Introduzione
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Introduzione
I componenti meccanici utilizzati nelle costruzioni industriali possono presentare una
grande varietà di intagli aventi geometrie diverse (raccordati, a spigolo vivo, con fori
circolari, ecc..) i quali possono in certi casi portare alla rottura del componente poiché
perturbano la distribuzione nominale di tensione. I parametri geometrici di un intaglio
che risultano essere più importanti per lo studio del campo tensionale sono: il raggio di
raccordo all’apice dell’intaglio ρ, l’angolo di apertura 2α, la semi-ampiezza dell’intaglio
a e lo spessore del componente t. In Fig.1 e 2 sono riportati i parametri geometrici
dell’intaglio e le coordinate di riferimento.
Figura 1 Parametri geometrici dell’intaglio
r
rr
r
y
x
2
Figura 2 Coordinate polari di riferimento
Introduzione
2
Al variare dei parametri riportati in precedenza potranno essere individuate numerose
configurazioni di interesse, in particolare nel suddetto elaborato saranno investigati
intagli raccordati e a spigolo vivo (V).
La tesi ha come oggetto di studio l’analisi degli effetti tridimensionali legati
all’applicazione di sollecitazioni di Modo II e Modo III ad una piastra indebolita da
intagli con differenti angoli di apertura. In particolare si valuterà la presenza di tensioni
di Modo O generate dallo scorrimento dei lembi di una cricca o di un intaglio acuto, per
effetto del coefficiente di Poisson. Tali tensioni risultano singolari e agiscono in un
intorno finito dall’apice dell’intaglio. Queste singolarità risulteranno non trascurabili
nelle verifiche a rottura dei componenti, si andrà dunque a calcolare l’intensità delle
tensioni “out of plane” nei punti critici dei componenti studiati. Si studierà inoltre la
dipendenza delle tensioni indotte dall’angolo d’apertura dell’ intaglio e dal coefficiente
di Poisson con lo scopo di valutarne gli effetti nell’andamento delle tensioni. Nelle
analisi numeriche riguardanti il calcolo degli autovalori associati ai Modi II e III si è
farà riferimento alla trattazione di Williams (1952) [15] il quale, risolvendo un
problema di autovalori, determinò la pendenza dei campi tensionali nel caso in cui si
abbia carico di Modo I e II. Per quanto riguarda l’autovalore relativo al Modo III, è stato
ricavato di recente da Noda e Takase [13].
Per capire meglio il significato dei vari modi di carico (I,II e III) si può fare riferimento
alla Fig.3, la quale illustra a quali sollecitazioni può essere soggetto un componente
indebolito da intagli.
Modo I (opening mode) Modo II (sliding mode) Modo III (shear mode)
Figura 3 Modi di sollecitazione
Introduzione
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Williams elaborò la tabella omonima contenente tutti gli autovalori associati ai rispettivi
modi di applicazione per una serie di angoli di apertura dell’intaglio; in Tabella 4 è
mostrato quanto ricavato da Williams:
2(gradi)
1
3
0 0.5000 0.5000 0.5000
15 0.5002 0.5453 0.5217
30 0.5015 0.5982 0.5455
45 0.5050 0.6597 0.5714
60 0.5122 0.7309 0.6000
75 0.5247 0.8132 0.6316
90 0.5445 0.9085 0.6667
105 0.5739 1.0193 0.7059
120 0.6157 1.1489 0.7500
135 0.6736 1.3021 0.8000
150 0.7520 1.4858 0.8571
165 0.8573 1.7113 0.9231
180 1.0000 2.0000 1.0000
Tabella 4 Autovalori per modi di carico I,II e III
Oltre al lavoro di Williams, nel presente lavoro di tesi si farà uso dell’approccio di
campo per valutare l’intensità dei campi tensionali usando gli N-SIFs (fattori di
intensificazione delle tensioni per l’intaglio) formulati da Gross-Mendelson [12] validi
in prossimità dell’apice dell’intaglio.
Eq.1
Eq.2
Eq.3
Tutte le analisi svolte saranno eseguite con il programma di calcolo ANSYS il quale
consente, attraverso la discretizzazione del materiale in un numero finito di elementi, di
simularne il comportamento in funzione dei diversi carichi e calcolare le tensioni che
nascono sul componente nei vari punti.
Introduzione
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Il primo capitolo riguarderà la revisione dello studio sulle singolarità svolto da Pook [1]
mentre il secondo capitolo tratterà l’esistenza del Modo O in piastre tridimensionali con
fori circolari ed ellittici (Berto-Marangon, [11]). Nel terzo capitolo saranno illustrati i
risultati principali riguardanti piastre raccordate soggette a Modo II; in particolare si
discuterà il nascere delle tensioni “out-of-plane” di Modo O e l’influenza dello spessore
t nell’andamento del campo di tensione. Nel quarto capitolo ci si soffermerà sull’analisi
tridimensionale di piastre non raccordate ma aventi intagli a spigolo vivo, a “V”; anche
in tale capitolo si valuteranno le tensioni e le singolarità di interesse, in particolare ci si
concentrerà sul Modo O indotto e sui valori degli autovalori λ
2,3
. Inoltre si documenterà
l’effetto della variazione della grandezza geometrica spessore e del coefficiente di
Poisson nell’andamento del campi di tensione.
I capitoli cinque e sei tratteranno un aspetto nuovo, ossia la nascita di modi indotti in
piastre aventi intagli a “V” soggette a Modo III; si discuteranno gli effetti dovuti a tale
sollecitazione, le tensioni nascenti, le relative singolarità e gli effetti della modulazione
dello spessore e del coefficiente di Poisson . Nel capitolo cinque si opererà in regime
lineare elastico, attuando degli opportuni confronti con la trattazione di Williams,
mentre nel capitolo sei, conclusivo, si lavorerà in regime elasto-plastico tenendo conto
del reale comportamento del materiale, discutendo gli effetti principali che ne
deriveranno. Per l’ultimo capitolo si prenderà come oggetto di confronto il lavoro svolto
da Zambardi [14].
Capitolo 1 Effetti dei campi di tensione in piastre indebolite da intagli
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Capitolo 1
EFFETTI DEI CAMPI DI TENSIONE IN PIASTRE
INDEBOLITE DA INTAGLI
1.1 INTRODUZIONE
In letteratura si parla di singolarità qualora lo stato tensionale in un punto del modello
risulti essere non limitato e tendente a ±∞. Se il modello presenta una singolarità, è
possibile valutare lo stato di tensione solo ad una distanza finita da quest’ultima. Si
rinuncia quindi, di fatto, a conoscere lo stato di tensione in tutto un intorno del punto
singolare. Molto importante è lo studio del campo tensionale e delle singolarità nei
modelli criccati, e comprendere la relazione con i parametri geometrici della cricca.
La natura delle singolarità di una cricca cambia in prossimità del punto in cui la cricca
interseca la superficie libera; l’esistenza di questo tipo di problematiche è noto da tempo
ma trovare un’adeguata rappresentazione matematica non è semplice.
La determinazione dei punti di singolarità assume un ruolo molto importante qualora il
nostro componente è soggetto a carichi misti (modo II e modo III).
1.2 ANALISI MATEMATICA
E’ già noto in letteratura che il campo di tensione nelle vicinanze di una cricca può
essere descritto dal fattore di intensificazione delle tensioni. In generale si ha:
Eq.1-1
Capitolo 1 Effetti dei campi di tensione in piastre indebolite da intagli
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Dove σ rappresenta la componente di tensione, r e θ le coordinate polari centrate
sull’apice dell’intaglio. In Fig.1-1 si può notare il modello rappresentativo della
trattazione:
r
rr
r
y
x
2
Figura 1 –1 Tensioni in coordinate polari all’apice dell’intaglio
Lo spostamento in direzione y, definito come v, è dato da:
Eq.1-2
E rappresenta il modulo di Young. L’Eq. 1-2 implica che un carico di Modo I comporta
un’apertura della cricca di tipo parabolico con raggio finito all’apice dell’intaglio.
In generale per il Modo I il fattore di intensificazione delle tensioni è dato da:
Eq.1-3
Y è un fattore correttivo geometrico, σ la tensione nominale perpendicolare alla cricca e
a la lunghezza della cricca.
Le analisi su cui si basa il fattore di intensificazione delle tensioni sono di tipo bi-
dimensionale e il fronte della cricca è un punto mentre, quando le analisi vengono estese
a tre dimensioni, il fronte della cricca diventa una linea; si assume implicitamente che il
fronte della cricca sia continuo. Come descritto anche in seguito, questa assunzione non
Capitolo 1 Effetti dei campi di tensione in piastre indebolite da intagli
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è vera nel punto in cui il fronte della cricca interseca la superficie libera e le singolarità
in questo punto cambiano.
Il modello di riferimento tri-dimensionale diventa quello di Fig.1-2, in cui le coordinate
diventano di tipo sferico con origine nell’apice della cricca. L’angolo ϕ è misurato dal
fronte della cricca.
Figura 1-2 Modi di carico e coordinate di riferimento.
Le equazioni di interesse hanno la seguente forma:
Eq.1-4
Eq.1-5
Eq.1-6
Dove λ è l’autovalore che definisce la singolarità.
Gli spostamenti dovuti ai modi II e III non possono esistere separatamente in prossimità
dell’apice della cricca, in quanto il coefficiente di Poisson ( ) mette in relazione i due
modi; ciò comporta che l’applicazione di un modo induce l’altro. In sostanza i modi II e
III sono strettamente collegati.
Capitolo 1 Effetti dei campi di tensione in piastre indebolite da intagli
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All’interno della regione in prossimità del punto in cui la cricca incontra la superficie
libera (punto d’angolo, corner point) è possibile definire il fattore di intensificazione
delle tensioni solo in senso asintotico; in altre parole la regione in cui il fattore di
intensificazione delle tensioni provvede ad una descrizione ragionevole tende a zero in
prossimità di tale punto. Un comportamento preciso dipende dal coefficiente di Poisson
e dall’angolo di inclinazione del fronte della cricca. Se l’angolo è piccolo il fattore di
intensificazione delle tensioni tende a zero nel corner point, mentre se è grande tende ad
infinito. Al valore critico dell’angolo, K assume un valore finito e l’autovalore λ è pari a
0,5.
Più ci si avvicina alla superficie libera, più il rapporto K
III
/K
II
(rapporto tra i fattori di
intensificazione nel caso di modo III e II) tende ad un valore finito, funzione del
coefficiente di Poisson e dell’angolo di inclinazione del fronte della cricca nella
superficie. Per =0.3 e il fronte perpendicolare alla superficie il rapporto risulta essere
pari a 0.5. Nelle Fig.1-3, 1-4 e 1-5 si possono notare i grafici che relazionano λ con ,
l’angolo di intersezione con e λ con l’angolo di intersezione.
Figura 1-3 Effetto del coefficiente di Poisson su λ.
Capitolo 1 Effetti dei campi di tensione in piastre indebolite da intagli
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Figura 1-4 Effetto del coefficiente di Poisson sull’angolo di intersezione
Figura 1-5 Effetto dell’angolo di intersezione su λ.
Capitolo 1 Effetti dei campi di tensione in piastre indebolite da intagli
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La Fig.1-3 mostra l’effetto del coefficiente di Poisson su λ, con l’angolo di intersezione
pari a 90° e per i vari Modi applicati. La Fig. 1-4 mostra che per λ=0.5 l’angolo di
intersezione aumenta con υ per il Modo I e decresce per i Modi II e III.
La Fig.1-5 mostra che per il Modo I, con =0.3, λ aumenta con l’angolo di intersezione.
1.3 ASPETTI DI MODELLAZIONE DELLA CRICCA
Molte delle cricche presenti nei componenti sono modellate come un semi-elisse
perpendicolare alla superficie e con l’asse maggiore lungo la superficie del corpo.
Si assume quindi che la superficie della cricca sia di forma ellittica.
Per capire meglio si può fare riferimento alle Fig.1-6:
Figura 1-6 Superficie semi-ellittica della cricca.
Il parametro a rappresenta la lunghezza della cricca. Da considerazioni energetiche e
non solo [1] è ben consolidato il fatto che il fronte della cricca deve intersecare la
superficie ad un angolo critico per la quale λ=0.5. Di importanza pratica sono i casi in
cui si applichi il Modo I e il coefficiente di Poisson sia pari a 0.3, in questo caso
l’angolo risulta essere 100,4° mentre per i casi con Modo II e Modo III è 67.0° (si può
notare anche nella Fig.1-4 soprastante).
Tuttavia altri studi [2] riguardanti l’angolo critico per i Modi II e III sembrano suggerire
che il modello con superficie semi-ellittica della cricca potrebbe non essere
adeguatamente realistico; un ulteriore modello, più adeguato, potrebbe essere quello a
superficie con parte-ellittica simmetrica, come si può osservare nella Fig.1-7.
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