Moto con un punto di ristagno per due fluidi

Trasformazioni di similarit` a
Le trasformazioni di similarit` a riducono le equazioni di
Navier-Stokes ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie pi` u
semplice da risolvere.
Esempi importanti di moti ottenuti mediante trasformazioni di
similarit` a sono i moti con un punto di ristagno.
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Moto con un punto di ristagno
Il moto con un punto di ristagno ` e un particolare moto
caratterizzato dal fatto che il fluido si muove verso un ostacolo.
Il fluido, dunque, parte dall’infinito e si muove verso tale
parete perpendicolarmente ad essa.
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Ipotesi dello studio
Datonull x
1
x
2
x
3
il riferimento cartesiano, ortonormale associato
all’osservatore, abbiamo fatto le seguenti ipotesi:
1 il fluido, durante il moto, occupa la regione S al di sopra del
piano di equazione x
2
= 0, per cui
S =
null P(x
1
,x
2
,x
3
)nullnull :(x
1
,x
3
)null R
2
,x
2
> 0
null ;
2 il moto ` e stazionario dal punto di vista meccanico;
3 il moto avviene in assenza di forze esterne di massa.
In tal caso il moto ` e caratterizzato dalla presenza, nel pianonull x
1
x
2
di un punto di ristagno, cio` e un punto in cui la velocit` a del fluido
` e nulla. Il fluido, quando ` e vicino all’ostacolo, si divide in due flussi
simmetrici e opposti rispetto al punto di ristagno.
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Moto con un punto di ristagno per un
fluido perfetto, incomprimibile ed omogeneo
Il moto per un fluido perfetto, incomprimibile ed omogeneo si
imposta mediante il seguente sistema:
null null null null gradvnull v =null grad p
div v = 0 in S
(1)
con null costante positiva nota.
A questo sistema associamo la condizione al contorno, detta
condizione di impenetrabilit` a:
vnull n
null x
2
=0
= 0. (2)
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Moto con un punto di ristagno per un
fluido perfetto, incomprimibile ed omogeneo
Il campo della velocit` a, per questi fluidi :
v = ax
1
e
1
null ax
2
e
2
,
con a costante positiva e proviene da un potenziale scalare:
v = grad null nullnull null (P)=
a
2
null x
2
1
null x
2
2
null null P null S.
Mentre la pressione ` e data dall’equazione di Bernoulli:
p = p
0
null null
a
2
2
null x
2
1
+x
2
2
null ,
con p
0
pressione nei punti di ristagno.
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Moto con un punto di ristagno per un
fluido perfetto, incomprimibile ed omogeneo
Nella seguente Figura, sono rappresentate le linee di flusso nel
piano x
3
= 0.
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Moto con un punto di ristagno per un
fluido newtoniano, incomprimibile ed omogeneo
Impostazione classica del problema
Per questi fluidi il moto con un punto di ristagno ` e impostato in
maniera completa mediante le equazioni di Navier-Stokes:
null nullnullnull nullnullnull null v
null t
+gradvnull v = F+null Δvnull grad p
null
div v = 0
(3)
dove null :=
null
null
` e il coefficiente di viscosit` a cinematica.
A questo sistema va associata la condizione di aderenza alla
parete:
v
null x
2
=0
= 0.
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Impostazione classica del problema
Per prendere in considerazione l’effetto della viscosit` a espresso
dalla condizione di aderenza, supponiamo che, lontano dalla
parete, il moto abbia lo stesso andamento del moto con un
punto di ristagno dei fluidi perfetti.
Dunque esprimiamo le due componenti non nulle della velocit` a
mediante una funzione incognita di x
2
e della sua derivata
(trasformazione di similarit` a) e, per la pressione, sfruttiamo
l’ipotesi che, per x
2
null ∞, la pressione sia data dall’equazione di
Bernoulli:
p = p
0
null null
a
2
2
null x
2
1
+x
2
2
null .
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Impostazione classica del problema
Teorema
Dato un fluido newtoniano, incomprimibile ed omogeneo, che
occupa la regione:
S =null P(x
1
,x
2
,x
3
)nullnull :(x
1
,x
3
)null R
2
,x
2
> 0null ,
il moto stazionario con un punto di ristagno per tale fluido ha la
seguente forma:
v = ax
1
null
null (null )e
1
null null null anull (null )e
2
,
p = p
0
null null
a
2
2
x
2
1
null null
a
2
null
null null (null )
null 2
+null anull
null 1null null
null (null )
null ,
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Impostazione classica del problema
Teorema
dove:
null = x
2
null a
null
e la funzione null (null ) soddisfa l’equazione differenziale, ordinaria, non
lineare, del terzo ordine, non omogenea:
null
nullnullnull (null )+null (null )null
nullnull (null )null null null
null (null )
null 2
+1= 0, (4)
nota come equazione di Hiemenz, con le condizioni al contorno:
null (0)= 0, null
null (0)= 0, null
null (∞)= 1. (5)
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Impostazione classica del problema
La soluzione del problema (4), (5) non si pu` o trovare in termini di
funzioni elementari.
Tuttavia tale problema ` e un sottocaso del seguente problema
differenziale pi` u generale:
null
nullnullnull (null )+null (null )null
nullnull (null )+null
null 1null null null
null (null )
null 2
null = 0, (6)
(equazione di Falkner-Skan), con le condizioni al contorno:
null (0)= null , null
null (0)= null null
null (∞)= 1, (7)
dove null ,null ,null nel nostro caso particolare sono null = null = 0, null = 1.
Per tale problema esistono alcuni risultati di esistenza e unicit` a
della soluzione, dovuti a P.Hartmann e a K. Kuen Tam.
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Moto con un punto di ristagno per un
fluido newtoniano, incomprimibile ed omogeneo
Impostazione del problema tramite la funzione di corrente
Abbiamo, poi, impostato il moto con un punto di ristagno per un
fluido newtoniano, incomprimibile ed omogeneo tramite la
funzione di corrente null tale che:
null nullnullnullnull nullnullnullnull v
1
=
nullnull
null x
2
,
v
2
=null nullnull
null x
1
(8)
arrivando all’equazione di Hiemenz trovata nell’impostazione
classica del problema.
Uno dei vantaggi dell’introduzione della funzione di corrente ` e di
sostituire le due componenti indipendenti della valocit` a, con una
singola funzione.
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Obiettivo della tesi
Ci siamo occupati del moto con un punto di ristagno dove la
parete fissa e rigida ` e stata sostituita da un fluido pi` u pesante.
Il nostro scopo ` e stato di trovare una soluzione delle equazioni di
Navier-Stokes per il fluido superiore e inferiore, sostituendo la
parete che rappresenta l’ostacolo verso cui si muove il fluido, con
la superficie libera di un altro fluido pi` u pesante.
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Esempio pratico
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Moto con un punto di ristagno per due
fluidi
Per semplificare il problema e per ottenere una soluzione esatta,
supponiamo che la superficie di separazione tra i due fluidi, detta
superficie di capillarit` a, sia piana.
Useremo l’apice (1) e l’apice (2) per riferirci, rispettivamente, al
fluido superiore (pi` u leggero) e al fluido inferiore (pi` u pesante).
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Moto con un punto di ristagno per due
fluidi
Nella seguente Figura sono raffigurate le coordinate relative ai due
fluidi.
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Fluido inferiore (2) pi` u pesante
Teorema
Dato un fluido newtoniano, omogeneo e incomprimibile, che
occupa la regione:
S =null P(x
1
,x
(2)
2
,x
3
)nullnull :(x
1
,x
3
)null R
2
,x
(2)
2
> 0null ,
il moto stazionario conseguenza del moto con un punto di ristagno
del fluido superiore ha la seguente forma:
v
(2)
= anull x
1
h
null (null )e
1
null null null
2
anull h(null )e
2
,
p
2
= p
0
null null
2
a
2
nullnull
2
h
2
(null )null null
2
anullnull
2
h
null (null ),
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Fluido inferiore (2) pi` u pesante
Teorema
dove:
null = x
(2)
2
null anull
null
2
e la funzione h(null ) soddisfa l’equazione differenziale, ordinaria, non
lineare, del terzo ordine, omogenea:
h
nullnullnull (null )+h(null )h
nullnull (null )null null h
null (null )
null 2
= 0, (9)
con le condizioni al contorno:
h(0)= 0, h
null (0)= 1, h
null (∞)= 0. (10)
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Unicit` a della soluzione per il fluido
inferiore
Una soluzione del problema (9), (10) ` e
h(null )= 1null e
null null
. (11)
Questa soluzione fu trovata da Stuart (1966) e successivamente da
Crane (1970), mentre McLeod e Rajagopal (1987) ne dimostrarono
l’unicit` a.
Si pu` o ricavare la soluzione (11) dallo studio dei moti di Beltrami
per i quali vale:
vnull ω= 0nullnull ω= null v, null null R, (12)
doveω= rotv ` e il vettore vorticit` a. Questa soluzione compare
anche nella generalizzazione dei moti di Beltrami:
rot(vnull ω)= 0.
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Fluido inferiore (2) pi` u pesante
Nella seguente Figura possiamo osservare l’andamento della
funzione h e h
null al variare di null .
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Fluido superiore (1) pi` u leggero
Teorema
Dato un fluido newtoniano, omogeneo e incomprimibile, che
occupa la regione:
S =null P(x
1
,x
(1)
2
,x
3
)nullnull :(x
1
,x
3
)null R
2
,x
(1)
2
> 0null ,
il moto stazionario con un punto di ristagno per tale fluido ha la
seguente forma:
v
(1)
= ax
1
null
null (null )e
1
null null null
1
anull (null )e
2
,
p
1
= p
0
null null
1
a
2
2
null null
2
(null )+2null
null (null )
null null null
1
a
2
2
x
2
1
+
+null
1
null
1
2
null
2
null null
1
null a
null +null
1
a
2
,
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Fluido superiore (1) pi` u leggero
Teorema
dove:
null = x
(1)
2
null a
null
1
e la funzione null (null ) soddisfa l’equazione differenziale, ordinaria, non
lineare, del terzo ordine, non omogenea:
null
nullnullnull (null )+null (null )null
nullnull (null )null null null
null (null )
null 2
+1= 0,
nota come equazione di Hiemenz, con le condizioni al contorno:
null (0)= 0, null
null (0)= null , null
null (∞)= 1.
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La costante null
La quantit` a incognita null rappresenta il movimento orizzontale
sull’interfaccia a varia da 0 a 1.
Infatti se null = 0, siamo in presenza di un’interfaccia rigida e quindi
vale la condizione di aderenza, mentre se null = 1 siamo nel caso di
fluido perfetto.
L’equazione usata per calcolare il valore di null ` e:
null
nullnull (0)
null null
3
2
h
nullnull (0)
=
null
2
null
1
null null
2
null
1
null K.
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Fluido superiore (1) pi` u leggero
Nelle seguenti Figure possiamo osservare la funzione null (null ) e la
derivata null
null (null ) quando null = 0, null = 0.5, null = 1.
(a) La funzione null (null ) (b) La funzione null
null (null )
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Soluzione perturbata per il fluido superiore
Per il fluido superiore (pi` u leggero) siamo riusciti ad ottenere una
soluzione perturbata considerando il caso in cui il fluido inferiore
sia approssimativamente perfetto e null null 1, dunque la soluzione
diventa null (null )null null .
Perturbiamo la soluzione come segue:
null (null )= null +null F(null )+null (null
2
),
con null null 1null null . Sostituendo questa soluzione approssimata
nell’equazione di Hiemenz per il fluido superiore, otteniamo che:
F(null )=null C
2
null null
0
(s
2
+1)
null ∞
s
e
null t
2
2
(t
2
+1)
2
dtds, (13)
1
C
2
=
null ∞
0
e
null t
2
2
(t
2
+1)
2
dt.
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Moto con un punto di ristagno:
simmetria assiale
Ci siamo occupati, poi, dello stesso problema nel caso di
simmetria assiale introducendo le coordinate cilindriche r, null e x
2
.
Il fluido, dunque, si muove verso un ostacolo perpendicolare al
moto e scorre lungo questo radialmente in ogni direzione.
La rilevanza pratica di questo problema ` e nell’industria dei polimeri.
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Simmetria assiale: fluido inferiore
(pi` u pesante)
Teorema
Dato un fluido newtoniano, omogeneo e incomprimibile, che
occupa la regione:
S =null P(r,null ,x
(2)
2
) :(r,null )null R
2
,x
(2)
2
null 0null ,
il moto stazionario simmetrico rispetto all’asse x
(2)
2
, conseguenza
del moto con un punto di ristagno del fluido superiore, ha la
seguente forma:
v
(2)
= anull r h
null (null )e
1
null 2
null null
2
anull h(null )e
2
,
p
2
= p
0
null 2null
2
anull
null anullnull
2
null null null
2
anull
h
2
(null )+
null null
2
anull
h
null (null )
null ,
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Simmetria assiale: fluido inferiore
(pi` u pesante)
Teorema
dove:
null =null x
(2)
2
null anull
null
2
e la funzione h(null ) soddisfa l’equazione differenziale, ordinaria, non
lineare, del terzo ordine, omogenea:
h
nullnullnull (null )+2h(null )h
nullnull (null )null null h
null (null )
null 2
= 0, (14)
con le condizioni al contorno:
h(0)= 0, h
null (0)= 1, h
null (∞)= 0. (15)
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