Determinazione di Way-Points per l’approssimazione di una lunga Ortodromia con tratti di Loxodromie

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Introduzione 
Nella realizzazione delle opere dell’ ingegneria civile il rilievo topografico interviene 
in tre diverse fasi: 
a) nella fase della progettazione, per apprestare carte adeguate ed eseguire misu-
re particolari, che consentano una razionale progettazione dell’ opera; 
b) nella fase della costruzione per le operazioni di tracciamento, ovvero per le 
operazioni che consentono di individuare sul terreno i punti caratteristici 
dell’ opera; 
c) ad opera costruita per eseguire collaudi o controlli periodici. 
 
Questi tre punti vanno esaminati singolarmente, ma occorre tenere presente che in 
una corretta pratica operativa i diversi interventi hanno delle basi comuni e che 
attività topografica deve di conseguenza essere opportunamente pianificata nella 
sua interezza dal momento in cui si dà inizio al procedimento di progettazione di 
un’ opera. 
Lo scopo della progettazione è di definire compiutamente un’ opera che possa 
assolvere una determinata funzione su una base di economicità, sia per quanto 
riguarda la realizzazione che per quanto riguarda l’ esercizio. Vanno quindi definiti 
tutti i particolari costruttivi dell’ opera, a volte anche le  modalità di esecuzione, ed 
in particolare ne va valutato il costo. 
La progettazione preliminare conduce ad una prima configurazione dell’ opera in 
relazione alle esigenze che ne richiedono la realizzazione, con valutazione tecniche 
ed economiche che  permettono le prime scelte sulla tipologia, la grandezza 
dell’ opera ed il costo.
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Qualsiasi opera di ingegneria va realizzata sul terreno e quindi all’ atto della 
progettazione va tenuto presente il costo di acquisto; le situazioni che possono esse-
re studiate su mappe adeguate condizionano a volte le scelte della progettazione. 
La prima operazione che si esegue per realizzare un’opera di ingegneria civile è 
quella di tracciare l’ opera sul terreno, si individuano, cioè si materializzano, dei 
punti che individuano (caratterizzano) le linee fondamentali o altre linee delle 
strutture sul terreno. 
Scopo di questa tesi è lo studio di percorsi minimali per il tracciamento di opere di 
ingegneria civile che sono sviluppate essenzialmente in enormi lunghezze, e di cui 
siano stabilite la località estreme terminali dell’ opera. 
Il percorso minimale comporta un notevole risparmio di cammino con evidente 
vantaggio economico, tanto maggiore quanto maggiore è lo sviluppo longitudinale 
dell’opera. 
Per la risoluzione del problema verranno presi in considerazione concetti, defini-
zioni, tecniche grafiche e numeriche di cartografia. 
In particolare verrà adottata la rappresentazione cartografica conforme di Merca-
tore, il percorso ortodromico (o geodetico) di minima distanza tra due punti medi 
avente azimut variabile lungo il suo sviluppo, il percorso loxodromico avente 
l’azimut costante lungo il suo sviluppo e che è in generale più lungo del meno 
comodo operativamente percorso ortodromico. 
Per il calcolo e la determinazione delle caratteristiche numeriche della geometria dei 
percorsi ortodromici e loxodromici, verranno adoperate nozioni fondamentali 
rispettivamente di trigonometria sferica e della Carta di Mercatore. 
Il vantaggio della maggiore economicità del percorso ortodromico verrà realizzato 
individuando su di esso una serie di pochi punti intermedi (Way-Points), suddivi-
dendo così l’ intero percorso ortodromico in un numero contenuto di archi parziali
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ortodromici. Gli archi parziali ortodromici verranno sostituiti con archi di 
loxodromia fra gli stessi estremi, realizzando così un Percorso Poliloxodromico. 
La differenza fra le lunghezze del percorso ortodromico totale ed il corrispondente 
percorso loxodromico risulterà tanto più elevata e significativa quanto maggiore è la 
distanza fra gli estremi dei percorsi. 
Con il programma di calcolo automatico redatto ed implementabile facilmente, 
fornendo in input le coordinate geodetiche (latitudine e longitudine) degli estremi 
dei percorsi, verrà facilmente verificato che occorre un numero limitato di Way-
Points in cui si sviluppa il più economico e facilmente realizzabile percorso 
poliloxodromico.  
Dei Way-Points verranno altresì fornite: le coordinate geodetiche, l’azimut (rotta) e 
la lunghezza degli archi loxodromici parziali, valori indispensabili per la determinare 
la loro ubicazione nel tracciamento dell’opera.
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1. Rappresentazione dell’ ellissoide sul piano 
 
1.1 Applicabilità 
Rappresentare una superficie obiettiva, o una parte di essa, su di  un’altra superficie, 
chiamata subiettiva, significa stabilire tra i punti della prima e quelli della seconda una 
corrispondenza biunivoca. Si procede analiticamente riferendo ciascuna superficie 
ad un proprio sistema di coordinate curvilinee e stabilendo poi le funzioni 
invertibili che legano le coordinate dei punti di una superficie a quelle dei punti 
corrispondenti dell’altra. Secondo i legami che intercorrono tra la superficie 
obiettiva σ e quella subiettiva σ’ si potranno avere delle rappresentazioni in cui i 
singoli elementi geometrici (distanze, angoli e superfici) non subiscono alcuna 
deformazione. Gauss ha dimostrato che la superficie obiettiva non subisce, nel 
passaggio sulla subbiettiva, alcuna deformazione se e solo se entrambe le superfici 
abbiano in ogni punto la stessa curvatura totale C; in tal caso le due superfici si 
definiscono applicabili. Pertanto, indicando con ρ ed N e con ρ’ ed N’ 
rispettivamente i raggi di curvatura principali di due punti P e P’ giacenti sulle due 
superfici, si dovrà verificare che: 
  
 
√  
  
 
√    
                                         (1.1) 
 
Ad esempio, nel caso che si voglia eseguire una rappresentazione passando da un 
ellissoide di rotazione (σ) ad una sfera (σ’), per un’ estensione non superiore a 200 x 
200 Km
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 (rimanendo nel campo sferico), la rappresentazione avverrebbe 
mantenendo inalterati angoli, distanze e superfici, perché la sfera locale ha un 
raggio di curvatura   √  , pertanto è verificata la condizione di applicabilità (1.1). 
Se la superficie subiettiva è il piano, poiché questo ha curvatura totale nulla, cioè
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ρ=∞ e N=∞, le superfici applicabili sul piano, ovvero sviluppabili, dovranno essere 
anch’esse di curvatura nulla ad esempio il cilindro ed il cono, per i quali ρ=finito 
(raggio costante delle circonferenze direttrici per il cilindro e raggio variabile delle 
circonferenze direttrici per il cono) e N=∞ (raggio infinito delle rette generatrici). 
Una rappresentazione grafica dell’ellissoide su di un supporto curvo non è utile a 
fini tecnici, per i quali è invece indispensabile una rappresentazione cartografica e 
cioè su un supporto piano; occorre quindi definire le funzioni tra le coordinate curvi-
linee introdotte sull’ellissoide, latitudine φ e longitudine λ di un punto su tale 
superficie di riferimento, e le coordinate cartografiche Cartesiane x ed y introdotte 
sul piano per individuare la posizione del corrispondente punto. In definitiva, la 
rappresentazione dell’ellissoide sul piano è definita analiticamente dalle funzioni 
continue, invertibili e differenziabili: 
 
{
          
          
                                                (1.2) 
 
Queste funzioni stabiliscono la corrispondenza biunivoca tra la posizione di un 
generico punto P
e 
sull’ellissoide e la posizione del corrispondente punto P
r
 sul 
piano della rappresentazione. In tal modo è possibile riprodurre la planimetria della 
superficie fisica del terreno da cartografare; l’altimetria, invece, può essere 
rappresentata o riportando accanto ad ogni punto la quota rilevata (piano quotato) o 
mediante delle curve di livello che collegano graficamente punti che hanno la stessa 
quota. Poiché la superficie di partenza (obiettiva) è un ellissoide che non ha 
curvatura nulla, ne consegue che tale superficie non è applicabile sul piano, ovvero 
non è sviluppabile. Pertanto le figure contenute sull’ellissoide, nel passaggio sul 
piano, vedranno in tutto o in parte alterate le proprie caratteristiche, quindi qualsiasi 
rappresentazione cartografica dell’ellissoide di riferimento è deformata.
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Si hanno le rappresentazioni cartografiche conformi o isogoniche se le figure 
infinitesime ellissoidiche risultano simili alle corrispondenti figure infinitesime sul 
piano della carta, a meno di infinitesimi di ordine superiore, con un rapporto di 
similitudine che necessariamente dovrà variare da punto a punto, e quindi non si 
hanno deformazioni angolari. Nelle rappresentazioni cartografiche equivalenti è 
costante in ogni punto il rapporto tra le aree di due figure infinitesime 
corrispondenti e quindi non si hanno deformazioni areali delle figure. Queste 
rappresentazioni sono molto utili per le mappe catastali in quanto consentono una 
corretta valutazione delle aree. Non è possibile avere una rappresentazione 
cartografica che sia contemporaneamente conforme ed equivalente perché non vi 
sarebbe nessuna deformazione e ciò è impossibile in quanto la superficie 
ellissoidica, come già detto in precedenza, non è applicabile sul piano. Infine, nelle 
rappresentazioni afilattiche sono presenti sia le deformazioni angolari che quelle 
areali, mantenute però entro limiti accettabili in funzione della scala della carta.  
 
 
 
 
1.2  Classificazione delle carte 
Le relazioni (1.2) che definiscono analiticamente una rappresentazione cartografica 
possono essere ricavate proiettando, da un determinato punto di vista detto centro di 
proiezione, i punti dell'ellissoide su una superficie subiettiva sviluppabile (cono, 
cilindro) opportunamente disposta rispetto alla superficie obiettiva ellissoidica; 
spianando tale superficie sviluppabile si ottiene il piano della rappresentazione 
cartografica senza deformazioni rispetto alla superficie subiettiva ma con le 
deformazioni della prima proiezione. In altre parole proiettando la superficie 
ellissoidica sulla superficie applicabile sul piano (cono, cilindro) si hanno delle