Caratterizzazione della distribuzione del radon (in aria) sul territorio della regione Emilia-Romagna, mediante simulazione geostatistica autoregressiva di fai-k

 6
costruzione di modelli simulati anche in questa branca della 
Geostatistica, poiché in letteratura esistono studi del genere solo per le 
FAI-0 (Funzioni Aleatorie Intrinseche di ordine 0). Prendendo spunto 
dalla Simulazione Sequenziale Gaussiana, sperimentata nel caso 
stazionario, si è cercato di verificare se questa tecnica sia adattabile 
anche all’ambito delle FAI-k, confermando così la sua validità teorica 
e realizzazione pratica. Seguendo le indicazioni fornite dagli autori di 
articoli sulla simulazione sequenziale nel caso stazionario (vedi 
bibliografia) e sperimentando tale tecnica nelle FAI-k, è stato 
implementato un programma di calcolo in grado di eseguire una 
Simulazione Sequenziale Autoregressiva per Funzioni Aleatorie 
Intrinseche fino al grado k=2. Per la verifica dei risultati è stato 
realizzato un altro programma di calcolo, il quale permette un’analisi 
rapida dei risultati per il controllo della congruenza dei dati di 
partenza con i modelli simulati. 
Il secondo obiettivo della tesi è quello di studiare un inquinante 
naturale, il Radon in aria sul territorio dell’Emilia-Romagna, sia con le 
tradizionali tecniche Geostatistiche, sia con la tecnica dei modelli 
simulati costruiti mediante l’uso della Simulazione Sequenziale 
Autoregressiva di FAI-k. Lo scopo dello studio mediante l’uso della 
Geostatistica “tradizionale” è quello di stabilire se esistono delle 
correlazioni spaziali tra le misure eseguite all’interno delle scuole. 
Grazie a tali risultati si è in grado di stabilire se le cause possono 
attribuirsi solo a fenomeni aleatori (es. diversa ventilazione dei locali) 
o anche a fenomeni più concreti, quali il tipo di suolo su cui sorge la 
scuola (o l’edificio) o altre strutture geologiche. L’applicazione dei 
modelli simulati consente di ricostruire la variabilità connessa 
all’incertezza della misura, rendendo possibile l’individuazione di aree 
con maggior probabilità di rischio. 
 7
Capitolo 1 
 
Richiami sulla teoria delle F.A.I.-k 
 
 
1.1 Introduzione 
 
Lo studio di variabili note solo in pochi punti dello spazio è un 
problema che interessa tutte quelle discipline dove l’informazione su 
una variabile è inaccessibile o costosa, per cui le misure/informazioni 
sono molto limitate. Il problema di riuscire a ricavare più dettagli 
possibili dai dati a disposizione non è banale, ed ha da sempre 
appassionato numerosi studiosi. La Geostatistica Lineare riesce a 
risolvere in modo soddisfacente un’ampia classe di problemi. 
 
 
1.2 Variabili Regionalizzate e Funzioni Aleatorie 
 
Un fenomeno naturale distribuito nello spazio è caratterizzato da una 
distribuzione spaziale di un certo numero di quantità misurabili 
chiamate Variabili Regionalizzate. (es.: tenore di un minerale nel 
sottosuolo, temperatura dell’aria in una stanza, ecc.). Per funzioni 
Aleatorie intendiamo un set di variabili casuali Z(x
i
) definite in ogni 
punto dello spazio in esame D: ⊥  Zx x D
i
(),   . La Variabile 
Regionalizzata z(x) è intesa come una particolare realizzazione di una 
Funzione Aleatoria Z(x). Lo studio della Funzione Aleatoria a partire 
da una sola realizzazione (quella che conosciamo in pochi punti dello 
spazio) non è possibile, ma introducendo le ipotesi di stazionarietà e di 
ergodicità è possibile superare i problemi derivanti dall’unicità della 
realizzazione. 
 8
1.3 Funzioni Aleatorie Stazionarie 
 
Una sottoclasse delle Funzioni Aleatorie sono le Funzioni Aleatorie 
Stazionarie, le quali godono della proprietà per cui la legge spaziale 
del processo è invariante per traslazione; l’ipotesi ergodica prevede le 
medie spaziali, calcolate su domini sempre più grandi e tendenti verso 
le speranze matematiche corrispondenti. Quindi in pratica ci 
limiteremo allo studio di funzioni aleatorie stazionarie di ordine 2, 
cioè devono esistere e non dipendere dalle coordinate: 
 
 > ≅
> ≅
EZx m
EZxZx h m Ch
xR
()
()( ) ()
  
     
    
2
 
La stazionarietà della covarianza implica la stazionarietà degli altri 
due momenti secondi: la varianza ed il variogramma. 
 
 > ≅> ≅
 ≅
Var Zx E Zx m C
hEZxhZx CCh
()) (() ) ()
() ( ( ) ()) () ()
      
         
2
2
0
1
2
0 ϑ
 
 
Tali grandezze devono esistere ed essere finite. 
 
1.3.1 Il variogramma 
 
Non conoscendo il valore di z in modo continuo nello spazio occorre 
calcolare un variogramma sperimentale a partire dai dati noti 
utilizzando la formula valida nel caso discreto: 
 
 > ≅ ϑ
*
() ( ) ( )h
N
Zx h Zx
ii
i
N
     
  
 ƒ
1
2
2
1
 
 
che verrà modellizzato cercando di interpolare i punti sperimentali con 
combinazioni di modelli elementari di variogrammi. 
I modelli più comunemente usati sono: pepitico, lineare, sferico, 
esponenziale. 
 9
In tabella sono riportate le caratteristiche dei singoli modelli. 
 
Modello Espressione Condizioni 
Pepitico 
 ϑ  Γ() ()h C h  
0
 
 Γ()
,
.
h
h
h
  
  
 ζ
 ↑
→
 ↓
 
 
 ↵
00
10
 
Lineare 
 ϑ()h C h  
1
 
 
Sferico 
 ϑ
 ϑ
()
()
hC
h
a
h
a
hCs
s
    
 ♣
 ♥
 ♦
 •
 ≠
 ÷
  
3
2
1
2
3
3
 
    
   !
ha
ha
      a: range 
Esponenziale 
 ϑ() ( )hC e
e
h
a
    
  
1  
 
 
 
 
 
Distanza h
 ϑ
Distanza h
 ϑ
Modello pepitico
Modello lineare
 
 
Fig. 1.1: Andamenti dei due modelli Pepitico e Lineare 
 
 10
Distanza h
 ϑ
Modello sferico
Distanza h
 ϑ
Modello esponenziale
 
 
Fig. 1.2: Andamenti del modello Sferico e modello Esponenziale 
 
Distanza h
 ϑ
Modello sferico+pepitico + lineare
Distanza h
 ϑ
Modello pepitico+esponenziale
 
Fig. 1.3: Possibili strutture “imbricate” 
 
 11
 
 
Distanza h
 ϑ
 
Fig. 1.4: Un esempio di modellizzazione: occorre trovare un modello 
congruente e consistente con i dati sperimentali. Il variogramma 
teorico può discostarsi dal variogramma sperimentale perché esso è 
una stima della varianza teorica degli accrescimenti. 
 
 
L’andamento del variogramma riflette il grado di correlazione fra i 
punti in funzione della distanza. Quando, superato il range “a”, il 
variogramma raggiunge il valore limite (Sill), esso corrisponde alla 
varianza della popolazione dei punti. Diversamente dalla funzione 
covarianza non tutti i variogrammi raggiungono un valore limite. La 
relazione che esiste fra covarianza e variogrammi vale: 
 ϑ() () ()h C C h    0  
C h():funzione covarianza 
C():0 funzione covarianza per h=0, cioè Var[Z(x)]. 
 
1.3.2 Anisotropie 
 
Come precedentemente ricordato, h è un vettore per cui il 
variogramma può essere studiato anche in funzione della direzione 
oltre che alla sola distanza. Generalmente le anisotropie si distinguono 
in zonale e geometrica. 
L’anisotropia geometrica si ha quando i variogrammi hanno lo stesso 
sill in tutte le direzioni ma differenti range oppure, se illimitati, hanno 
diversi coefficienti angolari. 
 12
Invece nell’anisotropia zonale il variogramma è la somma di due 
variogrammi, uno di base ed il secondo che dipende dalla direzione 
(es.: ϑ ϑ ϑ Μ() () ( cos )hhh
i
i
z
  ξ ƒ ). 
 
 
1.4 Le F.A.I.-k 
 
Il variogramma è uno strumento che ci consente di svincolarci dallo 
studio della Z(x) proponendo lo studio dei suoi accrescimenti in 
funzione della distanza. Sotto le ipotesi di stazionarietà di ordine 2 
abbiamo: 
 
> ≅
 ≅
EZx h Zx mx m
EZx h Zx xx h h
( ) () ()
(( ) ()) (, ) ()
       
          
2
2ϑ ϑ
 
 
Queste sono delle ipotesi “forti” che, se da un lato ci consentono di 
superare tutta una serie di problemi, dall’altro riducono i campi di 
applicazione di queste metodologie. Esaminiamo, ad esempio, il piano 
di una faglia inclinata o il profilo di un reservoir: in entrambi i casi la 
media delle variabili “z” non è costante ma varia in funzione della 
posizione, ovvero è osservabile una certa deriva o Trend. In oltre 
esistono casi in cui il “Trend” dipende dalla Scala con cui osservo la 
mia variabile; infatti fenomeni stazionari a “grande scala” non lo sono 
a “piccola scala” e viceversa. Con le FAI-k (Funzioni Aleatorie 
Intrinseche di ordine k) è possibile risolvere anche questi problemi 
“filtrando” le derive attraverso superfici piane o quadriche che ci 
riportano allo studio di incrementi stazionari. Il tipo di superficie 
scelta viene indicato con k: k=0 indica un piano orizzontale, k=1 un 
piano inclinato, k=2 una superficie quadrica e così via; nella pratica 
corrente non si supera il grado 2. 
 13
1.4.1 Gli incrementi di ordine k 
 
Un incremento generalizzato di ordine k (IG-k) è una combinazione 
lineare 
 
ZZx
ii
i
n
() ( ) Ο Ο  
  
ƒ
1
 
 
in cui  Ο è un misura autorizzata di ordine k. 
Una misura  Ο che attribuisce dei pesi  Ο
i
 a punti dello spazio a “n” 
dimensioni R
n
 è detta “autorizzata all’ordine k” se annulla i polinomi 
di grado minore o uguale a k: 
 
 Ο
ii
k
x ƒ   0  l=0,k. 
Una funzione aleatoria Z(x) si dice “intrinseca di ordine k” se per ogni 
misura autorizzata  Ο, la funzione aleatoria 
 
Zx Zx x
ii
i
 Ο
 Ο() ( )     ƒ  
 
è debolmente stazionaria in x R
n
   ed ha media nulla, cioè: 
 
 > ≅
 > ≅
EZ x
EZ x K
 Ο
 Ο
 Ο
()
() ()
  
  
0
2
     x R
n
(k () Ο: covarianza generalizzata) 
 
Le FAI-k godono delle seguenti proprietà: 
 ξ  se la proprietà intrinseca è vera all’ordine k, allora è vera anche 
all’ordine k
1
>k, cioè una FAI-k è anche una FAI-(k+1) 
 ξ  una FAI soddisfa la relazione  >  ≅EZ x
 Ο
2
()   φ         Ο 
 14
1.4.2 Le Covarianze Generalizzate 
 
Nel caso stazionario la funzione di autocorrelazione spaziale è il 
variogramma, mentre per le F.A.I.-k è appunto la funzione Covarianza 
Generalizzata, definita come: 
 
 > ≅KEZx() () Ο
 Ο
  
2
 
 
Rispetto al caso stazionario, i pesi delle combinazioni lineari devono 
essere “autorizzati”. In generale la funzione 
 
kh b h
p
p
k
p
p
() ( )    
  
  
  
 ƒ1
1
0
21
 
 
è un modello di covarianza generalizzata di ordine k, sotto certi 
vincoli per i coefficienti b
p
. Le covarianze Generalizzate esprimibili 
sotto quella forma sono dette C.G. Polinomiali. Rispetto al caso 
stazionario è bene mettere in evidenza che questi modelli sono isotropi 
in quanto dipendono dal modulo di h e non dal vettore. 
( hhhh hhhh        
1
2
2
2
3
2
123
r
(, ,)) 
In tabella sono riportati i modelli di covarianza generalizzata più 
comunemente impiegati: 
 
Grado k Covarianza Generalizzata 
0 
K h C bh()    
00
 Γ  
1,2 
kh C bh bh bh h
o s
() ln()       
01
32
 Γ  
 
vincoli: 
 
in R
1
: Cbbb b
s001 01
000
24
 τ τ τ τ  ,,,
 Σ
 
 
in R
2
: Cbbb b
s001 01
000
3
2
 τ τ τ τ  ,,,  
 15
in R
3
: Cbbb
bb
s001
01
000
8
3
 τ τ τ τ  ,,,
 Σ
 
 
 
 
K(h)
K(h)
K(h)
K(h)
h
h
h
h
Lineare Cubico
Pepitico
Spline
 
Fig. 1.5: I modelli di Covarianza Generalizzata impiegati nella 
pratica 
 16
 
 
1.4.3 Determinazione del grado K 
 
Per determinare il tipo di superficie che meglio si adatta al fenomeno 
studiato si stima un punto conosciuto a partire dagli altri n-1 punti per 
diverse ipotesi di grado k (in genere 0, 1, 2) e si ripete questa 
operazione per tutti i punti noti. Conoscendo l’errore che si commette 
ogni volta è possibile stabilire la superficie che meglio interpola il set 
di punti dati. In pratica si interpolano un set di 15-20 punti con la 
superficie in esame, aggiustandola con il metodo dei minimi quadrati 
che, si dimostra, sono una misura autorizzata di ordine k; l’errore 
commesso sarà la differenza tra valore noto e valore assunto dalla 
superficie polinomiale considerata. Questo tipo di operazione è 
influenzato notevolmente dalla scala di lavoro. Studiare la variabile 
sull’intera superficie da cui provengono i dati significa cercare una 
deriva di tipo globale, mentre limitarsi ad aree più piccole significa 
osservare in dettaglio la variabilità spaziale del fenomeno. Occorre 
fare quindi molta attenzione per non attribuire a un trend locale un 
trend di carattere generale e viceversa. La figura 1.6 illustra questo 
concetto. 
 
 
 17
K=2
K=1
K=1
 
 
 
Fig. 1.6 
 
 
Nei rettangoli di figura 1.6 sono messi in evidenza i trend a piccola 
scala, mentre dalla visione d’insieme si può ben notare il trend 
generale di ciascuno degli esempi riportati. La scelta della scala di 
lavoro è un passaggio delicato che condizionerà tutte le successive 
operazioni, quali la stima della covarianza generalizzata nonché la fase 
di stima vera e propria. Occorre quindi prestare la massima attenzione 
agli obiettivi che sono stati posti e a non perdere di vista il fenomeno 
fisico che si sta studiando. Ad esempio la quota di una superficie 
riferita al s.l.m. potrà anche essere negativa, se effettivamente ci 
troviamo in una zona geografica in “depressione”. Invece se si sta 
studiando una grandezza definita positiva, ad esempio una 
concentrazione o uno spessore di una formazione, dal punto di vista 
matematico delle FAI-k esse possono anche risultare negative; infatti 
nessuna condizione di positività era stata posta a livello teorico, ed è 
 18
per questo che non si deve perdere il contatto con il fenomeno fisico 
che si sta studiando. 
 
 
 
1.4.5 Stima dei coefficienti della C.G. 
 
Come nel caso stazionario, si ipotizza che la covarianza possa essere 
considerata come la somma di modelli elementari: 
 
Kh bK h
pp
p
() ()  ƒ  
 
ovvero, utilizzando la notazione sintetica 
 
 >  ≅kh Kx x EZ() ( ) ()    ƒ ƒ
 ∆
 ∆ Ε  ∆  Ε
 Ε
Ο Ο  Ο
2
 
 
con  Ο misura autorizzata che attribuisce dei pesi  Ο
 ∆
 ai punti x
 ∆
 in cui si 
conosce il dato. Uguagliando si ottiene quindi: 
 
 > ≅EZ k bK
pp
() () ()Ο Ο  Ο
2
   ƒ  
 
che in realtà non è che una regressione lineare di  >  ≅Z() Ο
2
 sulle variabili 
K
p
() Ο. Costruendo una serie di misure  Ο autorizzate all’ordine k, è 
possibile determinare il numero dei modelli e quindi i coefficienti b
p
, 
che soddisfano le condizioni sui vincoli sopra menzionati (vedi tabella 
1.1). 
 19
1.5 Il Krigaggio 
 
Noti quindi il grado k e il modello di covarianza generalizzata K(h) 
oppure il variogramma per il caso stazionario, possiamo stimare in 
punti non noti del nostro campo di lavoro il valore della variabile, 
imponendo le seguenti importanti condizioni: 
 ξ  che l’errore di stima sia mediamente nullo (per evitare sovrastime o 
sottostime), ovvero che lo stimatore sia “corretto”. 
 ξ  che l’errore sia il più piccolo possibile, ovvero che lo stimatore sia 
“efficiente”. 
 ξ  che la stima di un punto noto restituisca il valore noto, cioè che lo 
stimatore sia “esatto”. 
Il nostro stimatore è una combinazione lineare dei punti noti: 
 
ZZ
n
0
1
*
  
  
ƒ Ο
 ∆
 ∆
 ∆
 
 
con n= numero di punti noti. Servono quindi n equazioni per 
determinare i pesi necessari alla stima. 
 
1.5.1 Il krigaggio di F.A.St. 
 
Avendo a disposizione un modello teorico di variogramma, ottenuto 
interpolando il variogramma sperimentale dei dati veri con i modelli 
teorici più comuni (vedi 1.3), richiedendo che l’errore commesso sia 
nullo e minimo (vedi 1.5), si possono imporre tante condizioni su pesi 
quanti sono i dati a disposizione per la stima rendendo così possibile 
la loro determinazione analitica. 
La prima equazione deriva dalla prima condizione imposta (di errore 
nullo): 
 
 20
 > ≅EZ Z
mm
n
n
00
1
1
0
0
1
*
   
    
  
  
  
 ƒ
 ƒ
 Ο
 Ο
 ∆
 ∆
 ∆
 ∆
 
 
La condizione di errore minimo si ottiene minimizzando la varianza 
dell’errore di stima: 
 
    
> ≅
EZ Z x x x x
nn
  
    
       
ƒ ƒ 
*
() ()
0
2
0
11
2 Ο ϑ  Ο Ο ϑ
∆ ∆ ∆ Ε ∆ Ε
Ε ∆
  
 
pervenendo al sistema di Krige: 
 
 Ο ϑ  Π  ϑ  ∆
 Ο
Ε ∆ Ε  ∆
 ∆
 ∆
() (); ,xx xx n
n
     
  
 ↑
 →
 °
 °
 ↓
 °
°
ƒ
 ƒ
0
1
1
 
 
 
La varianza di stima diventa: 
 
 ς Ο ϑ  Π
 ∆ ∆k
xx
2
0
  
 ƒ
()