Calcolo dei flussi di potenza elettrica di un sistema di trasporto alimentato in corrente continua

2 
3.1 MODELLAZIONE DEI NODI 
 
I nodi della rete elettrica sono stati ripartiti nel seguente 
modo: 
1) nodi di generazione, o nodi P-V, in cui sono poste le 
sottostazioni, di cui sono note le tensioni e le potenze; 
-nodi di carico, o nodi P, corrispondenti ai treni, che hanno un 
prelievo o un’erogazione di potenza attiva noto; come è già 
stato osservato non viene assorbita potenza reattiva, poiché 
viene considerato un sistema alimentato in corrente continua. 
I treni sono stati modellati come generatori di corrente, la 
cui intensità (come sarà evidenziato nel capitolo V, pag. 79, in 
cui sono riportati i risultati della simulazione del funzionamento) 
è determinata in base alla posizione occupata dal treno nel 
percorso tra due stazioni passeggeri: la corrente viene assorbita 
quando il treno è in fase di trazione, è nulla o inversa con un 
esiguo valore nella fase di coasting, è nulla in caso di frenatura 
reostatica ed è inversa nell’eventualità di frenatura a recupero di 
potenza. 
Ai fini di una più agevole programmazione, i nodi di 
carico sono stati successivamente suddivisi in: 
2) “treni dispari”, in marcia lungo il binario di andata (o 
binario dispari); 
3) “treni pari”, in movimento sul binario di ritorno (o binario 
pari). 
3 
Infine, è stato adottato un ultimo tipo di nodo: 
4) punto di parallelo, che permette di ridurre le cadute di 
tensione sulla linea, considerato a potenza assorbita nulla e 
perciò conglobato tra i nodi di carico.  
Questi tipi di nodo vengono utilizzati nel primo modello, 
che approssimativamente schematizza le sottostazioni come nodi 
a tensione imposta. 
Nel secondo modello le sottostazioni elettriche vengono 
ridotte al parallelo di due rami, uno per ciascun gruppo, costituiti 
da una forza elettromotrice in serie ad una resistenza interna; si 
utilizza per comodità il modello equivalente serie della forza 
elettromotrice e della sua resistenza interna. 
In questo caso viene quindi introdotto un ulteriore tipo di 
nodo, che connette la linea di contatto al ramo della resistenza 
interna della sottostazione: 
5) il  nodo  link  (in  italiano “connessione”) non prevede 
alcun assorbimento di potenza, ma solo gli smistamenti delle 
eventuali potenze erogate a monte o al limite a valle, se sono 
vicini treni in frenatura a recupero in caso di sottostazioni 
reversibili. 
 
 
 
 
 
4 
3.2 IL METODO DEI VALORI RELATIVI 
 
Nell’analisi dei sistemi elettrici, tutte le grandezze 
elettriche possono essere indicate, oltre che con i loro valori 
dimensionati, detti valori assoluti, anche con quelli rapportati a 
dei valori base scelti come riferimento e perciò chiamati valori 
relativi, o per unità (p.u.). 
L’impiego dei valori relativi offre il vantaggio di 
agevolare i calcoli, rispetto ai valori assoluti; tra l’altro, prodotti 
e quozienti di grandezze p.u. sono anch’esse p.u.. 
In particolare, poiché viene diminuita la mole di lavoro 
nei  calcolatori elettronici, vengono ridotte le possibilità di errore, 
perché tutti i valori numerici hanno il medesimo ordine di 
grandezza, che spesso non si discosta dall’unità. 
Tensioni, correnti, potenze e ammettenze, che sono i 
parametri utilizzati in questo lavoro, sono correlate in modo tale 
che, scelti ad arbitrio i valori di riferimento di due grandezze, 
sono noti di conseguenza anche quelli delle rimanenti. 
Normalmente vengono fissati i valori di riferimento per la 
potenza e la tensione. 
Nel presente lavoro la potenza nominale scelta come 
valore di riferimento è 1 MW; per la tensione nominale è stato 
adottato il valore di 1500 V. 
L’ammettenza nominale è di conseguenza: 
Y
nom
 = 1/Z
nom
  = P
nom
 / V²
nom
 = 0.444 [siemens]. [3-1] 
5 
3.3 COSTRUZIONE DELLA MATRICE Y DELLE 
AMMETTENZE 
 
Generalmente, nell’ambito dei sistemi di trasporto su 
rotaia viene adoperata la resistenza unitaria r, calcolata per unità 
di lunghezza e perciò misurata in :/km. 
Nelle linee degli impianti di trazione, dove il ritorno della 
corrente avviene attraverso le rotaie di corsa, la formula adottata 
è la seguente: 
r = r
c
  + r
b
      [3-2] 
in cui il primo termine è la resistenza della linea di contatto, il 
secondo quella del binario. 
Nota la sezione complessiva della sezione in rame della 
linea di contatto, che comprende la corda e i fili di contatto, è 
invalsa nell’uso la formula sperimentale: 
r
c
 = 18/ A
c
   [ :/km ]              [3-3] 
in condizioni normali di temperatura. 
Per quanto riguarda il binario, costruito in acciaio, 
occorre prendere in considerazione la massa lineica m delle 
rotaie, fornita in kg/m, e la lunghezza L di tutte le singole tratte, 
collegate insieme da elementi di collegamento detti giunti. 
Il giunto di per sé costituisce una resistenza 
supplementare notevole, che viene ridotta collegando rotaie 
adiacenti con trecce di rame, saldate alle superfici laterali delle 
6 
rotaie stesse; questa soluzione rende la resistenza elettrica di ogni 
giunto equivalente a quella di un binario lungo 2-3 m. 
Considerando anche l’usura media delle rotaie la formula 
adottata, di tipo empirico, è: 
r
c
= 0.9/ m [ :/km ].    [3-4] 
Il valore della massa lineica m può variare da 50 a 60 
kg/m, ovvero 50000-60000 kg/km. 
Nel presente lavoro, siccome il caso in studio è un 
sistema di trasporto per una metropolitana, che può essere 
ritenuta un mezzo di trasporto “leggero”, è stato adottato il valore 
di 50000 kg/km. 
Ovviamente, la lunghezza della linea di contatto L
c
 e 
quella del binario L
b
 sono uguali: sfruttando tale valore, viene 
costruita la matrice delle ammettenze Y. 
In breve, la formula completa per calcolare la resistenza 
complessiva è: 
R = (r
c
 * L
c
 + r
b
* L
b
)     [3-5] 
= (r
c
  + r
b
)*L [ : ]     
 
 
 
 
 
 
 
7 
3.4 IL METODO DI NEWTON-RAPHSON  
 
3.4.1 FORMULAZIONE MATEMATICA 
Il problema dei flussi di potenza ha una soluzione 
complessa per il fatto che il sistema presenta equazioni non 
lineari, che esprimono i transiti di potenza attiva in una porta in 
funzione della tensione ai suoi capi. 
Qualunque sia l’impostazione cui si ricorre, non è 
possibile arrivare alla soluzione con un metodo diretto, cioè che 
fornisce il risultato esatto; occorre invece adottare uno dei 
cosiddetti metodi indiretti, di tipo iterativo. 
I metodi iterativi, a partire da una stima iniziale delle 
variabili incognite, ne correggono di volta in volta i valori, 
adoperando il risultato di un ciclo per il calcolo del punto di 
partenza successivo, e si arrestano quando viene verificata una 
certa condizione, ovvero quando tra due iterazioni consecutive la 
differenza delle incognite risulta inferiore ad una quantità 
prefissata. 
In questo lavoro è stato applicato il metodo di Newton-
Raphson, il cui pregio è la linearizzazione del problema. 
Con le semplificazioni introdotte grazie al fatto che la 
rete è alimentata in corrente continua, il sistema da risolvere è: 
P
i
 = 6
k
V
i
V
k
Y
ik
 .     [3-6] 
8 
Esso è costituito da equazioni sviluppabili in serie di 
Taylor in un punto A
o
(V
o
) scelto ad arbitrio; arrestando lo 
sviluppo in serie ai termini di primo ordine, si ottiene: 
P
i
 (V) = P
i
 (V
o
) + 6
k
 ( ωP
i
/ ωV
k
)
Ao
 * (V
k
 – V
ko
) [3-7] 
Nel programma di calcolo, la generica espressione della 
potenza calcolata nei valori delle tensioni iniziali è indicata con 
f
o
. 
Nel metodo delle tangenti, caso ad una sola incognita, è 
sufficiente una derivata, coefficiente angolare della tangente alla 
f(x) nel punto di stima; nel caso di più variabili, si costruisce la 
matrice delle derivate parziali delle potenze rispetto alle varie 
tensioni calcolate nei valori delle tensioni iniziali, detta 
jacobiano e indicata con J. 
A proposito dello jacobiano si fa presente che a volte esso 
viene calcolato una sola volta all’inizio e poi riutilizzato per le 
successive iterazioni per risparmiare una notevole quantità di 
conti, mentre in questa tesi il programma calcola ogni volta gli 
elementi sfruttando il risultato dell’ultimo ciclo eseguito. 
Infine, la differenza tra il valore effettivo della tensione e 
il valore approssimato, cioè l’errore, è chiamato e. 
La formula risolvente di Newton-Raphson è: 
J * e =   –f
o
       [3-8] 
del tipo    
Ax =b.       [3-9] 
Il procedimento viene bloccato quando: 
9 
-i termini noti –f
o
 , che diminuiscono in modulo ad ogni ciclo e 
per questo sono detti residui del processo iterativo, sono più 
piccoli di una quantità esigua prefissata ad arbitrio, la 
tolleranza;  
-l’errore e è inferiore anch’esso ad una certa tolleranza. 
In ambedue i casi la tolleranza adottata è di 10
-4
 in p.u.: in 
termini di valori assoluti, ciò significa 0.15 volt per le tensioni e 
100 watt per le potenze.  
Grazie al metodo di Newton-Raphson, a partire da un 
sistema di equazioni non lineari ne viene costruito un altro di 
equazioni lineari, la cui soluzione approssima in modo 
soddisfacente quella reale solo nel caso in cui l’arbitrario punto 
iniziale A
o
 si trovi a distanza trascurabile dalla soluzione esatta, 
condizione che, da un punto di vista analitico, corrisponde 
all’aver trascurato tutti i termini di grado superiore al primo.  
La soluzione viene insomma ricercata per 
approssimazioni successive, partendo ogni volta dal punto che 
risulta dalla risoluzione del sistema: il programma convergerà 
alla soluzione in modo tanto più rapido quanto più il punto A
o
 è 
scelto in modo efficace.  
 
3.4.2 OSSERVAZIONI SULLA SCELTA DEL PUNTO 
INIZIALE E SULLA SOLUZIONE  
Un’adeguata stima iniziale garantisce non tanto e non 
solo un più rapido avvicinamento alla soluzione, ma anche 
10
 
l’efficacia stessa del metodo: non trovare una soluzione 
matematica infatti non implica l’effettiva inesistenza di essa. 
In ogni caso, è buona norma assumere i moduli delle 
tensioni nei nodi pari ai valori nominali, cioè 1 in p.u. . 
D’altra parte, oltre a non escludere che la soluzione non 
esista, pur nel rispetto di tutti i vincoli imposti, va anche 
considerato il caso in cui ce ne sia addirittura più di una. 
Nel caso di più soluzioni, sarà necessario vagliare con 
attenzione i risultati, in modo da escludere prima la radice il cui 
valore non è accettabile fisicamente, o eventualmente individuare  
quella più funzionale per l’esercizio della rete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11
 
3.5 ALGORITMO DI GAUSS PER LA 
RISOLUZIONE DI SISTEMI DI EQUAZIONI 
LINEARI 
 
Per trovare la soluzione di un sistema di equazioni lineari 
in forma normale, cioè con un numero di equazioni pari al 
numero delle incognite e determinante del sistema diverso da 
zero, è possibile  ricorrere a metodi diretti o iterativi.  
In questo lavoro è stato adottato il metodo di Gauss, detto 
anche delle successive eliminazioni, che è un metodo diretto.  
Detto a
i,j
 il coefficiente della incognita x
i
 nella j-esima 
equazione, nell’ipotesi che a
1,1
 sia diverso da zero viene sommata 
membro a membro alla r-sima equazione (r = 2,3,...n) quella 
ottenuta  dalla  prima  dopo  averne moltiplicato ambo i membri 
per –a
r,1
/a
1,1
.  
Il metodo procede con le somme a partire dalla seconda 
equazione moltiplicata per –a’
r,2
/a’
2,2
, e poi procede fino alla 
penultima, cosicché la matrice dei coefficienti del sistema arriva 
ad assumere forma triangolare superiore.  
A questo punto, si ricava immediatamente x
n
 dall’ultima 
equazione e poi, per sostituzione all’indietro, si determinano le 
altre incognite.  
Inevitabili sono gli errori di arrotondamento, dovuti alle 
divisioni, riducibili però in parte se si ricorre all’ordinamento 
delle equazioni, in modo che risulti 
12
 
|a
1,1
| τ |a
r,1
|  (r = 2,3,...n)    [3-10] 
nel primo sistema come nei successivi.  
Il metodo di Gauss con questa modifica è detto anche 
metodo del “pivot parziale”.  
Il numero di operazioni –divisioni, somme e sottrazioni   
necessario per risolvere un sistema lineare di ordine n con il 
metodo di Gauss è pari a  n³/3 + n²   n/3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13
 
3.6 PRESENTAZIONE DEL PROGRAMMA 
APPRONTATO 
 
3.6.1 LA COSTRUZIONE DELLA MATRICE DELLE 
AMMETTENZE 
Il file LINEDATA.C legge i dati dai seguenti file di 
input: 
1) LINEGEOM.DAT presenta in sequenza il numero dei treni 
circolanti, il numero di porte a tensione costante, il numero 
delle sottostazioni reversibili e non, il numero degli 
eventuali punti di parallelo, il numero di nodi “link” se si 
utilizza il secondo modello in cui viene introdotta anche la 
resistenza interna e i dati geometrici della linea di contatto; 
2) BUSDATA.DAT elenca i valori dei parametri contenuti 
nella struct rappresentativa di un nodo, cioè la distanza 
dal capolinea Sondrio, le tensioni di stima, le potenze e il 
tipo di nodo che può essere, in ordine: PP (punto di 
parallelo), OT (OddTrain, treno sul binario dispari), ET 
(EvenTrain, treno sul binario pari), SSErev (sottostazione 
reversibile), SSEnr (sottostazione non reversibile), Link 
(connessione tra il ramo della resistenza interna di una 
sottostazione e la linea); 
3) GRAFO.DAT fornisce una matrice quadrata di dimensione 
n pari all’ordine del sistema: il generico elemento g
ij
 è 
14
 
nullo se i nodi i e j non sono connessi, altrimenti è pari al 
numero dei rami frapposti.   
Le procedure calcolano i seguenti parametri: 
-DoLTratta inserisce in una matrice quadrata dell’ordine del 
sistema le distanze tra i nodi; 
-DoR calcola le resistenze in ohm delle tratte comprese tra 
nodi connessi (escluse quelle interne); 
-DoY infine restituisce le ammettenze di nodo, in siemens. 
Inoltre vengono predisposte procedure per allocare e 
deallocare dinamicamente vettori e matrici. 
 
3.6.2 IL CALCOLO DEL “LOAD FLOW” 
Il file LOADFLOW.C impiega i seguenti file di input:  
1) LOADFLOW.DAT, con la matrice delle ammettenze, le 
tensioni di stima e le NP potenze note. 
2) NOM_VAL.DAT, che riporta le basi per i valori in p.u.. 
Le procedure sono: 
-CalcoloJacobiano, che ricava J di dimensione NP 
(numero di porte a potenza imposta, cioè treni, punti di 
parallelo e link), i cui elementi sono le derivate parziali delle 
equazioni delle potenze rispetto alle tensioni calcolate nei 
valori iniziali; 
-fPotenze, con cui sono ottenuti i termini del vettore f
o
 in 
J*e  =   f
o
 , del tipo Ax = b; 
15
 
-GaussPivParz, che risolve il sistema suddetto applicando 
il metodo di Gauss con il pivot parziale, fornisce le tensioni 
incognite negli NP nodi e calcola le NV potenze nei nodi a 
tensione costante. 
 
3.6.3 IL CALCOLO DELLE POTENZE E DELLE 
CORRENTI DI RAMO  
L’ultimo file I_P.C elabora i valori delle correnti che 
circolano nei rami della rete e delle potenze che transitano in essi 
in base ai risultati ottenuti con i file precedenti, ovvero le 
ammettenze e le tensioni nei nodi. 
È presente la procedura: 
-DoPramo, che restituisce i valori delle potenze nei rami.