Opzioni asiatiche: tecniche di valutazione

Capitolo 1
Le opzioni
1.1 Le opzioni Plain Vanilla
Leopzionisonoparticolaretipidistrumentiderivatichegarantisconoall’acqui-
rente, dietro pagamento di un prezzo, detto premio, il diritto di esercitare,
se conveniente, la facoltà di:
-acquistare (in caso di Call) con formula C(T ) =maxfS(T ) K; 0g
1
- vendere(in caso di Put) con formula P (T ) =maxfK S(T ); 0g
una determinata quantità di un bene (sottostante), ad un prezzo prece-
dentemente fissato (strike price), ad una data prestabilita (scadenza).
Se l’opzione è esercitabile solo a scadenza allora siamo in presenza di
un’opzione di tipo Europeo, se altrimenti è esercitabile in qualsiasi momento
allora tale opzione è di tipo Americano.
Dopo una breve apparizione all’inizio del ’900 nel Put and Call Dealers
Association (PCDA) dove non ottennero il successo a causa del verificarsi di
una serie di episodi illeciti e della mancanza di un mercato organizzato in
senso proprio, questi strumenti vennero scambiati per la prima volta nel 1973
al Chicago Board Option Exchange (CBOE), il prima mercato organizzato
delle opzioni.
Principalmente venivano scambiate opzioni su Commodities agricole, ma
illorosuccesso, comestrumentidicopertura, permisel’adattamentodiquesti
derivati ad ogni genere di contratto finanziario; si vennero quindi a creare
mercati dove si commerciavano opzioni su valute, Philadelphia Stock Ex-
change (PHLX), opzioni su indici azionari sull’American Stock Exchange
(AMEX), e opzioni su futures, scambiabili su tutti i mercati dove già si
scambiavano futures.
1
S(T) rappresenta il valore del sottostante a scadenza,
K è il prezzo d’esercizio, lo strike price.
10
Verso la fine degli anni ’70, il mercato con tutti i suoi protagonisti com-
prese appieno le potenzialità delle opzioni al punto che, al fine di tutelare i
contraenti e anche per evitare danni con ‘effetto domino’ dovuti a strumenti
nuovi ideologicamente molto utili e innovativi ma potenzialmente dannosi, ci
fu un rigido processo di regolarizzazione di questi scambi.
Nel 1982, con un programma triennale caratterizzato da un progressivo ir-
rigidimentodeicontrolli,laCommodityFuturesTradingCommission(CFTC)
si impegnò finalmente ad approvare la negoziazione dei contratti di opzione
su mercati organizzati.
In realtà nacque un contrasto, la Securities and Exchange Commission
(SEC), ente governativo statunitense preposto alla vigilanza della borsa va-
lori
2
, aveva intenzione di procedere in maniera autonoma proponendo un
proprio programma che ne confermasse l’autorità, questa opposizione portò
la CFTC e la SEC a scontrarsi ripetutamente in materia giurisdizionale.
Al termine del confronto, conclusosi con l’accordo Johnson-Shad (dai no-
mi dei due governatori che condussero le trattative) alla CFTC venne con-
ferita l’autorità su tutti i contratti futures e sulle opzioni, mentre la SEC
mantenne la propria giurisdizione per le opzioni su strumenti obbligazionari.
Con l’evolversi del tempo il commercio di questi derivati ebbe uno sviluppo
tecnologico passando da contrattazione ‘alle grida’ a contrattazioni ‘telema-
tiche’: il primo esempio fu il ‘Big Bang’ della borsa di Londra nel 1986 dove
ci fu l’introduzione di processi telematici che automatizzarono procedure e
standardizzano schemi di compravendita sostituendo la figura degli agenti di
cambio con quella dei market makers.
Il5febbraiodel1971aWallStreetnacqueilNasdaq, NationalAssociation
of Securities Automated Quotation, ovvero il mercato borsistico elettroni-
co dove vengono tuttora scambiati i principali titoli tecnologici della borsa
americana.
Per concludere questo excurus storico è necessario menzionare che ad oggi
i mercati finanziari si stanno muovendo in un’ottica di integrazione e cioè si
integra la possibilità di scambiare uno stesso contratto su piazze differenti a
seconda degli orari d’apertura, questo anche grazie alla liberalizzazione dei
movimenti di capitale sancita nel Trattato di Maastricht.
Dal punto di vista degli investitori, le opzioni vengono utilizzate con una
duplice finalità: se da un lato sono strumenti utili a fini di copertura di
portafoglio, vale a dire strumenti assicurativi che limitano le perdite evi-
tandone l’incertezza, dall’altro vengono utilizzate per speculare sull’anda-
mento del prezzo del bene sottostante, attraverso lo sfruttamento della leva
2
l’equivalente della Consob in Italia
11
finanziaria, concetto che si basa sull’ipotesi che l’ammontare di un investi-
mento non sia necessariamente uguale al capitale a disposizione, ma possa
superarlo abbondantemente.
La chiave del loro successo risiede in questo concetto: la leva finanziaria
consentedimoltiplicareiguadagniconuninvestimentoinizialerelativamente
basso, è ovvio pero che l’altra faccia della medaglia risiede nella possibilità
di perdita: un investimento con esito negativo può generare perdite pari o
superiori al capitale investito superando talvolta anche le garanzie alla base
del contratto stesso.
Contemporaneamente alla loro evoluzione si è accompagnato un crescente
interesse degli studiosi e ricercatori per la loro valutazione tra cui annoveria-
mo, in ordine cronologico, i due più importanti:
• (1973) Black e Scholes il cui modello si pone come obbiettivo quello
della valutazione del prezzo di non arbitraggio di un’ opzione standard
di tipo europeo, per semplicità, che non paga dividendi. Il modello si
basa su un concetto fondamentale: un titolo derivato è implicitamente
prezzato se il sottostante è scambiato sul mercato.
• (1979) Cox, Ross e Rubinstein il cui modello chiamato ‘modello bino-
miale’ si basa su ipotesi più semplicistiche e prevede la discrezionalità
del tempo, cioè la possibilità di suddividere l’intero periodo in diversi
stadi, e che il prezzo del sottostante possa crescere o diminuire, di uno
stesso fattore, ad ogni passaggio. Giunta la scadenza, la valutazione del
derivato int<T sarà quindi data dall’attualizzazione al tasso risk-free
della media risk-adjusted degli ipotetici valori delle opzioni in T.
La struttura del modello binomiale si basa essenzialmente su versioni discre-
te degli stessi argomenti che sono alla base del modello di Black e Scholes,
infatti questi due convergerebbero se la discrezione temporale del modello
binomiale tendesse a zero, cioè se i passi temporali di questo modello fossero
infinitesimali dovremmo giungere agli stessi risultati.
La tipologia di derivati finora descritti ha preso il nome di opzioni di pri-
ma generazione ma vengono più comunemente chiamate Plain-Vanilla cioè
contratti standard, senza clausole accessorie.
1.2 Le opzioni Esotiche
Con l’avanzare del tempo, ci fu un’ulteriore innovazione di questi strumen-
ti derivati tanto marcata che fu necessario suddividere l’intera categoria in
opzioni di prima e di seconda generazione.
12
E’ facile camuffare una semplice opzione decorata di clausole con un’ot-
timo ipotetico investimento: grazie a ciò molte banche, sulla scia dell’entusi-
asmo per la nascita di questi nuovi strumenti, hanno variegato la gamma di
scelta dei contratti in questione ornandoli di accessori contrattuali.
Studiate e descritte in una serie di articoli della rivista Risk tra il 1991 e
il 1992 da parte di Mark Rubinstein e Eric Reiner, nascono così una serie di
strumenti derivati affidabili in quanto adatti a colmare esigenze di copertura
da parte degli operatori, o necessità fiscali, contabili, legali o regolamentari.
Questeprendonoilnomediopzionidisecondagenerazioneo Opzioni Eso-
tiche: famiglia di opzioni che si distingue dalle opzioni Plain-Vanilla proprio
per questa varietà di clausole contrattuali.
A differenza delle plain vanilla queste vengono solitamente trattate nei
mercati OTC (dei quali verrà data una definizione in seguito) per questo
motivononèsempliceclassificarlecorrettamenteessendopresentisulmercato
in grandissima varietà di forma ed oltretutto in continua evoluzione. Volendo
comunque citare le più scambiate è possibile trovare:
• Asian Options: chiamate ‘asiatiche’, sono opzioni che a scadenza dipen-
dono dalla media dei prezzi assunta dal sottostante nel periodo di vita
dell’opzione
• Barrier Options: chiamate ‘con barriera’, sono opzioni il cui valore a
scadenza dipende dal fatto che il prezzo del sottostante abbia o meno
raggiunto un determinato livello in un certo periodo. La particolarità
si focalizza nelle clausole ‘knock in’, dove l’opzione si attiva al rag-
giungimento da parte del sottostante di tale livello, e ‘knock out’ dove,
al contrario, l’opzione si spegne. Un ultimo elemento è necessario per
inquadrare questo strumento: la direzione del sottostante. Spesso per
l’attivazioneodisattivazionedell’opzioneèprevistocheillivello‘knock’
sia colpito dal basso o dall’alto. Distinguiamo quindi quattro casi:
1. Down and In: l’opzione si attiva al toccare della barriera verso il
basso
2. DownandOut: l’opzionesidisattivaaltoccaredellabarrieraverso
il basso
3. Up and In: l’opzione si attiva al toccare della barriera verso l’alto
4. Up and Down: l’opzione si disattiva al toccare della barriera verso
il basso
Queste opzioni, a prescindere che siano call o put, hanno sempre un
costo ridotto rispetto alle plain vanilla.
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• Compound Options: chiamate ‘composte’, sono opzioni su opzioni (es.
Call su Call, Call su Put, Put su Call, Put, su Put). Il possessore di
una Call su Call , ad esempio, ha il diritto a scadenza di acquistare una
Call con caratteristiche prestabilite. Sono strumenti molto speculativi
che consentono di sfruttare alte leve finanziarie.
• Lookback Options: chiamate ‘retrospettive’, opzioni il cui valore finale
dipende dal prezzo minimo o massimo raggiunto dall’azione durante
la vita dell’opzione. Queste opzioni consentono al possessore di deter-
minare a scadenza lo strike price scegliendolo tra i valori del prezzo del
sottostante assunti nell’arco periodale della vita dell’opzione.
• Bermuda Options: opzioni che possono essere esercitate non solo a
scadenza ma anche in altri periodi prefissati dalle parti e non a totale
discrezione del possessore. Vengono considerate punto di incontro tra
le Europee e le Americane.
• Quanto Options: opzioni dove il sottostante è espresso in valuta, ma
il pagamento viene effettuato in un’altra valuta con tasso di cambio
prestabilito.
• Opzioni a Tempo: opzioni dove il payoff dipende da quanto tempo il
sottostante è rimasto all’interno di una forchetta di valori.
• Chooser Options: chiamate anche ‘a scelta’ o ‘come vi pare’ sono
opzionichepermettonoall’acquirente, datounostrikeprice, discegliere
in un determinato istante se tale opzione è una Call o una Put.
• Shout Options: chiamate ‘gridate’, sono opzioni di tipo europeo che
permettono all’acquirente di poter ‘gridare’ un valore del sottostante
durante il periodo di vita dell’opzione. A scadenza il portatore riceverà
il massimo tra il valore di mercato del sottostante e quello gridato.
• Rainbow Options: chiamate ‘arcobaleno’, sono opzioni il cui payoff a
scadenza dipende da una serie di attività rischiose.
• CappedOptions: opzionichecessanodiesistereseilsottostantedovesse
raggiungere una certa soglia, in questo caso il possessore verrebbe
liquidato con una somma di denaro prestabilita.
• Opzioni Binarie: queste opzioni si attivano se alla scadenza il prezzo
raggiunge lo strike price , in questo caso il pagamento è un ammontare
prestabilito di denaro, indipendentemente da quanto il prezzo abbia
superato lo strike.
14
In sostanza l’opzione esotica è una Plain Vanilla modificata in modo tale da
soddisfare le particolari necessità dell’acquirente e, per questo motivo, non è
standard. Per quanto riguarda la loro valutazione sorge lo stesso problema
incontrato per le opzioni di prima generazione: la non-linearità del payoff.
Un approccio risolutivo prevede di partire dalle formule in forma chiusa che
caratterizzano il pricing delle ‘genitrici’ Plain Vanilla, per poi adattarlo a
l’opzione in questione. Se per alcuni tipi di opzioni la soluzione del problema
si può ottenere adattando l’impostazione di Black e Scholes, per numerosi
altri è necessario ricorrere a metodi di approssimazione del modello discreto,
quali i modelli binomiali, o a tecniche di simulazione di tipo Monte Carlo
o quasi Monte Carlo.
1.3 I mercati OTC
Sono definiti come mercati OTC tutti quei mercati che non sono di , carat-
terizzati dal non avere i requisiti riconosciuti ai mercati regolamentati, cioè
mercati la cui negoziazione si svolge al di fuori dei circuiti borsistici ufficiali.
All’interno di questi mercati Over the counter avvengono scambi diret-
tamente tra le parti, i mediatori, chiamati ‘dealers’, che trattano contratti
finanziari via telefono, o computer, insomma senza l’intermediazione di una
figura super-partes come il mercato.
Questo ci porta immediatamente ad affrontare il primo grande rischio di
contrattazione in questi mercati, il rischio di credito.
Vale a dire che se gli scambi vengono effettuati sulla parola, la mancanza
dell’organo del mercato, inteso in senso istituzionale, fa venir meno quella
figura garantista che a scadenza avrebbe assicurato il buon esito del contrat-
to stipulato tempo addietro, in quanto c’è sempre la possibilità, per quanto
piccola, che il contratto non venga onorato.
In questi mercati gli oggetti di scambio sono dei più variegati, non solo c’è
un fitto commercio di prodotti standard, ma essendo un semplice accordo fra
due parti, gli oggetti di scambio vengono modificati per venire più incontro
ai desideri ed alle necessità dei soggetti contraenti.
15
Capitolo 2
Le opzioni Asiatiche
2.1 Definizione
Un’opzione asiatica è un’opzione che garantisce a scadenza un payoff dato
dal massimo tra la differenza della media dei valori del sottostante e lo strike
price, e zero.
Le opzioni asiatiche appartengono alla classe path-dependenth (sentiero
dipendenti) il cui payoff a scadenza non dipende solo dal prezzo a scadenza
ma anche dal sentiero intrapreso dai valori del sottostante stesso durante la
vitadell’opzione(odaunapartediessa), dalprezzoaterminediquest’ultimo
e dal tempo che manca alla scadenza.
Un tipico esempio di opzione asiatica è un contratto che offre a chi lo
possiede il diritto di comprare un prodotto per il suo prezzo mediato su un
periodo di tempo definito.
Studiate per la prima volta da Boyle e Emanuel vennero trattate in-
izialmente alla fine degli anni ottanta sul mercato di Tokio, da qui il nome
‘asiatiche’, utilizzate sia come strumento a sè stante sia come derivato com-
plementare di titoli obbligazionari.
Nella prassi il sottostante è una commodity, una merce, ed in particolare
può essere rappresentato da un prodotto petrolifero o un metallo prezioso.
Il motivo di tale scelta è quello di coprirsi da oscillazioni valutarie dell’an-
damento del sottostante, cioè l’acquisto di un’opzione asiatica, a dispetto di
una plain vanilla, ha senso in quanto permette di placare gli sbalzi giornalieri
‘spikes’ (picchi) del prezzo del bene in questione, mitigarli quindi attraverso
la media. Beni come l’elettricità, che hanno in genere un prezzo contenuto, in
caso di black-out possono vedere il loro prezzo raddoppiarsi, quintuplicarsi o
peggio. Le asiatiche, da questo punto di vista, sono un paracadute, un mezzo
per assottigliare perdite dovute a casi come questo.
16
Sotto il profilo contrattuale questi strumenti possono raggiungere tre anni
di vita, oltre alle normali scadenze caratteristiche dei plain-vanilla (3,6,9
mesi), mentre il valore a scadenza è in funzione di:
1. il periodo in cui si effettua la media che può coincidere con la vita
dell’opzione o essere parte di essa;
2. tipo di media: se aritmetica (come media dei prezzi) oppure geometrica
(come esponenziale della media del logaritmo del prezzo);
3. media pesata o non pesata;
4. la scansione del tempo intesa come continua o discreto, dove per discre-
to intendiamo il campionamento di un numero n finito di dati, mentre
per continuo intendiamo il campionamento dei dati istante per istante.
Distinguiamo ora due classi di opzioni:
1. Average-Price-Option (o fixed strike average rate)
2. Average-Strike-Option (o floating strike average rate)
Le prime, anche chiamate Average Rate Options, assumono, se convenienti,
un valore a scadenza dato dalla differenza tra la media dei prezzi del sot-
tostante e lo strike price, da cui la funzione di payoff
APO =max(!S
med
 !K; 0) (2.1)
Le seconde invece assumono, se convenienti, un valore a scadenza dato dal-
la differenza tra il valore finale del sottostante e la media dei prezzi del
sottostante stesso, da cui la funzione di payoff:
ASO =max(!S
T
 !S
med
; 0) (2.2)
dove ! rappresenta una variabile binaria uguale a 1 in caso di Call e -1 in
caso di Put, K è lo strike price, S
med
rappresenta la media dei prezzi del
sottostante calcolata fino alla scadenza.
Il loro valore teorico è solitamente meno oneroso rispetto all’opzione stan-
dard con stesse caratteristiche sullo stesso sottostante, proprio perchè il pre-
mio che eventualmente verrà ricevuto dal portatore tenderà ad essere, in
linea di massima, moderato dalla media e non dal valore assoluto dell’asset
al momento della scadenza.
Volendo citare un esempio, si noti come la figura 2.1 mostri l’andamento
del titolo Lottomatica a partire dal 13/ottobre/2010 al 13/gennaio/2011.
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Figura 2.1: Andamento sul mercato di Lottomatica
In partenza il titolo quotava 11,83 euro e le previsioni prevedevano un
rialzo costante fino ad una soglia intorno ai 15 euro.
Un investimento ideale sarebbe stato quello di vendere un’opzione Put
10.5 OTM
1
Plain Vanilla, che con il suo alto valore temporale avrebbe con-
sentito un guadagno interessante, a fronte di un rischio teoricamente infinito,
ma poco probabile a causa della previsione rialzista.
Per prudenza si sarebbe potuto acquistare una Put 10,5 OTM Plain Valilla di
copertura ad uno strike di distanza, che avrebbe evitato il rischio di perdita
infinita limitandolo a 0.5 punti, ma anche ridotto estremamente il guadagno
rendendolo molto meno interessante. In effetti questa operazione avrebbe
portato a scadenza una perdita di 0.5 punti.
Un’alternativa a questo tipo di investimento sarebbe potuta essere la
vendita di un’opzione Put 10 ATM Asiatica senza copertura.
Infatti la Put Asiatica, nel caso specifico della Lottomatica avrebbe com-
portato il guadagno di una parte del premio invece che una perdita, in quanto
la media a tre mesi delle quotazioni del sottostante ha un valore notevol-
mente superiore e quindi meno penalizzante, rispetto al prezzo a scadenza
delle opzioni Plain Vanilla.
Infatti nel caso specifico la media a tre mesi risulta, a scadenza, non
distantedallostrikedellaopzioneasiaticavenduta, consentendoilsalvataggio
1
OTM: un’opzione call (put) si definisce Out of The Money se il prezzo di esercizio è
maggiore (inferiore) del prezzo di mercato, cioè se K >S
T
(K <S
T
).
ITM: un’opzione call (put) si definisce In The Money se il prezzo d’esercizio è minore
(maggiore) del prezzo di mercato, cioè se K <S
T
(K >S
T
).
ATM: un’opzione, sia essa call o put, si definisce At The Money se c’è coincidenza tra
prezzo di esercizio e prezzo di mercato, cioè se K =S
T
.
18
di parte del premio.
In seguito verranno mostrati alcuni metodi di pricing di questi derivati,
dopo una panoramica sui concetti basilari su cui si basano questi stessi mo-
delli, vale a dire uno sguardo a quello che in finanza viene definito come
ambiente Black e Scholes.
2.2 L’ambiente Black e Scholes
Agliinizideglianni’70F.Black, M.ScholeseR.Mertonidearonounmodello
di prezzaggio dei derivati che diede una svolta all’intero mondo finanziario
diventando il pilastro portante del pricing di tutti quei prodotti che furono
di lì in poi protagonisti assoluti dei mercati finanziari.
Il modello si basa su una serie di ipotesi che inquadrano lo scenario nel
quale opereremo:
• La dinamica del prezzo S del bene sottostante l’opzione sia regolata da
una passeggiata aleatoria di tipo lognormale;
• È consentita la vendita allo scoperto del sottostante, come dello stru-
mento derivato;
• Non sono ammesse opportunità d’arbitraggio non rischioso;
• Il sottostante e lo strumento derivato sono scambiati sul mercato in
tempo continuo;
• Non sussistono costi di transazione, tassazione, né frizioni di altri tipo
nel mercato;
• Vige la perfetta divisibilità di tutte le attività finanziarie (è possibile
scambiare frazioni arbitrariamente piccole di ogni titolo sul mercato);
• Il tasso d’interesse privo di rischio è costante, e uguale per tutte le
scadenze.
L’ipotesi base prevede che il sottostante segue un processo di moto brow-
niano geometrico, descritto tramite l’equazione differenziale stocastica:
dS = Sdt +Sdz
t
(2.3)
S(T ) = Sexp
 (  1
2
 2
)T +z (T )
 (2.4)
19
dove:
•  è il tasso d’interesse istantaneo rischioso,
•  rappresenta la volatilità istantanea
• z(t) è un processo di Wiener
L’equazione (2.3) stabilisce che il sottostante S cresca in media , in un in-
tervallo di tempo infinitesimo dt, ad un tasso  rischioso e si discosti da tale
media di un valore moltiplicato per un processo di Wiener che rappresenta
un processo stocastico gaussiano in tempo continuo con incrementi indipen-
denti.
Il modello prevede quindi la possibilità di creare un portafoglio composto
parte in sottostante e parte, con segno opposto, in opzioni sullo stesso sot-
tostante. Tale portafoglio non è soggetto al rischio ed è prezzabile attualiz-
zandone i flussi di cassa al tasso di interesse risk-free r (con r< ).
Da qui la celebre formula:
• prezzo di una Call europea
C(S;t) =S
t
N(d
1
) Ke
 r(T t)
N(d
2
) (2.5)
• prezzo di una Put europea
P (S;t) =Ke
 r(T t)
N( d
2
) S
t
N( d
1
) (2.6)
dove:
St è il prezzo del sottostante;
K è lo strike price;
r è il tasso d’interesse risk-free annuo;
N è la funzione di ripartizione di una variabile casuale normale standard;
d1 e d2 sono probabilità risk-adjusted con formula :
d
1
=
ln
St
K
+ (r +
1
2
 2
)(T t)
 p
T t
(2.7)
d
2
= d
1
  p
T t (2.8)
20
L’obiettivo di questo excursus è quello di menzionare il concetto di log-
normalità del sottostante, concetto che sarà fondamentale al fine della com-
prensione del problema del pricing.
La prima ipotesi del modello di Black e Scholes riguarda l’andamento del
sottostante che in un intervallo di tempo d
t
evolve con mediad
t
e volatilità
d
t
, data la formula:
dS
S
s’(udt; 2
dt) (2.9)
dove dS è la variazione del prezzo dell’azione nell’istante dt e ’(m;v)
indica una distribuzione normale con media m e varianza v.
Questo implica che la differenza dei logaritmi dei valori del sottostante,
in momenti diversi, è distribuita secondo una normale.
ln(S
T
) ln(S
0
) ’[(u  2
2
)T; 2
T ] (2.10)
ne segue che:
ln(
S
T
S
0
) ’[(u  2
2
)T; 2
T ] (2.11)
e
ln(S
T
) ’[ln(S
0
) + (u  2
2
)T; 2
T ] (2.12)
dove:
• S
T
è il valore del sottostante a scadenza
• S
0
è il valore del sottostante al tempo 0
La funzione (2.11) stabilisce che se ln(S
T
) è distribuito secondo una nor-
male alloraS
T
è distribuito secondo una log-normale vale a dire una variabile
che può assumere valori strettamente positivi.
Lafigura2.2dàunsupportovisivoutileperlacomprensionedell’evoluzione,
secondo la formula (2.3), di un titolo azionario che quota in t
0
a 100 euro e
si muove, attraverso 20 istanti di tempo  t, con media  = 0; 1 e volatilità
 = 0; 4.
Il moto è generato da 1000 traiettorie che più si allontanano dal momento
iniziale più si discostano dalla media, generando solo valori strettamente
positivi.
Alla fine dei venti passaggi si noti una minoranza di traiettorie che hanno
superato la soglia dei 400 euro, fino a raggiungere un massimo di 800 euro
21