3UHYLHZ
2
Un frattale Ł un oggetto di forma estremamente irregolare o estremamente interrotta e
frammentata e che rimane tale qualunque sia la scala alla quale lo si esamina. Questa
propriet si chiama DXWRVRPLJOLDQ]D: a qualunque scala si osservi, l’oggetto presenta sempre
gli stessi caratteri globali. Ci significa che le varie parti hanno una qualche relazione con
l’intera forma dello stesso.
Una sostanziale differenza tra un oggetto geometrico euclideo ed un frattale Ł il modo
in cui si costruisce. Una curva euclidea, infatti, si costruisce in generale su un piano
cartesiano, utilizzando una caratteristica IXQ]LRQH Una curva Ł pertanto identificata da
un’equazione algebrica del tipo \ I [ .
La costruzione dei frattali, invece, non si basa su di un’equazione, ma su un algoritmo.
Ci significa che si Ł in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve
essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre, l’algoritmo non Ł mai applicato una volta sola:
la procedura Ł iterata (in pratica ripetuta) un numero di volte teoricamente infinito. Ad ogni
iterazione, la curva si avvicina sempre piø al risultato finale (per approssimazione), e dopo un
certo numero di iterazioni l’occhio umano non Ł piø in grado di distinguere le modifiche
(oppure l’hardware del computer non Ł piø in grado di consentire ulteriori miglioramenti):
pertanto, quando si disegna praticamente un frattale, ci si pu fermare dopo un congruo
numero di iterazioni. [ ]
Di volta in volta, il dato in uscita diventa dato d’ingresso per l’operazione successiva. La
correlazione tra input e output sar non lineare, ossia la legge dinamica [ I [ non potr
ridursi ad una semplice proporzionalit diretta. Un esempio classico Ł la funzione F[[ +=+ 21
che, opportunamente implementata in un algoritmo iterativo, Ł in grado di generare le
immagine di figura 2.5 per un opportuno valore di della costante complessa F. Si tratta dei
cosiddetti LQVLHPLGL-XOLD. Il comportamento della successione [ dipende solo dalla costante
Fe dal punto iniziale [ variato nel piano complesso. Si pu pensare al processo di iterazione
definito dalla formula richiamata come a un modo per rendere esplicita l’informazione
contenuta nei dati (in questo caso solo quella contenuta nel parametro F). Offre un esempio di
come un sistema dinamico molto semplice possa sviluppare la poca informazione contenuta
nei dati iniziali producendo varie strutture altamente organizzate. BenchØ tali strutture non
siano perfettamente autosomiglianti nel senso visto dell’insieme di Cantor o della curva di
Kock, le singole parti dell’intera figura sono per "quasi autosomiglianti" o "autosimili" nel
senso che una porzione dell’intero oggetto pu essere ingrandita mantenendo comunque una
forma che ha una struttura di base qualitativamente simile a quella del tutto.
3UHYLHZ
3
a) c = 0,5219 + 0,5668L b) c = 0,11 + 0,6557L
c) c = 0,766 0,2599L d) c = 1,1354 0,0031L
)LJXUDQuattro esempi di insiemi di Julia dato il parametro complesso F nella forma c=a+bL
[ ]
/
,SRWHVLGHL0HUFDWL)UDWWDOL )UDFWDO0DUNHW+\SRWKHVLV
L’EMH, discussa nel primo capitolo, tenta di spiegare il funzionamento dei mercati
imponendo delle restrizioni sulla loro struttura statistica. Una delle piø stringenti Ł che le
osservazioni siano indipendenti tra loro o al massimo siano correlate solo nel breve termine.
Di conseguenza le variazioni correnti nei prezzi non si potrebbero inferire dalle variazioni
avutesi in precedenza. Ipotizzare ci significa che i prezzi seguono un andamento di tipo
random walk. Il modello basato su questo tipo di andamento non prende in considerazioni le
informazioni di tipo esogeno come i fondamentali dell’economia. Un ulteriore passo avanti in
questo senso Ł stato fatto con la formulazione delle tre forme di efficienza che nella versione
VHPLIRUWH, afferma che tutte le informazioni di pubblico dominio sono gi incorporate nei
prezzi e dunque gli operatori nel loro complesso, essendo razionali, sono in grado di dare a
ciascuna attivit un valore che approssima quello di equilibrio.
I
m
m
a
g
i
n
i
e
l
a
b
o
r
a
t
e
c
o
n
F
r
a
c
t
i
n
t
.
3UHYLHZ
4
Un’altra assunzione riguarda la forma delle distribuzioni delle variazioni dei prezzi che
sarebbero ben descritte da una distribuzione gaussiana o Normale.
Una teoria alternativa alla EMH Ł proposta da E. Peters (1994). Egli ha cercato di
sviluppare una teoria che si adatti meglio alle evidenze empiriche e sia coerente con una
struttura sottostante di tipo frattale. Questa proposta prende il nome di ,SRWHVL GHL0HUFDWL
IUDWWDOL )UDFWDO0DUNHW+\SRWKHVLV .
0HUFDWRVWDELOHFRQWUR0HUFDWRHIILFLHQWH
Il motivo che spinge dei soggetti a riunirsi in un luogo specifico in cui negoziare, Ł
perchØ ci gli consente di trovare la controparte per le proprie operazioni di acquisto o di
vendita, piø facilmente ed efficacemente. Essi condividono una basilare necessit : ODOLTXLGLWj.
Con questo termine si intende la possibilit , da parte di un investimento, di essere facilmente
convertito in denaro senza grandi perdite di valore. Analogamente, il termine pu essere
riferito ad un mercato in cui rilevanti operazioni in titoli non causano distorsioni nei prezzi,
proprio per l’elevato volume di contrattazioni. Si noti, in ogni modo, che liquidit non Ł lo
stesso di volume di contrattazione. Si pensi, infatti, agli episodi di crolli borsistici
caratterizzati da un grande volume di vendite, ma con una bassa liquidit .
Una sufficiente liquidit permette a soggetti con diversi orizzonti temporali di
contrattare indifferentemente con chiunque. Lo sviluppo tecnologico ha reso piø facile la
contrattazione di grandi volumi di titoli; non importa quale sia l’orizzonte temporale di
investimento di ciascuna controparte, acquirente e venditore si incontrato in modo rapido e
efficiente. Escludendo le norme di regolamentazione dei mercati, il cui scopo Ł assicurare la
trasparenza, la correttezza e il buon funzionamento dei mercati finanziari, non ci sono, per ,
precetti che impongono di giungere sicuramente ad un prezzo d’equilibrio. Ad esempio un
soggetto che voglia vendere dei titoli che hanno una domanda relativamente bassa, se vuole
chiudere l’affare dovr probabilmente fissare un prezzo inferiore a quello che riterrebbe
adeguato.
L’EMH non prende in considerazione la liquidit dei mercati. Essa afferma che i prezzi
sono in equilibrio indipendentemente dal livello di liquidit o, alternativamente, che vi Ł
sempre una sufficiente liquidit . Per questo motivo non Ł in grado di spiegare gli episodi di
crisi; quando la liquidit si riduce, ottenere un prezzo coerente con il valore intrinseco del
3UHYLHZ
5
bene contrattato, passa in secondo piano rispetto alla necessit di chiudere una posizione
ritenuta pericolosa in tali situazioni.
Un mercato stabile, dunque, non sarebbe un mercato efficiente, come sostenuto dalla
EMH, ma sarebbe un mercato che garantisce liquidit . Se un mercato Ł sufficientemente
liquido, allora il prezzo pu avvicinarsi a quello di equilibrio. Quando la mancanza di
liquidit si fa pericolosa, l’investitore Ł disposto ad accettare qualunque prezzo, coerente o
meno. [ ]
&DUDWWHULVWLFKHVWDWLVWLFKHGHOOHVHULHVWRULFKHIUDWWDOL
Generalmente la statistica classica richiede che le variazioni dei prezzi siano
normalmente distribuite. Uno dei motivi Ł che la distribuzione Normale (o gaussiana) Ł
descrivibile ricorrendo a due soli parametri: la media e lo scarto quadratico medio (inteso
come la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati degli scarti dei valori osservati
rispetto alla media, detta anche Deviazione Standard). Quest’ultimo Ł lo strumento usuale per
rappresentare la dispersione attorno alla media di una variabile casuale. Infatti, la probabilit
di cogliere un’osservazione al di sotto o al di sopra della media dipende solo dallo scarto
quadratico medio.
Nelle serie storiche reali in campo economico e finanziario dagli indici, ai
rendimenti azionari, ai tassi di interesse (ma anche in campo fisico), tuttavia, le distribuzioni
dei rendimenti si presentano in forme diverse.
I grafici in figura 3.1 mettono a confronto la distribuzione delle osservazioni di alcune
serie storiche reali con quelle teoriche di una distribuzione Normale. Essi fanno riferimento
alla distribuzione delle variazioni percentuali a un giorno dell’indice Standard & Poor’s 500
dal 4 gennaio 1928 al 25 aprile 2001 per un totale di 19.490 osservazioni; dell’indice COMIT
Globale dal 2 gennaio 1973 al 29 dicembre 2000 per un totale di 7.028 dati. [ ]
3UHYLHZ
6
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Dev. Standard
F
r
e
q
.
Distrib. Rendimenti a 1 g.
dell’indice S&P500
19.490 dati
0
150
300
450
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Dev. Standard
F
r
e
q
.
Distrib. Rendimenti a 1g.
dell’indice COMIT Globale
7028 dati
0
150
300
450
600
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Dev. Standard
F
r
e
q
.
Distrib. Rendimenti a 1 g.
del titolo IBM
9805 dati
)LJXUDDistribuzione di Frequenza delle variazioni percentuali a una giorno dell’indice
Standard & Poor’s 500 (4 gennaio 1928 - 25 aprile 2001); dell’indice COMIT Gobale
(2 gennaio 1973 - 29 dicembre 2000); del titolo azionario IBM quotato al NYSE
dal 2 gennaio 1962 al 29 dicemebre 2000.
G
r
a
f
i
c
i
E
l
a
b
o
r
a
t
i
c
o
n
M
i
c
r
o
s
o
f
t
E
x
c
e
l
9
7
.
3UHYLHZ
7
'LVWULEX]LRQLGLSUREDELOLWjIUDWWDOL
Il fatto che le distribuzioni delle serie storiche siano leptocurtotiche, Ł un dato
accettato dagli studiosi. La spiegazione piø comune a questo fenomeno Ł che le informazioni
giungono ai mercati in forma intermittente piuttosto che in un modo continuo e costante. Se
la distribuzione delle informazioni Ł leptocurtotica, conseguentemente lo sarebbe anche la
distribuzione delle variazioni dei prezzi.
Mandelbrot (1964 - 1983) suggerisce che le distribuzioni dei rendimenti delle attivit
dei mercati seguano il comportamento di una famiglia di distribuzioni chiamate distribuzioni
paretiane o anche Pareto-LØvy (o L-stabili) in nome del primo matematico francese, Paul
LØvy, che ne studi le propriet basandosi, a sua volta, sugli studi dell’economista Vilfredo
Pareto sulla distribuzione dei redditi.
BenchØ gli studi di LØvy risalgano al 1925, sar Mandelbrot a evidenziare la natura frattale di
queste distribuzioni. Le variabili, alla cui base vie Ł una distribuzione di questo tipo, sono
caratterizzate dalla tendenza a seguire WUHQG e cicli, cos come ad avere improvvisi
cambiamenti di direzione. Inoltre presentano, se confrontate con la Normale usualmente
utilizzata nei calcoli statistici, le code spesse e un picco immediatamente attorno alla valore in
cui si ammassa la maggior parte delle osservazioni. [ ]
8QDYHULILFDHPSLULFD
Per verificare l’ipotesi di invarianza fatta al paragrafo 3.4.2 si sono prese in
considerazione le variazioni percentuali a uno, cinque, dieci, venti, trenta, novanta e
centottanta giorni dell’indice S&P 500 dal 4 gennaio 1928 al 25 aprile 2001, le stesse usate
per tracciare i grafici delle figure 3.2.
In tabella 3.2 in ciascuna colonna Ł riportata la media effettiva (indicata in grassetto
su sfondo grigio) delle variazioni percentuali nei sette orizzonti considerati (moltiplicate per
10.000 per una piø facile lettura). I dati di ogni riga della tabella, sopra e sotto la diagonale
della stessa (ovvero tutti quelli non in grassetto), sono stati ottenuti moltiplicando la media
effettivamente misurata sul campione (quella indicata in grassetto), per il coefficiente indicato
tra parentesi. Questo Ł ottenuto rapportando i diversi orizzonti temporali. Per esempio il
coefficiente 2 della cella (2; 10 gg.) Ł ottenuto rapportando 10 a 5 oppure il fattore 1/6 della
cella (5; 5 gg.) Ł ottenuto dal rapporto 5 su 30. Nello stesso modo sono stati calcolati gli altri
coefficienti.
La stessa procedura Ł stata applicata anche alla varianza con i risultati evidenziati in
tabella 3.3.
3UHYLHZ
8
Per la propriet di invarianza, modificare l’orizzonte di riferimento, per il quale Ł
determinabile una media (ovvero un parametro di locazione) e una varianza (ovvero un
fattore di scala), equivale a moltiplicare la media e la varianza per il coefficiente tra parentesi.
Se si considera un orizzonte temporale, preso come riferimento per la stima della media e
della varianza degli altri orizzonti, il risultato deve essere equivalente a quello della media e
varianza effettivi per questi ultimi.
Analizzando le tabelle 3.2 e 3.3 si pu notare che effettivamente la media e la varianza
effettive e quelle stimate come spiegato sopra, tendono a coincidere.
La verifica della costanza dell’esponente caratteristico pu essere fatta
indirettamente. Dato che incide sulla forma della distribuzione, se questa rimane costante se
ne pu dedurre che non Ł mutato.
La tabella 3.4 Ł stata ottenuta dividendo la numerosit delle osservazioni nelle code
della distribuzione per il numero totale di osservazioni del campione. Ci che rileva Ł che la
probabilit che un valore cada nelle code della distribuzione Ł fondamentalmente la stessa in
tutti gli orizzonti considerati (con l’eccezione dei 180 giorni) e quindi si pu dedurne che
non si Ł modificato significativamente. Questo implica che un investitore con orizzonti
temporali brevi (uno, cinque giorni) corre lo stesso rischio di un altro che opera su orizzonti
piø lunghi tra quelli considerati.
/D5HVFDOHG5DQJH$QDO\VLV $QDOLVL56
/
HVSRQHQWHGL+XUVW
2ULJLQHGHOO
HVSRQHQWHGL+XUVW
Harold Edwin Hurst era un idrologo che lavor al progetto di una diga sul fiume Nilo
in Egitto agli inizi del ventesimo secolo1. Il suo compito era quello di studiare un sistema di
controllo della quantit di acqua contenuta in una diga, in modo che questa non fosse mai
troppa o troppo poca.
Il fattore principale che influenza il livello d’acqua in una diga Ł senza dubbio la
quantit di pioggia caduta e, siccome usualmente si tende ad ipotizzare che tale quantit segua
1
I risultati dei suoi lavori apparvero per la prima volta in un articolo pubblicato sulla rivista 7UDQVDFWLRQVRIWKH
$PHULFDQ6RFLHW\RI&LYLO(QJLQHHUV del 1951.
3UHYLHZ
9
un random walk, Hurst decise di verificare se effettivamente il livello d’acqua nella diga,
misurato in periodi di tempi successivi, seguiva veramente un andamento casuale.
Grazie ai dati raccolti dagli egiziani sulle piene del loro fiume nel corso di svariati
secoli (dal 622 a.C. al 1469 d.C.), ebbe modo di notare che generalmente a ondate di piana piø
intense della media seguivano, con maggiore frequenza, altre ondate di piana di simile
intensit e, al contrario, a ondate lievi, con maggiore probabilit ne seguivano altre ancora di
lieve entit . Questo comportamento sembrava avere un andamento ciclico anche se la
lunghezza dei cicli non era costante. Egli per , usando i metodi statistici standard, non
riscontr una significativa correlazione tra le osservazioni. Decise quindi di mettere a punto
una propria metodologia di analisi che port a dei risultati inaspettati.
/
DQDOLVL56
Albert Einstein, approfondendo gli studi sui moti browniano, scopr che una particella
che si muove in modo erratico copre una distanza che, in media, Ł funzione della radice
quadrata del tempo per una costante, secondo la relazione:
5 NW
dove 5 Ł la distanza coperta, Wil tempo e N una costante2.
Generalizzando, la 4.1 pu essere riscritta in questo modo:
56 NW
Nella 4.2 NŁ ancora una costante, W Łil tempo (espresso come successione di numeri
reali) e H l’esponente di Hurst3. Il termine 56 Ł dato dal rapporto tra il UDQJH 5 e la
2
La 4.1 pu essere verificata con una semplice simulazione. Si
consideri una matrice di cento righe (M) per mille colonne (W). Ogni
riga rappresenta una variabile ;
normalmente distribuita con
media zero e varianza unitaria. Ciascuna riga riporta la sommatoria
cumulata delle osservazioni della variabile. Quindi si misura la
media di ogni colonna, il cui indice e preso come riferimento per il
tempo. Il risultato Ł il tracciato irregolare nel grafico qui a destra.
La curva regolare (piø chiara) rappresenta, invece, la radice
quadrata del Tempo. Formalmente:
;
;
+ [con [~ N(0, 1); M = 1, 2, 100; W = 1,2, 1000
1000...,,2,1;
100
1
100
1
,
=≈= ∑
=
In questa simulazione N = 0,79 e dipende dalla varianza delle
variabili.
0 150 300 450 600 750 900
0
10
20
30
Tempo
T
0^
,5
t
‰
S
i
m
u
l
a
z
i
o
n
e
r
e
a
l
i
z
z
a
t
a
c
o
n
.
3UHYLHZ
10
deviazione standard 6 delle osservazioni del campione della serie storica in esame (perci il
nome 5HVFDOHG5DQJH$QDO\VLV). In particolare il range 5 Ł ottenuto come differenza tra il
massimo ed il minimo della sommatoria cumulata degli scarti dalla media delle osservazioni
del campione considerato (la metodologia di calcolo sar chiarita piø avanti). La divisione per
la deviazione standard consente di standardizzare la misura in esame permettendo il confronto
fra i risultati di diverse analisi.
In generale 56 cresce all’aumentare di W secondo una legge esponenziale funzione di
H. Questo Ł un primo legame della statistica di Hurst con i fenomeni frattali. [ ]
/
DQDOLVL56DSSOLFDWDDVHULHVWRULFKHUHDOL
3UHPHVVDDOOHVHULHVWRULFKHXVDWH
L’affidabilit dell’analisi R/S Ł maggiore se il campione di dati Ł relativamente ampio,
nel senso che Ł preferibile un campione di dati che copra un lungo periodo di tempo. Per
questo motivo nella scelta delle serie storiche da studiare si Ł fatto riferimento ad indici
borsistici e di titoli azionari che siano, rispettivamente, rilevati e quotati da alcuni decenni.
La varianza delle osservazioni delle stime dell’esponente H per campioni di dati di
diversa ampiezza, tende a diminuire con l’aumentare del numero di osservazioni P nel
campione; infatti, Ł pari a (PÂQ (Peters, 1994). Da ci deriva che piø ampio Ł il periodo di
rilevazione, maggiore Ł l’affidabilit del risultato. Oppure maggiore Ł il fattore di scala
temporale Q che richiede un P grande4, maggiore Ł la precisione della stima. Ad esempio Ł
equivalente disporre di 365 dati giornalieri oppure 53 rilevazioni settimanali poichØ entrambe
coprono un periodo di un anno5. Pertanto ci di cui si ha bisogno sono serie con un numero
discreto di osservazioni che coprano un lungo periodo di tempo.
3
Fu Mandelbrot a chiamarlo in questo modo proprio in onore al suo inventore Hurst.
4
Intatti si ricorder n = 10, 11, m/2
5
Una chiarificazione Ł proposto da Peters proponendo l’esempio della verifica della sfericit della terra,
misurando la curvatura di un tratto della superficie terrestre. Pochi chilometri, per quanto siano frequenti i
campionamenti in quel tratto, potrebbero portare alla conclusione sbagliata. Mentre un numero inferiore di
campionamenti della topografia, ma su un tratto di centinaia di chilometri, porter al risultato corretto.
3UHYLHZ
11
Per verificare l’equivalenza in questione, si applicher l’analisi anche su alcuni
campioni di dati raccolti ad intervalli di ampiezza diversi, tipicamente un giorno, una
settimana ed un mese. Ci si aspetter che i valori stimati di H aumentino all’aumentare
dell’intervallo di campionamento fino a stabilizzarsi. Frequenze di campionamento piø basse
(una settimana o un mese) consentirebbero di eliminare parte del rumore che rende la serie piø
frastagliata quindi con un dimensione frattale prossima a GXH piuttosto che all’estremo
inferiore XQR, poichØ essendo DG = 2 H, per H che tende a XQR, DG tende a GXH. La base
teorica di questa relazione Ł gi stata annunciata quando, riferendosi all’ipotesi dei mercati
frattali, si Ł sostenuto che nel breve termine ci si dovrebbe aspettare che la serie dei prezzi sia
affetta da un maggiore disturbo causato dai frequenti aggiustamenti attorno al prezzo di
equilibrio.
Un altro elemento che si dovr verificare Ł che se si rileva la presenza di uno o piø
cicli, questi devono comparire nuovamente dall’analisi dei campioni con frequenza di
rilevazione diversa: ad esempio se appare un ciclo di periodo mille osservazioni nella serie dei
prezzi giornalieri, dovr necessariamente comparire un ciclo da cinquanta osservazioni nella
serie dei prezzi della stessa attivit , ma rilevati ogni venti giorni, altrimenti si pu ritenere che
il primo sia solo un falso segnale.
*OLLQGLFL&20,7*OREDOHH&20,73HUIRUPDQFH
Il calcolo e la gestione degli indici COMIT Ł fatta da ,QWHVD%FL per l intero Mercato
telematico Azionario italiano. Gli indici COMIT comprendono tutti i titoli azionari quotati sul
mercato telematico. Fanno eccezione a tale regola le azioni di GLULWWR HVWHURche esprimono
una liquidit insufficiente e le cui aziende svolgono la loro attivit prevalentemente al di fuori
dei confini nazionali, nonchØ le azioni di GLULWWR LWDOLDQR caratterizzate da capitalizzazione
elevata e da un flottante ridotto. L azione Ł considerata liquida quando esprime un valore
dell’,QGLFDWRUH GL /LTXLGLWj (,/) inferiore a 1.500. Tale indicatore viene determinato
calcolando la capitalizzazione media &DS0G), risultante dal prodotto del numero di titoli in
circolazione per la media dei prezzi ufficiali (eventualmente rettificati in seguito ad
operazioni sul capitale), e il volume (controvalore) medio giornaliero degli scambi 9RO0G).
Il periodo d’osservazione per tale calcolo Ł, di norma, di sei mesi.
La variazione del paniere Ł effettuata, di norma, due volte al mese, in coincidenza con
la GDWD GL VWDFFR GHL GLYLGHQGL prevista dal calendario borsistico definito GD%RUVD ,WDOLDQD
3UHYLHZ
12
6S$., per l inserimento di nuovi titoli quotati, cancellazioni di titoli non piø quotati o altre
variazioni.
Per l'indice COMIT Globale i prezzi adottati per la costruzione sono i prezzi medi
ponderati con gli scambi fino a quel momento eseguiti per quelli in trattazione continua e i
prezzi ufficiali in chiusura. Gli indici COMITGlobale e COMIT Performance sono elaborati
giornalmente in tempo reale sulla base dell andamento dei SUH]]L XIILFLDOL Sono
disponibili le serie dal 2 gennaio 1973, data di calcolo del primo indice, al 29 dicembre 2000
reperibili direttamente nel sito della %DQFD &RPPHUFLDOH ,WDOLDQD all'indirizzo
KWWS ZZZEFLLWLQGLFLKWPO.
0HWRGRORJLDGLEDVHSHULOFDOFRORGHJOLLQGLFL IRUPXODGLDJJUHJD]LRQH
Per i titoli gi quotati al 31 dicembre 1972, si Ł assunta come base la media aritmetica
dei prezzi di compenso 1972, eventualmente rettificati, ponendola uguale a cento. Per i titoli
quotati successivamente il valore base Ł costituito dal prezzo ufficiale rispetto alla data
dell inserimento. Trascurando momentaneamente il problema delle operazioni sul capitale,
che portano ad una discontinuit nella rilevazione delle quotazioni dei titoli interessati, di cui
si dar un breve cenno piø avanti, l'indice del titolo LHVLPR del listino al tempo W Ł dato da:
100
0,
,
,
⋅= ff
fi
ff
fi
ff
S
S
,
dove S fl ffi Ł il prezzo del titolo L al giorno We S fl ffi Ł il prezzo base (o al tempo zero) del titolo L
Gli indici COMIT del mercato saranno quindi pari alla media ponderata degli indici di tutti i
titoli e cioŁ:
∑
=
⋅=
!
"
#
""
# ,D,
1
,
dove , $ Ł l'indice al tempo W mentre D fl rappresenta il peso di ciascun titolo sull'indice. In
particolare il criterio di ponderazione Ł costituito dal rapporto fra la capitalizzazione del
singolo titolo (prezzo per numero di azioni in circolazione) e la capitalizzazione complessiva
del mercato.
Dopo le dovute semplificazioni gli indici assumono la forma:
6
Informazioni tratte dal documento predisposto dal Servizio studi e analisi finanziaria di banca ,QWHVD%FL sulla
metodologia di calcolo degli indici COMIT disponibile all’indirizzo internet KWWS ZZZEFLLW
3UHYLHZ
13
100
1
0,0,
1
0,,
⋅
⋅
⋅
=
∑
∑
=
=
%
&
&&
%
&
&
'
&
'
TS
TS
,
ove T fl ffi rappresenta il numero invariato di azioni in circolazione al tempo W in conseguenza
dell’ipotesi semplificatrice assunta inizialmente.
&HQQRVXLPHWRGLGLUHWWLILFD
Nella realt , ogni anno si verificano diverse operazioni sul capitale delle societ
quotate e possono accadere altri eventi (caso tipico la cancellazione di un titolo dal listino)
che solitamente creano una discontinuit nella serie dei dati utilizzati per il calcolo dell’indice
(ad esempio varia la quantit delle azioni in circolazione e quindi T fl ffi eT fl ffi , o deve variare la
capitalizzazione base cui si fa riferimento nel caso di aumenti a pagamento con conseguente
apporto di denaro fresco).
Per poter procedere ugualmente al calcolo dell’indice si rende necessario ripristinare la
perduta continuit con apposite rettifiche.
La rettifica viene effettuata sulla capitalizzazione di base: ad esempio nel caso piø
classico di aumento di capitale a pagamento si varia la capitalizzazione base nella stessa
proporzione in cui aumenta la capitalizzazione attuale per l’apporto di denaro fresco con la
relazione: [ ]
/DVFHOWDGHOOHVHULHVWRULFKHGHLWLWROLD]LRQDUL
La scelta dei titoli azionari da esaminare Ł caduta su quelli di societ che fossero
esistenti e quotate su una piazza finanziaria da alcuni decenni. In particolare si tratta dei
prezzi mensili di ventitrØ titoli quotati al 1HZ<RUN6WRFN([FKDQJH dagli anni ’70 in poi per i
quali Ł stato possibile reperire un numero sufficiente di dati7. Si Ł cercato di scegliere il piø
equamente possibile, compatibilmente con la disponibilit di dati, societ operanti in diversi
7
Le serie sono state scaricate dal sito KWWS ILQDQFH\DKRRFRP che dispone un ampio GDWDEDVH di dati aggiornato
e supportato dai dati raccolti dalla societ &RPPRGLW\6\VWHPV,QF &6, .
3UHYLHZ
14
settori economici. La classificazione dei settori Ł la stessa operata dal soggetto che gestisce gli
indici Dow Jones tra cui il 'RZ-RQHV,QGXVWULDO$YHUDJe per l’appunto8.
6HWWRUHHFRQRPLFR 1RPH FRGLFH $WWLYLWj
Alcoa Inc. (AA) Metalli Allumini.
E.I. DuPont de Nemours & Co. (DD) Prodotti chimici Materie Prime
International Paper Co. (IP) Cartiere
Eastman Kodak Co. (EK) Prodotti per la fotografia
General Motors Corp (GM) Produttore autoveicoli
McDonald’s Corp. (MCD)3 Ristorazione
Prodotti di consumo
ciclico
Walt Disney Co. (DIS) Film ed intrattenimento
Coca-Cola Co. (KO)3 Bibite e sciroppi
Philip Morris Cos. (MO) Tabacchi Prodotti di consumo non
ciclico
Procter & Gamble Co. (PG) Prodotti per il consumo domestico
Johnson & Johnson (JNJ)1 Settore dell’igiene personale
Prodotti sanitari Merck & Co. Inc. (MRK)3 Prodotti farmaceutici
Boeing Co. (BA) Velivoli aerei
Caterpillar Inc. (CAT) Macchine pesanti
General Electric Co (GE) Attrezzature elettriche varie
Honeywell International Inc. (HON) Industrie manifatturiere
Minnesota Mining & Manufacturing Co.
(MMM) Industrie manifatturiere
Industria
United Technologies Corp. (UTX) Velivoli aerei
Hewlett-Packard Co. (HWP)1 Computer
Tecnologia International Business Machines Corp.
(IBM)2,3 Computer
American Electric Power Co. (AEP) Energia elettrica
Consolidated Edison Inc. (ED)3 Energia elettrica Servizi Pubblici
Reliant Energy Inc. (REI) Energia elettrica
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Serie storica dal gennaio 1977 al dicembre 2000.
2
Serie storica dal gennaio 1962 al dicembre 2000.
3
Serie Analizzate da Peters (1992).
7DEHOOD Elenco delle ventitrØ societ le cui serie storiche dei prezzi mensili sono state oggetto di analisi. I
dati si riferiscono al periodo dal gennaio 1970 al dicembre 2000 dove non diversamente specificato.
Di questi titoli, cinque (MCD, KO, MRK, IBM, ED) sono gli stessi sui quali Peters (1992)
ha eseguito la stessa analisi. Va rilevato comunque che i dati da lui utilizzati coprono il
periodo che va dal gennaio 1950 al mese di luglio del 1988. In questo lavoro si sono usate,
invece, le serie dal gennaio 1970 al dicembre 2000.
La tabella 5.1 raccoglie schematicamente i nomi delle societ , suddivisi per settore
economico e con indicazione del tipo di attivit svolta.
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La classificazione (disponibile al sito KWWS ZZZGMLQGH[HVFRPMVSJLFODVVLILFDWLRQMVS) comprende dieci
grandi settori economici a loro volta divisi in diciotto settori di mercato. Questi sono a loro volta divisi in
3UHYLHZ
15
,ULVXOWDWL
/
LQGLFH6WDQGDUG 3RRU
VHLO'-,$
L’analisi R/S Ł stata eseguita inizialmente sui dati delle serie storiche degli indici
disponibili. La tabella 5.2 riporta i risultati relativi agli indici S&P 500 e DJIA. In particolare
per il primo di tali indici Ł stata analizzata la serie dei prezzi giornalieri (19.412 osservazioni),
mensili (876 osservazioni) e mensili deflazionati, mentre per il DJIA solo la serie dei prezzi
giornalieri (19.191 dati).
In tutti e quattro i casi, l’indice di Hurst Ł strettamente maggiore di ‰ e,
prevedibilmente, il valore di H per lo S&P 500 e quello del DJIA giornalieri concordano. Ci
pu essere visto come un’evidenza di una memoria lunga che continua ad agire per un periodo
relativamente prolungato di tempo. Inoltre come anticipato, passando dai dati giornalieri a
quelli mensili la misura di H Ł aumentata.
Come si pu notare, sono disponibili due esponenti di Hurst nelle corrispondenti righe
dei due indici giornalieri. Infatti Ł possibile individuare due cicli fondamentali9: il primo di
periodo 58-60 giorni, il secondo di circa 790-890 giorni. Questo significa che il processo
stocastico in azione "SHUGH" la sua memoria, relativamente alla scale temporali di riferimento,
entro tale termine, e i rendimenti diventano indipendenti da quelli misurati nella fase del
corrispondente ciclo precedente (Corazza, Malliaris, Nardelli; 1997).
Considerando che in un mese ci sono in media 22 giorni di contrattazioni10, 890
giorni di contrattazione equivalgono a circa 40 mesi, quanto si misura dall’analisi dei dati
mensili dello S&P 500. Non Ł possibile, invece, individuare in questa serie il ciclo di 58
giorni, equivalenti a circa due mesi e mezzo, quindi ORJ Q) < 1.
[ ]
quarantuno settori industriali ulteriormente suddivisi in sottosettori. I titoli analizzati appartengono a sette dei
dieci settori economici classificati.
9
Si ricordi che si tratta sempre di ciclo medio (0HDQ2UELWO3HULRG) e va inteso come il periodo medio di durata
dei fenomeni ricorrenti che si ripresentano nel corso del tempo.
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Tale valore Ł stato ottenuto considerando il fatto che sino al 1952, la settimana di contrattazioni si svolgeva dal
luned al sabato e non sino al venerd come accade dal 1953 ad oggi. Quindi in media i mesi della prima parte
della serie (25 anni) avevano 25 giorni di contrattazione, mentre quelli della seconda met (48 anni) 20, dunque
(25/73)25+(48/73)20 O 22 in media. Allo stesso modo un anno Ł composto in media da 250 giorni di
contrattazioni: 288 in media nei primi 24 anni, 240 nei secondi 47, quindi (25/73)280+(48/73)240 O 250
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