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Introduzione.
Il calcestruzzo è un materiale fragile, si fessura per piccole
dilatazioni e possiede una congenita debolezza nel resistere a
sforzi di trazione.
Già dall'antichità i primi costruttori erano soliti impastare
insieme con un'improbabile malta, fili di paglia o di canna di
bambù, intuendone il miglioramento del comportamento
strutturale dovuto alla diffusione di un materiale resistente
a trazione nella matrice del conglomerato.
In tempi più recenti le tipologie di armature utilizzati per
rinforzare diffusamente il calcestruzzo sono costituite da
reti metalliche con fili di piccolo diametro e fibre corte in
acciaio o in vetro. L'impiego di un'armatura molto diffusa e
di piccolo diametro conferisce al conglomerato una buona
deformabilità, resistenza alla fessurazione e al ritiro,
rendendolo più simile a un materiale omogeneo e quindi,
particolarmente adatto alla realizzazione di strutture sottili
e di forme curve, in cui lo stato di sollecitazione
predominante è nel piano. Rispetto al comune cemento armato in
cui lo sforzo di trazione è affidato alle barre di armatura,
determinando delle concentrazioni degli sforzi intorno ad
esse, con un'armatura diffusa questi sono uniformemente
distribuiti in tutto il conglomerato riducendo la fessurazione
della matrice e migliorandone quindi la resistenza.
Il calcestruzzo armato con strati multipli di reti su tutto lo
spessore dell'elemento, denominato comunemente ferrocemento,
si presenza come un materiale a sé, pur essendo composto dagli
stessi materiali normalmente costituenti il cemento armato,
cioè una malta cementizia e il rinforzo di armatura di
acciaio. La malta è però costituita da sabbia e cemento, senza
gli inerti grezzi a granulometria maggiore, con dosature molto
forti di cemento, mentre l'armatura metallica è costituita da
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strati di reti metalliche sovrapposti, legati ad
un'intelaiatura di barre necessarie a mantenere la forma del
manufatto durante la sua costruzione. La sua principale
caratteristica è che quest'insieme di materiali combinati in
questo modo, danno luogo ad un materiale che ha ben poco in
comune con il cemento armato, mostrando invece tutte le
caratteristiche meccaniche di un materiale omogeneo, che per
doti di elasticità somiglia più all'acciaio che non al
cemento. Infatti, l'elevato quantitativo di armatura e la sua
elevata diffusione, mutano radicalmente le proprietà della
malta, aumentandone notevolmente la capacità di deformarsi e
seguire la deformazione dell'acciaio. Per elevate percentuali
di armatura, si sono ottenuti valori della deformazione di
fessurazione del calcestruzzo, superiori del 500% rispetto a
quelli del comune calcestruzzo. Queste caratteristiche di
infessurabilità e di elasticità spinsero inizialmente l'uso di
questo materiale nel campo delle costruzioni navali, e
successivamente per opera di Nervi, nella progettazione di
grandi coperture sottili ondulate resistenti spiccatamente per
forma. È interessante rilevare come lo stesso Nervi definiva
alcune caratteristiche di questo materiale: " un materiale con
spiccate qualità di resistenza e di leggerezza e con notevoli
vantaggi economici dovuti al non impiego di casseforme". Oggi
il ferrocemento è considerato un materiale antieconomico,
visto anche l'uso di casseforme riutilizzabili, ma soprattutto
per l'elevato costo delle maestranze, trovando il suo maggiore
impiego nei paesi meno industrializzati.
Il calcestruzzo rinforzato con fibre di acciaio ha delle
caratteristiche meccaniche diverse dal ferrocemento, anche se
ne recepisce il concetto base di armatura diffusa.
Comunemente, per ragioni di praticità ed economia, le quantità
di fibre usate in termini di volume di armatura, sono molto
minori rispetto alle quantità usate nel ferrocemento, con
valori compresi tra il 0.5 e 2.5%. La presenza delle fibre
conferisce al conglomerato un'elevata duttilità e tenacità
dopo la fessurazione, grazie alla resistenza a trazione
offerta dalle fibre, che collegando le fessure si oppongono
alla loro apertura, conferendo al composito una maggiore
resistenza alla fessurazione e al ritiro e una maggiore
capacità di dissipare energia quando sollecitato da carichi
dinamici. Le suddette proprietà e la maggiore economicità
consentono di prevederne, unitamente alla maggiore
comprensione del materiale, al contrario del ferrocemento, una
sempre più maggiore diffusione. Ad oggi l'uso di questo
materiale è relegato alla costruzione di elementi non
strutturali secondari, oppure è usato soltanto per ottenere il
miglioramento delle proprietà meccaniche del calcestruzzo.
8
Infatti, anche se sono disponibili in letteratura modelli
analitici e risultati sperimentali su elementi fabbricati e
testati in laboratorio, ancora non è disponibile una scorta di
dati sperimentali, riguardanti elementi gettati in cantiere in
condizioni normali e sugli effetti a lungo termine, preferendo
nella prassi comune non considerare la resistenza a trazione
offerta dalla fibre.
Il lavoro sviluppato con questa tesi è stato inizialmente, la
ricerca di pubblicazioni specifiche sulle principali
caratteristiche meccaniche e sui modelli analitici di
comportamento sviluppati per lo studio di semplici elementi
strutturali. In alcuni casi sono stati proposti anche dei
semplici modelli di comportamento basati sull'osservazione di
prove sperimentali note in letteratura. Il passo successivo è
stato l'applicazione di tali modelli, mediante delle procedure
di calcolo automatico, per lo studio di alcuni elementi
strutturali tipo. E' stata esplorata inoltre la possibilità di
costruire oggi strutture con questi tipi di materiali
compositi, conformemente alle normative specifiche o a quelle
sulle costruzioni in cemento armato. Infine è stata studiata
un'opera di P. L. Nervi realizzata utilizzando il
ferrocemento. Sulla scorta dei modelli analitici studiati e
grazie alla disponibilità di più potenti strumenti di calcolo
è stato approfondito lo studio della copertura realizzata da
P. L. Nervi ed è stata valutata la possibilità dell'uso del
fibrocemento per una nuova progettazione della struttura.
9
1
Il calcestruzzo rinforzato con armatura
diffusa: Stato dell'arte
In questo primo capitolo, sono illustrati le principali applicazioni, proprietà e i modelli
analitici disponibili in letteratura, per l'analisi e il dimensionamento di elementi strutturali in
fibrocemento e ferrocemento.
1.1 Il calcestruzzo rinforzato con fibre in acciaio.
Il calcestruzzo fibrorinforzato è un materiale composito costruito con cemento Portland e
aggregati rinforzato con una dispersione discontinua di fibre corte. (ACI
Commitee544,1982) .
Le fibre influenzano le proprietà meccaniche della malta e del calcestruzzo in tutti i modi di
rottura, specialmente quelli che inducono fatica, trazione, flessione, impatti e taglio. Il
trasferimento del carico tra la matrice e le fibre avviene mediante tensioni di aderenza
all'interfaccia tra i due materiali. Inizialmente il carico è diviso tra le fibre e il calcestruzzo,
raggiunta la fessurazione della matrice il carico è integralmente trasferito alle fibre mediante
tensioni tangenziali di aderenza all'interfaccia fibra matrice.
Nelle applicazioni comuni le quantità di fibre utilizzate sono, per ragioni di economia e
praticità, comprese tra il 0.5 e 2.5 percento con lunghezze variabili tra 15 e 50mm, alte
percentuali di fibre (3-10 percento) possono essere usate adottando speciali tecniche di
miscelazione e speciali procedure di getto, quando il miglioramento della resistenza ottenuta
ne giustifica il maggiore onere di fabbricazione.
10
1.1.1 Distribuzione e orientazione delle fibre
L' efficenza delle fibre nell' aumentare le resistenza e la duttilità di un elemento in
calcestruzzo fibrorinforzato sollecitato con sforzi di trazione, dipende (in parte) dalla densità
delle fibre presenti in ogni generica sezione trasversale.
La relazione comunemente usata in letteratura per stimare il numero di fibre per unità di
sezione trasversale è la seguente :
N = α V
f
/ A
f
(1.1)
Figura 1.1 - Orientazione delle fibre nello spazio.
Dove α è il fattore di orientazione ,V
f
e A
f
sono rispettivamente la percentuale in volume e la
sezione trasversale delle fibre.
Il fattore d'orientazione è definito come il rapporto tra il valore medio della proiezione delle
fibre l
z
nella direzione z del carico e la loro lunghezza, cioè α rappresenta la proiezione
unitaria media della fibra nella direzione del carico applicato.
La proiezione di una fibra disposta nello spazio nella direzione z è uguale (fig. 1) a:
(2.1) lz=lfcosθcosρ
il valore medio di lz, considerando tutte le possibili orientazioni è pari a:
(3.1) lz=
θ
0
∫
ρ
lf cosθ cosρ dθ dρ
0
∫
θ
0
∫
ρ
dθ dρ
0
∫
L'espressione generale diventa:
(4.1) α =
θ
0
∫
ρ
cos θi cos ρi dθdρ
0
∫
θ
0
∫
ρ
dθdρ
0
∫
Z
X
Y
l
z
l
f
ρ
θ
11
Gli estremi d'integrazione della (3.1), rappresentano i limiti d'orientazione di un sistema di
fibre posto in uno spazio confinato da due o più superfici. Nello spazio 3-D non confinato le
fibre sono libere di orientarsi lungo qualsiasi direzione, i limiti d'integrazione sono (fig.1)
pari a π/2, in questo caso si ottiene:
(5.1)
α =
π/ 2
cosθ cosρ dθ dρ
0
∫∫
(π/2)
2
= 0.405
Nei casi comuni di spazi confinati da quattro superfici come nel caso di una trave, il
coefficiente d'orientazione dipende dal rapporto tra la lunghezza della fibra e le dimensioni
della sezione trasversale. I limiti d'integrazione della (4.1) sono per una generica sezione
rettangolare di base x e altezza y (fig.1):
(6.1)
ρ= arcsin ( x / lf )≤
π
2
θ= arcsin ( y / lf )≤
π
2
integrando la (5.1) con le (6.1) per differenti rapporti tra lunghezza delle fibre e dimensione
della sezione, si ottengono mediante un'espansione in serie di Taylor le seguenti formule
generali approssimate:
(7.1)
6
lf
2
bh
tang
−1
b
6lf
Tang
−1
h
6lf
b, h≤ lf
lf
h
Tang
−1
h
6lf
1.56+ 0.766
lf
b
b > lf e h ≤ lf
0.098
lf
2
bh
tang
−1
b
6lf
+ 0.2 lf
(b+h)
bh
+ 0.405 b , h > lf
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Nel grafico di fig.2 è riportato per una generica sezione rettangolare di base b e altezza h,
l'andamento di α in funzione del rapporto adimensionale b/l
f
ottenuto applicando le (7.1). Per
lunghezze delle fibre pari alla metà della dimensione minore della sezione il valore di α tende
al valore teorico 0.405 relativo al caso d'orientazione libera nello spazio, mentre per elevate
lunghezze delle fibre α tende ad 1 perché queste tendono ad orientarsi parallelamente alla
direzione z dell'asse della trave. Nella pratica α assume valori compresi tra 0.41 e 0.82 ed N
è condizionato oltre che dai parametri di tipo geometrico, anche da fattori tecnlogici come la
fase di vibratura del calcestruzzo durante la quale le fibre tendono a riorientarsi e a disporsi
in piani orizzontali .
Figura 2.1 - Influenza delle dimensioni della sezione sul coefficiente di orientazione
nel caso di una sezione rettangolare
B/Lf
H=B
0 1 2 3 4 5
α
1
0.7
0.4
H=2B
H=4B
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1.1.2. Comportamento a trazione.
1.1.2.1. Generale.
La tipica risposta a trazione di un provino in calcestruzzo fibrorinforzato è in generale
rappresentata dalle due curve tipo di fig.3. Dopo una prima fase generalmente lineare che
termina con la fessurazione della matrice di calcestruzzo, seguono due diversi tipi di
comportamento, in un primo caso la tensione di trazione residua rimane sempre minore della
tensione di fessurazione, mentre nel secondo caso per volumi delle fibre superiore ad un
determinato volume critico V
cr
, il provino riesce a trasmettere carichi di trazione maggiori di
quello di prima fessurazione. In ogni caso raggiunta la tensione massima residua σ
tu
diminuisce fino al completo sfilamento delle fibre, conferendo al composito oltre ad una
maggiore resistenza a trazione relativamente ai casi critici anche una notevole duttilità
rispetto al comune calcestruzzo.
Figura 3.1 -Risposta tipo di un provino in SFC sollecitato a trazione
1.1.2.2. Modello analitico di Lee,Parasivam e Lee.
Il modello analitico presentato è una riformulazione del modello di Pakotiprapha, Pama and
Lee proposto per descrivere il comportamento di elementi in malta di cemento rinforzati con
fibre di canna di bambù. Il modello è applicabile soltanto a compositi con volumi di fibre
minore di quello critico, che rappresentano la maggioranza dei casi delle applicazioni
comuni. La risposta di un provino sollecitato da un carico di trazione è ottenuto analizzando
le due fasi di lavoro del composito con due modelli distinti, la prima fase elastica è
rappresentata utilizzando una semplice legge di omogeneizzazione del materiale, la seconda
fase modellando la risposta a trazione di un ideale provino prefessurato.
Nel modello le fibre sono rappresentate ad un ideale fibra rettilinea, si assume all'interfaccia
tra fibra e matrice una relazione semplificata tra tensione d'aderenza e scorrimento di tipo
elastico-perfettamente plastica. E' considerato un valore medio costante della tensione di
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aderenza mobilitata, lungo la tutta lunghezza della fibra, ottenuto da prove di sfilamento su
fibre ancorate per metà della loro lunghezza. Nel grafico di fig.4 sono mostrate delle tipiche
curve sperimentali e il corrispondente modello ideale utilizzato.
Figura 4.1 - Prove di Pull-out e modello analitico utilizzato
La risposta a trazione di una fibra è modellata, in accordo con le prove sperimentali (fig.5),
utilizzando il classico modello elastoplastico dell'acciaio.
Figura 5.1 - Prove di trazione delle fibre e modello analitico utilizzato
15
- Fase iniziale elastica.
Si assume che in questa fase non ci siano scorrimenti tra matrice e fibra, il materiale è
idealizzato ad un equivalente mezzo elastico omogeneo.
Dall'equilibrio in una generica sezione trasversale, lo sforzo di trazione applicato è pari a:
(9.1) N =σm Am+ηlσf Af
(10.1) σc=σm
Am
A
+ηlσf
Af
A
Nella quale σ
c
, σ
m
, σ
f
, A, A
m
, A
f
sono ripetitivamente le sezioni e le tensioni nel composito,
nella matrice e nelle fibre.
Il coefficiente di efficienza η
l
è introdotto per tenere conto della variazione della tensione
lungo la lunghezza della fibra, è definito come il rapporto tra la tensione media e la tensione
massima nella fibra. Definendo l
c
la lunghezza critica della fibra, come la lunghezza
necessaria affinché in corrispondenza del raggiungimento della tensione ultima di aderenza
tra fibra e matrice, la tensione nella fibra è pari alla tensione ultima. Dall'equilibrio di una
fibra di lunghezza pari a quella critica si ottiene il valore del coefficiente di efficienza:
(11.1) τu πd
lc
2
= σfu
πd
2
4
(12.1) lc =
σfu d
2 τu
(13.1)
ηl =
σf
σmax
=
0.5 lf < lc
1−
lc
2lf
lf > lc
Individuando l'orientazione della fibra mediante un sistema di coordinate sferiche (fig.1) e
definendo Z l'asse parallelo alla direzione dello sforzo, ϑ
i
l'angolo tra la fibra i e il piano XY
ortogonale a Z, ρ
i
l'angolo tra la proiezione della fibra i nel piano XY e la direzione Z del
carico, l'aliquota del carico portato dalle fibre è pari alla somma delle componenti dello
sforzo nella singola fibra i nella direzione del carico:
(14.1) σf Af =
N
σfi Afi cos
2
θi cos
2
ρi
i=1
∑
Esprimendo la (10.1) con la posizione (14.1) in termini di percentuali in volume:
(15.1) σc = σm Vm + ηl
N
Vfi σfi cos
2
θi cos
2
ρi
i= 1
∑
16
Definendo ε
c
la deformazione del composito, la deformazione della fibra i può essere
espressa, in accordo con la teoria dei piccoli spostamenti e trascurando la deformazione
laterale, in funzione della sua orientazione:
(16.1) εfi = εc cos
2
θi cos
2
ρi
Dalla (16.1) applicando legge di Hooke la (15.1) diventa:
(17.1) σc = σm Vm + ηl
N
Ef εc Vfi cos
4
θi cos
4
ρi
i= 1
∑
dividendo per la deformazione ε
c
del composito, si ottiene il modulo di elasticità a trazione
del composito stesso:
(18.1) Ect = Emt Vm + ηl
N
Ef Vfi cos
4
θi cos
4
ρi
i= 1
∑
per il termine cos
4
ϑ
i
cos
4
ρ
i
relativo all'orientazione singola fibra i, si considera un valore
medio generale costante η
0
per tutte le fibre:
(19.1) η 0 =
θ
0
∫
ρ
cos
4
θ i cos
4
ρ i dθdρ
0
∫
θ
0
∫
ρ
dθdρ
0
∫
(20.1) θ = arcsin(h/lf)≤π /2 ; ρ = arcsin(b/lf )≤π/2 ;
Per un sistema di fibre orientato liberamente nello spazio o per lunghezze delle fibre minori
di entrambe le dimensioni della sezione trasversale del provino, gli estremi d'integrazione
(20.1) della (19.1) assumono valore pari a π/2, al quale corrisponde un valore medio del
fattore di orientazione η
0
=0.14.
L'espressione finale del modulo di elasticità a trazione del composito diventa :
(21.1) Ect = Emt Vm +ηlη0 Ef Vf
Dall'osservazione di prove sperimentali è risultato che la deformazione di prima fessurazione
ε
cr
del composito, risulta maggiore di quella della matrice e aumenta con l'aumentare della
percentuale di fibre. E' proposta per il suo calcolo una espressione semiempirica :
(22.1) εcr = ηlη0′ Vf (εfp− εmp ) + εmp
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