
  VI 
(Creep-Norton) con l’implementazione di un modello numerico 
basato su considerazioni fisico-sperimentali. 
Per completare la verifica delle capacità di estrapolazione si è effettuata una 
comparazione tra i risultati ottenuti con il modello q e quelli raggiunti, a parità di dati in 
input, con l’utilizzo delle tradizionali metodologie parametriche di analisi.  
Per quest’ultimo tipo d’indagine si sono implementati due programmi per il calcolo 
del parametro di Larson-Miller (Calcola-P
LM
,) mediante una procedura di 
ottimizzazione (Ottimizza-C
LM
,). 
Infine, l’analisi è stata rivolta ad evidenziare le differenti capacità di estrapolazione 
del modello della proiezione q nei casi in cui vengano utilizzati differenti dati 
sperimentali di scorrimento. Lo studio compiuto ha permesso di confrontare i risultati 
ottenuti dalle estrapolazioni svolte a sollecitazione e carico costante evidenziando, per 
ambedue i casi, i limiti del modello della proiezione q nella predizione della vita a 
rottura ad alte temperature. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1
 
                                                           
 
CAPITOLO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOZIONI GENERALI SULLA  
DEFORMAZIONE PER SCORRIMENTO VISCOSO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capitolo 1: Nozioni generali sulla deformazione per scorrimento viscoso. 
 
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1.1. GENERALITÀ. 
Per scorrimento viscoso si intende il fenomeno per cui, al di sopra di una determinata 
temperatura, un materiale si deforma progressivamente nel tempo in campo plastico per 
effetto di un carico insistente. Pertanto il fenomeno dello scorrimento a caldo consiste in 
un accumulo di deformazione che si manifesta nel caso in cui il materiale sia sottoposto 
per lunghi tempi a sollecitazione e a temperature superiori alla soglia di attivazione del 
fenomeno. 
Sebbene il fenomeno dello scorrimento a caldo (creep) possa avvenire a qualsiasi 
temperatura, solamente per temperature superiori di circa 0.4 volte la temperatura di 
fusione del materiale (Tf ) si potranno avere degli effetti non trascurabili (T>0.4Tf). La 
variabilità del fenomeno si riscontra considerando che lo scorrimento a viscoso risulta 
trascurabile per gli acciai sotto i 300°C, mentre per l’alluminio è già presente a 100°C.  
In tali circostanze non sarà più accettabile la classica definizione della deformazione 
in funzione della sollecitazione applicata: e=f(s), ma sarà necessario considerare una 
relazione più complessa che consideri anche la dipendenza dal tempo t e dalla 
temperatura T. Utilizzando una relazione del tipo: e=f(s,t,T) si potranno considerare 
tutte le grandezze che prendono parte al fenomeno ed evidenziare tutte le dipendenze 
presenti. 
La velocità di propagazione del fenomeno è generalmente variabile in funzione delle 
condizioni di sollecitazione e di temperatura di esercizio; essa viene generalmente 
indicata come velocità di deformazione (?).  
Per tener conto del fenomeno dello scorrimento, i criteri di progettazione delle 
strutture e dei componenti operanti alle alte temperature risultano essere notevolmente 
diversi rispetto a quelli utilizzati per strutture sollecitate a temperatura ambiente. 
L’analisi dello scorrimento viscoso riveste particolare importanza per la 
progettazione delle strutture che operano ad alta temperatura, come nel caso di 
generatori di vapore, impianti chimici, petrolchimici, turbine a gas e tubature ad alta 
pressione. 
Capitolo 1: Nozioni generali sulla deformazione per scorrimento viscoso. 
 
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1.2. DESCRIZIONE DEL FENOMENO. 
L’utilizzo di materiali fortemente resistenti alle alte temperature è un requisito 
sempre più spesso richiesto dalle moderne applicazioni aeronautiche ed energetiche. In 
quest’ottica l’analisi del fenomeno dello scorrimento a caldo risulta di fondamentale 
importanza per la risoluzione dei problemi tecnologici e per il miglioramento delle 
prestazioni degli impianti. 
Tutti i materiali sollecitati a carico costante e sottoposti ad elevate temperature di 
prova sono caratterizzati da deformazioni che possono, eventualmente, protrarsi sino 
alla rottura. L’analisi di tale fenomeno ha portato alla scoperta di numerosi e complessi 
meccanismi che sono alla base dello scorrimento viscoso.  
Per avviare la descrizione del fenomeno dello scorrimento a caldo è possibile 
considerare la rappresentazione grafica della ? (figura 1.2.1) in funzione del tempo, a 
sollecitazione s e temperatura T costanti. 
Tempo
De
fo
rm
az
ion
e (
e)
t
r
Tempo a rottura
Alte temperature T>0.4T
f
Basse temperature T<0.4T
f
primario
secondario
terziario
 
Figura 1.2.1: curva di scorrimento viscoso per alte e basse temperature. 
 
Capitolo 1: Nozioni generali sulla deformazione per scorrimento viscoso. 
 
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Tale diagramma può esser sperimentalmente ricavato effettuando una prova di 
scorrimento (paragrafo 1.7) che consiste nel sottoporre il provino del materiale in analisi 
ad una sollecitazione s (o carico P) costante ad una temperatura fissata T  fino alla 
rottura del campione.  
Nel caso in cui le prove di scorrimento vengano effettuate a diverse condizioni di 
sollecitazione e temperatura, la forma delle curve di creep possono variare 
sensibilmente. In primo luogo è necessario fare una differenza tra le prove ad alta 
temperatura T>0.4Tf e quelle a bassa temperatura per cui risulta T<0.4Tf. Poiché il 
punto di fusione differisce notevolmente per i diversi metalli e leghe, si è soliti mettere 
in relazione il comportamento allo scorrimento viscoso con il rapporto dimensionale 
T/T f dove, T è la temperatura di prova e Tf è quella di fusione, entrambe assolute. 
Nel caso di alte temperature T>0.4Tf, il materiale è soggetto a deformazione per 
scorrimento viscoso in modo non trascurabile, mentre per le basse temperature la 
deformazione esiste, ma può essere ritenuta ininfluente (come nel caso dei fili di rame a 
temperatura ambiente). La figura 1.2.1. evidenzia la forma della curva di scorrimento 
per i due campi di temperatura. 
Chiaramente la curva di scorrimento per basse temperature ha un andamento molto 
più semplice e lineare rispetto a quella che si osserva per le alte temperature T>0.4Tf. La 
notevole differenza tra il comportamento tra le alte e le basse temperature è confermata 
dalla diversità nella rappresentazione delle curve di creep. Per le alte temperature si 
possono distinguere tre differenti fasi della deformazione: il primario, il secondario ed il 
terziario. Al contrario, per le basse temperature si ha solo la fase primaria. 
All’istante iniziale (t=0), il carico viene applicato sul provino e produce una 
immediata e consistente deformazione elastica e0, vista la notevole diminuzione del 
modulo di resistenza E per i materiali ad alta temperatura. In tal caso la velocità di 
deformazione (?=de/dt) è teoricamente infinita, a causa del notevole aumento della 
deformazione in un intervallo di tempo infinitesimo.  
Una volta caricato, il provino comincia a deformarsi in maniera continua e con una 
elevata velocità. Tale velocità di deformazione ? tende però a decrescere con 
l’aumentare del tempo di prova. Per le basse temperature questo  tipo  di andamento 
Capitolo 1: Nozioni generali sulla deformazione per scorrimento viscoso. 
 
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risulta essere  continuo ed indefinito fino alla rottura. Al contrario, ad alte temperature 
la continua diminuzione della velocità di creep porta ad una condizione di indipendenza 
della velocità dal tempo e dalla deformazione, passando così al secondo stadio della 
deformazione per scorrimento.  
La zona in cui si riscontra il valore costante per la velocità di deformazione ? viene 
solitamente definita come“ stadio secondario “. Tale fase non si verifica in tutti i 
materiali sottoposti a scorrimento, ma in tal caso viene definita dal valore della velocità 
di deformazione calcolata nel punto di flesso della curva di creep. In questo caso, invece 
di velocità stazionaria ?ss si parlerà di velocità minima di creep e s’indicherà con il 
simbolo ?min. 
Successivamente al primario ed al secondario si può riscontrare un notevole aumento 
della deformazione, con una conseguente crescita della relativa velocità ?. In questo 
caso il materiale entra nello stadio “terziario” di deformazione e il fenomeno dello 
scorrimento viscoso procede ad elevata velocità fino al punto in cui il materiale non è 
più in grado di sopportare la deformazione e arriva a  completa rottura.  
Al termine di questa ultima fase, cioè in prossimità della rottura, possono verificarsi 
diversi fenomeni di instabilità che portano alla formazione di zone con elevate strizioni 
trasversali e di conseguenza alla rottura. In molti materiali, per i quali il terziario risulta 
notevolmente pronunciato, i problemi derivati dalla disomogeneità della sollecitazione 
s e della deformazione e rendono spesso problematico l’utilizzo delle più comuni 
relazioni costitutive per l’analisi dello scorrimento che presuppongono una tensione 
costante sul provino (s=cost).  
In questi casi sarà necessario considerare un elevato grado di approssimazione legato 
alle relazioni costitutive utilizzate per la descrizione dell’ultimo stadio della 
deformazione. In altri casi vedremo come sarà possibile far riferimento ad alcuni 
modelli che permettano di tenere in conto la presenza delle instabilità meccaniche e 
microstrutturali presenti durante il processo di deformazione terziaria.  
 In tabella 1.2.1 si riassume il diverso andamento della deformazione e della velocità 
di scorrimento ? in funzione del tempo e della temperatura di prova. 
Capitolo 1: Nozioni generali sulla deformazione per scorrimento viscoso. 
 
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STADIO TEMPERATURA CARATTERISTICA 
Primario      (I) 
      T>0.4Tf 
 T=0.4Tf 
ε cresce, ma ? decresce col    
tempo 
Secondario (II)  T=0.4Tf ? è costante 
Terziario   (III)  T=0.4Tf sia ε che ? crescono col tempo 
Tabella 1.2.1: analisi del comportamento della deformazione e e della velocità di 
deformazione ? in funzione dello stadio della deformazione. 
Oltre alla temperatura, anche la sollecitazione s influenza notevolmente la 
deformazione, come mostrato in figura 1.2.2. 
 
Figura 1.2.2: rappresentazione della dipendenza della deformazione e dalla sollecitazione 
applicata s, per basse ed alte T>0.4Tf temperature. 
Per basse temperature la dipendenza tra la deformazione e la sollecitazione applicata 
risulta molto meno significativa rispetto a quella che si presenta alle alte temperature. In 
quest’ultimo caso infatti, una piccola crescita della sollecitazione da s3 a s2 comporta 
una notevole diminuzione della vita del provino, con uno spostamento della curva di 
deformazione verso valori molto alti di deformazione e. Perciò si può osservare come 
un incremento della sollecitazione comporti una notevole diminuzione del tempo a 
rottura tr.  Parallelamente, si può  notare una notevole diminuzione della velocità di 
scorrimento ?s nello stato secondario (steady-state) con la riduzione dello stress s 
σ1 σ2 
σ3 
σ4 
σ5 
Capitolo 1: Nozioni generali sulla deformazione per scorrimento viscoso. 
 
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applicato al provino. Con la diminuzione della sollecitazione s, si evidenzia anche un 
aumento dell’ampiezza dello stato stazionario (secondario) a discapito della zona 
terziaria e in parte minore della primaria. 
Le figure 1.2.1 e 1.2.2 permettono una analisi qualitativa dello scorrimento viscoso, 
alla quale è necessario aggiungere una indagine di tipo quantitativo. L’informazione 
basilare,  derivata dalle prove di scorrimento, è senz’altro la registrazione dell’accumulo 
di  deformazione per una fissata temperatura e a sollecitazione costante. La 
deformazione totale cui risulta soggetto il provino (etot) ad ogni istante, si può definire 
come: 
 
()
to o teee=+  (1.1) 
dove la  e0 rappresenta la deformazione iniziale elastica cui è sottoposto istantaneamente 
il provino e la e(t) è la deformazione di scorrimento all’istante generico t. La 
deformazione elastica e0 può esser calcolata sia dalla curva di scorrimento, 
considerando la deformazione che si ottiene all’istante iniziale di applicazione del 
carico, sia considerando la curva sollecitazione-deformazione (s-e). In figura (1.2.3 a,b) 
si osservano i due diagrammi utilizzati per il calcolo grafico della deformazione elastica 
e0. 
e
0
ε
εt
σ
rottura
σ
e
0
t
*
e tot
e
c
a) b)
 
Figura 1.2.3: calcolo grafico della e0 con i diagrammi (e-t) e (s-e). 
Capitolo 1: Nozioni generali sulla deformazione per scorrimento viscoso. 
 
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La curva sollecitazione-deformazione (s-e), rappresentata in figura 1.2.3.(b), risulta 
dipendente dalla temperatura T di prova. Perciò il valore della e0 dipenderà non soltanto 
dalla sollecitazione s, ma anche dalla temperatura di esercizio. Tale dipendenza si 
esprime analiticamente con la seguente relazione: 
 01
(,)fTes=
 (1.2) 
Al contrario, la deformazione di scorrimento viscoso è funzione, non solo dello stress 
s e della temperatura T, ma anche del tempo t: 
 2
(,,)c fTtes=  (1.3) 
A basse temperature (T=0.4Tf), durante il calcolo della deformazione da scorrimento 
ec, per molti materiali cristallini è stato riscontrato un comune  e lineare aumento della 
deformazione con il logaritmo del tempo t. Su queste basi, la relazione della 
deformazione in funzione del tempo risulta essere di tipo logaritmico: 
 
( )012ln1tot teeeaa=−=⋅⋅+  (1.4) 
dove a1 e a2 sono costanti dipendenti dal materiale, dalla sollecitazione e dalla 
temperature applicata. In particolare, per temperature inferiori a 0.3Tf, tali costanti non 
variano in maniera significativa in funzione dello stress e della temperatura mentre,  per 
T comprese tra 0.3Tf  e 0.4Tf, tale variazione risulta più accentuata. Differenziando la 
equazione (1.4) si ottiene la espressione della velocità di deformazione : 
 
12
2 1
d
dtt
eaa
e
a
⋅
==
⋅+
&
 (1.5) 
che permette di dimostrare analiticamente la corrispondenza con il fenomeno 
sperimentale della continua diminuzione della velocità di deformazione per le basse 
temperature (figura 1.2.2). Quindi mediante le equazioni (1.4) e (1.5), si può analizzare 
analiticamente la deformazione a basse temperature (T<0.4Tf).  
Dal punto di vista microstrutturale, i processi di scorrimento alle basse temperature 
possono essere analizzati tenendo presente il comportamento delle dislocazioni. In 
Capitolo 1: Nozioni generali sulla deformazione per scorrimento viscoso. 
 
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particolare, durante l’allungamento iniziale del provino, il materiale aumenta la sua 
capacità resistenziale, grazie alla generazione ed allo scorrimento delle dislocazioni, 
fino al completo bilanciamento tra la tensione applicata e quella di scorrimento. Durante 
questa fase il movimento di ciascuna dislocazione è ostacolato da diverse condizioni che 
si possono ritrovare all’interno del materiale: 
• Stato tensionale a lungo raggio: si intende quello generato dalla presenza di 
dislocazioni circostanti; 
• Stato tensionale a corto raggio: cioè la necessità delle dislocazioni mobili di 
attraversare la foresta di dislocazioni che interseca solo il piano di 
scorrimento iniziale; 
• Dalla resistenza allo scorrimento (glide) causata da precipitati nella matrice 
e da eventuali gradini (jogs) presenti sulle dislocazioni. 
Ad esempio, riferendosi al caso di un precipitato che ostacola il moto di una 
dislocazione come in figura 1.2.4, si osserva l’interazione tra la forza di scorrimento t e 
quella di reazione R esercitata dal precipitato che provoca la nascita della componente 
Fc. 
Piano di scorrimento
precipitato
t
tForza di 
“Climb”:
Fc
t
R
 
Figura 1.2.4: nascita della forza di “arrampicamento” Fc (climb). 
Nel caso specifico, la combinazione vettoriale della forza di reazione R e di quella di 
scorrimento, determina la nascita di una forza Fc, ortogonale al piano di scorrimento e 
diretta verso l’alto. Settorialmente tale relazione si esplicita con la seguente relazione: 
 
cRFt+=
urrur
 (1.6) 
Capitolo 1: Nozioni generali sulla deformazione per scorrimento viscoso. 
 
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In queste condizioni, salvo il caso improbabile in cui il piano di scorrimento della 
dislocazione si trovi in linea col precipitato, si ottiene sempre una  forza detta “forza di 
climb”, che tende a spingere la dislocazione al di fuori del suo piano di  scorrimento 
naturale.  
C’è da notare però che, condizione necessaria per cui il fenomeno possa verificarsi, è 
che gli atomi del semipiano esterno alla dislocazione siano in grado di muoversi per 
diffusione. Ne consegue che lo scorrimento viscoso potrà esser facilitato mediante 
condizioni termiche favorevoli al proseguimento del moto delle dislocazioni. Infatti le 
fluttuazioni termiche aiuteranno lo sforzo applicato a far proseguire il moto delle 
dislocazioni su piani paralleli a quello iniziale che altrimenti, a basse temperature, non 
sarebbero sfruttabili per il superamento degli ostacoli (precipitati) presenti sul cammino 
delle dislocazioni. Con le basse temperature, T<0.4Tf, si ha solo la possibilità di 
superare ostacoli la cui influenza può esser definita solo a corto raggio. Perciò, 
considerando la evoluzione dei processi che richiedono un contributo minore di energia 
termica, si può giustificare la deformazione molto contenuta  (meno dell’1%)  dei 
materiali sottoposti a deformazioni a basse temperature. 
Tuttavia non appena si incrementa la temperatura (T>0.4 Tf), la equazione (1.4) non 
risulta generalmente accettabile per la descrizione della deformazione e. Infatti la 
equazione è stata ricavata analizzando il comportamento dei materiali a bassa 
temperatura, dove i meccanismi di deformazione sono completamente differenti rispetto 
a quelli che si hanno alle alte temperature. Mediante l’analisi delle curve di 
deformazione (e-t) rappresentate in figura 1.2.1, si può notare la notevole differenza tra 
le rappresentazioni alle due differenti condizioni di temperatura. Per queste ragioni le 
curve di scorrimento vengono solitamente analizzate con differenti relazioni analitiche, 
in funzione del regime di temperature utilizzato ed, in alcuni casi, anche in funzione 
dello stadio di deformazione considerato (primario, secondario, terziario). 
Uno dei tipici processi di deformazione, associati a temperature maggiori di 0.4Tf, è 
il fenomeno del “recupero” (recovery) che si può evidenziare con la nascita della forza 
di scavalcamento (climb) o con lo “scorrimento deviato” (cross slip) su piani paralleli. 
In queste condizioni, quando il grado di generazione delle dislocazioni è bilanciato dai 
processi di recupero, ci si trova di fronte ad una condizione di stazionarietà con un 
Capitolo 1: Nozioni generali sulla deformazione per scorrimento viscoso. 
 
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conseguente decadimento della velocità di deformazione ?, non fino a zero, come 
accade per le basse temperature, ma ad un valore costante ?ss (o minimo ?min). 
In seguito molti fattori possono modificare questa condizione di equilibrio, dando il 
via al successivo stadio di deformazione: il terziario. In quest’ultima fase si ha una 
accelerazione molto intensa della ?, dovuta alla graduale perdita di resistenza allo 
scorrimento. Tale comportamento è da attribuirsi alle instabilità microstrutturali, cioè a 
processi come l’accrescimento dei grani, la ricristallizzazione o, come nel caso di leghe 
rinforzate per precipitazione, alla coalescenza graduale dei precipitati dispersi nella 
matrice durante l’esposizione alle alte temperature.  
In alternativa il terziario può essere associato a una instabilità meccanica, come la 
strizione trasversale (Z%) di un provino sottoposto a trazione o l’accumulo di fattori di 
danneggiamento interno del materiale, come cricche o inneschi di frattura. 
E’importante sottolineare che le curve di scorrimento rappresentate in figura 1.2.1 e 
1.2.2 sono delle curve ideali e, nella pratica, l’estensione dei tre stadi  può variare 
notevolmente a seconda delle condizioni di tensione e di temperatura a cui si riferiscono 
le prove.  
La natura qualitativa dell’analisi sulla forma della curva di scorrimento, può essere 
indicativa della incertezza e della mancanza di un accordo generale sulle equazioni 
costitutive da utilizzare per la descrizione dell’andamento della deformazione e in 
funzione della sollecitazione s e della temperatura T. 
Il secondario: dipendenza da sollecitazione e  temperatura. 
Dopo l’applicazione iniziale del carico e la conseguente deformazione elastica ε0, la 
velocità di scorrimento ?, che è generalmente decrescente durante il primario, tenderà a  
stabilizzarsi nella fase di deformazione relativa al secondario, per poi nuovamente 
crescere nel terziario.  
Con la variazione della ?, si evidenzia la possibilità di poter studiare il susseguirsi 
delle fasi della deformazione (dal primario al terziario), analizzando la variazione della 
Capitolo 1: Nozioni generali sulla deformazione per scorrimento viscoso. 
 
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velocità di creep ? per ogni istante t della prova. In tal modo lo studio dello scorrimento 
viscoso può esser effettuato considerando, come parametro di riferimento, la velocità di 
deformazione ? e analizzando la sua variazione in funzione dei parametri che regolano 
il meccanismo di scorrimento.  
Con questo approccio, la forma della curva di scorrimento può essere analizzata 
considerando la variazione della velocità di creep durante la prova. La relazione che 
lega la velocità di deformazione ai parametri di scorrimento può essere del tipo: 
 
( )
( )
3
4
,,                         a) 
oppure del tipo:
,,                         b)
fTt
fT
es
ese
=
=
&
&
 (1.7) 
Perciò, fissata la temperatura e la sollecitazione di prova, sarà possibile conoscere la 
velocità di deformazione ? sia considerando l’istante generico t sia considerando una 
specifica deformazione e, rispettivamente con le equazioni (1.7) (a) e (b). 
Inoltre c’è da considerare che la velocità deformazione ? può approssimativamente 
considerarsi costante lungo tutto il tratto secondario della curva di scorrimento; perciò la 
dipendenza della velocità ? rispetto al tempo t e alla deformazione e, evidenziata dalle 
(1.7),  può considerarsi superata e la suddetta relazione si può semplicemente scrivere: 
 
( )5 ,fTes=&  (1.8) 
La velocità di deformazione assume perciò un ruolo fondamentale per l’analisi della 
deformazione nel secondario, permettendo di ridurre le dipendenze tra la ? e i parametri 
che caratterizzano lo scorrimento viscoso e semplificando lo studio del tratto secondario 
della deformazione. La (1.8) può essere esplicitata considerando due funzioni u ed v 
rispettivamente dipendenti dalla sollecitazione s e della temperatura T: 
 
()()uvTes=⋅&
 (1.9) 
Per determinare compiutamente la relazione analitica più appropriata per la 
descrizione dello scorrimento viscoso nel secondario, è necessario andare ad esplicitare 
le due funzioni u e v presenti nella ?.