Deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra

- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
Introduzione 
Breve descrizione della Tesi Monografica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Il terzo Angelo suonò la sua tromba: cadde dal cielo una stella enorme, che 
bruciava come una fiaccola, e cadde sulla terza parte dei fiumi e sulle sorgenti 
d’acqua”, Apocalisse 8,10. 
 
Ogni civiltà umana ha interpretato e descritto gli avvenimenti meteoritici 
nell’arco della storia; “La morte che viene dal cielo” per gli indiani d’America, il 
castigo divino per gli antichi greci, la premonizione delle profezie e la causa delle 
principali disgrazie e pestilenze per le civiltà europee medioevali. 
Descrizioni più o meno catastrofiche che potremmo continuare a scrivere per 
pagine e pagine provenienti da ogni angolo della Terra. Dalle civiltà precolombiane 
agli antichi romani una cosa è certa, tutti loro si sono chiesti: “che cosa sta 
succedendo nel nostro cielo?”. 
Oggi, noi siamo in grado di dare alcune risposte a quelle domande. Sappiamo che 
lo Spazio, il nostro Sistema solare per cominciare, è composto da elementi quali il 
Sole, i Pianeti con i loro satelliti, gas interstellare e polveri spaziali. Sono però 
presenti anche una miriade di piccoli corpi celesti che col tempo abbiamo imparato a 
classificare come: comete, asteroidi (o pianetini) e meteoriti (o detriti spaziali). 
Le collisioni con questi corpi celesti non sono per niente eventi rari, anzi 
quotidianamente la terra è bersagliata da piccoli detriti spaziali che per lo più si 
disintegrano nell’atmosfera. 
Ciò che sono più rare sono le collisioni con corpi di dimensioni considerevoli che 
in epoche più remote hanno plasmato la Luna e la Terra: sulla prima gli effetti sono 
ancora ben visibili mentre su l’ultima l’erosione, la vegetazione e le evoluzioni 
morfologiche hanno cancellato i crateri ed i segni di quegli impatti. 
Si stima ancora oggi che sulla Terra, annualmente, entrino in collisione un 
numero variabile di meteoriti compreso tra i 500 ed i 2000, ma solo una piccolissima 
parte di essi riesce a toccare la superficie. Sempre grazie a calcoli statistici si stima 
un avvenimento significativo ogni 10-50 anni ed uno catastrofico ogni 20.000-50.000 
anni. 
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- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
Tra gli avvenimenti significativi consideriamo le piogge di meteoriti eccezionali, 
dovute a passaggi ravvicinati di Comete e Asteroidi, fenomeni che vanno a sommarsi 
alle ormai note e periodiche piogge di “stelle cadenti” che prendono il nome dal 
punto del cielo (chiamato radiante) da cui appaiono. 
Quando questi frammenti entrano nell’atmosfera si incendiano per attrito e 
formano la caratteristica scia della meteora. I frammenti più piccoli generalmente poi 
esplodono nell’atmosfera a causa della forte differenza di pressione e temperatura tra 
i due lati estremi del corpo. 
Il rallentamento del corpo dipende dal peso del meteorite, per esempio meteoriti 
fino a una tonnellata vengono decelerati fino alla velocità di caduta libera e se 
trovano un terreno soffice vi si conficcano senza grandi esplosioni; questi casi sono i 
preferiti per gli studiosi poiché il meteorite non si distrugge. 
Aumentando di peso il rallentamento diventa sempre meno efficace e troviamo 
ellissi di dispersione (fig.I.1) dei crateri dovuti dal fatto che il meteorite si frammenta 
poco prima dell’impatto. 
 
 
 
Fig.I.1: dislocazione dei crateri di impatto di un meteorite disgregatosi in atmosfera. 
 
 5
- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
Oltre le dieci tonnellate di peso il meteorite si disintegra sul suolo creando un 
cratere di dimensioni straordinarie. Viste le velocità altamente supersoniche, tali 
esplosioni oltre ad essere devastanti producono boati sonici udibili per centinai di 
chilometri il tutto seguito da incendi e scosse sismiche (tab.I.1). 
 
 
 
Categoria        
 
(diametro  
                      asteroide) 
 
Effetti 
ambientali 
 
 
Disastro Regionale 
 
(300 m) 
 
Fine della civiltà 
 
(2 km) 
 
Estinzione globale 
 
(10-15 km) 
 
Incendi 
 
Incendi localizzati 
nella zona di impatto 
 
Propagazione delle 
esplosioni ed incendi per 
centinaia di km 
dall’impatto 
 
Esplosione ed incendio di 
tipo globale 
 
Polveri 
stratosferiche 
 
Presenza limitata alle 
quote più basse 
 
Oscuramento del sole da 
parte di nuvole di polveri 
persistenti e problemi 
globali all’agricoltura per 
diversi giorni o mesi 
 
Oscuramento completo del 
sole, notte perenne per 
diversi anni dall’impatto, 
nuova era glaciale 
 
Altri effetti 
atmosferici 
 
 
Nessun effetto 
 
Aerosol di solfati, fumi ed 
altri gas nocivi,  possibile 
distruzione della fascia di 
ozono 
 
Effetti di inverni chimici 
con decadimenti di polveri 
pesanti per anni, completo 
inquinamento delle acque 
mondiali 
 
Terremoti 
 
Lievi scosse locali 
 
Danni significativi per 
centinaia di km dal ground 
zero 
 
Possibile danno globale 
alla superficie terrestre 
 
Tsunami 
 
Effetti lievi lungo le 
coste oceaniche 
interessate 
 
Possibile inondazione 
oceanica propagante per 
decine di km all’interno 
della costa 
 
Serie di tsunami mondiali 
con inondamento di 
centinaia di km di 
terraferma 
 
Distruzione totale 
nella zona del 
cratere 
 
Zona del cratere di 
circa 5-10 km 
 
Zona del cratere di         
circa 50 km 
 
Zona del cratere di         
diverse centinaia di km 
 
Tab.I.1: descrizione degli eventi collaterali provocati dall’impatto con corpi di diametro variabile. 
 
 6
- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
Scenari impressionanti che non sono però così sconosciuti e rari e solo nello 
scorso secolo possiamo citare la pioggia meteoritica di  Sikhote-Alin del 12 febbraio 
1947 nella Siberia orientale (simile a un altro caso del 1875 sempre nella stessa 
zona), un altro caso in Canada nel 1972 ed in Australia nel 1969 (famoso anche per il 
primo ritrovamento di tracce di aminoacidi all’interno dei detriti). 
Il 30 giugno 1908 ci fu lo strano caso dell’evento Tunguska, in Siberia. Dopo 
tanti anni di ricerche e studi sembra che quell’impatto debba attribuirsi al nucleo di 
una cometa esaurita che esplose a pochi metri da terra producendo forse l’esplosione 
più grossa che l’uomo possa testimoniare (circa 20 Megatoni, cioè mille volte la 
bomba di Hiroshima). Certo allora è stata distrutta una zona del diametro di 80 
chilometri disabitata della Taiga, ma se fosse successo in una regione popolosa? 
Allora è questa la domanda corretta da porci: Cosa possiamo fare per evitare 
queste collisioni? 
Questi casi per quanto disastrosi non sono niente se paragonati al caso del 
“Meteor Crater” in Arizona del diametro di 1200 metri e profondo 170 di circa 
20.000 anni fa. Oppure del gigantesco meteorite che 65 milioni di anni fa precipitò 
nello Yucatan oscurando l’intero Pianeta per anni, portando all’estinzione numerose 
specie di animali. 
Dobbiamo fare qualcosa per evitare che dallo Spazio profondo si prepari una 
minaccia che porti l’uomo all’estinzione proprio come i dinosauri del Cretaceo.  
Lo scopo di questa tesi sarà proprio dare alcune risposte concrete a questa 
domanda, pianificando una possibile missione di intercettazione e deviazione di 
pericolosi corpi celesti con l’obiettivo della salvaguardia della vita sul nostro pianeta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
Capitolo 1 
Principi di meccanica celeste e volo spaziale 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prima di affrontare nello specifico l’argomento dell’intercettamento e tipologie di 
deviazione di corpi celesti è necessario introdurre alcuni principi fondamentali che 
regolano il moto dei corpi del Sistema Solare. 
Partiremo da leggi prima empiriche e poi dimostrate rigorosamente, introdurremo 
un prima problema generale (N-body) per poi formularne uno più semplice che 
riusciremo a risolvere analiticamente ponendo le basi dell’astrodinamica (2-body). 
Verranno definiti gli elementi orbitali generici e la nomenclatura in uso comune, 
inoltre affronteremo le problematiche riguardo le perturbazioni esistenti e nello 
specifico studieremo il caso dei “tre corpi” con l’introduzione delle definizioni di 
sfere di influenza. 
Infine verranno brevemente riassunti i principi del volo spaziale e quindi non 
considereremo più corpi celesti ma mezzi e velivoli astronautici. 
 
1.1 Le leggi dell’astrodinamica 
 
Gli Antichi Greci ed alcune civiltà precolombiane avevano già intuito il moto dei 
pianeti e delle stelle dopo attente e scrupolose osservazioni astronomiche. Dai tempi 
di Aristotele si passa poi al 1609 in Europa dove si attribuisce a Keplero la nascita 
della moderna astrodinamica. 
 
Le leggi di Keplero regolano il moto ellittico di due corpi soggetti unicamente 
alla reciproca attrazione gravitazionale e furono ricavate empiricamente dallo 
studioso tedesco in base allo studio dei moti apparenti in cielo dei pianeti. Meno di 
un secolo più tardi, come vedremo, risultò che sono una conseguenza della legge di 
gravitazione universale. 
 
 
 8
- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
- prima legge - I pianeti descrivono orbite ellittiche di cui il sole occupa uno 
dei due fuochi (fig.1.1). 
 
Fig.1.1: Nomenclatura generale e dimensioni geometriche di un orbita kepleriana. 
 
 
- seconda legge - (Detta anche legge delle aree). Le aree descritte dal raggio 
vettore di un pianeta sono proporzionali ai tempi impiegati a 
percorrerle (fig.1.2). 
 
Fig.1.2: Il raggio vettore che unisce il Sole con il pianeta descrive aree uguali in tempi uguali. 
 9
- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
- terza legge - I quadrati dei tempi di rivoluzione sono proporzionali ai cubi 
dei semiassi maggiori delle orbite e cioè ai cubi delle distanze 
medie dei pianeti dal Sole (fig.1.3). 
 
 
Fig.1.3: , applicazione della terza legge ai pianeti del sistema solare. 
 
Come anticipato prima dobbiamo aspettare il 1687 con Newton per dare una 
formulazione matematicamente rigorosa del moto dei pianeti. 
Di seguito riportiamo le tre fondamentali leggi del moto e la formulazione della 
legge della gravitazione universale, sempre di newton. 
 
- prima legge - Ogni oggetto rimane fermo o continua nel suo stato di moto 
rettilineo uniforme se su di esso non sono impresse forze di 
alcuna natura. 
 
- seconda legge - La variazione di quantità di moto di un corpo è proporzionale 
alla forza che gli viene impressa  e diretta nella stessa 
direzione di azione. 
 
- terza legge - (Principio di azione ed reazione). Ad ogni azione corrisponde 
una reazione uguale e contraria. 
 
 10
- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
- legge della gravitazione universale - Tale forza di azione e reazione è 
proporzionale alle due masse considerate ed 
alla costante di gravitazione universale G, 
mentre è inversamente proporzionale al 
quadrato della distanza (eq.1.1). 
       
2
r
Mm
G F =
       (1.1) 
 
-2 -1 3 11
s kg m 10 6742 . 6
−
⋅ = G 
 
 
    
Esistono poi altre leggi più o meno complesse ed alcune anche più moderne e 
realistiche ma la tradizione letteraria sui fondamenti dell’astrodinamica vuole 
solitamente fermarsi a questi enunciati. 
Per concludere c’è ancora in effetti un’altra legge empirica molto famosa, che in 
qualche modo al tempo della sua prima formulazione voleva in maniera originale 
dare una spiegazione quasi divina e magica al disegno del Sistema Solare, questi è la 
legge di Titius-Bode, così riassunta in tabella (tab.1.1). 
 
Pianeta k Distanza teorica  (Bode moderno) Distanza osservata
Mercurio 0 0,4 UA 0,39 UA 
Venere 1 0,7 UA 0,72 UA 
Terra 2 1,0 UA 1,00 UA 
Marte 4 1,6 UA 1,52 UA 
Cerere 8 2,8 UA 2,77 UA 
Giove 16 5,2 UA 5,20 UA 
Saturno 32 10,0 UA 9,54 UA 
Urano 64 19,6 UA 19,2 UA 
Nettuno - Plutone 128 38,8 UA 30,1 UA - 39,5 UA 
Eris 256 77,2 UA 67,7 UA 
 
Tab.1.1: , moderna formulazione della Legge di Bode con k riportato in tabella. 
 11
- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
1.2 Il problema degli N-corpi e dei 2-corpi 
 
Utilizzando la legge della gravitazione universale e le equazioni del moto 
cerchiamo ora di formulare una espressione generale che permetta di interpretare il 
generico moto di un qualsiasi corpo immerso in campo gravitazionale (tipo il 
Sistema Solare).  
Inizialmente consideriamo un sistema di riferimento assolutamente e 
perfettamente inerziale da cui possiamo tracciare la posizione di infiniti corpi celesti 
(N). Ogni corpo subisce rispettivamente le N-1 forze di attrazione gravitazionale 
degli altri ed inoltre è presente una generica sommatoria di altre forze che agiscono 
su di esso, tenendo per esempio in conto il fatto che i corpi non sono a simmetria 
sferica, che alcuni possono avere variazioni di massa, che possono essere già 
impresse forze e momenti ed altri tipi di perturbazioni (Disegno 1.1). 
 
 
j
R
r
∑
∑ oj
F
j gN
F
1 −
r
j g
F
3
r
j g
F
1
r
j g
F
2
r
m
N-1
 
m
3
 
m
1
 
r
gj
F
r
m
j
0 
Z
Y 
X 
m
2
 
 
Disegno 1.1: Generico sistema di riferimento inerziale per la trattazione dell’ “N-body problem”. 
 
 12
- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
Tenendo conto di queste considerazioni dallo schema precedente riusciamo a 
formulare il problema degli N-corpi che è rappresentato da una equazione 
differenziale di secondo ordine non lineare e vettoriale (eq.1.2).  
 
() N ,..., 2 , 1 = + = j m F F R
j oj gj j
r r
& &
r
    (1.2) 
 
Invece di considerare tutto lo spazio interessiamoci solo di due corpi, uno a 
massa M e l’altro con m. Centriamo ora il nostro sistema di riferimento nella massa 
M principale e rifacciamo le stesse considerazioni di prima ma trascurando tutte le 
perturbazioni. 
Dopo vari passaggi giungiamo a queste leggi del moto (eq.1.3):  
 
r
r
Mm
G R M r
r
Mm
G m
r
& &
r
r
& &
r
3 3
= − = ρ    (1.3) 
 
Dove ρ indica la distanza dal centro 0 della massa m, R quella della massa M 
mentre r è la distanza relativa tra M ed m (Disegno 1.2). 
 
 
m
M
r
ρ
 
R
 
0 
Z
Y
X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disegno 1.2: Generico sistema di riferimento per la trattazione del “2-body problem”. 
 13
- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
Se inoltre consideriamo M>>m, ipotesi vera per quasi tutti i sistemi binari del 
Sistema Solare, ed introduciamo il parametro gravitazionale µ = GM, otteniamo 
(eq.1.4): 
 
⇒ − ≅
+
− = r
r
GM
r
r
m M
G r
r r
& &
r
3 3
      
r
r
r
r
& &
r
3
µ
− =
     (1.4) 
 
Questa è una equazione differenziale di secondo ordine vettoriale ma questa volta 
lineare e quindi risolvibile analiticamente. Rappresenta il generico moto di un corpo 
m intorno ad un altro M molto più grande e fisso, in cui è la sola forza gravitazionale 
ad imporre i vincoli del moto. 
La risoluzione di questa equazione permette quindi di conoscere la geometria del 
moto e quindi la sua traiettoria. 
 
1.3 Costanti del moto 
 
Da una prima valutazione preliminare possiamo definire il lavoro come una 
variazione energetica tra due stati distinti (eq.1.5) e quindi identifichiamo una 
grandezza già nota che è l’energia potenziale, che in questo contesto è più corretto 
chiamare anche gravitazionale (eq.1.6). 
 
1 2
1 2
2
1
2
2
1
3 12 g g
E E
r r
r
r
s r
r
L − = + − = = ⋅ =
∫ ∫
µ µ µ µ
d d
r r
   (1.5) 
 
r
E C
r
E
g g
µ µ
− = ⇒ + − =     (1.6) 
 
L’energia potenziale gravitazionale è definita ameno di una costante C che 
solitamente è uguale a zero in astrodinamica (eq.1.6). 
Dopo questa prima considerazione energetica riportiamo ora la procedura 
classica di risoluzione della legge del moto dei due corpi (eq.1.7).  
 
0
3
= + r
r
r
r
& &
r
µ
        ( 1 . 7 ) 
 
Elaborando l’equazione del moto con prodotti scalari e vettoriali di grandezze 
fondamentali riusciamo a ricavare alcune costanti fondamentali del moto (eq.ni 1.8). 
 
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- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
0
3
= ⋅ + ⋅ r r
r
r r
&
r r
& &
r
&
r µ
 (1.8a)  ; 0 = × r r
& &
r r
  (1.8b) 
 
0
3
= × + × h r
r
h r
r
r
r
& &
r µ
 (1.8c)  . 
 
Rispettivamente dalle equazioni precedenti ricaviamo: 
 
a. L’equazione dell’energia (eq.1.9a) dice che l’energia meccanica si conserva 
lungo la traiettoria (orbita) ed è presente un continuo equilibrio tra energia 
cinetica e potenziale grazie al trasferimento energetico tra le due forme. 
b. Un’altra equazione è quella del momento angolare (eq.1.9b), per cui il 
prodotto vettoriale tra la distanza r
r
 e la velocità V
r
 rimane invariato e quindi 
il vettore momento angolare si mantiene inalterato. Questa costante implica 
che la traiettoria orbitale rimane costretta in un unico piano di moto per cui si 
conferma la bidimensionalità del problema.  
c. C’è infine il vettore e
r
 (eq.1.9c) che si conserva nel moto dei due corpi.   
 
const = − =
r
v µ
2
2
E (1.9a)  ; const = × = v r h
r r
r
 (1.9b) 
 
const = −
×
=
r
r h v
e
r
r
r
r
µ
 (1.9c)  . 
 
1.4 Soluzione dell’equazione del moto 
 
Dopo aver ricavato le costanti del moto, riusciamo con un ulteriore prodotto 
scalare ad ottenere l’equazione della traiettoria come (eq.1.10): 
 
⇒ − = ⋅ r
h
e r
µ
2
r r
 
ν
µ
cos e
h
r
+
=
1
2
    ( 1 . 1 0 ) 
 
r
e è il vettore eccentricità che punta nella direzione del periastro, cioè il punto 
più vicino al fuoco dell’orbita conica, ν è l’angolo compreso tra il vettore r
r
 ed e
r
 e 
permette di ricavare la posizione istante per istante.  
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- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
Analizzando attentamente l’equazione precedente riusciamo a capire che si tratta 
di una generica equazione di una conica opportunamente modificata e ricavata per 
coordinate polari.  
In effetti se sostituiamo µ
2
h p = e consideriamo la definizione di conica 
otteniamo l’equazione delle sezioni coniche (eq.1.11- disegno1.3).  
 
ν ν cos cos e
p
r
r d
p
e
d
r
+
= ⇒
+
= =
1
    ( 1 . 1 1 ) 
 
 
 
d 
P r
1 
direttrice
F 
d
1
ν 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disegno 1.3: Geometria di base della definizione geometrica di conica nel piano. 
 
 
 
Quindi, dal confronto (1.10 ed 1.11), possiamo dire che nel problema dei due 
corpi la massa m orbita intorno ad M movendosi lungo una generica conica nel cui 
fuoco è posizionato proprio il corpo principale. Considerazione più generale che 
dimostra anche la prima legge di Keplero sulle orbite ellittiche. 
Inoltre il semilatus rectum p è legato al modulo del momento angolare 
dell’orbita; ed infine l’eccentricità della conica è proprio il modulo del vettore e
r
, 
una delle costanti del moto. 
 16
- Intercettamento e deviazione di corpi celesti diretti verso la Terra - 
Dalla geometria del piano sappiamo tutto sulle coniche, dalle varie definizioni 
[eq.ni 1.12-1.13; fig.1.4] alle importanti relazioni geometriche. Di seguito riportiamo 
alcune espressioni di maggiore rilievo: 
 
1. ellisse: 
 
) 0 ( 1
2
2
2
2
> = + a
b
y
a
x
      ; 1
2
< = − =
a
c
e a c
2
b 
 
a r r 2 = ′ +     ;  ex a r − = ; ex a r + = ′ 
 
P A
P A P A
r r
r r
e
r r
a
+
−
=
+
=
2
 ;    (1.12) ) 1 (
2
e a p − =
 
 
 
Fig.1.4: Principali dimensioni di una figura ellittica. 
 
 
2. iperbole: 
 
) 0 ( 1
2
2
2
2
< = − a
b
y
a
x
 ; 1
2
> = + − =
a
c
e a c
2
b 
 
e
1
= Φ cos ; r ) 1 ( e a r ex a
P
− = ⇒ − = 
 
) 1 ( ;
cos 1
) 1 (
2
2
e a p
e
e a
r − =
+
−
=
ν
     ( 1 . 1 3 ) 
 17