Tesi di Laurea di Marco Quaini Relatore: Prof. Ing. Timothy Sullivan
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CAPITOLO 1
CENNI TEORICI RELATIVI AL DDBD
1.1 Premessa
Recenti sviluppi di progettazione antisismica degli edifici, sono focalizzati su una filosofia di
progettazione che ruota attorno al concetto di Performance Based Design.
La particolarità di questo nuovo e moderno approccio di progettazione, consiste nel fatto che è la
domanda di spostamento, quindi, e non il rapporto tra la forza agente e forza resistente, comunque
approssimativamente pari all'unità una volta che la struttura è entrata in campo anelastico, che
diviene la grandezza principale della progettazione. Nel Performance Based Design si identificano i
livelli di prestazione cui la struttura nella sua globalità deve soddisfare al variare dell'intensità del
sisma e della sua funzione e li si correlano alla risposta globale espressa in termini di spostamento
di un punto o spostamento relativo fra i piani della struttura.
Si individuano generalmente i seguenti livelli di progettazione:
• completa operatività, nella quale non vengono interrotte le attività e i danni sono
trascurabili;
• operatività, nella quale non vengono interrotte le attività e si verificano danni marginali;
• riparabilità, nella quale i danni sono tali da interrompere le attività ma sono riparabili;
• salvaguardia della vita, nella quale la vita umana non viene messa in pericolo ma si
verificano danni ingenti, con interruzione delle attività;
• collasso, nel quale i danni sono tali da mettere a rischio la stabilità della struttura e quindi la
vita umana.
Il vantaggio di realizzare strutture secondo questo approccio di progettazione, rappresenta quello di
potersi attendere delle risposte piø uniformi nella struttura sotto uno o piø livelli di "intensità del
terremoto di progetto", la quale è in grado di ricevere un adeguato grado di danneggiamento.
Pertanto il Direct Displacement Based Design è un metodo diretto di progettazione agli
spostamenti, il quale fa si che nella struttura vi siano delle risposte attese piø verosimili, e invece
meno facili da individuare, secondo un corrente approccio alle forze.
Le deformazioni dei materiali sono il criterio piø comunemente adottato per definire gli stati limiti
di danneggiamento. Per l'acciaio si è utilizzato un valore di deformazione pari circa al 2 per mille,
ovvero dello 0,002. In seguito, è necessaria la definizione del limite di deformazione del materiale,
è stato opportuno fissare uno stato limite di drift, ovvero un valore in percentuale che pone un
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vincolo allo spostamento di interpiano in un edificio del tipo a telaio, che è quello trattato in questo
contesto.
Tale limite è stato fissato pari al 2,5%, ovvero con un valore di pari a 0,025. Quindi con
un'altezza di interpiano di 3 m sarà pari a 0,075 m, con un'altezza di interpiano di 3,5 m pari a
0,0875 m, di 4 m pari a 0,1 m e così via.
Questo valore di 2,5% fa riferimento ad uno stato limite di controllo del danneggiamento della
struttura, poichØ è difficile controllare il livello di danneggiamento quando si eccede il valore del
0,02 - 0,025, infatti i comuni riferimenti normativi considerano un valore di questo tipo.
1.2 Direct Displacement Based Design (DDBD)
Il Direct Displacement Based Design (DDBD) rappresenta un metodo di progettazione agli
spostamenti, il quale è stato sviluppato a partire dagli ultimi quindici anni, nato per mitigare le
deficienze di un corrente approccio di progettazione alle forze.
La differenza principale tra il DDBD ed un metodo alle forze (Force Based Design), sta nel fatto di
progettare la struttura come un sistema ad un solo grado di libertà (SDOF), il quale contiene in sØ le
caratteristiche necessarie a soddisfare un picco di risposta in spostamento, piuttosto che in
riferimento alle caratteristiche elastiche iniziali. Tutto questo è basato sulla definizione di una
struttura sostitutiva.
Pertanto la filosofia fondamentale dietro tale approccio, è di progettare una struttura, la quale deve
soddisfare un dato stato limite di performance sotto una data intensità sismica, il cui scopo, è quello
di determinare i requisiti di resistenza dei diversi sistemi strutturali, atti a garantire i limiti richiesti.
L’incognita della progettazione è dunque, la struttura stessa.
Formulazione base del Metodo
Il metodo di progettazione viene illustrato con riferimento alla seguente figura:
Figura 1 - 1: Struttura sostitutiva nel Direct Displacement Based Design e rigidezza secante effettiva
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Nella figura è possibile notare come sia considerato un sistema ad un solo grado di libertà (SDOF),
il quale costituisce la rappresentazione di un edificio a telaio. Naturalmente un tale approccio è
pensato anche per tutte le tipologie di strutturali. E’ rappresentato anche l’inviluppo bi-lineare della
risposta laterale forza-spostamento dello SDOF.
Si rappresenta una iniziale rigidezza elastica K i, seguita da una rigidezza post-elastica rK i a seguito
dello snervamento raggiunto. Mentre un approccio alle forze, caratterizza la struttura in termini di
proprietà elastiche e pre-snervamento (utilizzando la rigidezza iniziale K i e lo smorzamento
elastico), il DDBD caratterizza la struttura secondo una rigidezza secante effettiva K e
in
corrispondenza del massimo spostamento D d
ed un livello equivalente di smorzamento viscoso
elastico , il quale rappresenta la combinazione dello smorzamento elastico e di quello isteretico
corrispondente all’energia assorbita durante l’evento sismico. Tutto ciò viene fatto con riferimento
ad un dato livello di domanda di duttilità e quindi risorse inelastiche della struttura.
Una volta che è stata determinata la massima risposta in termini di spostamento, e stimato il
corrispondente smorzamento viscoso equivalente, si può determinare il periodo effettivo T e
corrispondente alla massima risposta in spostamento (vedere Fig. 1 – 2 sotto riportata), ottenuto con
riferimento all’altezza effettiva H e, leggendo direttamente da un set di spettri di risposta per
differenti livelli di smorzamento.
Figura 1 - 2: Set di Spettri di spostamento, dai quali è possibile determinare il periodo effettivo della struttura
La rigidezza effettiva K e può essere determinata invertendo semplicemente la classica relazione di
un oscillatore lineare ad un solo grado di libertà, nel modo seguente:
4 · · .
Dove m e è la massa effettiva partecipante nella struttura per il modo fondamentale di vibrare.
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Dalla Fig. 1 – 1, è possibile determinare il valore della forza F applicata alla struttura sostitutiva,
che di conseguenza sarà pari al valore del taglio alla base della struttura:
· ∆
.
La formulazione DDBD ha il merito di caratterizzare gli effetti di duttilità in spostamento, a partire
dalla domanda sismica, in una direzione che è indipendente dalle caratteristiche isteretiche, pertanto
a partire dal rapporto smorzamento/duttilità, entrambe sono generate separatamente, per differenti
regole isteretiche.
Esempio del DDBD tratto dal capitolo 3 del “Displacement Based Seismic Design of Structures
(M.J.N. Priestley, G.M. Calvi, M.J. Kowalsky, 2007)”
Si ha un edificio a telaio in cemento armato di 5 piani fuori terra, progettato per uno spostamento di
progetto pari a ∆
0,185 , che corrisponde ad una duttilità in spostamento di 3,25 . Il peso
sismico relativo al contributo del primo modo di vibrare è pari a 4500 . Usando le
informazioni viste in precedenza si ha:
- Smorzamento viscoso equivalente, si ottiene entrando nella seguente figura con la duttilità di
3,25 e muovendosi sulla curva per gli edifici in cemento armato si ottiene uno 0,175 17,5% .
Figura 1 - 3: Relazione tra la duttilità in spostamento e lo smorzamento viscoso equivalente
- Periodo effettivo, si ottiene entrando nella Fig. 1 – 2 precedente, che con lo spostamento di
progetto pari a 0,185 m e lo smorzamento di 0,175, si ottiene un periodo effettivo 2,5 .
- Rigidezza secante ottenuta con l’espressione vista in precedenza (1.1), ovvero con una
massa effettiva di 458,72 , si ottiene:
4 · · 458,72
2,5
2900 /
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- Forza di taglio alla base, ottenuta dalla espressione (1.2):
0,185 · 2900 536
Stati limiti di progetto e livelli di prestazione
Nella premessa di questa sezione, sono stati elencati i principali livelli di prestazione e l’importanza
di come il DDBD faccia perno sul concetto di Performance Based Design. In particolare è possibile
far riferimento a due tipologie di stati limite, stati limiti e prestazioni che riguardano la sezione, e
stati limiti e prestazioni che si riferiscono invece alla struttura nel suo complesso.
Gli stati limiti che si riferiscono alla sezione sono:
• Stato limite di fessurazione;
• Stato limite di primo snervamento;
• Stato limite di plasticità;
• Stato limite di instabilità;
• Stato limite ultimo o di collasso.
Gli stati limite che si riferiscono alla struttura sono invece:
• Stato limite di servizio;
• Stato limite di controllo del danneggiamento;
• Stato limite di sopravvivenza.
Figura 1 - 4: Stati limite riferiti alla sezione e alla struttura
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1.3 Strutture ad un solo grado di libertà (SDOF)
Determinazione dello spostamento di progetto
Lo spostamento di progetto dipende dallo stato limite considerato, inoltre dalle considerazioni piø o
meno significative sul comportamento di elementi strutturali e non strutturali. Le prestazioni degli
elementi strutturali vengono governate dai limiti di deformazione dei materiali impiegati, mentre le
prestazioni di elementi non strutturali vengono decise considerando generalmente gli spostamenti
relativi di interpiano (drift).
Lo spostamento di progetto può essere in generale stimato come:
∆
∆
∆
.
In questa relazione, lo spostamento di progetto viene quantificato come la somma dello spostamento
allo snervamento, ovvero al limite del comportamento elastico dell’elemento e dello spostamento
dovuto al contributo plastico.
Naturalmente se lo stato limite scelto, fissa un valore limite di drift, è possibile definire lo
spostamento di progetto in tal modo:
∆
· .
In questo caso è lo spostamento di progetto che viene fissato in funzione dell’altezza di interpiano
dell’edificio considerato (H nella espressione (1.4)), a partire dal quale sarà possibile costruire il
profilo di spostamento e di interpiano di progetto dell’intero edificio.
Spostamento allo snervamento
Per strutture ad un solo grado di libertà (SDOF), lo spostamento allo snervamento è richiesto per
due ragioni. In primo luogo, se vengono definiti i limiti di spostamento come considerato in
precedenza, è necessario conoscere lo spostamento allo snervamento e la curvatura allo
snervamento. In secondo luogo, la sua conoscenza è necessaria per la determinazione della duttilità
in spostamento della struttura ∆
∆
∆
, la quale dipende dallo spostamento allo snervamento e
da cui discende la conoscenza dello smorzamento viscoso equivalente.
Per strutture SDOF lo spostamento allo snervamento può essere sufficientemente approssimato nel
modo seguente:
∆
· 3
.
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In particolare, per strutture in acciaio, che sono quelle a cui noi faremo riferimento per la nostra
trattazione, si definisce:
0,6 · · . ∆
·
Nelle due espressioni precedenti, si ha che:
- F
y
rappresenta la curvatura allo snervamento;
- H l’altezza dell’elemento di cui si sta calcolando lo spostamento allo snervamento (ad
esempio una colonna inserita in un telaio in acciaio);
- L
sp
rappresenta l’addizionale lunghezza effettiva, della zona in cui sono presenti gli effetti di
penetrazione della deformazione;
- e
y
la deformazione dell’acciaio;
- L
b
la lunghezza dell’elemento considerato (solitamente una trave);
- h
b
l’altezza della sezione dell’elemento che si sta considerando.
Smorzamento viscoso equivalente
La procedura di progettazione richiede la conoscenza della relazione tra la duttilità in spostamento e
lo smorzamento viscoso equivalente, come mostrato in Fig. 1 – 3.
Lo smorzamento è definito come la somma dello smorzamento elastico e di quello isteretico:
.
In questa relazione, lo smorzamento isteretico dipende dalla appropriata regola isteretica adottata
nella progettazione.
Smorzamento isteretico
Lo smorzamento di questo tipo, viene determinato facendo riferimento allo studio dell’energia
assorbita nella risposta ciclica (come risposta di un eccitazione di tipo periodica e costante, ad
esempio sinusoidale) per un dato livello di spostamento nella struttura sostitutiva e definito come un
coefficiente di smorzamento viscoso equivalente:
2 ∆
.
In questa equazione, al numeratore troviamo l’area del ciclo di isteresi che rappresenta la quantità di
energia assorbita, mentre al denominatore rispettivamente, si trovano il valore della forza massima e
dello spostamento massimo raggiunti nel ciclo. Da notare che lo smorzamento dato nelle espressioni
(1.7) ed (1.8), rappresenta una frazione dello smorzamento critico, ed è connesso con la rigidezza
secante effettiva della risposta massima.
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Per questa relazione (1.8), si è trovato che il livello di smorzamento prodotto risulta essere buono
per sistemi i quali hanno bassi valori di energia assorbita nella risposta isteretica, a parità di time -
history scelte. Ma si è notato che sovrastima lo smorzamento effettivo equivalente per alti valori di
energia assorbita. Una ragione di questa differenza la si può notare osservando il comportamento
differente di due sistemi, uno elasto - plastico mentre l’altro di tipo elastico (entrambi bi – lineari
con la stessa rigidezza iniziale e di post – snervamento come in Fig.1 – 5).
Figura 1 - 5: Area di isteresi per determinare lo smorzamento
Il comportamento dovrebbe essere identico sino al picco di risposta, poi differisce. I due sistemi
iniziano la fase di scarico seguendo due curve differenti. Questo perchØ il comportamento dipende
in modo significativo anche dalle caratteristiche degli accelerogrammi.
L’approccio adottato è quello di valutare lo smorzamento viscoso equivalente calibrandolo per
differenti regole isteretiche date dallo stesso picco di risposta in spostamento, usando delle time –
history inelastiche. Ci sono due differenti studi, basati su differenti metodologie per determinare
questo.
Il primo metodo consiste nell’uso di un ampio numero di accelerogrammi reali, nei quali lo
smorzamento viscoso equivalente è calcolato per ciascun record, livello di duttilità, periodo
effettivo e regola di isteresi separatamente, e quindi poi mediato su i records in modo tale da
ottenere delle relazioni per una data regola di isteresi, duttilità e periodo.
Il secondo metodo invece, consiste nell’uso di un dominio ampio di regole di isteresi e un numero
limitato di accelerogrammi artificiali spettro – compatibili, nei quali i risultati delle analisi elastiche
e inelastiche sono separatamente mediati e confrontati.
Dallo studio di Grant, (che rappresenta il secondo dei due metodi prima definiti) il quale considera
una formulazione piø complessa della relazione tra duttilità e smorzamento viscoso equivalente, la
componente isteretica viene definita in modo generale dalla seguente espressione, nella quale i
coefficienti a, b, c, d, assumono valori diversi, a seconda della differente regola isteretica che è stata
scelta per la definizione dell’energia assorbita:
· 1 1
· 1 1
.
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Figura 1 - 6: Differenti regole isteretiche utilizzate nel secondo dei due studi considerati & loro relativi coefficienti per la
definizione della componente isteretica dello smorzamento, ottenuta da analisi inelastiche di accelerogrammi spettro -
compatibili
Smorzamento elastico
Nell’equazione (1.7) è inclusa una componente di smorzamento elastico, il quale non viene
catturato nel modello isteretico adottato. Questo può essere ottenuto dalla combinazione di molti
fattori, il piø importante dei quali è quello di considerare l’assunzione semplificativa di risposta
perfettamente elastica lineare nel range elastico del modello isteretico.
Considerando un sistema ad un solo grado di libertà (SDOF), il coefficiente di smorzamento
elastico compare nell’equazione di equilibrio dinamico:
.
Dove x è la risposta del sistema in termini di spostamento relativo, è l’accelerazione del terreno,
m e k sono rispettivamente massa e rigidezza del sistema. Il coefficiente di smorzamento elastico è
per l’appunto c.
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Il coefficiente di smorzamento elastico è definito come:
2 2 √ .
.
Il coefficiente di smorzamento e di conseguenza la relativa forza di smorzamento, dipendono dal
valore della rigidezza adottata. In molti casi di analisi, si è soliti ad utilizzare come valore di
rigidezza quello iniziale. Questo però, in particolare in analisi con comportamento di tipo inelastico,
restituisce valori impuri e poco corretti della forza di smorzamento, pertanto risulta essere
appropriato utilizzare un valore di rigidezza tangente e non iniziale. Con la rigidezza tangente
infatti, il coefficiente di smorzamento muta proporzionalmente ogni volta che la rigidezza cambia.
Necessario poi, è introdurre degli aggiustamenti per lo smorzamento elastico, per tener conto del
diverso comportamento della struttura sostitutiva da quella reale, per assicurare cioè compatibilità
tra le due. Gli aggiustamenti dipendono, se si è utilizzata la rigidezza iniziale, oppure quella
tangente. Se si utilizza la rigidezza iniziale, in tal caso il coefficiente di smorzamento sarà piø alto
rispetto alla struttura sostitutiva, se si utilizza quella tangente sarà invece piø basso, come è
possibile notare nella seguente Fig. 1 – 7 qui sotto:
Figura 1 - 7: Isteresi bi – lineare & smorzamento elastico rappresentato nella curva Forza - Spostamento
La Fig. 1 – 7 sopra riportata rappresenta la risposta in termini di forza - spostamento per causa di
una eccitazione armonica. Con la linea continua (c costante), si rappresenta l’andamento dello
smorzamento elastico con utilizzo della rigidezza iniziale, con linea continua (c pari a ) si
rappresenta lo smorzamento elastico con l’utilizzo della rigidezza tangente.
Si nota come l’energia dissipata nel caso si utilizzi la rigidezza iniziale, sia maggiore rispetto a
quello della struttura sostitutiva e quindi della rigidezza effettiva. Mentre si nota sempre, come
l’energia dissipata con l’ausilio della rigidezza tangente, sia questa volta inferiore rispetto a quello
della struttura sostitutiva (ovvero della rigidezza effettiva). Inoltre, la riduzione netta che si nota
nella curva dello smorzamento elastico, con l’utilizzo della rigidezza tangente, è dovuto al cambio
di pendenza dell’inviluppo isteretico. Un ulteriore linea che si nota nella figura ( ),
rappresenta lo smorzamento elastico ottenuto dalla somma di due termini, proporzionali alla massa
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e alla rigidezza tangente rispettivamente, definito di Rayleigh. Questo come si può notare risulta
essere molto vicino a quello della struttura sostitutiva.
E’ possibile così ottenere delle relazioni analitiche corrette del coefficiente di smorzamento elastico,
tra la struttura sostitutiva e quella reale, con delle eccitazioni armoniche. Gli studi di Grant ed altri
hanno confrontato i risultati di analisi elastiche della struttura sostitutiva, con quelli di analisi
inelastiche di time – history per determinare il fattore di correzione da applicare allo smorzamento
elastico a seconda che si segua l’assunzione di rigidezza iniziale oppure tangente. Cambia perciò la
forma dell’equazione (1.7) nella seguente:
.
Dove, dalle analisi inelastiche con delle time – history, prende la forma:
.
Il valore di rappresenta il fattore di duttilità in spostamento, mentre dipende dalla regola di
isteresi seguita e dall’assunzione fatta per lo smorzamento elastico. I valori di sono rappresentati
nella Fig. 1 – 8 qui sotto, inoltre nella figura stessa si rappresentano gli andamenti di al variare
delle differenti regole isteretiche scelte e dei modelli di smorzamento elastico assunti.
Figura 1 - 8: rapporto tra smorzamento della rigidezza secante e lo smorzamento viscoso elastico connesso alla rigidezza
iniziale e tangente ( ) & valori di per la correzione dello smorzamento viscoso elastico con rigidezza secante
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Per molte progettazioni è comunque possibile semplificare il processo, con la scelta di uno
smorzamento elastico da adottare, che coincida con quello comunemente usato per il tipo di
materiale e tipologia strutturale, il quale fa riferimento alla rigidezza iniziale e non risulta essere
tempo – dipendente. Questa scelta può essere ragionevole per due motivi:
- la dipendenza dal tempo, può essere considerata significativa soltanto per periodo maggiori
di 1 sec;
- un grado di smorzamento elastico del 5% può essere quello piø ragionevole da assumere, nel
caso dell’acciaio può essere corretto assumere anche il 2%.
Per telai in acciaio ad esempio, invece di dover calcolare separatamente, come è stato descritto in
precedenza, smorzamento dovuto al ciclo di isteresi e smorzamento elastico, è possibile utilizzare
un'unica relazione che comporta risultati analoghi.
0,05 0,577 · 1
.
Esempio
Proviamo a verificare quanto è stato detto poco fa, prendendo ad esempio, uno dei telai che verrà
presentato nel seguito e che sarà oggetto dello studio di questa ricerca.
Si consideri un telaio in acciaio di 4 piani – 1 campata, luce della campata pari ad 7 , altezza
di interpiano pari ad 3,5 , altezza delle travi adottate (IPE 600) pari ad 0,6 . Dal
processo DDBD si ottiene uno spostamento di progetto di ∆
0,263 , ottenuto avendo adottato
un limite di drift 2,5% il quale comporta un ∆
· 0,0875 . Per un periodo
2,15 ed un’altezza effettiva 10,5 , si calcola:
0,6 · · 0,6 · 0,002 · 7
0,6
0,014 ∆
· 0,014 · 10,5 0,147
∆
∆
0,263
0,147
1,79 1,79
, 1,43 . 1 7
, 1,43 · 0,02 2% 0,0286 2,86%
· 1 1
· 1 1
0,289 1 1
1,79
, · 1 1
2,15 0,856 , 0,088 8,8%
, , , %
Con la relazione vista prima (1.15) si ha:
, , · , , , , %
I due smorzamenti viscosi equivalenti, calcolati secondo le due metodologie, portano ad un simile
risultato, come si voleva dimostrare.
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