Decisioni in condizioni di incertezza knightiana

INTRODUZIONE Scopo di questa tesi è quello di studiare i principali modelli di teoria delle 
decisioni in condizioni di incertezza, con particolare attenzione ai modelli di tipo 
knightiano. Il modello knightiano è un modello che nasce dalla critica al teorema 
di Savage condotta da Ellsberg attraverso i suoi noti paradossi che dimostrano che 
un individuo è avverso all'incertezza. Si tratta del problema della scarsità di 
informazioni sulle probabilità, nel senso che non basta l'idea di probabilità 
soggettiva in quanto non c'è una ragione per scegliere una misura di probabilità 
piuttosto che un'altra. Formalmente, nel modello di Savage, questo implica una 
violazione dell'assioma P1 (ordinamento) o dell'assioma P2 (principio della cosa 
sicura). Tra i modelli che si occupano di questa problematica, analizzeremo il 
modello del Maxmin dell'utilità attesa e, appunto, quello knightiano di Bewley.
Il modello del Maxmin dell'utilità attesa (elaborato da Gilboa e Schmeidler) 
critica l'assioma P2, che considera troppo forte, sostituendo quello che di fatto è 
un assioma di indipendenza (e lo diventa anche formalmente nella riformulazione 
degli assiomi di Savage fatta da Anscombe e Aumann per il loro modello), con un 
assioma più debole, di c-indipendenza (certezza-indipendenza), e con un assioma 
di avversione all'incertezza, che introduce una preferenza per la miscelazione a 
scopo di hedging. La soluzione del paradosso secondo questo modello è quella di 
costruire un insieme di probabilità esogene e considerare la minima utilità attesa. 
Il modello knightiano, elaborato da Truman Bewley già a partire dal 1986 ma 
pubblicato nella sua versione definitiva solo nel 2002, critica l'assioma P1 di 
Savage (e di ordine debole di Anscombe-Aumann) in quanto prevede la 
completezza delle preferenze. Egli crea un insieme di probabilità soggettive 
eliminando l'assioma di completezza, sostituendolo con l'assioma di c-
completezza (ed imponendo la riflessività), ed introducendo un assioma di inerzia 
che impone che un soggetto abbandoni lo status quo se e solo se esiste 
un'alternativa preferita, escludendo la possibilità che si formino preferenze 
intransitive tra alternative incomparabili. Il modello di Bewley è quindi un 
4
modello con probabilità multipla e utilità attesa singola che egli stesso definisce 
“knightiano” in quanto considera tale il comportamento di un soggetto che 
preferisce una lotteria ad un altra se e solo se la la prima ha un valore atteso più 
alto su un insieme di probabilità soggettive e non sono possibili preferenze 
intransitive. Inoltre mostreremo anche una fusione tra il modello knightiano e 
quello del Maxmin che è stata proposta in un recente articolo di Gilboa, 
Maccheroni, Marinacci e Schmeidler (2010) e presenteremo alcuni modelli 
knightiani tuttora in fase di elaborazione e non ancora pubblicati.
Questo lavoro è organizzato come segue.
Nel capitolo 1 illustreremo gli inizi della teoria delle decisioni in condizioni di 
incertezza: la nascita della teoria dell'utilità attesa, il paradosso di San Pietroburgo 
e, in tempi più recenti, il modello di Von Neumann-Morgenstern.
Nel capitolo 2 parleremo dei modelli con probabilità soggettiva, concentrandoci 
soprattutto sul modello di Savage e la sua critica più famosa: i paradossi di 
Ellsberg. 
Nel capitolo 3 presenteremo il modello del Maxmin dell'utilità attesa, citando 
anche quello di Anscombe-Aumann: un modello che, grazie alla riformulazione 
degli assiomi di Savage ha avuto un notevole successo in letteratura. Nell'ultimo 
paragrafo di questo capitolo mostreremo come il modello delle “preferenze 
biseparabili” costituisce una generalizzazione di tutti i modelli presentati fino a 
quel punto.
Nel capitolo 4 parleremo della visione knightiana (e non) in tema di probabilità e 
incertezza.
Nel capitolo 5 illustreremo il modello di Bewley, cuore della nostra trattazione.
Il capitolo 6 sarà dedicato alla fusione tra il modello di Bewley e il modello del 
Maxmin che è stata elaborata da Gilboa, Maccheroni, Marinacci e Schmeidler.
Infine, nel capitolo 7, accenneremo ad altri recentissimi modelli knightiani: quello 
elaborato da Ok, Ortoleva e Riella, che si propone di fondere il modello di Bewley 
con un modello ad esso duale con probabilità singola e utilità attesa multipla; 
quello elaborato da Faro che applica le “preferenze variazionali” di Maccheroni, 
5
Marinacci e Rustichini (che pur non essendo un modello knightiano viene 
presentato in questo capitolo) al modello di Bewley; quello di Lehrer e Teper che 
creano delle “preferenze giustificabili” introducendo il concetto di probabilità 
multipla-multipla.
6
1            
I MODELLI CON PROBABILITA' OGGETTIV A In questo capitolo ci occupiamo della nascita della teoria delle decisioni in 
condizioni di incertezza.
Nel primo paragrafo parliamo della teoria dell'utilità attesa, entrando nello 
specifico nel secondo con l'illustrazione del famoso paradosso di San Pietroburgo.
Nel terzo paragrafo presentiamo uno dei primi e più noti modelli di decisioni: il 
modello di Von Neumann-Morgenstern, il cui risultato finale è noto anche come 
teorema dell'utilità attesa.
Nel quarto paragrafo diamo spazio alle critiche a questa teoria, con particolare 
attenzione ai paradossi di Allais.
1.1 - Cenni storici  
La teoria delle decisioni in condizioni di rischio e di incertezza 1
 viene considerata 
parte della teoria economica solamente dal 1944
2
 con il famoso libro di Von 
Neumann e Morgenstern dal titolo “Theory of games and economic behavior”.
In realtà l'idea di massimizzazione dell'utilità attesa risale al 1738 con la soluzione 
del “paradosso di San Pietroburgo” da parte di Daniel Bernoulli. Il matematico 
svizzero fu il primo a parlare di utilità marginale decrescente ma gran parte dei 
suoi contemporanei, che basavano tutta la teoria economica sul concetto di 
razionalità, consideravano l'accettazione di un rischio come scelta irrazionale. 
I concetti di rischio ed incertezza tornarono ad essere considerati solamente negli 
anni '20 del novecento 3
 fino, come detto, alla loro legittimazione definitiva 
1 Knight (1921) fu il primo a distinguere tra decisioni in condizioni di "rischio" (o incertezza 
oggettiva) quando le probabilità sono note, e di "incertezza" (o incertezza assoluta o ambiguità) 
quando non lo sono. Torneremo ampiamente sull'argomento, specialmente nel paragrafo 4.3.
2 Anche se possiamo citare alcuni anticipatori come Ramsey (1926), Keynes (1921) e, 
ovviamente, Knight (1921).
3 Keynes (1921), Knight (1921), Ramsey (1926) e lo stesso Von Neumann (1928).
7
Se l'attrattività del gioco è data dal suo valore atteso:  Σ i
 2
i-1
 2
-i  
= ∞ si dovrebbe 
essere disposti a pagare qualsiasi somma per partecipare a questo gioco, dato che 
ha un valore atteso infinito, ma in realtà gli individui a cui il gioco viene proposto 
sono disposti a giocare solo una somma molto piccola.
Daniel Bernoulli propose una soluzione basata su due nuove idee:
1) l'utilità u (w ) della ricchezza w per un soggetto non è lineare, ma aumenta a 
un tasso decrescente 6
2) che un gioco non si valuta in base al suo valore atteso, ma alla sua utilità 
attesa.
Secondo Bernoulli quindi un gioco avrà un valore pari alla sua utilità attesa:
E  u ,p,X= ∑ x ∈ X
p x  u  x  dove X è l'insieme dei risultati possibili, p(x ) la probabilità di un dato x e 
u :X  ℜ è la funzione di utilità.
Il guadagno sicuro λ che conferisce la stessa utilità del gioco 7
 del paradosso di San 
Pietroburgo è:
u  w  λ = 1
2
u  w  1 1
4
u  w  2 ...
 
dove u (w ) è la ricchezza iniziale di una persona.
A questa soluzione del paradosso è stata fatta una critica 8
, in quanto si ritiene che 
l'ipotesi di utilità marginale decrescente non sia sufficiente a risolvere il 
6 Elaborando quindi il concetto di utilità marginale decrescente.
7 Il "certo equivalente" del gioco.
8 Menger (1934).
9
paradosso. Il problema deriva dalla stessa funzione di utilità che potrebbe 
comunque dare una utilità attesa infinita.
Questo tipo di problema è stato chiamato “super paradosso di San Pietroburgo” e 
la soluzione proposta è stata quella di limitare prima la funzione di utilità.
1.3 - Il teorema di Von Neumann-Morgenstern  
La teoria di Bernoulli presuppone l'esistenza di una scala di utilità cardinale, che 
mal si conciliava con l'ordinalizzazione tipica della prima metà del XX° secolo. 
Nel 1944 Von Neumann e Morgenstern dimostrarono per primi che l'ipotesi di 
utilità attesa si può derivare da un insieme di assiomi di preferenza.
Questi assiomi vengono considerati come principi di scelta che ogni soggetto 
razionale potrebbe fare propri fornendo le basi per interpretare la teoria dell'utilità 
attesa sia da un punto di vista normativo (considerandolo il modo corretto per 
prendere una decisione), sia da un punto di vista descrittivo (gli assiomi 
migliorano la fiducia nel modello)
9
.
Nel modello di Von Neumann-Morgenstern 10
 le probabilità sono oggettive 11
 e non 
vengono in alcun modo influenzate dall'agente. Nella formulazione originale della 
teoria, il modello VNM prevedeva degli alberi decisionali in cui erano posizionate 
delle lotterie composte. Illustreremo qui una formulazione più compatta 12
 che 
implica che le lotterie composte sono semplificate secondo la formula di Bayes 13
. 
Le lotterie sono quindi definite dalla loro distribuzione e la nozione di “miscela” 
suppone implicitamente che il decisore sia abbastanza evoluto nel calcolo delle 
sue probabilità 14
.
Sia X un insieme di eventi alternativi. X può essere uno spazio lineare o qualunque 
altra cosa si voglia ma, in particolare, non occorre che sia ristretto a uno spazio di 
9 Gilboa (2007).
10 In seguito VNM. Come già citato, si trova in Von Neumann e Morgenstern (1944).
11 Sono date esogenamente dalla "Natura".
12 Fishburn (1970).
13 Bayes (1763).
14 Gilboa (2007).
10
panieri di prodotti e può includere risultati come la morte. Gli oggetti della scelta 
sono lotterie con supporto finito.
Formalmente definiamo:
L= { P:X [0,1]∣ card { x :P x  0} ∞ ∧ ∑ x ∈ X
P x = 1
} Osserviamo che l'espressione 
∑ x ∈ X
P x = 1
è ben definita grazie alla condizione di 
supporto finito  posta sopra. Effettuiamo un'operazione di miscela su L, definendo 
per ogni P,Q∈ Le per ogni  ∈ [0,1] che  P 1−   Q∈ Lè dato da: 
 P 1−   Q x =  P x  1−   Q x  per ogni x ∈ X.
L'intuizione dietro questa operazione è quella di probabilità condizionata: 
supponiamo che ci venga offerta una lotteria composta che ci darà la lotteria P con 
probabilità α e la lotteria Q con probabilità ( 1-α ). Se conosciamo la teoria delle 
probabilità possiamo chiederci qual è la probabilità di ottenere un certo risultato x , 
ed osservare che è α per la probabilità condizionata di x se prendiamo P, più (1-α ) 
per la probabilità condizionata di x se prendiamo Q.
Dato che gli oggetti di scelta sono lotterie, le scelte sono modellate come una 
relazione binaria, ≿ , su L, cioè 
≿ ⊆ Lx L
, dove P  ≿ Q significa che la lotteria P è 
considerata “almeno tanto buona quanto” Q e la preferenza stretta ≻ e 
l'indifferenza ∼ sono definite come la parte asimmetrica e simmetrica di ≿ .
Gli assiomi del modello VNM sono:
V1. Ordine debole :  ≿ è completa e transitiva.
11
V2. Continuità : per ogni 
P,Q,R∈ L
se P≻ Q ≻ R, esistono 
α ,β ∈ 0,1 tali che: 
α P + (1-α )R ≻ Q  ≻ βP + (1-β )R.
V3. Indipendenza : per ogni 
P,Q,R∈ L
e ogni 
α ∈  0,1 ,  P  ≿ Q se e solo se α P 
+ (1-α )R ≿ αQ + (1-α )R.
L'assioma di ordine debole è analogo a quello delle decisioni in condizioni di 
certezza e consente alle lotterie di essere ordinate. 
L'assioma di continuità è una condizione "tecnica", necessaria per la 
rappresentazione e la dimostrazione matematica: in realtà non si può costruire un 
esperimento in cui questo assioma sia violato, in quanto occorrerebbero infinite 
osservazioni, ma può comunque essere ipoteticamente messo alla prova con alcuni 
esperimenti "mentali"
15
.
Proviamo a sfidare l'assioma di continuità con un esempio 16
: supponiamo che P 
garantisca €1 , Q €0 e R la morte. L'ordine di preferenza è, generalmente, P≻ Q≻ R. 
L'assioma chiede che per valori qualsivoglia grandi di  α 17
, si abbia anche la 
preferenza α P + (1-α )R ≻ Q, cioè che si sia disposti a rischiare la vita con 
probabilità (1-α ) per guadagnare €1 . Realisticamente nessuno è disposto a 
rischiare la vita con qualsivoglia probabilità per guadagnare un euro.
E' comunque possibile fare un controesempio 18
: supponiamo di voler comprare un 
giornale che costi €1, ma ci accorgiamo che è disponibile gratuitamente dall'altro 
lato della strada. Saremmo disposti ad attraversare la strada per prenderlo gratis? 
Se la risposta è affermativa allora siamo disposti a correre un certo rischio, per 
quanto piccolo, di perdere la vita venendo investiti da un auto per risparmiare un 
euro. Anche qui si potrebbe obiettare che la probabilità di non morire se non si 
attraversa la strada non è 1, ma in ogni caso si riesce a comprendere l'assioma di 
15I cosiddetti esperimenti gedanken. Un tipico esempio di esperimento di questo tipo è il famoso 
paradosso di Zenone su Achille e la tartaruga.
16 Adattato da Gilboa (2007).
17 Ma ovviamente minori di 1.
18 Sempre in Gilboa (2007), dove compare come suggerito da Raiffa.
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