La prezzatura di opzioni americane in mercati di Lévy

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          CAPITOLO 1 
 
Il modello di Black-Scholes 
    
Nella prima parte di questo capitolo viene introdot to brevemente il 
modello principalmente utilizzato per calcolare i p rezzi di numerosi 
prodotti finanziari:il modello di Black-Scholes. Esso si basa però su 
alcune ipotesi che si sono dimostrate non coerenti con la realtà dei 
mercati finanziari. Tra queste si possono elencare la continuità dei 
processi di prezzo, l’assenza di costi di transazio ne, la distribuzione 
normale e indipendente dei rendimenti e la volatili tà costante dei 
processi di prezzo. 
Nella seconda parte invece vengono spiegati le impe rfezioni del 
modello, le quali sono legate al fatto che il proce sso sottostante sia 
un Moto Browniano.  A dimostrazione di questo basta osservare il 
volatility smile , che mostra come il modello di Black-Scholes , in molti 
casi, non sia sufficientemente predittivo soprattut to per opzioni con 
prezzo di esercizio lontano dal prezzo del sottosta nte, al tempo della 
valutazione. 
 
1.1 Il modello di Black-Scholes  
Agli inizi degli anni ’70, Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton 
(1973) diedero un fondamentale contributo alla teoria di v alutazione 
delle opzioni, sviluppando il  cosiddetto modello d i Black-Scholes . 
Tale modello può essere fatto risalire al 1973 quan do Black e Scholes 
nel celebre articolo “ The Pricing of Options and Corporate Liabilities” , 
assumevano che il prezzo di tali beni doveva seguir e un processo di
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tipo diffusivo, in particolare un Moto Browniano Ge ometrico (GBM), 
il cui termine di drift e la volatilità sono assunte come delle costanti 
deterministiche. Tale modello è stato il primo tent ativo di un certo 
rilievo nel descrivere matematicamente i mercati fi nanziari ed è stato 
per molti anni largamente utilizzato per calcolare i prezzi di numerosi 
prodotti finanziari. 
 
1.1.1  Ipotesi del modello 
Senza entrare nel dettaglio di derivazione della fo rmula di Black-
Scholes  si cercherà di seguito di riassumere le ipotesi e i parametri 
alle base del modello. Tale modello si base su alcune ipotesi che gli 
autori stessi definiscono “ condizioni ideali sia del mercato delle 
azioni, che di quello delle opzioni ”. 
Si ipotizza che: 
• Il prezzo del bene sottostante segue una distribuzi one di probabilità di 
tipo lognormale. 
• È consentita la vendita allo scoperto del sottostan te, come dello 
strumento derivato. 
• Durante la vita dell’opzione il tasso d’interesse ( nullnull e la volatilità ( nullnull 
si mantengono costanti nel tempo: in realtà essi possono variare in 
tempi relativamente brevi,ma comunque tali variazio ni non si 
riflettono in maniera significativa sul prezzo dell ’opzione.  
• Non sussistono costi di transazione, tassazione o f rizioni di altro tipo 
nel mercato: i titoli sono perfettamente divisibili 
• Le azioni sottostanti non pagano dividendi durante la vita 
dell’opzione: questa ipotesi può essere trascurata se i dividenti sono 
noti in partenza ovvero sarà sufficiente sottrarre il valore di un 
dividendo futuro dal prezzo dell’opzione.
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• Non sono ammesse opportunità di arbitraggio: l’assenza di 
opportunità di arbitraggio implica che tutti i port afogli senza rischio 
ottengono lo stesso profitto. 
• Le negoziazioni avvengono in tempo continuo: questa naturalmente è 
un’idealizzazione della situazione reale. 
• È permesso lo short selling e non esistono lotti mi nimi di 
negoziazione: Il mercato permette che gli operatori possano 
concludere contratti di compravendita di una opzion e senza che il 
writer o l’holder , rispettivamente  di una call o di una put, siano 
titolari al momento della stipula del contratto del la proprietà del 
sottostante. 
Il modello inoltre permette di valutare un’opzione sulla basi di alcuni 
parametri: 
• S è il prezzo corrente del bene sottostante 
• t è il tempo 
• null è la volatilità del titolo sottostante 
• K è il prezzo di strike 
• r è il tasso free-risk 
• T è la data di scadenza dell’opzione 
 
1.1.2  L’equazione di Black-Scholes 
Nel modello di Black e Scholes sono presenti due titoli scambiabili. 
Consideriamo l’orizzonte temporale [0,T], identifica ndo con nullnull0 
l’istante iniziale. 
Il primo titolo, che prende il nome di money market account, prevede 
la presenza di un titolo privo di rischio, la cui d inamica è governata da 
un processo null null null null ed è completamente deterministica:
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                                      nullnull null null null null nullnull null null null nullnull                                             (1.1) 
 
dove null è il rendimento del titolo privo di rischio e viene considerato 
costante. 
Il secondo titolo scambiabile, null
null
,  segue un Moto Browniano 
Geometrico se soddisfa la seguente equazione differ enziale 
stocastica: 
                                    nullnull
null
nullnullnull
null
nullnullnull nullnull
null
nullnull                                      (1.2) 
dove µ e σ sono costanti e null
null
 è un Moto Browniano Standard.  
 
Definizione 1.1  Un moto browniano è un processo stocastico 
{null
null
,nullnull0null che parte da 0 quasi certamente, cioè null null null
null
null0 null null1, con 
le seguenti proprietà: 
• È un processo  con incrementi indipendenti: null
null
nullnull
null
 è indipendente da 
null
null
nullnull
null
 quando null null,null null null null null,null null nullnull; 
 
• È un processo con incrementi stazionari, cioè la di stribuzione di 
null
null
nullnull
null
, nullnullnullnull0, dipende solo dalla differenza nullnullnull, ma non da 
null null null separatamente; 
 
• È un processo con incrementi gaussiani, cioè null
null
nullnull
null
~null null 0,nullnullnull null .
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1 .0 -0 .5 0 .0 0 .5 1 .0
il moto Browniano
t
B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 Traiettorie di un moto browniano 
 
 
 
Figura 1.2 Traiettorie di un moto browniano geometrico 
 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8
geometric Brownian motion
ti
S
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In questo caso notiamo che il rendimento dello stoc k è composto da 
due componenti: una deterministica governata dal co efficiente di 
drift µ ed una stocastica governata dal coefficient e σ, detto volatilità 
e proporzionale ad un Moto Browniano. 
Dall’ipotesi che i prezzi siano descritti attravers o un Moto Browniano 
Geometrico e sulla base del lemma di Itô discende un’importante 
proprietà: il logaritmo del prezzo azionario si dis tribuisce in modo 
normale e quindi le quotazioni azionarie seguono un a distribuzione di 
probabilità di tipo lognormale. 
È da notare che l’equazione (1.2) può essere scritt a come: 
                                      
nullnull
null
null
null
= nullnullnullnull nullnullnull
null
.                                            (1.3) 
Inoltre, se la dinamica del sottostante null
null
 è rappresentata dalla (1.2), 
si può affermare che la variabile null, ovvero il prezzo di una call o di un 
altro derivato che dipende da null ,deve essere una certa funzione di  
null null null .  
Pertanto: 
         nullnullnullnull
nullnull
nullnull
nullnullnull
nullnull
nullnull
null
null
null
null
null
null
nullnull
null
null
null
null
null
nullnullnullnull 
nullnull
nullnull
nullnullnullnull                     (1.4) 
dove nullnull è lo stesso Moto Browniano Standard presente 
nell’equazione che regola il sottostante. 
Essendo i prezzi dell’opzione e dell’azione sottost ante descritti 
rispettivamente dall’equazioni (1.2) e (1.4), le va riazioni discrete di 
tali valori sono 
                                         nullnull
null
nullnullnull
null
∆ null
nullnullnull
null
∆null                                (1.5)    
         
e
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               ∆ null
nullnull
nullnull
nullnull
nullnullnull
nullnull
nullnull
+ 
null
null
null
nullnull
null
null
null
null
null
) ∆ null
null 
nullnull
nullnull
nullnull∆null                         (1.6) 
dove ∆null null ∆null sono le variazioni di null null null e S in un piccolo intervallo di 
tempo, ∆null .               
 
1.1.3 Hedging 
La procedura di hedging (copertura) consiste nel risolvere il seguente 
problema: dato un derivato, si costruisca un portaf oglio formato dal 
sottostante e dal titolo privo di rischio che abbia lo stesso valore in 
ogni istante temporale. Tale portafoglio garantireb be la replicazione, 
ovvero la possibilità di detenere un attivo finanzi ario del tutto 
equivalente al derivato, ma utilizzando i due titol i che costituiscono il 
modello di Black-Scholes. 
Nel loro lavoro originale del 1973, Black e Scholes costruirono un 
portafoglio neutrale al rischio, costituito dall’op zione stessa più una 
certa quantità ∆ delle azioni sottostanti l’opzione.  
 Il portafoglio fittizio di valore ∏ nullnull nullnull0 che replica il flusso di cassa 
della call  è dato da: 
                      ∏nullnullnullnull
nullnull
nullnull
null                                            (1.7) 
dove 
nullnull
nullnull
 è il delta dello strumento derivato e prende il no me di 
∆nullnullnullnullnullnullnullnull. 
Possiamo inoltre affermare che il delta esprime la variazione 
infinitesimale dei prezzo del derivato per unità di variazione del 
prezzo del sottostante. 
La variazione, ∆∏ , del valore del portafoglio nell’intervallo di temp o 
∆null è data da
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                                  ∆∏ =nullnull
nullnull
nullnull
null
null
null
nullnull
null
null
null
null
null
null
null∆null .                                 (1.8) 
 
L’espressione mostra chiaramente che il portafoglio è privo di rischio 
durante l’intervallo di tempo ∆null, in quanto è stata eliminata la fonte 
d’incertezza costituita da nullnull. 
La strategia di hedging mira quindi a neutralizzare l’effetto stocastico 
di un derivato; la somma del portafoglio replicante e del derivato ha 
valore zero in ogni istante. 
Dunque dov’è la convenienza dell’operazione? 
Per un intermediario finanziario, il guadagno deriva dalla vendita 
dell’opzione ad un prezzo superiore a quello teoric o per la presenza 
di un margine di intermediazione. 
Tale margine infatti rappresenta il costo del servi zio finanziario; 
poiché tale servizio riguarda un evento dall’esito incerto, è possibile 
che il guadagno non sia sufficiente a coprire le potenziali perdite.  
Quando tale margine viene reinvestito nella strateg ia di hedging per 
realizzare un portafoglio completamente immunizzata , gli 
intermediari riescono a trasformare un bilancio pos itivo, ma 
stocastico in un bilancio positivo ma certo. 
Per questo motivo si può scrivere che 
                                                      ∆∏=null∏∆null                                           (1.9) 
dove null è il tasso d’interesse privo di rischio. 
Sostituendo in questa espressione i valori della  ( 1.7) e (1.8) 
otteniamo  
                    nullnull
nullnull
nullnull
null 
null
null
null
null
null
nullnull
null
null
null
null
null
null∆nullnullnullnullnullnull
nullnull
nullnull
nullnull∆null                   (1.10)
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cosicchè 
                             
  nullnull
nullnull
null
null
null
null
null
null
null
null
null
null
nullnull
null
nullnullnull
nullnull
nullnull
nullnullnull                             (1.11) 
che costituisce l’equazione di Black-Scholes , ovvero un’equazione alle 
derivate parziali di tipo parabolica.  
La formula di Black-Scholes fornisce il valore esatto di una call o put 
europea, mentre le opzioni americane non hanno solu zione in forma 
chiusa. 
Il prezzo della call e della put Europea, rispettivamente null
nullnull
null
 null null
nullnull
null
 
,che non pagano dividendi e attualmente scambiati al prezzo S, 
possono essere calcolati dalla formula di Black-Scholes : 
                       null
nullnull
null
nullnullnull null null
null
null nullnullnull
nullnullnull
null null null
null
null                                   (1.12)           
                      null
nullnull
null
nullnullnull
nullnullnull
null null nullnull
null
null nullnullnull null nullnull
null
null                             (1.13)                         
dove nullnullnullnull denota la funzione di distribuzione cumulativa del la 
distribuzione della normale standard, T è la durata dell’opzione e  
null
null
null
lnnull
null
null
nullnullnullnullnull
null
null
2
nullnull
null √ null
 
 e 
null
null
nullnull
null
nullnull √ null 
dove S è il prezzo corrente dell’azione . 
Applicando quindi la formula di Itô, si può dimostrare che la soluzione 
dell’equazione differenziale stocastica è 
                                      null
null 
= null
null
null
nullnullnull
null
null
null
null
nullnullnullnullnull
null
  ,                                    (1.14)
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pertanto null
null
 è distribuito secondo una densità di probabilità 
lognormale con media ( μnull
null
null
null
nullnull e varianza null
null
null. 
 
1.1.4 La valutazione neutrale verso il rischio 
La valutazione neutrale verso il rischio è senza du bbio lo strumento 
più importante per l’analisi dei derivati. Essa tra e origine infatti da 
una proprietà fondamentale dell’equazione (1.11) di Black-Scholes , 
dove non figura il tasso di rendimento atteso dell’ azione,ma le 
variabili che appaiono sono il prezzo corrente dell ’azione, il tempo, la 
volatilità dell’azione e il tasso d’interesse privo di rischio. Tutte 
queste variabili quindi non dipendono dalla propens ione al rischio 
degli investitori, mentre il tasso di rendimento at teso dell’azione, µ, 
dipende dalla propensione al rischio: più elevata è l’avversione al 
rischio degli investitori, più elevato sarà il tass o di rendimento atteso 
a ogni titolo. 
Se è vero il fatto che la propensione al rischio no n figura 
dell’equazione differenziale, possiamo allora affer mare che essa non 
può influenzare neanche la soluzione. 
Secondo il principio della valutazione neutrale al rischio quindi, ogni 
derivato che dipende dal prezzo di un’azione può es sere valutato 
assumendo che gli operatori siano neutrali al risch io. 
Ciò porta ad affermare che il tasso di rendimento a tteso dell’azione è 
uguale al tasso d’interesse privo di rischio,attual izzando il valore 
atteso a scadenza del derivato in base al tasso d’i nteresse privo di 
rischio.
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1.2  Limiti del modello di Black-Scholes 
Il modello di Black-Scholes , pur avendo notevoli pregi, ha evidenziato 
diversi problemi soprattutto nel momento di compara re i prezzi dei 
titoli osservati sul mercato con quelli ricavati da ll’applicazione del 
modello.  
 
1.2.1  La Volatilità implicita e Volatility smile 
La volatilità di un titolo finanziario fornisce la misura della variabilità 
dei suoi rendimenti, in particolare, il valore dell a volatilità di un titolo 
sottostante che eguaglia il prezzo dell’opzione al suo valore di 
mercato è definito volatilità implicita. La volatil ità implicita può 
certamente essere calcolata utilizzando i dati stor ici, ma rimane 
comunque una grandezza non direttamente quotata dal mercato. Di 
fatto la formula di BS viene utilizzata dal mercato per ricavare, 
partendo dalle quotazioni delle opzioni trattate re golarmente, il 
valore della volatilità che dovrebbe avere il sotto stante per produrre 
il prezzo osservato. Pertanto la volatilità implici ta dovrebbe essere la 
stessa per opzioni call at-the-money 1
, in-the-money 2
 e  
                                                           
1
 L’espressione “ in the money ” viene utilizzata per indicare l’eventualità in cu i il 
buyer di un’opzione avrebbe convenienza ad esercita re il diritto garantito 
dall’opzione se fosse alla scadenza. Nel caso di un ’opzione call, le opzioni sono 
definite in the money in presenza di un prezzo di esercizio inferiore al prezzo di 
mercato ( null nullnull
null
null ; nel caso di un’opzione put, le opzioni sono defi nite in the 
money in presenza di un prezzo di esercizio superio re al prezzo di mercato 
(null nullnull
null
null . 
 
2
 L’espressione “ out of the money ” indica l’eventualità in cui il buyer di un’opzion e 
non avrebbe convenienza ad esercitare il diritto ga rantito dall’opzione se fosse alla 
scadenza. Nel caso di un’opzione call, le opzioni s ono definite out of the money in 
presenza di un prezzo di esercizio superiore al pre zzo di mercato ( null nullnull
null
null .; nel 
caso di un’opzione put, le opzioni sono definite ou t of the money in presenza di un 
prezzo di esercizio inferiore al prezzo di mercato (null nullnull
null
null .
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out of-the-money 3
. 
Per testare quindi la validità del modello di Black-Scholes , si possono 
osservare i prezzi di mercato di più opzioni call europee con la stessa 
scadenza e scritte sul medesimo sottostante, con di verso prezzo di 
strike. 
Se il modello di BS fosse corretto, ci si dovrebbe aspettare un valore 
di sigma implicito indipendente, ad esempio, dallo strike price delle 
opzioni considerate e quindi, costruendo un grafico della volatilità 
implicita in funzione del prezzo di strike, dovremm o ottenere una 
linea orizzontale, questo perché la volatilità è un a proprietà del 
sottostante e non dell’opzione. Tuttavia però,  questa speranza viene 
disattesa dall’osservazione empirica, in quanto la volatilità presenta 
spesso un andamento non costante: per valori di null bassi rispetto ad 
nullnullnullnull (opzioni out of the money) e per null alti rispetto ad nullnullnullnull (opzioni 
in the money), si osservano volatilità implicite pi ù alte che per null 
vicino ad nullnullnullnull (opzioni at the money). 
La volatilità implica suggerisce che la distribuzio ne percepita dagli 
attori del mercato ed implicitamente incorporata ne l prezzo delle 
opzioni stesse sia asimmetrica e deformata negativa mente (cioè 
leptocurtica con una coda verso i valori negativi), in contrasto con la 
distribuzione simmetrica e leggermente positiva che caratterizza il 
modello di Black-Scholes.  
La volatilità implicita delle opzioni quindi in funzione del prezzo di 
esercizio viene chiamato “ volatility smile ” ed è generata dal fatto che 
                                                           
3
 L’espressione “ at the money ” viene usata per riferirsi all’eventualità in cui il buyer 
si trova in una posizione di indifferenza in merito alla vendita o all’acquisto 
dell’attività sottostante, essendovi coincidenza tr a prezzo di esercizio e prezzo di 
mercato ( null nullnull
null
null .
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spesso le opzioni in-the-money e out-of-the money hanno una 
volatilità implicita maggiore rispetto alle opzioni at-the-money.  
Questo andamento appena descritto è visibile grafic amente 
attraverso un esempio. 
 
Figura 1.3  Esempio del volatility smile del titolo Cisco: la v olatilità implicita come 
funzione del prezzo di esercizio per una determinat a data di scadenza T. La linea blu 
tratteggiata è il prezzo corrente dell’attività sot tostante, mentre σ è il valore della 
volatilità storica. 
 
Ci sono varie spiegazioni per il fenomeno del volatility smile . Alcune 
sono legate alle ipotesi idealizzate del modello di Black-Scholes 
secondo il quale il prezzo delle attività segue un moto browniano 
geometrico con volatilità costante. 
Di solito, lo smile è significativo per le opzioni a breve scadenza e 
tende ad essere piatto per quelle a lunga scadenza. Inoltre, la 
pendenza dello smile decresce all’aumentare della s cadenza . La 
presenza dello smile tuttavia è generalmente attrib uita ai timori da 
parte del mercato di futuri deprezzamenti significat ivi delle 
quotazioni. 
14 16 18 20 22
0 .4 0 .5 0 .6 0 .7
volatility smile
K
s o l
σ
^
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Il fenomeno del volatility smile è comunque soltanto una delle 
evidenze degli scostamenti dei prezzi osservati sul mercato rispetto a 
quelli teorici: le code delle distribuzioni osserva te risultano più “alte” 
di quelle teoriche, gli incrementi non risultano indipendenti nel 
tempo e il logaritmo del prezzo dei titoli azionari si discosta spesso 
notevolmente da una distribuzione normale.  
Queste evidenze hanno quindi portato a rigettare o indebolire alcune 
ipotesi alla base del modello di Black-Scholes, nel tentativo di 
costruire approssimazioni più vicine alla realtà. I n particolare uno dei 
problemi che il modello di B-S possiede consiste ne l fatto che è stato 
osservato come i prezzi  logaritmici degli indici non abbiano la 
distribuzione ipotizzata poiché presentano asimmetr ie e un livello di 
kurtosi più elevato rispetto a quello ipotizzato. D i conseguenza si 
iniziarono a studiare delle varianti al modello ave nti una distribuzione 
più flessibile rispetto a quella Normale.