Applicazione del Mode-Matching alla sintesi di filtri e diplexer

INTRODUZIONE 
 
Questo lavoro è il frutto della mia esperienza presso la Universidad Politecnica de 
Madrid e, in particolare, della mia collaborazione con il Departamento de 
Electromagnetismo y Teoria de Circuitos. Lo scopo del progetto è quello di realizzare 
un certo numero di componenti passivi a microonde in guida d’onda rettangolare che 
presentino discontinuità asimmetriche piano H, in particolare filtri e diplexer, 
effettuando un’analisi e sintesi mediante il metodo dell’adattamento modale. Ad una 
prima analisi elettromagnetica, segue un processo di ottimizzazione che consente di 
avvicinare la risposta in frequenza a quella ideale, rendendo in questo modo il circuito il 
più efficiente possibile semplicemente ritoccando i parametri geometrici che lo 
costituiscono. 
Nel primo capitolo, si introduce il metodo dell’analisi modale. In particolare si studia il 
caso di discontinuità in cui una guida è totalmente contenuta nell’altra e di come questa 
situazione, tenendo conto dell’ortogonalità dei modi, può portare ad enormi 
semplificazioni dal punto di vista dei calcoli, passando da una notazione integrale del 
problema ad una algebrica matriciale. Viene introdotto il concetto di matrice di 
dispersione generalizzata (GSM) per caratterizzare una discontinuità, di problema della 
convergenza relativa e di errore del bilancio di potenza, concetti spiegati tramite alcuni 
esempi semplici. 
Nel secondo capitolo si realizza uno studio elettromagnetico di un’iride asimmetrico 
piano H e si ricava il suo circuito equivalente, valutando la variazione di reattanza 
parallelo e lunghezza con la frequenza, la larghezza e lo spessore dell’iride. 
Successivamente si ricava la matrice di dispersione generalizzata dalla quale si 
estraggono e si valutano l’andamento in frequenza del coefficiente di riflessione e di 
trasmissione del modo fondamentale. 
Nel terzo capitolo è illustrata dettagliatamente la procedura di progetto di un filtro di 
Chebychev. Si ricava dapprima il suo modello circuitale a scala. Successivamente si 
trasforma il modello in un circuito che presenti invertitori di impedenza e risonatori in 
serie tutti dello stesso tipo. Tale modello è usato quindi per realizzare una
INTRODUZIONE 
 
 
 9 
configurazione di filtro in guida d’onda i cui invertitori d’impedenza sono costituiti da 
iridi asimmetriche piano H e i risonatori da cavità risonanti in guida lunghe 2  . 
Nel quarto capitolo vengono illustrati i principali e più efficaci metodi di ottimizzazione 
per fare in modo che la risposta in frequenza del circuito si avvicini il più possibile alla 
risposta ideale ottenuta dal modello equivalente. Si definisce il concetto di funzione 
obiettivo e si descrivono brevemente il Simulated Annealing, gli Algoritmi Genetici e il 
metodo dei simplessi di Nelder-Mead. 
Nel quinto capitolo vengono applicati i concetti teorici illustrati nei capitoli precedenti. 
Si effettua la sintesi di alcuni semplici filtri di Chebychev in guida d’onda rettangolare, 
a banda stretta e a banda larga di Chebychev, valutando le differenze nei due casi e le 
cause che distorcono la risposta in frequenza rispetto a quella ideale. Successivamente si  
ottimizzano i circuiti mediante uno degli algoritmi illustrati nel quarto capitolo.  
Nel sesto capitolo si generalizzano i concetti descritti nel primo capitolo per 
discontinuità che presentino più porte d’ingresso e/o più porte d’uscita. In seguto, si 
illustra l’esempio di un accoppiatore tipo Riblet, dimostrando come tale circuito, che 
presenta due porte d’ingresso e due porte d’uscita, possa essere efficacemente 
sintetizzato mediante il metodo dell’analisi modale. 
Nel settimo capitolo e ultimo capitolo, si sintetizzano due diplexer, uno in banda X e 
uno in banda K. Per far ciò, viene descritto dettagliatamente il concetto dei carichi 
reattivi fittizi, utilizzato al fine di ridurre notevolmente i tempi di sintesi e 
ottimizzazione di detti circuiti. 
Nel lavoro non sono state prese in considerazione le perdite del metallo. Tutto il 
progetto e le simulazioni sono state svolte mediante il software Matlab 7.0.
CAPITOLO 1  
 
DISCONTINUITA’ TRA GUIDE D’ONDA 
 
1.1 Introduzione 
 
La maggior parte dei dispositivi a microonde includono transizioni tra differenti 
tipologie di guide d’onda o tra regioni aventi differenti caratteristiche di propagazione. 
Di solito, tali dispositivi sono caratterizzati da modelli matematici (circuiti equivalenti) 
che hanno lo scopo di rappresentare i fenomeni fisici che stanno dietro al loro 
funzionamento. Tali modelli sono la chiave dei mezzi attuali utilizzati nel progetto di 
dispositivi. 
Qualsiasi accoppiamento tra differenti sistemi di trasmissione o guide d’onda presenta 
necessariamente una o più discontinuità nella struttura. Una discontinuità può essere 
vista come un cambio nella sezione di una guida d’onda e il suo effetto può descriversi 
tramite l’introduzione dei concetti di onda riflessa e onda trasmessa. 
Si supponga il caso di una guida d’onda infinita con una discontinuità al suo interno e 
che un’onda elettromagnetica incida dalla sinistra propagandosi in direzione +z. Nella 
discontinuità, parte di questa onda si propaga nella stessa direzione dell’onda incidente 
(onda trasmessa) e un’altra parte si riflette e si propaga in direzione –z.  
Si supponga inoltre che nella guida si propaghi solamente il modo fondamentale. Nella 
discontinuità, la distribuzione di campo del modo fondamentale incidente non è in grado 
di soddisfare da solo le condizioni al contorno, richiedendo che si consideri l’insieme 
completo e infinito di modi che esistono nella guida d’onda, ognuno con la sua 
ampiezza corrispondente. Per questo motivo, in letteratura si usa dire che le 
discontinuità fanno sì che compaiano modi di ordine superiore. Questo ragionamento 
può essere facilmente generalizzato per il caso di onde non monomodali dove anche i 
concetti di onda trasmessa e riflessa portano a una formulazione conveniente del 
problema elettromagnetico.
CAPITOLO 1 DISCONTINUITA’ TRA GUIDE D’ONDA 
 
 
 11 
Il principio fisico fondamentale che sta dietro una discontinuità è la conversione o 
trasferimento di energia tra i distinti modi della guida d’onda. Nel caso di guide d’onda 
monomodali, l’energia trasferita ai modi di ordine superiore non si propaga lungo la 
guida d’onda, ma si accumula in forma di modi evanescenti (alla frequenza di taglio) 
localizzati in prossimità della discontinuità.  
In questo capitolo, si presenta il metodo di analisi modale e il concetto di matrice di 
dispersione generalizzata (GSM) per lo studio di discontinuità tra guide d’onda 
omogenee di sezione arbitraria. Si dimostra inoltre che la matrice che caratterizza la 
discontinuità è reale e che può ottenersi tramite integrali di linea sopra il contorno della 
guida, anziché usare integrali di superficie, riducendo considerevolmente le difficoltà 
numeriche. 
 
1.2 Analisi modale di una discontinuità 
 
Si voglia caratterizzare la transizione tra due guide d’onda differenti (I e II, ossia guida 
d’onda a sinistra e destra della discontinuità, rispettivamente), le cui pareti laterali C
I
 e 
C
II
 abbiano caratteristiche di conduttore perfetto. Siano S
I
 e S
II
 le sezioni trasversali 
della guida I e II, rispettivamente, e S
a
 la superficie di apertura della discontinuità. 
Supponiamo che valga 
II I a
S S S   e sia C
a
 il contorno che la circonda. 
 
 
Fig. 1.1: esempio di discontinuità in guida d’onda.
CAPITOLO 1 DISCONTINUITA’ TRA GUIDE D’ONDA 
 
 
 12 
Le componenti trasversali dei campi elettrici e magnetici 
I
t E e 
I
t H a sinistra della 
discontinuità possono esprimersi nella seguente forma: 
 
 



 
  
1 i
I
i
z I
i
z I
i
I
t e e b e a E
I
i
I
i
 
 
(1.1) 
 



 
  
1 i
I
i
z I
i
z I
i
I
t h e b e a H
I
i
I
i
 
 (1.2) 
 
 
mentre a destra della discontinuità (guida II), le componenti trasversali dei campi 
II
t E e 
II
t H si scriveranno come: 
 
 
 



 
  
1 i
II
i
z II
i
z II
i
II
t e e b e a E
II
i
II
i
 
 
(1.3) 
 



 
   
1 i
II
i
z II
i
z II
i
II
t h e b e a H
II
i
II
i
 
 
(1.4) 
 
essendo 
 
i
a l’ampiezza complessa del modo incidente i 
i
b l’ampiezza complessa del modo riflesso i 
i
 la costante di propagazione del modo i 
r
i e la componente trasversale del campo elettrico del modo i nella guida r 
r
i h la componente trasversale del campo magnetico del modo i nella guida r 
 
 
Si consideri che i segni risultano dalla convenzione impiegata per il senso di 
propagazione delle onde elettromagnetiche, come illustrato in figura 1.2.
CAPITOLO 1 DISCONTINUITA’ TRA GUIDE D’ONDA 
 
 
 13 
 
Fig. 1.2: caratterizzazione di una discontinuità e convenzione utilizzata per il verso di propagazione delle 
onde. 
 
Definiamo 
r
i
 come la funzione scalare soluzione dell’equazione di Helmotz per il 
modo i nella guida r. E’ possibile scegliere le ampiezze di ciascun modo (a
i
 e b
i
) in 
modo che valga la seguente relazione di ortogonalità 
 
 

 
r
S
n m
r
n
r
m
ds
,
  
 
(1.5)
 
 
Dove 
n m,

 
è la delta di Kronecker, definita come 
 






n m
n m
n m
0
1
,

 
(1.6)
 
 
Nel piano della discontinuità (z = 0) deve valere che le componenti trasversali dei campi 
della guida I siano identiche alle componenti trasversali dei campi della guida II 
 
 
 

0 0 z
II
t
z
I
t E E
 su S
a
 
(1.7a)
CAPITOLO 1 DISCONTINUITA’ TRA GUIDE D’ONDA 
 
 
 14 
 
 

0 0 z
II
t
z
I
t H H
 su S
a
 
(1.8a) 
 
Deve inoltre valere che il campo elettrico tangenziale sulla superficie del conduttore sia 
nullo, ossia: 
 
0
0


 z
t E
 su  
a II I
S S S   
(1.9a) 
 
condizioni che devono essere soddisfatte su tutta la superficie della guida. 
Si supponga, come illustrato in figura 1.1, che la superficie della guida II in z = 0
+
 (S
II
) 
sia contenuta nella superficie della guida I in z = 0
-
 (S
I
), ossia che S
II
 = S
a
, dove S
a
 è la 
superficie di apertura della discontinuità.  
Sostituendo le espressioni (1.1), (1.2), (1.3) e (1.4) nelle equazioni (1.7a), (1.8a) e 
(1.9a), si ottiene il sistema di equazioni 
 
   
II
j
j
II
j
II
j
I
i
i
I
i
I
i
e b a e b a
 




    
1 1
 su S
a
 
(1.7b) 
   
II
j
j
II
j
II
j
I
i
i
I
i
I
i
h b a h b a      
 



 1 1
 su S
a
 
(1.8b) 
  0
1
  



I
i
i
I
i
I
i
e b a
 su  
a II I
S S S   
(1.9b) 
 
La soluzione di questo sistema di equazioni ci porta ad ottenere una descrizione 
completa del campo sulla discontinuità. Il problema sorge a causa del fatto che i sistemi 
di equazione contengono sommatorie infinite. Nella pratica, occorre cercare una 
soluzione approssimata. 
L’insieme di equazioni (1.7b), (1.8b) e (1.9b), che devono soddisfarsi su tutti i punti 
della superficie, può trasformarsi in un insieme di equazioni algebriche lineari di varia 
forma tramite il metodo di Galerkin, che può essere applicato sia mediante l’impiego di
CAPITOLO 1 DISCONTINUITA’ TRA GUIDE D’ONDA 
 
 
 15 
prodotti scalari, proiettando le equazioni su uno spazio completo di funzioni base, che di 
solito coincide con lo stesso spazio di funzioni peso, sia mediante l’impiego di prodotti 
vettoriali. Come illustrato nel paragrafo successivo, infatti, le due operazioni sono 
esattamente equivalenti. 
 
1.3 Metodo di Galerkin 
 
Impiego del prodotto vettoriale 
 
Moltiplicando vettorialmente le equazioni (1.7b) e (1.9b) per 
I
n
h e integrando sulla 
superficie S
I
, si ottiene il sistema di equazioni lineari: 
 
   
















   






 
II a I
S S
I
n
II
j
j
II
j
II
j
S
I
n
I
i
i
I
i
I
i
ds z h e b a ds z h e b a ˆ ˆ
1 1
  
(1.10) 
 
Analogamente, moltiplicando vettorialmente 
II
n
e per l’equazione (1.8) e integrando su 
S
a
 si ottiene 
 
   

















    






 
II a II a
S S
II
j
II
n
j
II
j
II
j
S S
I
i
II
n
i
I
i
I
i
ds z h e b a ds z h e b a ˆ ˆ
1 1
 
(1.11) 
 
Definendo 








 
a
S
I
m
II
n
def
mn
ds z h e x ˆ
 
(1.12) 








 
r
S
r
m
r
m
r
m
ds z h e ˆ 
 
(1.13)
CAPITOLO 1 DISCONTINUITA’ TRA GUIDE D’ONDA 
 
 
 16 
e considerando la relazione di ortogonalità che presenta il prodotto vettoriale tra le 
componenti elettrica e magnetica dei campi trasversali in una stessa guida r, 
 








 
r
S
r
n
r
m
n m
r
m
ds z h e ˆ
,
 
 
(1.14) 
 
dove 
n m,
 è la delta di Kronecker, le equazioni (1.10) e (1.11) diventano 
 
   
nj
j
II
j
II
j
I
n
I
i
I
i
x b a b a



  
1

  
(1.15) 
   
II
n
II
j
II
j in
i
I
i
I
i
b a x b a     


1
 
(1.16) 
 
Il sistema costituito dalle equazioni (1.15) e (1.16) può semplificarsi effettuando la 
seguente normalizzazione dei campi trasversali 
 
I
i
I
i
I
i
e
e


'
  
(1.17) 
II
j
II
j
II
j
e
e


'
 
(1.18) 
 
In questo modo, si ridefinisce 
mn
x come 
 
II
n
I
m
S
I
m
II
n
def
mn
a
ds z h e
x
 










ˆ
 
(1.19)
CAPITOLO 1 DISCONTINUITA’ TRA GUIDE D’ONDA 
 
 
 17 
e i sistemi di equazioni (1.15) e (1.16) si scrivono nella forma 
 
   
nj
j
II
j
II
j
I
i
I
i
x b a b a



  
1
 
(1.20) 
 
II
j
II
j in
i
I
i
I
i
b a x b a    


1
 
(1.21) 
 
o in forma matriciale 
 
 
II II I I
B A X B A    (1.22) 
 
II II I I T
B A B A X     
(1.23) 
essendo  
 















...
...
2
1
i
i
def
i
a
a
A  















...
...
2
1
i
i
def
i
b
b
B 













... ... ... ...
... ... ... ...
...
...
3 , 2 2 , 2 1 , 2
3 , 1 2 , 1 1 , 1
x x x
x x x
def
X (1.24) 
 
 
Impiego del prodotto scalare 
 
Proiettando le equazioni (1.7b) e (1.9b) sullo spazio formato dalle funzioni 
I
n e 
    ,..., 1 n e integrando sulla superficie S
I
, si ottiene il sistema di equazioni lineari
CAPITOLO 1 DISCONTINUITA’ TRA GUIDE D’ONDA 
 
 
 18 
   









    
II a I
S S
I
n
II
j
j
II
j
II
j
S
I
n
I
i
i
I
i
I
i
ds e e b a ds e e b a
1 1
  
(1.25) 
 
Analogamente, proiettando l’equazione (1.8b) sullo spazio delle funzioni 
II
n h e 
integrando su S
II
 , si ottiene 
 
   









     
II a I
S S
II
n
II
j
j
II
j
II
j
S
II
n
I
i
i
I
i
I
i
ds h h b a ds h h b a
1 1
  
(1.26) 
 
Il sistema ottenuto dalle equazioni (1.25) e (1.26) è equivalente a quello ottenuto con il 
prodotto vettoriale dato dalle equazioni (1.10) e (1.11). Infatti, vale che 
 
 
i
i
i e z
Z
h   ˆ
1
 
(1.27) 
  z h Z e i
i
i
ˆ  
 
(1.28) 
dove 
i
Z è l’impedenza del modo i. 
A questo punto, il prodotto vettoriale può scriversi come 
 
     
j i
i
j i
j
j i h h Z e e
Z
z h e      
1
ˆ
 
(1.29) 
 
e applicando la (1.29) al sistema formato dalle equazioni (1.10) e (1.11) risulta che 
 
   









    
II a I
S S
I
n
II
j
j
I
n
II
j
II
j
S
I
n
I
i
i
I
n
I
i
I
i
ds e e
Z
b a ds e e
Z
b a
1 1
1 1
  
(1.30)