I dividend yield come views nel modello di Black Litterman

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INTRODUZIONE 
 
La scelta del portafoglio d’investimento svolge, nell’ambito finanziario, un 
ruolo di primaria importanza. I gestori, una volta delineate le preferenze del 
risparmiatore, allocano il capitale in modo da ottenere massimi guadagni con 
rischi minimi. Per un risultato soddisfacente è necessario cercare di prevedere nel 
miglior modo possibile l’andamento futuro dei titoli. 
Nel presente lavoro ci poniamo nell’ottica dell’asset manager con l’obiettivo 
di costruire dei portafogli attraverso una combinazione di azioni presenti 
nell’indice FTSE Mib della Borsa di Milano. Si tratterà di un investimento a 
tempo discreto con un orizzonte temporale di breve periodo: i titoli saranno 
acquistati il 17 ottobre 2011, per essere venduti il 14 novembre 2011. L’obiettivo 
di questa tesi è quello di costruire un’asset allocation che possa essere inserita in 
un rigoroso framework matematico-statistico e che, contemporaneamente, sia in 
grado di sfruttare le previsioni quantitative degli analisti. 
Il primo modello quantitativo che formalizza il trade off tra rischio e 
rendimento è il modello media-varianza introdotto da Harry Markowitz per il 
quale lo studioso statunitense ottenne nel 1990 il Premio Nobel per l’Economia. 
In precedenza infatti, la minimizzazione della variabilità del rendimento veniva 
considerato un elemento tipicamente qualitativo. L’analisi già completa e 
profonda di Markowitz è stata in seguito riproposta e ampliata da un suo 
discepolo, William Sharpe. Nel “Portfolio Theory and Capital Market”, 
pubblicato nel 1970, la teoria del portafoglio ottimale viene corredata da una 
trattazione più estensiva degli aspetti computazionali e con alcuni contributi 
originali, tra cui il cosiddetto Capital Asset Pricing Model, per brevità detto 
CAPM. I due saggi citati costituiscono i principali punti di riferimento nella 
moderna analisi del portafoglio nell’approccio media-varianza.  
La caratteristica fondamentale del modello di Markowitz modello è quella 
di ricondurre il processo di investimento ad un problema di ottimizzazione lineare
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quadratica. Nel lavoro originale Markowitz non chiarisce invece come si possano 
stimare i dati del problema a partire dalle serie storiche degli asset analizzati. 
L’approccio classico per calibrare il modello consiste nell’ipotizzare una 
distribuzione di probabilità per i rendimenti dei titoli (usualmente una 
distribuzione gaussiana multivariata) e nello stimare puntualmente i parametri (ad 
esempio mediante stimatori di massima verosimiglianza). 
Operando in questo modo si ipotizza che le performance storiche di mercato 
siano realizzazioni di una variabile aleatoria con distribuzione di probabilità 
normale. Allora il rendimento e il rischio attesi corrisponderanno alla media e 
varianza dei rendimenti campionari. 
Il tempo e l’esperienza degli agenti decisori non hanno tuttavia premiato 
l’approccio di Markowitz (o approccio classico), evidenziandone tutta una serie di 
difficoltà applicative che ne hanno reso l’utilizzo ben presto obsoleto e perlopiù 
inadatto alle esigenze degli operatori finanziari. Questi ultimi infatti sono soliti 
ridurre il rischio finanziario investendo in portafogli quanto più vicini ai 
benchmark di mercato, distaccandosene soltanto in corrispondenza di quei settori 
sui quali maturano proprie aspettative. L’ottimizzazione di Markowitz al contrario 
produce portafogli tipicamente volatili, ricchi di posizioni scoperte e 
completamente incorrelati ai valori fondamentali espressi dal mercato. Infatti gli 
stimatori utilizzati non sono in grado di catturare il vero valore dei rendimenti 
attesi dei titoli in esame. Il problema è aggravato dal fatto che le allocazioni 
variano a seguito di piccoli cambiamenti delle performance attese.  
Alla luce dei limiti applicativi di tali approcci, la letteratura ha spaziato su 
altri campi alla ricerca di modelli più stabili ed affidabili. Fra i vari modelli di 
Portfolio Selection sviluppati negli anni più recenti quello proposto da Black e 
Litterman nel 1992 assume una notevole rilevanza, sia teorica che pratica, e per 
questo motivo il suo approfondimento ricopre un ruolo assolutamente primario nel 
presente lavoro. Black e Litterman, propongono un modello Bayesiano in grado di 
garantire portafogli diversificati e robusti. Il loro approccio consente inoltre di
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immettere nel processo di costruzione del portafoglio delle “previsioni” 
sull’andamento futuro degli assets. Il modello riesce nell’intento di produrre una 
distribuzione per i rendimenti attesi in eccesso a posteriori che rifletta le opinioni 
del manager.  
SCHEMA DELLA TESI 
In questa tesi, utilizzando la serie storica dei rendimenti settimanali 
nell’arco temporale compreso tra il 1 luglio 2010 e il 17 ottobre 2011, costruiremo 
diverse allocazioni servendoci del modello media-varianza e dell’approccio di 
Black e Litterman. La distribuzione prior dei rendimenti sarà rappresentata da una 
gaussiana; esprimeremo delle views qualitative che dovranno essere tradotte in 
quantitative per procedere con l’ottimizzazione. Le previsioni circa i rendimenti 
futuri sono rese possibili tramite l’utilizzo dei dividend yield storici come views.  
Sono stati scelti i dividendi perché rivestono un’importanza fondamentale 
per gli azionisti. La maggior parte di essi infatti decide di scegliere le azioni su cui 
investire proprio basandosi sui dividendi yield in quanto esprimono il rendimento 
immmediato del titolo senza considerare i guadagni o le perdite in conto capitale. 
 A posteriori si vorranno confrontare le performance ottenute dai diversi 
portafogli nell’arco temporale tra il 17 ottobre e il 14 novembre 2011. Queste 
verifiche out of sample possono essere viste come un test dell’efficacia di questo 
approccio. 
Il primo capitolo ha natura introduttiva e presenta i concetti portanti della 
finanza, utili per meglio comprendere i concetti base della finanza. Viene 
presentata la teoria sottostante l’attività di asset allocation, ripercorrendo i punti 
salienti e fornendo al lettore gli elementi necessari alla comprensione del seguito. 
Si approfondisce, in particolare, il modello di Markowitz, di certo la pietra miliare 
dei modelli di composizione di portafoglio, passo necessario per comprendere le 
motivazioni legate alla creazione di modelli come quello di Black e Litterman. 
Nel secondo capitolo si offrirà una chiara illustrazione del modello media-
varianza di Markowitz, spiegando i concetti chiave che permettono di stimare i
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parametri sulla base dei dati storici; in seconda battuta si metteranno in luce le 
criticità di un tale approccio. 
Nel terzo capitolo è presentato il modello di Black e Litterman, illustrando 
in apertura le motivazioni e le intuizioni alla base del suo sviluppo. Nel proseguio 
del capitolo è illustrato il modello nella sua interezza, da un punto di vista 
analitico, spiegando approfonditamente le modalità di funzionamento dello stesso. 
Ci soffermeremo in particolare sulla matematica del modello. 
Nel quarto capitolo ci si occuperà di descrivere dettagliatamente il 
procedimento seguito per costruire i portafogli d’investimento. Tutte le 
elaborazioni sono state implementate utilizzando il software MatLab che permette 
di eseguire in modo agile i complessi calcoli matriciali che sono necessari per 
descrivere, da un punto di vista computazionale, il modello di Black e Litterman. 
Come si avrà modo di apprezzare nell’ultima parte dell’elaborato, i risultati 
ottenuti appaiono abbastanza promettenti. Almeno nella finestra temporale in cui 
abbiamo seguito l’investimento out of sample il modello di Black e Litterman 
genera portafogli più diversificati rispetto al modello di Markowitz, ottenendo 
maggiori rendimenti.
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CAPITOLO 1 - THE ASSET ALLOCATION DECISION 
 
 
1.1 Introduzione all’asset allocation 
Molti sono gli italiani “non economisti” che a prima mattina si accalcano 
all’edicola, smaniosi di scoprire dal Sole24ore se i loro investimenti in Borsa sono 
un affare. Tuttavia non meno sono coloro che dinanzi al TG Economia strizzano il 
naso e cambiano canale, o perché non ne capiscono niente, o perché sono stanchi 
di ascoltare le parole di “depositari della verità”, individui a cui in passato 
avevano affidato i risparmi di una vita, nella convinzione di guadagnare senza 
correre alcun rischio. 
Purtroppo investire in titoli è un vero e proprio lavoro, e chi desidera farlo 
deve mettere in bilancio di passare molte ore a informarsi, ragionare e valutare 
moltissimi fattori per poi prendere decisioni importanti, cercando di non farsi 
condizionare dalle sensazioni. Pensare in maniera globale: è questa la parola 
d'ordine di chi intende investire in modo efficiente il proprio denaro.  
Originariamente esisteva un’unica definizione di investimento: investire 
voleva dire comprare qualcosa ad un prezzo che garantisse un rendimento 
adeguato con un sufficiente margine di sicurezza. Pertanto i risparmiatori 
potevano scegliere liberamente tra gli investimenti disponibili (azioni, 
obbligazioni o altro), a seconda di dove trovavano le opportunità migliori. Se 
nessuna di queste soddisfava l’investitore, egli avrebbe potuto mantenere il 
portafoglio in liquidità.   
Tutto questo è cambiato con la nascita e lo sviluppo delle moderne teorie di 
portafoglio e l’avvento dei gestori professionisti. La formulazione della modern 
portfolio theory (MPT) da parte di Harry Markovitz prima, e gli sviluppi della 
efficient markets hypothesis (EMH) e del capital asset pricing model (CAPM) poi, 
hanno introdotto la matematica e vincoli precisi alle scelte di portafoglio,
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postulando che queste devono essere tali da massimizzare il rendimento atteso per 
un determinato livello di rischio (o minimizzare il rischio per uno specifico 
rendimento), definito dal mondo accademico in termini di volatilità, calcolata 
come deviazione standard dei rendimenti storici di mercato. La determinazione 
dell’asset allocation è perciò tipicamente basata sui rendimenti storici dei vari 
strumenti. A tal proposito, Douglas Love scriveva nel Financial Analyst Journal 
nel 1974: “Il cliente dovrebbe determinare la propria asset allocation basandosi su 
un approccio di mercati efficienti, assumendo che i prezzi correnti di mercato 
riflettano tutto quello che è possibile sapere del futuro”.  
La letteratura finanziaria riconduce l’asset allocation all’interno di un 
framework matematico, che impone da un lato la stima di parametri statistici, 
dall’altro lo sviluppo di ottimizzazioni finalizzate alla massimizzazione delle 
preferenze degli investitori. Tale interpretazione matematico-statistica ha 
ovviamente apportato un grande contributo in termini di maggior rigore formale. 
Tuttavia le evidenze empiriche dimostrano l’incapacità o la negligenza degli asset 
manager ad utilizzare questi modelli o perché il loro funzionamento è ritenuto 
“oscuro” e la loro accettazione è assimilabile ad un “atto di fede”, o perché il 
risultato contrasterebbe con la loro operatività. 
1.2 Le fasi della Portfolio construction 
A supporto dell’asset allocation e dell’operatività degli asset manager, 
nell’ultimo ventennio si è assistito ad una moltiplicazione di contributi scientifici. 
Questi lavori, sebbene non siano paragonabili agli enormi contributi storici dati da 
Markowits (1952, 1956, 1959), Tobin (1958), Sharpe (1964), Lintner (1965), 
Mossin (1966), e Ross (1976, 1977), che hanno dato vita alla Modern Portfolio 
Theory, hanno il pregio di accostare la teoria alla pratica. Sia i contributi forniti 
dai Padri della Teoria di Portafoglio, sia gli studi più recenti, sono d’accordo 
nell’individuare il modus operandi ottimale nel processo di investimento. 
Il corretto iter che il gestore deve seguire al fine di soddisfare le richieste del
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ESIGENZE E 
OBIETTIVI DEL 
CLIENTE 
STRUTTURAZIONE 
DEL PORTAFOGLIO 
PRINCIPI DI 
INVESTIMENTO 
Asset 
Allocation 
 
Modifiche delle 
condizioni di 
mercato 
cliente, giungendo così alla creazione di un portafoglio ottimo, è presentato nella 
figura seguente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ciò che si intende evidenziare in questo schema è che le decisioni alla base 
del processo di asset allocation scaturiscono dall’interazione tra le preferenze del 
cliente e i principi di investimento seguiti dall’intermediario finanziario o 
dall’asset manager, consentendo di pervenire ad un’idonea strutturazione del 
portafoglio della clientela. Nel realizzare questo processo secondo le linee guida 
individuate, bisogna peraltro prestare particolare attenzione a monitorare 
l’evolversi delle condizioni di mercato attraverso l’analisi degli scenari e 
verificare se i bisogni del cliente sono mutati. In questo caso il gestore deve 
intervenire attuando interventi di restructuring del portafoglio.
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Pomante suggerisce di procedere per fasi. Si rende infatti opportuno: 
1) identificare le preferenze dell’investitore in termini di scelta dell’holding 
period, selezione degli asset class e fissazione del livello di rischio-
rendimento atteso; 
2) effettuare previsioni  sull’andamento futuro dei titoli; 
3) identificare il portafoglio migliore per il risparmiatore attraverso un 
processo di ottimizzazione 
1.2.1  Le preferenze dell’investitore 
In ambito finanziario gli investitori effettuano scelte che hanno una natura 
intertemporale. Essendo il futuro ignoto, le decisioni devono essere prese in 
condizioni di incertezza, perché le conseguenze economiche non sono 
deterministiche ma stocastiche. Pertanto come dice Mc Pix: “per operare 
proficuamente in Borsa non è necessario che l'investitore sappia prevedere il 
futuro. Quello che gli è richiesto è di saper valutare correttamente la situazione 
corrente secondo buon senso” . 
Da questo aforisma appare chiaro come un investitore, prima di accostarsi al 
mercato borsistico, deve avere ben chiare le proprie preferenze, da esprimere in 
termini di utilità. Nacque l’idea che gli individui valutino le grandezze finanziarie 
basandosi non direttamente sul loro ammontare, bensì sul livello di soddisfazione 
che essi attribuiscono, in modo del tutto soggettivo, al loro possesso. Secondo 
questa impostazione, ogni operatore agisce associando alle grandezze finanziarie 
un valore che misura il suo grado di desiderabilità in quel momento. Tale valore è 
un numero reale, determinato sulla base di un metro di valutazione personale, che 
dipenderà quindi dalla situazione particolare dell’individuo interessato. Questa 
teoria permette di studiare le preferenze individuali, le quali vengono 
rappresentate tramite una funzione di utilità U, definita a meno di una 
trasformazione monotona crescente. Essa gode di due proprietà: deve rispettare 
l’ordine delle preferenze del soggetto e deve essere crescente, ovvero deve avere
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utilità marginale della ricchezza positiva, perché a maggiori payoff è naturale 
associare una maggiore utilità.  
La teoria dell’Utilità Attesa può essere anche applicata in condizioni di 
rischio, cioè quando l’individuo deve prendere una decisione senza conoscere con 
certezza quale stato del mondo si verificherà, ma conosce i possibili eventi, a 
ciascuno dei quali associa una probabilità di realizzazione. Le persone che 
compiono scelte di investimento tra alternative diverse caratterizzate da esiti 
incerti, di cui sono note le probabilità di accadimento, associano un valore 
monetario ad ogni alternativa. Le alternative rischiose vengono ordinate per 
mezzo dell’utilità attesa, espressa in funzione dei risultati possibili e delle 
probabilità che tali risultati si manifestino. 
Al fine di consentire all’asset manager di gestire correttamente il 
portafoglio, l’investitore deve esprimersi circa: 
1. l’orizzonte temporale, ovvero il periodo di tempo durante il quale 
l'investitore rinuncia alle proprie disponibilità finanziarie, o a parte di 
esse, e le investe al fine di conseguire un rendimento "in linea" con gli 
obiettivi prefissati. In questo arco temporale l’individuo non dovrebbe 
preoccuparsi delle oscillazioni di valore del proprio investimento, poiché 
come dice Warren Buffett bisogna comportarsi come se dopo l’acquisto la 
Borsa chiudesse per poi essere riaperta non prima dei cinque anni. 
2. il rischio-rendimento atteso dagli asset class scelti. Dato che 
solitamente investimenti a maggior rischio sono associati a maggior 
rendimento, la propensione al rischio di un investitore determina anche il 
massimo rendimento che potrà ottenere sul mercato, sempre che rispetta il 
suo profilo di rischio. Esiste quindi un legame stretto tra propensione al 
rischio e aspettativa di rendimento dell’investimento. In linea generale, si 
può affermare che ad un elevato rendimento atteso corrisponde un rischio 
altrettanto alto, e viceversa, un investimento a basso rischio ha 
generalmente un rendimento contenuto.